Философско-методологический синтез программ обоснования современной математики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень ее разработанности в научной литературе, выясняется философско-методологическая база, раскрываются теоретические и практические подходы к обоснованию современной математики. Проблема обоснования математики состоит из двух взаимосвязанных уровней - математического и философского. Если сущность первого выявляется через применение программы обоснования к конкретной теории, что составляет чисто математическую работу, то сущность второго характеризуется тем, что каждая программа обоснования нуждается в философском анализе ее соответствия исходной философско-методологической задаче. Кроме того, проблема обоснования настолько тесно связана с философскими императивами конкретной эпохи, что ее исследование невозможно без экспликации соответствующего философского контекста.

Философско-математическому сообществу всегда не хватает таких исследователей в философии науки, которые выполняли бы роль “соединителя” методологически противоположных подходов в математическом знании с помощью современных общефилософских принципов. Некоторые аспекты проблемы обоснования математики достаточно детально обсуждались в связи с рассмотрением различных вопросов философии математики. Можно, например, выделить работы таких известных в области философии математики авторов, как А.Д. Александров, Е.И. Арепьев, А.Г. Барабашев, Н.В. Бугаев, С.Н. Бычков, Г. Вейль, В.Э. Войцехович, К. Гёдель, В.А. Карпунин, В.В. Мороз, Р. Пенроуз, В.Я. Перминов, В.А. Успенский, Г. Фреге, В.В. Целищев и других. Следует отметить, что при изучении конкретных методологических вопросов обоснования современной математики наиболее плодотворным и универсальным философским принципом становится принцип системности.

Специфика философии математики определяется также тем, что как часть философии науки и техники она занимается вопросами обоснования математики. Несмотря на все усилия, предпринятые математиками и философами ХХ века, проблема обоснования современной математики все еще далека от своего окончательного решения. Даже единой системы допущений, имеющих онтологический и гносеологический характер и лежащих в основе любой программы обоснования математики, пока еще нет. Это определяет актуальность темы исследования и необходимость использования принципиально новых философских подходов к проблеме обоснования математики.

Идея системного подхода к обоснованию математики на основе эволюции математического знания в некоторой степени была намечена немецким философом Э. Гуссерлем. Он писал, что “нужно понимать глубокую причину того требования так называемого "теоретико-познавательного обоснования" наук, которое распространилось и, в конце концов, повсеместно утвердилось в Новое время, в то время как ясности по поводу того, чего же не хватает заслужившим столько восхищения наукам, достигнуто не было”. В обосновании математики исторически сосуществуют и взаимодействуют два способа систематизации подходов к обоснованию - теоретический и практический. При теоретическом способе систематизации обоснования математического знания выявляются общие логические связи, продуцируемые познавательными способностями и зафиксированные в специальных понятиях логического вывода.

При практическом способе систематизации обоснования акценты переносятся на выявление наиболее стабильных методов конструирования новых математических объектов, соответствующих прикладным потребностям, которые способствуют эволюции математики в направлении возникновения новых применений математики. Исследуемая проблема решается на основе философского анализа методологических средств различных областей научного знания, которому посвящены работы белорусских ученых - специалистов по философии, общей и частной методологии науки, логике и методологическим проблемам математики. Это такие хорошо известные исследователи как В.В. Амелькин, В.Ф. Берков, М.И. Вишневский, П.А. Водопьянов, Ф.Д. Гахов, А.Д. Егоров, В.А. Еровенко, Н.И. Жуков, П.П. Забрейко, А.И. Зеленков, П.С. Карако, П.В. Кикель, А.И. Лойко, В.К. Лукашевич, М.А. Можейко, М.А. Слемнев, Э.М. Сороко, В.П. Старжинский, А.И. Осипов, Е.А. Толкачев, Л.М. Томильчик, В.И. Чуешов, Д.И. Широканов, В.И. Янчевский, Я.С. Яскевич и другие.

В отечественной литературе по философии математики отсутствуют комплексные исследования, в которых на основе универсального принципа системности анализировались бы, наряду с логицизмом, основные точки зрения, а именно, формалистская, интуиционистская и платонистская, на способы существования математических объектов. Такой концептуальный подход допускает философско-методологический синтез в форме системной триады программ обоснования, включающей в себя отношение к миру математической реальности, идею формализации и конструктивный момент математического мышления в процессе возникновения новых структур.

Необходимость философско-методологического синтеза программ обоснования обусловлена тем, что философия акцентирует свои когнитивные задачи на выявление теоретически универсального в обосновании математики, а методология - на развитии практической деятельности в конструктивном аспекте и создании условий для дальнейшего развития математики. Философско-методологический синтез отличается от простого соединения принципов тем, что он представляет собой слияние исходных, даже противоположных, принципов с помощью идеи дополнительности в концептуальном подходе, имеющем новый смысл, сущность которого состоит в том, что он задает совокупность методов исследования как составляющую часть методологического арсенала. Поэтому попытка реализации такого синтеза носит предварительный характер и не может заключать в себе окончательную истину. Взаимопониманию философов и математиков способствовали известные профессиональные математики, интересующиеся философскими аспектами своей науки.

Среди них необходимо в первую очередь назвать таких выдающихся математиков как Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, Л. Брауэр, Д. Гильберт, Г. Кантор, А.Н. Колмогоров, П.Дж. Коэн, Н.Н. Лузин, Б. Мандельброт, Ю.И. Манин, А.А. Марков, Ю.В. Матиясевич, П.С. Новиков, А. Пуанкаре, И.Р. Шафаревич и многих других. Хотя еще со времен Платона философы настаивали на строгой разработке системы математических знаний и даже принимали в ней участие, инициатива всегда исходила от самих математиков. Исследования в области обоснования математики преследуют также важнейшие для математики общеметодологические цели. Отличие предлагаемой концепции обоснования современной математики от предыдущих концепций состоит в том, что на основе философско-методологического синтеза она сводит различные элементы совокупного математического знания в целостную систему, обеспечивая тем самым единство многообразия математических теорий, способствующее приращению знания и новым способам коммуникации в современной математике.

Работа выполнена на кафедре философии и методологии науки Белорусского государственного университета. Исследования проводились в рамках философской научно-исследовательской темы, выполнявшейся по совместному гранту БРФФИ-РГНФ “Конструктивность и диалог в основаниях физико-математического знания: история и современность” и реализованной в 2005-2007 годах, проект № Г05Р-015, а также комплексной научно-исследовательской темы кафедры философии и методологии науки ФФСН БГУ “Судьбы рациональности в культуре глобализирующегося мира”, разрабатываемой в 2005-2009 годах, проект № 20051407, которые соответствуют приоритетным направлениям фундаментальных научных исследований в области философии науки и техники.

Цель и задачи исследования.

Целью диссертационного исследования является разработка целостной интегральной концепции обоснования современной математики, связанной с идеей утверждения философско-методологического синтеза существующих программ обоснования математического знания. Реализация указанной цели предполагает последовательное решение следующих взаимосвязанных философских задач:

1. Осуществить конкретизацию философского принципа системности путем раскрытия генезиса программ обоснования математики, как главных объектов сравнения, и эксплицировать недостаточность методологических предпосылок программы логицизма в приращении математического знания.

2. Реконструировать философские проблемы программ обоснования формализма и интуиционизма, восходящие к общему источнику - идее актуальной бесконечности, на основе чего раскрывается также необходимость экспликации философской концепции математического платонизма.

3. Разработать новую концептуальную идею философии математики, состоящую в выявлении, упорядочении и прогнозировании результирующих пересечений имеющихся программ обоснования современной математики на основе их особого философско-методологического синтеза.

4. Выявить эффективные пути выхода из методологического кризиса в обосновании математики с учетом эволюции математического знания на примере философской репрезентации фрактальной геометрии, рассматриваемой в качестве нового направления постнеклассической математики.

5. Обосновать необходимость нового уровня рефлексии в проблемном поле исследований по философии математики, позволяющего замкнуть бинарную оппозицию существующих программ обоснования математики “формализм - интуиционизм” в системную триаду, образующую устойчивую целостность.

Объектом исследования диссертационной работы является современная математика как совокупность абстрактных структур, а предметом исследования в рамках философии математики - целостная концепция совмещения основных направлений обоснования математики, которая в наибольшей степени соответствует пониманию сущности математики как развивающейся науки.

Положения, выносимые на защиту.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, являются конкретизацией философского принципа системности в концепции обоснования современной математики, в рамках которой проблема обоснования приобретает новый методологический смысл и философскую перспективу:

1. Сложившиеся представления о предметах и явлениях материального мира как системных образованиях оказываются недостаточными при исследовании особенностей развития математики, а также ее философского обоснования. В этой связи возникает потребность “расширения” принципа системности, включения в его содержание новых теоретических идей, генезиса абстрактных математических структур и наиболее плодотворных направлений обоснования современной математики. Неудача развития программы логицизма, выявившая недостаточную ясность абстрактных понятий математики, неустранимую с помощью сведения математики к логике, проблематизировала методологические причины обнаруженных в математике парадоксов, которые оказались гораздо более глубокими, чем это представлялось логицистам.

2. Преимущественное внимание в проблеме обоснования математики уделяется анализу эвристического потенциала идей формализма и интуиционизма, так как с помощью этих программ изначально должна была быть обоснована в рамках математики непротиворечивость математических теорий. Затруднения в обосновании математики носят философский характер, хотя зависимость формалистской программы от чисто философских предпосылок является гораздо меньшей, чем, например, зависимость от них интуиционизма, поэтому выход из разногласий приходится искать не в математике, а в рамках общенаучной методологической концепции системного подхода. Необходимость использования философско-методологического синтеза в области обоснования математики может способствовать выявлению внешних оснований математики. В контексте философской компаративистики, формирование проблемного поля обоснования в философии математики не должно зависеть только от ограниченного фрагмента арифметики, а также логической или предметной очевидности.

3. Критический пересмотр широко распространенных в философской среде воззрений на основания современной математики в пользу одной из действующих программ обоснования можно уподобить кризису научной мысли. Философско-методологический синтез сводит различные направления обоснования математики в целостность, обеспечивая тем самым единство математического знания. Такой подход обусловливает и стимулирует процесс обоснования математики двояко: специальными методами синтеза математических знаний и синтезом самих методов математического познания. Речь идет о единстве обосновательных программ и оснований математики в эпистемологическом плане. Теоретические предпосылки философско-методологического анализа в новом подходе к обоснованию современной математики характеризуются также закреплением конструктивного разнообразия математической деятельности.

4. Современная математика достигла такого уровня зрелости, что даже инкорпорирует свои методы в анализ собственной структуры, переходя тем самым со стадии экстенсивного роста на новую стадию философской рефлексии. Общая характеристика путей обоснования непротиворечивости математических теорий выявила существенность допущений о достоверности используемых в них методов, определяемых существующими тенденциями в философии математики. Однако философско-методологическую критику метаматематики нельзя признать полностью корректной, поскольку ни одна математическая теория изначально не является абсолютно непротиворечивой в силу неустранимости латентной неопределенности ее основных объектов и аксиом. Философско-методологический синтез с помощью системной триады основных направлений обоснования математики, а именно, формализма - платонизма - интуиционизма, позволяет убедиться в том, что глубокие противоречия в хорошо развитой математической теории маловероятны.

5. Разработка содержательных и формальных средств концептуального развития интегральной программы обоснования современной математики как системное освоение сложных взаимодействий имеет значительный эвристический потенциал. Истоки непротиворечивости современной математики лежат в ее системности, а локальная непротиворечивость математической теории обеспечивается генетической связью понятий. Формирование новой философско-методологической концепции обоснования математики учитывает ее характер как самоорганизующейся системы. Она снимает неоправданные ограничения на принципы метатеории, определяемые в рамках математических критериев непротиворечивости и полноты, и, опираясь на гносеологические критерии системности и целостности, способствует конкретизации метатеории.

Личный вклад соискателя.

Диссертация представляет собой самостоятельно выполненное комплексное научное исследование, в котором проанализированы и систематизированы различные философские теории и разработана новая методологическая концепция обоснования современной математики, суть которой последовательно раскрывается с помощью системной триады основных философско-методологи-ческих направлений обоснования современной математики. Результаты, которые вошли в диссертацию, нашли отражение в серии авторских публикаций, написанных без соавторов. В методических работах по высшей математике, логике и философии некоторые результаты авторского исследования переосмыслены в контексте их практического применения в сфере математического и инженерно-технического образования.

Апробация результатов диссертации.

Апробация результатов диссертации осуществлена на следующих международных и республиканских конференциях, школах и чтениях, проходивших с участием диссертанта после защиты кандидатской диссертации: Республиканские чтения “Философы ХХ века: Хосе Ортега-и-Гассет” (Минск, 2004), ХХ Международные чтения “Великие преобразователи естествознания: Жорес Алферов” (Минск, 2004), XIX Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XVI” (Воронеж, 2005), Республиканские чтения “Философы ХХ века: Вячеслав Степин” (Минск, 2005), Международная научная конференция, посвященная 100-летию академика С.М. Никольского (Москва, 2005), Международная математическая конференция “Еругинские чтения - XI” (Минск, 2006), Всероссийская научная конференция “Проблемы свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе” (Курск, 2006), XXI Международные чтения “Великие преобразователи естествознания: Макс Планк” (Минск, 2006), ХХ Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XVII” (Воронеж, 2006), Международная междисциплинарная научная конференция третьи Курдюмовские чтения “Идеи синергетики в естественных науках” (Тверь, 2007), Международная конференция “Леонард Эйлер и современная наука” (Санкт-Петербург, 2007), XXI Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XVIII” (Воронеж, 2007), III Международная научная конференция, посвященная 85-летию чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2008), Х Белорусская математическая конференция (Минск, 2008), XII Международная научная конференция имени академика М. Кравчука (Киев, 2008), XXII Международные чтения “Великие преобразователи естествознания: Игорь Курчатов” (Минск, 2008), Международная научная конференция “Информационо-образовательные и воспитательные стратегии в современном обществе: национальный и глобальный контекст” (Минск, 2009), XXIII Воронежская весенняя математическая школа “Понтрягинские чтения - XX” (Воронеж, 2009), Международная научная конференция “Философия и рациональность в культуре глобализирующегося мира” (Минск, 2009), Между-народная научная конференция “Довгирдовские чтения - 1: эпистемология и философия науки” (Минск, 2010).

1. Аналитический обзор литературы по проблеме обоснования математики

Посвящена анализу современного состояния философско-методологической проблемы обоснования математики.

К началу ХХ века философия математики осознала себя как область, имеющая значение не только для решения чисто философских проблем. Проблема обоснования математики методологически строго впервые была сформулирована Д. Гильбертом как проблема обоснования непротиворечивости математических теорий. Новое понимание обоснования математики, представляющей собой совокупность абстрактных структур, являющихся математическим языком и основой дедукции, сводится к задаче обоснования надежности ее доказательных утверждений и установлению непротиворечивости ее теорий.

Но так ли существенна для математики проблема ее обоснования? В общеметодологическом плане такое обоснование необходимо для того, чтобы найти средства, гарантирующие надежность сверхсложных современных математических рассуждений и доказательств. Заметим, что в разные периоды истории развития математики надежными представлялись математические теории, соответствующие различным уровням теоретической строгости, формирующимся под влиянием критической познавательной установки. С точки зрения современной математики, надежность теоретического знания определяется также его гарантированностью от контрпримеров.

Принято считать, что проблема обоснования математики имеет как логическое, так и философское измерение, которое наиболее важно в контексте этого исследования. Первоначальное понимание проблемы обоснования было сориентировано в значительной мере на логический анализ математических теорий и являлось в определенной степени “антифилософичным”, а в тех вопросах, где нельзя было избежать философских импликаций, ее решение сводилось к определенного вида “догматическим допущениям”, таким, например, как “конструктивное доказательство, несомненно, достоверно”. Кроме того, при ответе на поставленный вопрос следует исходить из того, что философский статус теоретико-множественных принципов в действительности не является широко известным даже в профессиональном сообществе математиков.

Философский анализ проблемы опирается на общие характеристики научного познания, поэтому процедуры конкретизирующего обоснования в философии выполняются, вообще говоря, не с той последовательностью, методичностью и эксплицитностью, как это делается в точных науках. Для конкретизирующего обоснования своих познавательных теорий и схем философия математики обращается за помощью к самой математике. Как утверждает известный философ математики В.Я. Перминов, “общая методология программ обоснования математики, выдвинутая в начале ХХ века, с современной точки зрения должна быть признана совершенно неудовлетворительной”. Несмотря на некоторое продвижение в обосновании допущений, имеющих гносеологический характер, в целом проблема обоснования современной математики все еще далека от своего окончательного решения.

Прямым следствием сугубо математического подхода к проблеме обоснования математики при реализации трех классических программ - логицизма, формализма и интуиционизма - было то, что, в сущности, они представляли собой три различных способа редукции содержания математики к некоторому известному и безупречному основанию. Развитие указанных направлений обоснования современной математики вызывает необходимость их более тщательной экспликации. Редукция математики к логике не может быть реализована без явного или неявного включения в логику понятий и принципов, связанных с бесконечностью, что противоречит статусу логики как системы понятий не связанных с идеей бесконечности, а тем более с наиболее плодотворной в математике идеей актуальной бесконечности. Поэтому логицизм, как направление в философии, в настоящее время является малопродуктивным.

Использование понятия актуальной бесконечности есть то, что в философии математики принято называть “платонизмом”, хотя такой авторитет в области оснований математики как американский математик П. Коэн предпочитает называть его “реализмом”. Корни платонизма следует искать в XIX веке, когда математики начали пользоваться актуальной бесконечностью совершенно свободно, и актуально бесконечные множества объектов стали составлять основное содержание традиционной математики. Отношение к бесконечным множествам стало критерием размежевания математиков. Кроме того, классические программы обоснования математики, даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как, например, в программе интуиционизма, все же не свободны от неявных элементов, неизбежно порождающих неявно-интуитивный аспект в формализации аксиоматической математической теории, не влияющий на ее дедуктивный статус.

Привлекательной чертой актуальной бесконечности для современной математики является ее логическая простота, даже оперировать с ней проще, чем с потенциальной бесконечностью. Но, с философской точки зрения на обоснование математики, элементарные арифметические и геометрические доказательства являются неопровержимыми в фактуальном смысле в немалой степени потому, что они не используют понятия актуальной бесконечности, без которого немыслима современная математика. Можно даже утверждать, что именно понятие бесконечного разделяет математику и логику, поскольку интуитивное и формальное представление о бесконечности, необходимое в математике, отсутствует в логике. Определенные стагнационные процессы последних десятилетий, происходящие в философии математики, вызваны не только вполне прогнозируемой сложностью отдельных математических теорий, но и смысловым многообразием противостоящих друг другу концепций обоснования.

Несостоятельность предыдущих философских установок на обоснование математики означает, что эта проблема нуждается сегодня в постановке на принципиально иной основе, а именно, философском принципе системности, суть которого, в преломлении к проблеме обоснования, раскрывается через понятия целостности и взаимодействия элементов системы, предполагающие определенный уровень самоорганизации ее подпрограмм. Тогда имеющиеся программы обоснования математики, можно рассматривать в качестве предпосылочного знания, которое уже исследовалось в философии математики.

2. Историческая эволюция философских представлений о единстве современной математики

Посвящена анализу философско-математических традиций в обосновании математики в контексте методологического единства современного математического знания.

В исследовании вопросов философии математики, включающих также обосновательные процедуры теории бесконечных множеств, небесперспективным представляется путь анализа внутренней эволюции математического знания, которая вопреки бытующему мнению еще более упрочила единство ее частей. Существенным в этой эволюции, согласно Н. Бурбаки, является систематизация отношений, существующих между различными математическими теориями. Соответственно обоснование фундаментальных математических теорий в процессе их развития проходило по двум каналам: во-первых, как их согласование с внутриматематическими основаниями, а во-вторых, как их философское согласование с внешними основаниями. Обоснование фундаментальной теории в рамках принятых математических абстракций по существу сводится к ответам на вопросы: Каковы свойства объектов теории? Как эти объекты соотносятся с другими? В чем суть принципов построения теории? Ответы на эти философские вопросы раньше рассматривались как эволюция поисков “окончательного” обоснования математики в рамках известных философских концепций логицизма, формализма и интуиционизма.

Внешние идеи, в стремлении к методологическому единству математики, вносятся в обоснование математики, как через науки меньшей степени общности, так и через науки большей общности, как, например, философия науки. В контексте исторической эволюции математики они проблематизируют выбранный подход к обоснованию и способствуют пониманию ограниченности и недостаточности единственной точки зрения. Один из главных подходов к внешнему обоснованию математики реализуется в известной философской концепции платонизма. При таком подходе выявляется влияние философии на математику с помощью методологического реализма как установки профессиональных математиков на допустимость абстрактных математических объектов, связанных с понятием актуальной бесконечности.

Чтобы сделать этот философско-методологический замысел более убедительным, рассмотрим некоторые основные линии исторического и философского вызревания математических теорий.

В разделе 2.1 “Контроверза «рациональное - внерациональное» с точки зрения математического реализма” характеризуются современные рационалистические подходы в научном познании, которые позволяют выявить методологическую функцию принципа целостности в развитии математики.

Хорошей иллюстрацией трудностей, которые возникают при желании дать некую классификацию концепций и направлений современной философии математики, является неоднозначность понимания такого термина, как реализм. По мнению реалиста, числа существуют, по мнению антиреалиста нет. Реализм имеет много смыслов, поэтому целесообразно ограничиться реализмом в онтологии, согласно которому математические объекты существуют независимо от математиков. Но насколько реальны объекты математического мира? Ни одна из существующих философий математики не решает этого вопроса.

Но даже рационалистические концепции философии математики признают существование неявного знания. С рационалистической точки зрения, понятия, необходимые для формирования абстрактных объектов, отражают способности нашего мышления или выводятся из математических понятий с помощью логических принципов, определяющихся способностями разума. В философской литературе давно выявлено, что редукция математики к логике не может быть реализована без явного или неявного включения в логику математических понятий и принципов, связанных с бесконечностью. Логицистская редукция может быть осуществлена только при условии истинности важнейших аксиом теории множеств, а именно, аксиомы бесконечности и аксиомы выбора. Но это не ведет к отказу от других подходов к обоснованию.

Неудача развития логицизма явно зафиксировала то, что определенные неясности языка и математической терминологии нельзя преодолеть обращением к логике, то есть причины трудностей обоснования математики оказались более глубокими, чем это представлялось логицистам. Кроме того, с одной стороны, логика в отличие от математики, является беспредпосылочным знанием, так как она обусловлена способом языкового мышления, независящего в своих формах от математики. Но, с другой стороны, гносеологические предпосылки программ формализма и интуиционизма, определяющие исходный понятийный базис и допустимые критерии достоверности, являются наименее рационализированным компонентом. Поэтому понимание интуитивной основы математического мышления позволяет по новому посмотреть на старый философский спор о реальности математических абстракций.

На основе одних лишь только философских обобщений невозможно дать обстоятельный ответ на вопрос: Что такое математика? Математик и философ Н.В. Бугаев на исходе XIX века дал следующее определение математики: “Математика есть наука, изучающая сходства и различия в области явлений количественного изменения. Это самое общее ее определение. Все остальные ее определения вытекают из него, как его простые следствия. Идеи количественного изменения и порядка, которому подчиняются эти изменения, суть основные идеи математики”. Для понимания смысла и сути генезиса методологических идей современной математики необходимо философское осмысление составляющих ее элементов, поскольку, несмотря на ее теоретическую и практическую значимость, математика не обладает монополией на абстракцию.

С учетом реального сосуществования в современной математике конкурирующих исследовательских программ, таких как формализм и интуиционизм, следует не опровергать их, а сосредоточиться на том, как можно их трансформировать, чтобы включить в новую концепцию обоснования.

В разделе 2.2 “Роль платонизма в формировании единства философско-методологических направлений обоснования математики” выявляется и обосновывается необходимость платонистского подхода в формировании новой концепции программы обоснования современной математики.

Для современного математика неизбежно бессознательное платонистское отношение к математическим объектам своего исследования. Сегодня принято называть платонизмом любую философскую позицию, которая систему идеальных объектов человеческой мысли трактует как особый, независимо существующий мир. Математический платонизм - это учение, согласно которому математические конструкции и математические истины существуют в их собственном, вполне реальном мире, не имеющем конкретного физического местонахождения. В духе концепции математического платонизма истинной считалась теория, которая соответствовала чему-то определенному, существующему вне нас. Однако со временем акценты определения истинности изменились, поскольку сам собой возник вопрос: А что значит “соответствует”?

Есть и другой взгляд на эту проблему, согласно которому платонизмом индуцируется взгляд на математику как на естественную науку, поэтому и математическое творчество, с этой точки зрения, это поиск объективно предзаданного результата. Он характеризуется наличием элементов невычислимости, которые нельзя игнорировать в философской проблеме обоснования современной математики. Новая концепция обоснования математики включает в объект своего исследования также творческий, действующий субъект, поэтому выделение в качестве философских импликаций любых контактов с платоновскими идеями, которые доступны человеческому разуму, представляются в таком познавательном контексте чрезвычайно важными.

Научное мировоззрение, которого придерживаются современные математики, можно охарактеризовать как “умеренный скептический платонизм”, который, вообще говоря, расходится с “математическим платонизмом”, предполагающим, что математика сможет ввести нас в мир абсолютных идей, поскольку именно там реально существуют математические понятия. Необходимо все же уточнить, что Платон не рассматривал математические объекты как полностью самотождественные и автономные, поскольку они зависят от гипотез, предполагающих относительно самостоятельную деятельность рассудка, на которых основывает свои выводы математика. В чем тогда выражается польза от платонистского мира идей для математиков, придерживающихся различных философско-методологических подходов к обоснованию математики?

Вера в абсолютную ценность всей современной математики связана с верой в существование абстрактных математических объектов и структур. Математический платонизм полезен и эффективен, прежде всего, в вопросах онтологизации объектов математической мысли. Он также связан с понятием математической истины, которое выходит за пределы теории формализма. Поэтому можно попытаться соединить в современной философии математики направления формализма, интуиционизма и платонизма, чтобы показать плодотворность такого синтеза в контексте проблемы обоснования математики.

В разделе 2.3 “Системный подход к проблеме обоснования и инструментальная ценность современной математики” выявляется необходимость смены методологических установок и критериев при отстаивании релевантности работающих программ обоснования современной математики.

Системный подход можно рассматривать как путь к обоснованию современной математики на основе идеи эволюции и развития математических теорий. Углубление анализа обоснования математической теории приводит к необходимости ее экспликации и концептуализации, не обязательно при этом ставя под сомнение логику развития и практические результаты теории. Поскольку процесс совершенствования математических теорий через устранение логических противоречий является трудно реализуемым, то можно попробовать приблизиться к решению проблемы обоснования математики через общезначимые характеристики зрелости и надежности математической теории.

Идея системности возникает при переходе науки к изучению новых классов объектов, среди которых, прежде всего, следует выделить сложные динамические системы. Исследование их формальных свойств и природы составляющих компонентов позволило установить иерархическое строение и наличие взаимодействующих элементов. Несмотря на описательный характер системы, можно эксплицировать главное отличие ее объектов, состоящее в свойстве особой целостности, то есть определяемости свойств объекта в составе системы как целого. Базовый инструментарий, который задействуется при таком подходе, сводится к традиционным философским понятиям: единство, сложность, взаимодействие, целостность и саморазвитие. Благодаря философской идее системности, представляющей новую парадигму науки, происходит смена методологических ориентаций и в обосновании современной математики.

Наиболее полно философское единство было описано Г.В.Ф. Гегелем, но не в его переходной триаде “тезис - антитезис - синтез”, а в его системной триаде философии. Напомним, что триадой называется совокупность из трех элементов, которые определенным образом связаны между собой. Системная триада Гегеля способствовала выработке идеологии тринитарного формализма. В философских традициях его времени эту триаду можно описать так: философия духа - наука логики -- философия природы

Для понимания составляющих элементов гегелевской системной триады подчеркнем, что он также выявил, как из философского противоречия чувственно-достоверного и абстрактно-всеобщего возникает новое образование развивающейся философии духа - рассудок. По существу, Гегель сделал важный шаг в развитие идеи категориального синтеза, порождающего конкретно-научные понятия. Однако в отсутствие инструментов конструирования абстрактных математических объектов, их математическое существование должно инструментально подтверждаться, пусть и не конструктивно, если это невозможно, но тогда обязательно аксиоматически доказательно.

Необходимость системного исследования, в силу размытости концептуального поля обосновательных процедур математики, возникает как реальный процесс движения познания к постижению единства математического знания. Полиморфизм современного научного знания обусловлен не только многообразием действительности, но и различным гносеологическим статусом ее математического инструментария, ценность которого по-разному проявляется в конкретных познавательных ситуациях.

3. Философская компаративистика и принцип дополнительности в математическом познании

философский формализм рефлексия математика

Посвящена определению основных методологических аспектов теоретических положений новой концепции обоснования современной математики.

Гносеологический механизм исторического обоснования математики, обеспечивающий прирост нового математического знания, представляет собой экспликацию предпосылочного научного знания в новом подходе к проблеме обоснования, способствующему повышению общего уровня теоретической строгости математических теорий. Анализ взглядов на современные математические теории показывает наличие самых различных, по существу диалектически дополняющих друг друга подходов к обоснованию. Они подтверждают неисчерпаемость феномена математического знания, предназначенного для достижения тех или иных целей, но при этом неизменно сохраняющем дедуктивную природу любого математического рассуждения.

Компаративистская методология, используя подходы, дополняющие друг друга, способствует целостному взгляду на математику. Но для экспликации философской идеи целостности, следует проанализировать принцип дополнительности Бора, с точки зрения философско-методологического синтеза программ обоснования математики. Философ науки В.Н. Порус выделяет в этом принципе требование, согласно которому для воспроизведения целостности исследуемого объекта применяются “дополнительные” классы понятий, которые, будучи взяты раздельно, могут взаимно исключать друг друга.

В разделе 3.1 “Философский анализ идеи дополнительности в контексте обоснования современной математики” анализируются философские проблемы обоснования математики, с помощью формалистского и интуиционистского подходов, включенных в стадию сравнительных исследований.

Преимущественное внимание уделяется анализу формализма и интуиционизма, в силу того, что с помощью этих программ обоснования были преодолены парадоксы теоретико-множественной концепции математики. Не ставя перед собой неразрешимую задачу экспликации всего теоретического ядра философско-методологических программ формализма и интуиционизма, необходимо все же зафиксировать наличие связанных с ним проблем в обосновании современной математики. Целью формалистской программы обоснования математики, предложенной Гильбертом, являлась не редукция математики к логике или арифметике, а редукция к метатеории, которая рассматривает принципы допустимой логики и допустимые методы доказательства.

Целью интуиционистской программы обоснования, согласно Брауэру, являлась конструктивная редукция математики к исходным представлениям интуитивно ясной арифметики, но за рамками брауэровского интуиционизма осталась большая часть классической математики. Понятия, используемые в одной концепции обоснования математики, должны быть включены в контекст совершенно другого направления обоснования. Эти трудности заставляют философов математики вспомнить о методологическом опыте, накопленном физиками, использовавшими принцип дополнительности. Философская интерпретация дополнительности предполагает, что математические структуры представляют собой сложную иерархию двухполюсных систем: “дискретное - связное”, “случайное - необходимое”, “конечное - бесконечное” и др.

Сложность понятия конечности состоит в том, что оно оказывается невыразимым на языке классической логики. А философская сущность понятия бесконечности, по мнению академика А.Д. Александрова, проявляется в следующем: “Бесконечность, не мыслимая как завершенная, мыслится как завершенная. Это и есть диалектика, есть переход в противоположность, изменение понятия вплоть до отождествления противоположностей, осознание полного отрицания как в некотором смысле "того же самого", как отрицательное число есть тоже число”. Пониманию этой проблемы может способствовать применение концепции дополнительности к логической структуре математических рассуждений. Исходя из такого положения вещей всесторонний анализ, например, обоснования математики, может потребовать различных точек зрения по поводу таких фундаментальных понятий математики, как число, множество и так далее, которые не поддаются однозначному описанию.

Ошибка классических программ обоснования математики состояла в том, что они стремились абсолютизировать какую-то одну систему достоверных положений обоснования, не учитывая их дополнительный характер взаимодействия. Поэтому основу единства современной математики следует искать не в построении единого языка науки, а в нахождении методологического сходства теоретико-познавательных ситуаций, требующих для своего анализа дополнительной системы понятий, которая способствовала бы устранению субъективных элементов и расширению объективного описания.

В разделе 3.2 “Результаты Гёделя и актуальные направления обоснования в постгёделевской философии математики” фиксируется реальное изменение методологических целей обоснования современной математики в контексте философских императивов теорем Гёделя о неполноте.

Современный этап развития философии математики можно также назвать “постгёделевским”. В самом названии постгёделевской философии математики еще звучит ориентация на предыдущую эпоху развития математического знания, но по существу уже можно говорить о начале принципиально новых взглядов и подходов в проблеме обоснования математики. Уточняя понятие постгёделевской философии математики, заметим, что математики смотрят на прошлое не как на предпосылку, а как на необходимую составную часть величественного здания современной математики. Суть этой философии сводится к тому, что современная математика не может быть с достоверностью обоснована исключительно внутренними, то есть логическими, средствами.

Согласно философско-методологическому принципу дополнительности для репрезентации закономерностей развития направлений обоснования современной математики необходимо эксплицировать взаимоисключающие дополнительные понятия и подходы, сущностные характеристики которых развивают собственную логически непротиворечивую линию суждений. В определенной степени, элементами математического идеала как образца научности можно считать доказательность математических утверждений и способы построения ее теорий. Вопрос о формализации, математической строгости и гильбертовском идеале чистоты методов оказался намного тоньше, чем это было принято считать до философско-логических результатов Гёделя.

Имплицитная достоверность важнейшего методологического следствия из теоремы Гёделя о неполноте связана с тем, что в любой достаточно богатой непротиворечивой формальной системе, каковой и является арифметика, теоретически возможны высказывания, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Это методологически важное высказывание, в контексте нового подхода к обоснованию, можно интерпретировать как предположение о том, что в формалистском направлении обоснования математики всегда найдутся интуитивно очевидные, с точки зрения интуиционистского направления обоснования математики, но не выводимые из аксиом предпосылки. Такого рода предпосылочное знание не может быть обосновано в рамках математических теорий, поскольку оно обладает двойственностью, в том смысле, что кроме математического обоснования содержит еще неотделимую в интуитивном мышлении метафизическую, или платонистскую, основу.

Это связано с тем, что математики мыслят все же посредством интуитивных образов, а не посредством исключительно теоретических понятий. Следует еще раз подчеркнуть, что релевантная философско-математическая дискуссия показала: результаты Гёделя относятся не только к формальной арифметике, они распространяются на любую формальную математическую систему, содержащую арифметику натуральных чисел, то есть на любое исчисление, начинающееся с арифметики. С философской точки зрения, теорема Гёделя о неполноте “снимает запреты” с незыблемых постулатов, что позволяет математикам не только углубляться в уже существующие теории, но и возвращаться к их основам. Необходимо учитывать и такую особенность, что независимо от философских мнений об универсальности применяемых подходов к обоснованию математики, всегда найдутся утверждения, которые не попадают в сферу их действия. Принципиально важно также то, что результаты Гёделя не могут опровергнуть ни одной из уже добытых математических истин.

Дополнительная трудность состоит также в том, что в концепции Гёделя используется фундаментальная двойственность теории чисел в логике: когда она аксиоматизирована, она становится “объектом” изучения, а, с другой стороны, используемая неформально, она является “орудием”, при помощи которого могут изучаться формальные системы. Поэтому в “окрестностях” теоремы Гёделя нет простых и однозначных философских истолкований.

В разделе 3.3 “Современные средства математического познания и возможности компьютерного моделирования” рассматривается сопряженность общих методологических установок, реализуемых в программах формализма и конструктивизма, с методологией компьютерной математики.

Даже самые проницательные философы математики первой половины ХХ века не могли предвидеть появления такого мощного нового направления современной математики, как компьютерная математика, синтезирующая в себе как формалистские, так и конструктивистские проблемы обоснования математики. Благодаря новым теориям, например, теории алгоритмов, методов оптимизации и теории игр, в сферу математики вошли исследования, способствующие развитию математического познания. Так как в современной математике фиксируются такие конститутивно важные для всякой научной рациональности характеристики, как целостность, системность и структурность, то это создает возможность трансляции уже аккумулированного знания.

Несмотря на возрастающую роль компьютерных систем в математическом познании, информационная модель современного математического знания, частично реализованная с помощью компьютера или вербализованная в математическом тексте, является, в значительной мере, лишь “эксплицированным намеком” на теоретическое знание, в отличие от хорошо формализованных математических теорий, позволяющих реконструировать архитектуру моделируемого знания. С помощью компьютера можно найти варианты решения математических задач в том случае, если он используется не только как вычислительное устройство для концептульного обогащения мышления, но и как инструментальное средство, позволяющее изменить стереотипы в усвоении математических знаний, и в самой умственной деятельности.

Кроме того, в результате стремительного развития математического моделирования и компьютерного эксперимента открываются новые возможности философско-методологического синтеза программ обоснования математики, который мы называем системным, хотя в философии и методологии науки он не имеет жестко фиксированного семантического смысла. Так, например, существование фрактального множества Мандельброта есть его свойство абсолютной природы, не зависящей от математика или компьютера, которые его исследуют, поэтому независимость от математика этого множества обеспечивает ему чисто платонистское существование. С помощью фрактальных объектов природа на языке математики демонстрирует не просто значительно более высокую степень сложности, соответствующую современному уровню развития науки, а совсем другой уровень математической сложности.

Считая фрактальность фундаментальным математическим понятием, оппозицию “дискретность - непрерывность”, которая характеризуется с помощью противоположностей главных линий математического познания, арифметико-алгебраической и геометрико-топологической, можно философски переосмыслить в виде следующей математической триады, включающей функционально-аналитическое направление математического познания: фрактальность - дискретность -- непрерывность.

И дискретное, и непрерывное в составе триады - это математические модели, не исключающие, а дополняющие друг друга, так как обе они являются идеализациями, относящимися к гносеологии, постоянно пересекаясь и переплетаясь, порождая новые математические объекты. Визуализация такого сложного объекта, как фрактальное множество, стала возможной лишь благодаря современному компьютеру. Современные информационные технологии существенно изменили отношения между теоретической и практической математикой, в частности, они позволили эксплицировать несоответствие между огромным количеством информации, которое содержится в компьютерном изображении и тем объемом, который фиксируется в сознании человека.

4. Методологическая целостность программы обоснования постгёделевской математики

Посвящена конкретизации основных теоретических положений обоснования математики, рассмотренных в предыдущих главах, применительно к современным структурам математики.

Реализация философско-методологического синтеза различных направлений для обоснования математики является попыткой вывести философское суждение о непротиворечивости математических теорий из генезиса и методологической организации теорий в процессе их становления. Как отмечает логик Н.Н. Непейвода, “кодировки, при которых можно доказать непротиворечивость, неестественны, и даже неформально включают в себя предположение о непротиворечивости”. Феномен математических теорий состоит в их неисчерпаемости, что не исключает возможности фиксировать их “гносеологические срезы”, предназначенные для конкретных целей их обоснования.

Экспликация такого подхода невозможна без релевантного взаимодействия математики и философии в контексте формирования методологически целостной концепции обоснования современной математики, которую можно также рассматривать как гипотетическую потребность в синтезе представлений о категориях, развиваемых почти что изолировано в философии науки и математике. Представление о философско-математической гипотезе, возникающее при диалектическом рассмотрении проблемы, восходит к Платону, который в последний период своего творчества развивал “математическую диалектику”, то есть диалектически обсуждал математические “начала-гипотезы”.

Методологическая трудность обоснования современной математики, в основе которой лежит важнейшая проблема непротиворечивости аксиоматических теорий, не позволяет выделить какую-либо одну из известных философско-математических программ, основные идеи и принципы которых обеспечивают эвристику поиска на основе системного подхода к обоснованию.

В разделе 4.1 “Практическая эффективность математики и интуиционистский стиль математического мышления” на основании продуктивности математики в ее приложениях делается философский вывод о важности интуитивной составляющей современного математического знания.

Математики сознательно ограничивали себя специальным миром релевантных математических моделей, абстрагированных от отражающих аспектов действительности. В этом одна из основных причин платонистского отношения математиков к объектам своих исследований. Возможно, что именно в этом неиссякаемый источник творческой силы математики, названный американским физиком-теоретиком Е. Вигнером “невероятной или непостижимой эффектностью математики”, которая делает перспективы ее применения в самых разных науках, по существу, неограниченными.