Философско-методологический синтез программ обоснования современной математики

Философы науки солидарны в том, что практическая эффективность математики в физике не может быть объяснена без прояснения на генетическом уровне глубинной корреляции математических и физических структур. Однако упорядочение математических теорий на основе понятия структуры, которое было предпринято во второй половине ХХ века группой Бурбаки, не решило философской проблемы взаимоотношения мира физической реальности и математического знания, поскольку в их концепции факт соответствия математических структур явлениям окружающего мира попросту констатировался, поэтому не подлежит дальнейшей философской конкретизации.

В генезисе математических структур важно понять активную роль субъекта. Даже чувственный образ множества возник в математике благодаря нашей способности мыслить совокупность как единое целое. Математические структуры обладают к тому же той уникальной и отличительной способностью, что, будучи однажды сформулированными, они могут логически развиваться без дальнейшего обращения к действительному миру. Хотя математика в таком контексте весьма эффективна, ее выводы нуждаются в перепроверке, поскольку для разных целей требуются разные приближения. Поэтому с точки зрения такого философского направления как интуиционизм, математическое доказательство должно вместе с обоснованием давать требуемое построение.

Методы, дающие такое построение, Л. Брауэр и его последователи называли эффективными. Интуиционисты воспринимали математику как естественную функцию интеллекта, а математические конструкции для них изначально имели определенное интуитивное содержание. В соответствии с таким эскизным подходом к обоснованию Брауэр дал ему название “интуиционизм”, хотя подчеркивая процессуальную роль конструкции в этом направлении обоснования, использовал также название “конструктивизм”, но предпочтительнее употреблять первое название, так как оно отводит ведущую философскую роль понятиям истины и обоснования, а не понятиям задачи и конструкции.

Адекватное обоснование эффективности математики может быть системным. Оно исходит из понимания математики как некоторого рода самоорганизующейся системы, исторически приспосабливающейся к содержательному знанию, как к системе более фундаментальной, учитывая при этом существенную роль “неявных эвристик”, в которых изначально практически невозможно предвидеть новые эффективные методы математического познания.

В разделе 4.2 “Философская проблема непротиворечивости формализованной теории и метаматематика Гильберта” показывается, как методология программы формализма согласуется с математическим опытом.

В начале ХХ века метаматематика Д. Гильберта оформилась в самостоятельный раздел современной математики. Метаматематика - это философско-математическая наука, рассматривающая формализованные системы математики, которые применяются к самим математическим теориям. Предмет математики составляют формальные системы, которые изобретают математики, а предмет метаматематики описание таких формальных систем, выяснение и обсуждение их свойств. С точки зрения объяснения релевантности выбранной формализации, последнее методологически важно для исследуемой задачи.

Программа обоснования Гильберта предназначалась для “реабилитации” математики в связи с критикой программы интуиционистов обоснования классической математики. Она состояла из двух дополняющих друг друга задач. Решение одной из них предполагало довести до конца процесс аксиоматизации математики, точнее представить существующую математику в виде формальной теории на основе “очищенной” от парадоксов теории множеств. Таким образом, впервые была поставлена задача формализации теории доказательств с помощью уточнения понятия математического языка и логического вывода. Другая задача представляла собой радикально новую в то время философскую задачу доказать непротиворечивость полученной теории.

Д. Гильберт предложил обосновывать математику на базе эпистемологически прочного фундамента финитизма, то есть сознательно ограничивал круг средств, которые считал допустимыми и надежными, но не зафиксировал точно совокупность финитных рассуждений. Работы Г. Генцена показали, что, расширяя финитизм методами, основанными на трансфинитной индукции, можно показать непротиворечивость арифметики и математического анализа, обоснование которых на базе финитизма оказалось не выполнимым. Но вопрос о непротиворечивости самой трансфинитной индукции остается пока открытым. Поэтому в дальнейшем имеет смысл говорить о локальной непротиворечивости, так как глобальная непротиворечивость может оказаться избыточной.

Строго говоря, процедура обоснования математики, согласованная с гильбертовскими идеализациями, предполагает формализацию математической теории с помощью содержательной “метатеории”, которая, наряду с описанием структуры формализма, рассматривает принципы допустимой логики и соответствующие ей правила доказательства и преобразования математических утверждений, допустимые в рамках данной теории. Методологический замысел Гильберта состоял в том, чтобы так ограничить метатеоретические рассуждения математиков, чтобы, наконец, обращаясь к гносеологическим критериям, гарантировать их максимально возможную достоверность.

Что же касается проблемы установления непротиворечивости аксиоматической теории множеств, то она до сих пор не решена. Однако экспликация исторической эволюции проблемы обоснования математики показывает, что формализация позволяет приблизиться к идеалу надежности и обоснованности в математике. Хотя ограничение сферы надежной метатеории арифметизируемостью и финитностью требует пересмотра программы обоснования математики через выявление онтологических оснований математического мышления в различных областях современной математики.

В разделе 4.3 “Системная триада направлений обоснования математики как форма философско-методологического синтеза” рассматривается новая методология обоснования математики, открывающая в рамках триадической структуры дополнительные возможности анализа математики.

С позиций современного математического знания, можно попытаться концептуально зафиксировать возможность обоснования математики посредством философско-методологического синтеза основных направлений обоснования как адекватной теоретической модели, способной вернуть методологическую целостность в проблему обоснования современной математики. В работе английского математика Б. Дэвиса “Куда идет математика?” утверждается, что к концу прошлого века точнейшая из наук испытала потрясения, которые могут принципиально изменить характер полученных в ней результатов.

Логические прозрения Гёделя привели в 30-е годы прошлого века к первому из трех кризисов, о котором говорилось ранее, а начиная с 70-х годов, в современной математике произошли еще два кризиса, столь же непредсказуемые, как и кризис, вызванный гёделевскими результатами: “Оба они связаны с проблемой переусложненности: доказательства стали настолько длинными и сложными, что ни один ученый не взял бы на себя смелость однозначно подтвердить или оспорить их правильность”. В философской и математической литературе эта проблема пока еще детально не обсуждались.

Второй кризис относится к имплицитной достоверности доказательств, проводимых с использованием инструментальных средств современного компьютера. Третий кризис переусложненности в определенном смысле для математиков более серьезный, так как связан с излишней сложностью доказательств математических проблем, решение которых может занимать десятки тысяч страниц математического текста. С одной стороны, “кризисы переусложненности” носят эпистемологический характер и не связаны с онтологией математики, но, с другой стороны, если рассматривать математику как созидательный процесс, их можно эксплицировать как кризисы человеческой мысли.

В качестве теоретического конструкта для решения этой проблемы можно использовать эвристический потенциал философско-методологического синтеза обосновательных подходов, учитывая, что такой синтез является в максимальной степени “недедуктивным”. Он основан на идее интеграции, которая характеризует тенденцию к соединению в рамках целостной системы математических теорий. Такой эпистемологический поворот заметен не только по отношению к программе обоснования, но и в философии математики в целом. Поскольку в философии современной математики выделяются три направления в обосновании, то в качестве формулы системной триады можно рассмотреть следующую совокупность современных концепций обоснования математики: платонизм - формализм -- интуиционизм.

Так как, с точки зрения математической практики, ни направление формализма, ни направление интуиционизма не являются подлинно репрезентативными для обоснования математики, то наиболее употребительный методологический подход при экспликации структуры обоснования всего комплекса математического знания - это вложение исследуемых структур в более богатую структуру, с помощью “третьего”, который является формой опосредования крайних позиций. В новой парадигме происходит смена методологического идеала от полноты к целостности, которая означает, что существенное изменение любого направления обоснования оказывает воздействие и на другие составляющие программы, что ведет к изменению всей концепции.

Переход от диад к триадам позволяет заново взглянуть на суть взаимоотношений диалектики и математики, поскольку тринитарная методология не заменяет, а развивает диалектику, раскрывая ее новые возможности, тогда как от математики, при сохранении достаточной точности, требуется только лишь сохранять целостность исследуемых математических объектов. Признание прогресса при тринитарном подходе к обоснованию современной математики показало бы не только философскую проницательность, но и методологическую силу объединяющих коннотаций философских результатов.

Заключение

Основные научные результаты диссертации.

1. Обращение математиков к философии и методологии происходит в такие периоды, когда требуется новое осмысление разнородного и часто методологически противоречивого накопленного математического материала. Для философов математики ориентиром в такой обосновательной деятельности может служить стабильность, историческая устойчивость и мировоззренческая общность математики. Философско-методологическое обоснование математики необходимо для того, чтобы найти адекватные средства, гарантирующие надежность сверхсложных и труднообозримых современных математических доказательств и возможность использования в них компьютерных вычислений. Методологическая трудность имеющихся программ обоснования математики состоит в определении природы и границ “обосновательного ядра”, включающего не внушающие опасений утверждения и принципы доказательств.

Методы обоснования математики довольно плохо поддаются детальному объяснению на философском уровне, поскольку существуют концептуальные и методологические различия в подходах к их истолкованию и выделению основных смыслов. Несостоятельность логицистской программы обоснования математики, выявившаяся в процессе ее развития, следует из статуса логики как системы понятий, не связанной с идеей бесконечности, и зависимости математики от положений, надежность которых оправдывается за пределами логики. Программы формализма и интуиционизма тоже не дали убедительного рационального оправдания подходов к обоснованию, которые можно было бы взять за основу целостного образа математики. Поэтому на базе новой обосновательной методологии можно попытаться некоторым образом реабилитировать фундаментальное понятие актуально бесконечного, имеющее непосредственное онтологическое обоснование через оправдание некоторой части трансфинитной математики, и практическую целесообразность аксиомы выбора.

Неудачи классических программ обоснования математики явились следствием слабости их философско-методологических предпосылок. Конечной целью программ обоснования должен стать естественный синтез различных философско-мировоззренческих традиций устоявшихся в философии математики, с целью создания интегральной многомерной теоретико-методологической программы обоснования, так как синтез различных точек зрения, в том числе и ставших достоянием истории математики, обеспечивает развитие математических теорий. Системные соображения, отнесенные к математической теории, могут рассматриваться в качестве ее логического обоснования, для оправдания которых следует признать, что надежная дедукция возможна не только на уровне формализации [1, 5, 22, 26, 33, 35, 41, 49, 56, 65].

2. Редукционистские надежды на построение единого языка науки в целом не оправдались, хотя в обосновании математики в прошлом веке они были еще довольно сильными. Философия постгёделевской математики ориентирована на открытие новых способов коммуникации знаний, а не редукции одного типа знания к другому, и восстановлении или реконструкции ее прежних прочно установившихся традиционных подходов к обоснованию. Платонистская вера в то, что математические сущности предшествуют математическим исследованиям и озарениям, разделяется большинством математиков, так как математика не может существовать без идеальных объектов, необходимых для математического мышления. Поэтому математический платонизм можно рассматривать как определенный альянс между философами и математиками с целью поиска методологических оснований интегративных процессов современной философско-математической мысли. В таком контексте математическое творчество - это поиск объективно предзаданного результата.

Рациональная реконструкция исторической эволюции гносеологического механизма обоснования математики представляет собой экспликацию предпосылочного знания в аксиоматизации математических теорий, которое не может разрушить дедуктивную природу математического доказательства, хотя и осложняет его обоснование. Рациональные критерии обоснования играют важную методологическую роль в становлении математической строгости. Но отсутствие или неопределенность таких критериев не снижает уровня фактической значимости или строгости теории и не останавливает естественного прогресса математического знания. Так как в философии нет единой системы методов исследования, то и в философии математики отсутствует критерий общезначимости результатов, хотя “границы иррационального” современная математическая наука изучает философскими инструментами рационального.

Привычка обращаться с математическими объектами так, как будто это сущности реального мира, существующие независимо от математиков, является источником методологических затруднений в обосновании математических теорий. Они связаны с тем, что для этого реалистического течения пока еще нет адекватных онтологических интерпретаций, поэтому формальные описания в системном подходе конструируются так, чтобы математическая реальность хорошо соответствовала содержательным истинам. Исследуемый феномен рационального обоснования математики погружен в более широкий внешний контекст, образуемый феноменом веры и внелогическими способами постижения реальности. В этом, возможно, состоит одна из причин живучести математического платонизма, который непосредственно связан с природой математической деятельности, а именно с процессом отчуждения ее результатов от породившего их ума [2, 4, 8, 11, 15, 36, 38, 43, 44, 64].

3. В основе концепции структуры современной математической теории лежит фундаментальная дихотомия внешнего и внутреннего ограничения. Трудность выявления основных методологических принципов природы математического знания связана с тем, что процесс синтеза нового сущего в контексте онтологического понимания системы обоснования математики содержит нечто, что не выделяемо из целого при разделении его на части, поскольку речь идет не только о единстве этой совокупности, но и порождаемых ею свойствах. Линейный взгляд на обоснование уже не работает в современной математике, что, в частности, убедительно подтверждается гёделевской незавершенностью аксиоматических систем. Поэтому в качестве несущей обосновательной конструкции предлагается использовать синтез традиционных направлений обоснования математики, который способствует целостному пониманию математики, несводимому к простой сумме свойств составляющих ее элементов, в силу методологической несуммативности целого. Системный подход, который несравненно более абстрактен, чем логическое обоснование математики, призван эксплицировать соответствующие процедуры обоснования.

Методологические презумпции, на которые опирается анализ программ обоснования математики, ограничиваются рядом базовых принципов на основе системно-исторического подхода, метода сравнительного анализа и синергетического подхода. Поэтому неизбежным этапом познания, следующим за реконструкцией истории обоснования математики, выступает компаративистский подход к этой проблеме. С точки зрения компаративистики, философия математики, сравнивая и сопоставляя традиции формализма и интуиционизма в обосновании, стремится выявить скрытые идеи, входящие в различные комбинации известных философско-методологических программ обоснования математики. Философия трансформирует проблему соотношения современной математики и теоретических конструктов ее обоснования в вопросы, понятийное оформление которых, приводит к различным концепциям обоснования.

В контексте ведущей линии развития философской компаративистики, формирование единого пространства философии математики не должно зависеть только от ограниченного фрагмента арифметики. Хотя зависимость формалистской программы Гильберта от чисто философских предпосылок является гораздо меньшей, чем зависимость от них интуиционизма, современная обосновательная философия математики требует принципиально другого, более адекватного анализа, соответствующего реальному развитию направлений математики. Философское применение идеи дополнительности означает, что вопрос об обоснованности математики не должен ставиться в контексте методологических исключений, что представляет новый методологический уровень развития философии математики на основе философско-методологического синтеза [1, 6, 9, 10, 21, 24, 27, 37, 51, 61].

4. Поиски целостности программы обоснования невозможно отделить от феномена многообразия знания, поэтому философы математики вынуждены рассматривать разнообразные пути объединения действующих программ, расширяющих горизонты математики. Среди таких подходов можно выделить дихотомию - редукцию и дополнительность. Если редукция стремится свести все многообразие явлений к одной теоретической схеме, то дополнительность пытается сохранить многообразие при поиске объединяющих оснований, придав им новую философскую интерпретацию. Так, например, философскую экспликацию фрактальной геометрии, как направления постнеклассической математики, в контексте системного подхода к обоснованию, можно гносеологически осуществить на определенных методологических основаниях в составе математической триады “дискретность - фрактальность - непрерывность”.

Пока системный подход в обосновании современной математики не обрел строгой формы методологической системы, эта философская проблема не может рассматриваться в отрыве от общефилософских проблем теории познания. Методологическая идея системного обоснования математической теории состоит в том, чтобы теоретическую констатацию ее гносеологической завершенности связать со свойством ее непротиворечивости. Системный подход опирается непосредственно на качественные признаки обоснования непротиворечивости содержательных аксиоматических систем, которые неприемлемы для логического обоснования. Поэтому новая концепция обоснования современной математики является по сути гносеологической, так как содержит в качестве необходимого компонента как допущение о достоверности используемых в ней методов логического анализа, так и гносеологические предпосылки, определяющие исходный понятийный базис обосновательной процедуры.

Если смягчить доктринерские элементы программы Гильберта, то в теории доказательств потребуются не только результаты о непротиворечивости, но и новые подходы к расширению методологических принципов программ обоснования, способных объяснить естественность различий современных метаматематических исследований. Логическая невозможность обоснования непротиворечивости отдельных математических теорий, в силу гёделевских результатов о неполноте, не означает, что они противоречивы или проявят противоречивость в своем дальнейшем развитии. С прагматической точки зрения, современная математика вполне достаточно, хотя и не абсолютно, по мнению профессиональных математиков, обосновывается своими приложениями, поскольку научное знание тоже имеет свои пределы философско-математического познания. Недооценка механизмов самообоснования математики состоит в неадекватном понимании математических теорий, способных к дальнейшему развитию на пути приобретения корректности понятий и надежности своих практических методов [2, 7, 12, 14, 17, 19, 45, 46, 52, 54].

5. Интеллектуальная история проблемы обоснования математики не начиналась с нуля. История развития современной математики показала, что в методологическом споре интуиционизма и формализма не оказалось победителя, точнее конструктивная и теоретико-множественная математика хорошо дополняют друг друга. Эта бинарная оппозиция есть элементарная структура обоснования, а для синтеза требуется более емкая структура, простейшей из которых является системная триада. Между этими структурами существует преемственность, так как новый подход к решению проблемы обоснования математики не приводит к полному отказу от философских представлений и методологических установок предшествующего этапа, сохраняя критерии и нормы эффективности математического знания. Новая философская концепция проблемы обоснования современной математики характеризуется особым, свойственным лишь ей методологическим основанием, позволяющим исследовать структуру различных математических теорий как саморазвивающихся систем.

Одно из проявлений философской рефлексии состоит в принятии новой организующей идеи или новой интерпретации уже существующих направлений, позволяющих построить более обстоятельную схему для решения проблемы обоснования математики. Разработка философско-методологического синтеза на основе системной триады “формализм - платонизм - интуиционизм”, как нового научного направления в философии математики, выражает реальный процесс движения математического познания от исследования обоснования через части к постижению единства многообразия: его целостности и его множественности. Такой процесс протекает и внутри самой современной математики с учетом определенных отклонений, поскольку некоторые ожидания были частично опровергнуты общей математической практикой.

Исходным пунктом новой концепции обоснования математики стало объединение коннотаций философских основ математических идеализаций и методов логического оперирования с ними, исходя из факта особой достоверности современной математики и неправомерности отождествления ее с опытными науками. Методологическое новшество проведенного исследования состоит в конкретизации философского принципа системности для формальных систем обоснования современной математики. Концептуальное развитие проблемы обоснования современной математики на основе проведенного исследования связано с таким пониманием доминирующего статуса математических моделей реальности, который снимает в рамках математических критериев неоправданные ограничения на программу обоснования. Опираясь на гносеологические критерии, можно также утверждать, что ведущая сила нового тринитарного мышления, преодолевающего традиционный философский монизм и бинаризм, - это реальный результат осмысления совокупного современного математического опыта [1, 16, 18, 20, 23, 25, 34, 39, 42, 48].

Рекомендации по практическому использованию результатов.

Практическая значимость полученных результатов для философии науки состоит в конкретизации категорий системы и синтеза в контексте решения философско-методологической проблемы обоснования современной математики. Если различать математику как науку, и как преподаваемый предмет, то следует отметить, что практика преподавания школьной математики переживает в настоящее время системный кризис, поскольку актуальность и фундаментальность большинства сведений формалистского направления, сообщаемых в школе, находится под вопросом. Поэтому содержание математического образования должно быть изменяемо. В таком контексте важное практическое и теоретическое значение имеют выявленные и обоснованные в диссертации закономерности, раскрывающие эвристический потенциал системного подхода в развитии математики в рамках формалистского и интуиционистского типов мышления, как на стадии формирования нового математического знания, так и на стадии формализации, обоснования и экспликации этого знания.

Результаты проведенного философского исследования используются в научно-исследовательских проектах, реализуемых в Курском государственном университете: “Конструктивность математического знания: от античности до современности” (2008-2010), проект РФФИ № 08-06-00472-а; “Онтологические и гносеологические основы математического знания в направлениях философии математики конца XIX - начала XX столетия” (2008-2010), проект РГНФ № 08-03-00049-а. Материалы диссертационного исследования, раскрывающие принцип системности в обосновании современной математики, могут быть использованы в преподавании математики и написании учебных пособий по основам высшей математики для философских и социально-гуманитарных специальностей, а также в учебном курсе “История и методология математики” для студентов механико-математического факультета БГУ. Философские выводы, полученные в диссертации, в качестве инструмента философско-научного исследования, могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии современной математики. Они используются в преподавательской практике при чтении лекций по базовым курсам “Философия” и “Логика” для учащихся и студентов МГВРК (имеются 2 акта о внедрении).

Основные теоретико-методологические положения этого исследования, связанные с математической проблематикой в истории и философии науки, целесообразно учитывать при подготовке концепций математического образования в Республике Беларусь. Кроме того, их можно использовать в работе методологических семинаров по философии и методологии науки с целью повышения философско-математической грамотности студентов, магистрантов и аспирантов, что отражено в различных научно-методических публикациях на эту актуальную тему [3, 13, 29, 32, 40, 47, 60, 63, 69, 70].

Литература

1. Михайлова, Н.В. Системный синтез программ обоснования современной математики: монография / Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2008. - 332 с.

2. Михайлова, Н.В. Философско-методологические основания постгёделевской математики: монография / Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2009. - 198 с.

3. Михайлова, Н.В. Парадокс Менона в математическом образовании / Н.В. Михайлова // Педагогика. - М., 2001. - № 3. - С. 28-32.

4. Михайлова, Н.В. Рациональное и иррациональное мышление: проблемы философского осмысления / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2002. - № 4. - С. 118-127.

5. Михайлова, Н.В. Эпистемологические проблемы современного математического знания / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куляшова. - 2003. - № 1. - С. 124-129.

6. Михайлова, Н.В. Проблема двойственности науки: вычисление или рассуждение? / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2004. - № 2. - С. 80-88.

7. Михайлова, Н.В. Методология математики до и после программы Гильберта / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куляшова. - 2005. - № 2-3. - С. 110-114.

8. Михайлова, Н.В. Рационализм и иррационализм математического знания в контексте методологии образования / Н.В. Михайлова // Матэматыка: праблемы выкладання. - 2005. - № 3. - С. 3-8.

9. Михайлова, Н.В. Мезомир науки и онтологические основания мате-матики / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куляшова. - 2005. - № 4. - С. 106-112.

10. Михайлова, Н.В. Философские проблемы обоснования научного знания в современной математике / Н.В. Михайлова // Вестник БГУ. Сер. 3. - 2006. - № 1. - С. 49-54.

11. Михайлова, Н.В. Философско-методологические проблемы обоснова-ния математики: к синтезу неформального и формального мышления / Н.В. Ми-хайлова // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 1. - 2006. - № 1. - С. 32-35.

12. Михайлова, Н.В. Гносеологические возможности математики / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2006. - № 2. - С. 26-29.

13. Михайлова, Н. “Мысли без содержания пусты…”: Математический мир и сознание / Н. Михайлова // Беларуская думка. - 2006. - № 5. - С. 95-100.

14. Михайлова, Н.В. Философский анализ методологических концепций Гейзенберга и Гёделя / Н.В. Михайлова // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 1. - 2006. - № 4. - С. 58-61.

15. Михайлова, Н.В. Загадка “непостижимой эффективности математики” и математический платонизм / Н.В. Михайлова // Матэматыка: праблемы выкладання. - 2007. - № 1. - С. 12-18.

16. Михайлова, Н.В. Психологические интенции тринитарного стиля философско-математического мышления / Н.В. Михайлова // Вышэйшая школа. - 2007. - № 2. - С. 38-42.

17. Михайлова, Н.В. Философско-методологическое значение результатов Гёделя и структура математического мышления / Н.В. Михайлова // Вестник БГУ. Сер. 3. - 2007. - № 3. - С. 36-41.

18. Михайлова, Н.В. Теоретическая рефлексия математики в условиях возрастающей сложности науки / Н.В. Михайлова // Веснiк МДУ iмя А.А. Куля-шова. - 2008. - № 1. - С. 161-166.

19. Михайлова, Н.В. Математический платонизм и проблема внутренней непротиворечивости математики / Н.В. Михайлова // Философия науки. - Новосибирск, 2008. - № 1. - С. 80-90.

20. Михайлова, Н.В. Проблема обоснования математики в контексте философской идеи триадичности / Н.В. Михайлова // Вестник БГУ. Сер. 3. - 2008. - № 2. - С. 42-47.

21. Михайлова, Н.В. Философская компаративистика и проблема цело-стности математического знания / Н.В. Михайлова // Философия и социальные науки. - 2008. - № 4. - С. 33-38.

22. Михайлова, Н.В. Философия математики в исторической эволюции направлений развития фундаментальной науки / Н.В. Михайлова // Веснiк Брэсцкага унiверсiтэта. Сер. гум. i грам. навук. - 2008. - № 4. - С. 13-20.

23. Михайлова, Н.В. Системная триада философско-методологических программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Философия науки. - Новосибирск, 2009. - № 1. - С. 104-117.

24. Михайлова, Н.В. Математические структуры и фундаментальная двойственность научного познания / Н.В. Михайлова // Веснiк ГрДУ iмя Янкi Купалы. Сер. 1. - 2009. - № 3. - С. 94-99.

25. Михайлова, Н.В. Методологическая проблема единства философских программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Философия и социаль-ные науки. - 2009. - № 3. - С. 68-72.

26. Михайлова, Н.В. Онтологическая неопределенность в формировании естественного пространства философии математики / Н.В. Михайлова // Чалавек. Грамадства. Свет. - 2009. - № 4. - С. 11-16.

27. Михайлова, Н.В. Тринитарная методология в философском анализе программы обоснования математики / Н.В. Михайлова // Веснiк Брэсцкага унiверсiтэта. Сер. 1. - 2010. - № 2. - С. 36-43.

28. Михайлова, Н.В. Методологические проблемы теоретической математики: три философских аспекта / Н.В. Михайлова // Учебное знание как основа порождения культурных форм в университетском образовании: материалы научно-практ. конф., Минск, 14-15 ноября 2000 г. / ЦПРО БГУ; под ред. М.А. Гусаковского. - Минск: Пропилеи, 2001. - С. 243-254.

29. Михайлова, Н.В. Картезианское понимание науки и конструктивная роль естественнонаучного образования / Н.В. Михайлова // Идея университета: парадоксы самоописания: материалы третьей Междунар. научно-практ. конф., Минск, 29-30 апреля 2002 г. / ЦПРО БГУ; под ред. М.А. Гусаковского, А.А. Полонникова. - Минск: БГУ, 2002. - С. 76-80.

30. Михайлова, Н.В. Стандарты строгости математических рассуждений и проблема вычислительной сложности / Н.В. Михайлова // Образовательные технологии в подготовке специалистов: сборник научных статей: в 5 ч. / МГВРК. - Минск, 2003. - Ч. 4. - С. 64-70.

31. Михайлова, Н.В. Метод дополнительности и философский анализ современной математики / Н.В. Михайлова // Многоступенчатое университет-ское образование: от эффективного преподавания к эффективному учению: материалы четвертой Междунар. научно-практ. конф., Минск, 15-16 мая 2003 г. / ЦПРО БГУ. - Минск: Пропилеи, 2003. - С. 281-287.

32. Михайлова, Н.В. Дуализм методологического подхода Гёделя и реалистические традиции математического образования / Н.В. Михайлова // Инженерно-педагогическое образование: проблемы и пути развития: сборник научных статей: в 2 ч. / МГВРК; под общ. ред. Н.А. Цырельчука. - Минск, 2004. - Ч. 2. - С. 179-184.

33. Михайлова, Н.В. О границе между интуитивным и формальным: иллюзия методологической целостности / Н.В. Михайлова // Философы ХХ века: Хосе Ортега-и-Гассет: материалы Респ. чтений - 9, Минск, 28 января 2004 г. / РИВШ БГУ; редкол.: Я.С. Яскевич [и др.]. - Минск, 2004. - С. 56-59.

34. Михайлова, Н.В. Тринитарный подход к оценочным суждениям о природе математического знания / Н.В. Михайлова // Актуальные проблемы радиоэлектроники: научные исследования, подготовка кадров: сборник научных статей: в 3 ч. / МГВРК; под общ. ред. Н.А. Цырельчука. - Минск, 2005. - Ч. 3. - С. 239-244.

35. Михайлова, Н.В. Постнеклассическое знание и методологические проблемы компьютерной математики / Н.В. Михайлова // Философы ХХ века: Вячеслав Степин: материалы Респ. чтений - 10, Минск, 18 ноября 2004 г. / РИВШ; редкол.: Я.С. Яскевич [и др.]. - Минск, 2005. - С. 95-97.

36. Михайлова, Н.В. Проблема рационального конструирования фундаментальных математических структур / Н.В. Михайлова // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей / КГУ; редкол.: В.Т. Мануйлов (отв. ред.) [и др.]. - Курск, 2005. - Вып. 4. - С. 43-55.

37. Михайлова, Н.В. Синтетичность математических истин и постгёде-левские проблемы математики / Н.В. Михайлова // Проблема свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе: материалы Всероссийской науч. конф., Курск, 16-17 мая 2006 г. / КГУ. - Курск, 2006. - С. 387-391.

38. Михайлова, Н.В. “Умеренный скептический платонизм” в системной триаде программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей / КГУ; редкол.: В.Т. Мануйлов (отв. ред.) [и др.]. - Курск, 2006. - Вып. 6. - С. 63-76.

39. Михайлова, Н.В. Синтезирующая триадическая структура программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Третьи Курдюмовские чтения “Идеи синергетики в естественных науках”: материалы Междунар. междисцип-линарной научной конф., Тверь, 19-21 апреля 2007 г. / ТГУ. - Тверь, 2007. - С. 355-359.

40. Михайлова, Н.В. Философский и социальный аспекты инженерного образования / Н.В. Михайлова // Современная радиоэлектроника: научные исследования и подготовка кадров: сборник материалов: в 4 ч. / МГВРК; под общ. ред. Н.А. Цырельчука. - Минск, 2007. - Ч. 4. - С. 186-190.

41. Михайлова, Н.В. Системный анализ как методологический подход в истории обоснования математики / Н.В. Михайлова // Леонард Эйлер и современная наука: материалы Междунар. конф., Санкт-Петербург, 14-17 мая 2007 г. / Санкт-Петербургский научный центр РАН; редкол.: Л.И. Брилевская [и др.]. - СПб., 2007. - С. 440-445.

42. Михайлова, Н.В. Проблема целостности познания в контексте рациональной сущности математического знания / Н.В. Михайлова // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей / КГУ; ред-кол.: В.Т. Мануйлов (отв. ред.) [и др.]. - Курск, 2007. - Вып. 8. - С. 83-94.

43. Михайлова, Н.В. Теоретико-числовые и алгоритмические проблемы философии постгёделевской математики / Н.В. Михайлова // Проблемы онтогносеологического обоснования математических и естественных наук: сборник статей / КГУ; редкол.: Е.И. Арепьев (гл. ред.) [и др.]. - Курск, 2008. - С. 99-117.

44. Михайлова, Н.В. Структурализм и математическая двойственность: границы математического познания / Н.В. Михайлова // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей / КГУ; редкол.: В.Т. Мануйлов (отв. ред.) [и др.]. - Курск, 2008. - Вып. 10. - С. 73-95.

45. Михайлова, Н.В. Основания математики как предмет философско-методологической рефлексии / Н.В. Михайлова // Проблемы онтогносеологического обоснования математических и естественных наук: сборник статей / КГУ; редкол.: Е.И. Арепьев (гл. ред.) [и др.]. - Курск, 2009. - Вып. 2. - С. 104-111.

46. Михайлова, Н.В. Финитизация бесконечного в современной неклассической математике / Н.В. Михайлова // Проблема конструктивности научного и философского знания: сборник статей / КГУ; редкол.: В.Т. Мануйлов (отв. ред.) [и др.]. - Курск, 2009. - Вып. 12. - С. 111-132.

47. Михайлова, Н.В. Философско-математические традиции обоснования в контексте инженерно-технического образования / Н.В. Михайлова // Якiсна освiта XXI столiття: проблеми i пошуки: збiрнiк матерiалiв Всеукр. науково-методич. конф., 14 березня 2009 р.: у 2 т. / ДонНУ. - Донецьк, 2009. - Т. 1. - С. 86-94.

48. Михайлова, Н.В. Тринитарный подход к проблеме обоснования: мировоззренческая идея Роджера Пенроуза / Н.В. Михайлова // Информационно-образовательные и воспитательные стратегии в современном обществе: национальный и глобальный контекст: материалы Междунар. науч. конф., Минск, 12-13 ноября 2009 г. / Институт философии НАН Беларуси; редкол.: Т.И. Аду-ло [и др.]. - Минск: Право и экономика, 2010. - С. 148-151.

49. Михайлова, Н.В. Философско-методологические программы интуиционизма и формализма в математике / Н.В. Михайлова // Великие преобразователи естествознания: Жорес Алфёров: тезисы докладов XX юбилейных Междунар. чтений, Минск, 24-25 ноября 2004 г. / БГУИР; редкол.: И.Ф. Габ-русь [и др.]. - Минск, 2004. - С. 158-161.

50. Михайлова, Н.В. Фундаментальные двойственности математического знания и философско-методологический синтез / Н.В. Михайлова // Понтрягинские чтения - XVI: тезисы докладов XIX Воронежской весенней математической школы “Современные методы в теории краевых задач”, Воронеж, 2-9 мая 2005 г. / ВГУ, МГУ, ИМ РАН. - Воронеж, 2005. - С. 109-110.

51. Михайлова, Н.В. Проблема понимания математического знания: Кан-тор - Витгенштейн - Гёдель / Н.В. Михайлова // Современные проблемы преподавания математики и информатики: материалы Междунар. научной конф., посвящ. 100-летию академика С.М. Никольского, Москва, 4-8 мая 2005 г.: в 2 ч. / МГУ. - М., 2005. - Ч. 1. - С. 136-137.

52. Михайлова, Н.В. Системный анализ математических концепций и теорий обоснования / Н.В. Михайлова // Понтрягинские чтения - XVII: тезисы докладов юбилейной XX Воронежской весенней математической школы “Современные методы в теории краевых задач”, Воронеж, 3-9 мая 2006 г. / ВГУ, МГУ, ИМ РАН. - Воронеж, 2006. - С. 115-116.

53. Михайлова, Н.В. Принцип неполноты знания и проблема обоснования математики / Н.В. Михайлова // Еругинские чтения - XI: тезисы докладов Междунар. математической конф., Гомель, 24-26 мая 2006 г. / Институт математики НАН Беларуси. - Минск, 2006. - С. 166-167.

54. Михайлова, Н.В. Макс Планк и природа эффективности математики / Н.В. Михайлова // Великие преобразователи естествознания: Макс Планк: тезисы докладов XXI Междунар. чтений, Минск, 23-24 ноября 2006 г. / БГУИР; редкол.: И.Ф. Габрусь [и др.]. - Минск, 2006. - С. 191-194.

55. Михайлова, Н.В. Метафизические аспекты обоснования и проблема переусложненности математики / Н.В. Михайлова // Понтрягинские чтения - XVIII: тезисы докладов XXI Воронежской весенней математической школы “Современные методы в теории краевых задач”, Воронеж, 3-9 мая 2007 г. / ВГУ, МГУ, ИМ РАН. - Воронеж, 2007. - С. 115-116.

56. Михайлова, Н.В. Историко-методологическая проблема единства программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов III Междунар. конф., посвящ. 85-летию чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва, 25-28 марта 2008 г. / МФТИ. - М., 2008. - С. 507-508.

57. Михайлова, Н.В. Платонистская компонента системной триады программ обоснования математики / Н.В. Михайлова // Понтрягинские чтения - XIX: тезисы докладов XXII Воронежской весенней математической школы “Современные методы в теории краевых задач”, Воронеж, 3-9 мая 2008 г. / ВГУ, МГУ, ИМ РАН. - Воронеж, 2008. - С. 145-147.

58. Михайлова, Н.В. “Аргумент Беркли” в контексте методологического обоснования математического знания / Н.В. Михайлова // Университетское образование: опыт тысячелетия, проблемы, перспективы развития: тезисы докладов II Междунар. конгресса, Минск, 14-16 мая 2008 г.: в 2 т. / МГЛУ; редкол.: Р.С. Пионова (отв. ред.) [и др.]. - Минск, 2008. - Т. 2. - С. 70-71.

59. Михайлова, Н.В. Проблема целостности философских программ обоснования современной математики / Н.В. Михайлова // XII Междунар. научная конф. им. академика М. Кравчука: материалы конференции, Киев, 15-17 мая 2008 г.: в 2 т. / НТУУ “КПИ”. - Киев, 2008. - Т. 2. - С. 270.

60. Михайлова, Н.В. Образовательная функция философско-методологических исследований по математике / Н.В. Михайлова // Х Белорусская математическая конференция: тезисы докладов Междунар. конф., Минск, 3-7 ноября 2008 г.: в 5 ч. / Институт математики НАН Беларуси. - Минск, 2008. - Ч. 1. - С. 144-145.

61. Михайлова, Н.В. Философско-методологический синтез в рациональном обосновании современной математики / Н.В. Михайлова // Мировоззренческие и философско-методологические основания инновационного развития современного общества: Беларусь, регион, мир: материалы Междунар. научной конф., Минск, 5-6 ноября 2008 г. / Институт философии НАН Беларуси. - Минск: Право и экономика, 2008. - С. 147-149.

62. Михайлова, Н.В. Компаративистская методология в философско-математическом познании // Великие преобразователи естествознания: Игорь Курчатов: тезисы докладов XXII Междунар. чтений, Минск, 27-28 ноября 2008 г. / БГУИР; редкол.: И.Ф. Габрусь [и др.]. - Минск, 2008. - С. 143-144.

63. Михайлова, Н.В. Эффективность “работающей математики”: философские подходы к обоснованию / Н.В. Михайлова // Понтрягинские чтения - XX: тезисы докладов XXIII Воронежской весенней математической школы “Современные методы в теории краевых задач”, Воронеж, 3-9 мая 2009 г. / ВГУ, МГУ, ИМ РАН. - Воронеж, 2009. - С. 126-127.

64. Михайлова, Н.В. Рациональная сущность платонистской компоненты в системной триаде обоснования / Н.В. Михайлова // Философия и рациональность в культуре глобализирующегося мира: материалы Междунар. науч. конф., Минск, 22-23 октября 2009 г. / БГУ; редкол.: А.И. Зеленков [и др.]. - Минск, 2009. - С. 162-164.

65. Михайлова, Н.В. Историческая эволюция философских представлений о единстве современного математического знания / Н.В. Михайлова // Довгирдовские чтения - 1: эпистемология и философия науки: материалы Междунар. науч. конф., Минск, 14 мая 2010 г. / Институт философии НАН Беларуси; редкол.: Т.И. Адуло [и др.]. - Минск: Право и экономика, 2010. - С. 155-158.

66. Михайлова, Н.В. Основы математической статистики и теории вероятностей: учеб. программа, метод. указания и контрол. задания / Н.В. Михайлова, И.В. Ахрамович. - Минск: МГВРК, 2006. - 32 с.

67. Михайлова, Н.В. Функции многих переменных / Н.В. Михайлова // Математика в примерах и задачах: учеб. пособие: в 6 ч. Ч. 3 / Л.И. Майсеня [и др.]; под общ. ред. Л.И. Майсеня. - Минск, 2007. - Гл. 18. - С. 224-278.

68. Михайлова, Н.В. Дифференциальные уравнения / Н.В. Михайлова // Математика в примерах и задачах: учеб. пособие: в 6 ч. Ч. 4 / Л.И. Майсеня [и др.]; под общ. ред. Л.И. Майсеня. - Минск, 2007. - Гл. 22. - С. 163-245.

69. Михайлова, Н.В. Философия: учебная программа, методические указания и контрольные задания для учащихся безотрывной формы обучения / И.А. Гуща, Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2008. - 20 с.

70. Михайлова, Н.В. Логика: практикум для студентов специальности 1-08 01 01 - “Профессиональное обучение” и учащихся специальностей 2-40 01 01 - «Программное обеспечение информационных технологий», 2-40 02 02 - «Электронные вычислительные средства», 2-41 01 31 - «Микроэлектроника» / Н.В. Михайлова. - Минск: МГВРК, 2010. - 80 с.

Размещено на Allbest.ru