Психодидактическая задача обеспечения понимания в процессе обучения геометрии в ВУЗе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Психодидактическая задача обеспечения понимания в процессе обучения геометрии в ВУЗе

Л.В. Жук

В статье актуализируется проблема перехода к сущностной модели обучения в области высшего математического образования, учитывающей психологические закономерности развития личности. В русле социокультурной концепции Н.Г. Подаевой рассматривается психодидактическая задача обеспечения понимания в процессе обучения геометрии в вузе. Понимание представлено как механизм обеспечения социокультурной коммуникации, реализуемый на трех уровнях - осознание, осмысление и обобщение. Описывается методическая схема организации учебно-познавательной деятельности студентов в области геометрии, включающая мотивационный, пространственный, логический, интуитивный компоненты коммуникации.

Ключевые слова: сущностная модель подготовки выпускника вуза, базовая способность понимания, психодидактические задачи обучения геометрии, ценностная ориентация, социокультурная коммуникация.J

PSYCHO-DIDACTIC TASK OF PROVIDING UNDERSTANDING IN THE PROCESS OF TEACHING GEOMETRY AT UNIVERSITY

V. Zhuk

The article updates the problem of transition to the essential model of education in the field of higher mathematical education, taking into account the psychological patterns of personality development. The psycho-didactic task of providing understanding in the process of teaching geometry at university is viewed in the mainstream of the socio-cultural concept of N.G. Podaeva. Understanding is presented as a mechanism for ensuring socio-cultural communication that is realized at three levels - awareness, comprehension and generalization. The author describes the methodical scheme of the organization of educational and cognitive activity of students in the field of geometry, including motivational, spatial, logical and intuitive components of communication.

Key words: the essential model of graduate training, psycho-didactic problems of teaching geometry, basic ability of understanding, value orientation, socio-cultural communication.

Zhuk Larisa V. - PhD in Pedagogy; associate professor at the Department of Applied Mathematics and Informatics of the Institute of Mathematics, Natural Science and Technology, Bunin Yelets State University

В настоящее время в России наметилась тенденция к трансформации системы высшего образования: меняются цели, задачи, подходы к разработке содержания и методики обучения, к организации контроля его качества. Необходимость указанных изменений во многом обусловлена несоответствием традиционной парадигмы образования современным требованиям к профессионализму и конкурентоспособности выпускников отечественных вузов. Результаты международных сравнительных исследований (TIMSS, PISA, TEDS) показывают недостаточный уровень компетентности наших студентов: учащиеся не готовы к свободному использованию полученных знаний в реальной жизни, не обладают способностью выходить за рамки стандартных учебных ситуаций, комплексно решать проблемы - анализировать, находить альтернативы, критически оценивать принимаемые решения, четко представлять их в словесной форме.

Инициаторы процесса модернизации отечественного высшего образования видят возможности преодоления сложившейся ситуации в переходе от предметно-центрической модели подготовки выпускников, ориентированной на овладение знаниями, умениями, навыками в рамках заданной квалификационной характеристики, к новой, сущностной модели, в основе которой лежат компетентностный подход и психодидактические закономерности развития личности [8, с. 11]. В сущностной модели обучения акцент смещается на формирование профессиональной компетентности - совокупности социально-значимых качеств выпускника вуза, позволяющих применять знания в нестандартных ситуациях, выполнять широкий набор функций в условиях реальной трудовой деятельности. Важнейшими из этих качеств являются способности к поиску информации, критическому анализу, осмыслению, пониманию содержания учебного материала, к самостоятельному и творческому мышлению.

Особую актуальность обращение к сущностной модели обучения приобретает в области высшего математического образования. Абстрактность математических дисциплин обусловливает чрезвычайно короткий период перехода от эмпирического мышления к теоретическому, усвоение знаний идет преимущественно через диалектическое восхождение от абстрактного к конкретному. Поэтому именно для математического образования возрастает значение психолого-дидактического подхода к конструированию процесса обучения, в частности, к реализации педагогических технологий, ориентированных на формирование у студентов базовой способности понимания [3, с. 18].

В этой связи целесообразным становится обращение к социокультурной концепции математического образования, рассматривающей понимание, усвоение и применение учебного материала как важнейшие психолого-педагогические задачи, образующие систему поэтапного формирования деятельности обучающихся по освоению математических знаний, умений и культурных способностей [7]. В русле данной концепции рассмотрим основные психологические закономерности понимания и представим методику их реализации в процессе обучения геометрии в вузе.

Термин «понимание» в психологии в широком смысле обозначает универсальную характеристику интеллектуальной деятельности человека, являющуюся атрибутом любого уровня познания и общения (А.А. Смирнов, А.А. Бодалев). В нашем исследовании будем придерживаться более узкой интерпретации понимания как одной из функций мышления, обеспечивающей раскрытие существенного в предметах и явлениях, осознание связей и отношений, постижение смыла и значения на основе связывания понимаемого с уже известным из прошлого опыта (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, В.В. Знаков).

Методология понимания опирается на такие категории, как «смысл» и «значение». Анализируя связь между ними, Д.А. Леонтьев говорит о значении как составляющей смысла, конституируемой ситуацией коммуникации, показывает первичность смысла по отношению к значению [5, с. 164]. А.Н. Леонтьев и С.Л. Рубинштейн отмечают, что «смыслы» - это факторы, порождающие индивидуальное бытие личности в мире, а «значения» - факторы, приобщающие личность к опыту человечества [4, с. 168]. В настоящее время в философской и психолого-педагогической литературе все активнее обсуждается понятие ценностно-смысловой сферы личности, выступающей центральным звеном в структуре ее внутреннего мира, являющейся производной от деятельности и определяющейся раскрытием всех видов связей между мотивами, установками, личностными смыслами и поступками [2].

В социокультурной концепции математического образования понимание представлено как компонент акта коммуникации в ситуации учения-обучения [6, с. 99], связанный с переживанием учащимся ценностных позиций и обеспечиваемый трансляцией не только математической информации, но и ее значения или смысла с помощью предметно-символьных систем. Ценностная ориентация как исходный этап динамики познавательной деятельности в области математики состоит в поиске смысла математических объектов, выявлении связей идей, заложенных в фундаментальных понятиях и формировании на этой основе внутренней мотивации к освоению знаний, умений, культурных базовых способностей. Коммуникация (трансляция ценности) выступает звеном обратной связи в структуре познавательной деятельности, механизмом осуществления коммуникации является обучение, ориентированное на понимание.

Структура социокультурной коммуникации применительно к обучению геометрии включает пространственный, логический и интуитивный компоненты, связь между которыми обусловлена законами психофизиологии. Известно, что процесс решения человеком познавательных задач базируется на диалектическом единстве двух сигнальных систем [1]. Первая система обеспечивает наглядно-содержательный аспект обучения, используя механизмы симультанного мышления - образование ассоциаций, «схватывание» внешней среды как целого, ее образное восприятие на неосознаваемом уровне. Подобное невербальное образное мышление представлено в правом полушарии головного мозга, способном интегрировать многочисленные связи между объектами окружающего мира, оперируя цельными образами. Вторая сигнальная система представляет собой видимую сторону процесса познания, обеспечивая вербализацию мыслей, последовательную обработку информации, раскрытие логико-знакового контекста и построение формализованной модели мира. За вербальное поведение и логическое мышление отвечает левое полушарие. Процесс познания осуществляется при тесном взаимодействии обеих систем.

Авторами социокультурной концепции математического образования установлена связь между компонентами социокультурной коммуникации и уровнями понимания - осознанием, осмыслением и обобщением [6]. Характеристики этой связи выступают показателями сформированности способности понимания в области геометрии (табл. 1).

На этапе осознания происходит формирование представлений о воспринимаемом объекте путем отнесения его к определенной группе, классу объектов. Устанавливаются первичные, в значительной мере обобщенные, связи и отношения между новым и ранее изученным. Критерием осознанности является сформированное «неявное знание», раскрывающееся в таких показателях, как умение устанавливать соответствие между словом и образом, дифференцировать объем и содержание понятия, аргументировать действия, рефлектировать и осознавать содержание учебного предмета как цель своей деятельности.

На этапе осмысления раскрываются существенные признаки и качества объекта познания. При этом происходит отвлечение от конкретного объекта и выполнение логико-мыслительных операций: сравнение изучаемого объекта с уже известными, анализ и мысленное выделение отдельных признаков с отвлечением от остальных (абстрагирование), синтез, классификация. Критерием осмысленности выступает сформированное «явное знание», к показателям которого следует отнести умения оперировать пространственным образом, устанавливать взаимосвязи между понятиями, выполнять задания с неполным составом условий, предполагающие ориентировку на существенные признаки, выявлять ценностное содержание материала, его социальное и практическое значение, анализировать процесс деятельности.

Связь между компонентами социокультурной коммуникации и уровнями понимания

Этап обобщения характеризуется переходом от единичного к общему путем выделения общих существенных признаков изучаемых объектов. Это более высокая по сравнению с осмыслением ступень абстрагирования от конкретного, момент перехода от уяснения смысла к определению понятия. Оперирование понятиями на данном этапе приводит к установлению связей между ними и формированию суждений. Далее сопоставление суждений ведет к умозаключениям, самостоятельным выводам и доказательствам. Показателями обобщенности выступают умения ориентироваться в пространстве, самостоятельно выделять признаки понятий, обнаруживать общность различных понятий, применять логическую часть действия в обобщенном виде.

В трудах Н.Г. Подаевой и М.В. Подаева разработана технология коммуникации-трансляции при обучении геометрии младших подростков [6]. В рамках данной статьи представлена методическая схема организации учебно-познавательной деятельности студентов - будущих бакалавров педагогического образования, обеспечивающая формирование выделенных компонентов социокультурной коммуникации и тем самым развитие способности понимания.

Мотивация изучения геометрического материала. Первый этап динамики познавательной деятельности в области математики состоит в формировании внутренней мотивации, главным рычагом которой является интерес к содержанию и процессу учения. Значительная роль на данном этапе отводится организации смыслопоисковой деятельности студентов, позволяющей включить новые знания в эмоционально-ценностный опыт и смысловую сферу личности.

Важным условием развития интереса является историчность, реализуемая посредством культурно-исторического дискурса - вовлечения в процесс изучения геометрии сведений об объектах, входящих в культурно-историческую зону. Содержание обучения представляется в контексте мировой культуры и ориентировано на формирование ценностного отношения к геометрии, на овладение знаниями о геометрической картине мира. Например, студентам будет интересно узнать, что линии второго порядка - эллипс, парабола и гипербола - были получены сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Открывателем конических сечений считается Менехм (IV в. до н.э.), использовавший параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба. В свою очередь, Аполлоний Пергский (ок. 260-170 гг. до н.э.) в знаменитом трактате «Конические сечения», варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения, ему мы обязаны и современными их названиями.

Побуждение предполагает соединение ценностной ориентации с внешней необходимостью в мотиве. Объективными предпосылками данного этапа являются межпредметность и прикладная направленность, обеспечивающие установление содержательной и методологической связи курса геометрии с наукой и практикой. Важно добиваться понимания будущими бакалаврами того, что геометрический взгляд на мир пронизывает всю современную математику. Так, геометрические идеи в теории обыкновенных дифференциальных уравнений привели к созданию теории динамических систем; в теории уравнений в частных производных - к микролокальному анализу; в вариационном исчислении - к теории геодезических потоков. Современная физика также теснейшим образом связана с геометрией: классическая механика использует язык и методы римановой геометрии, в квантовой механике используется комплексная геометрия и геометрия гильбертовых пространств. Геометрические образы издавна использовались в изобразительном искусстве и архитектуре (Л. да Винчи, А. Дюрер, Ж. Дезарг, Г. Монж и др.). Сейчас геометрия перспективы и начертательная геометрия - стандартные инструменты художников, архитекторов и дизайнеров. 3D-технологии, в основе которых лежат проективная и вычислительная геометрия, все чаще используются в кино и телевидении, поднимая их на новую ступень развития.

Важно показывать, как те или иные задачи практики решаются средствами геометрии, формировать у студентов умение видеть математические закономерности в повседневной практике. Например, при изучении одной из трансцендентых кривых - цепной линии - мы отмечаем, что подобную форму принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Перевернутая цепная линия - идеальная форма для арок, поскольку такая арка испытывает только деформации сжатия, а не излома. Или при знакомстве с конформными отображениями сообщаем, что возникновение данного понятия связано с запросами математической картографии - учения о способах изображения на плоскости всей или части земной поверхности. Стереографическая проекция была применена Птолемеем в его «Географии». Но особенно важное значение имела карта мира, опубликованная в 1569 г. фламандским ученым Герхардом Кремером. Предложенная им математически обоснованная проекция поныне служит для составления морских карт. Конформные отображения широко применяются в кристаллографии, а также для решения геологических задач: определения углов падения и простирания пластов, ориентации горных выработок, наклонных буровых скважин и т.д.

Пространственный компонент коммуникации. Согласно законам психологии, познание геометрического пространства на любом этапе обучения организуется через перцептивную деятельность, т.е. требует создания и оперирования образами, в которых отражены форма объекта, его расположение в пространстве, взаимное расположение элементов. Проблема сложившейся практики обучения геометрии состоит в чрезмерной формализации и логической строгости изложения материала, оторванности от наглядной содержательности геометрических образов. Изучаемая теория вследствие такого подхода превращается в совокупность определений, теорем и формул. Например, раздел «Линии второго порядка» традиционно начинается с изучения эллипса (рис. 1). В большинстве учебников и учебных пособий параграф начинается с определения: «Эллипсом называется множество точек у на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между F1 и F2». Далее выбирается декартова система координат, выводится каноническое уравнение эллипса, по которому выясняются его свойства.

Рис. 1. Определение эллипса

Создание образа восприятия. Для решения задачи понимания необходим учет асимметричности полушарий мозга и разработка методики обучения, основанной на взаимодополнительности образного и логического компонентов мышления. Появление новых для учащихся терминов необходимо сопровождать соответствующими ассоциативными образами, производя так называемую «знаковую натурализацию геометрических понятий» [9]. Наглядная интерпретация сложных аналитических рассуждений способствует преодолению высокого уровня абстрактности геометрической информации.

Создание образа восприятия осуществляется посредством предметных действий с фигурами: вычерчивания, конструирования, представления в виде материального макета или трехмерной компьютерной модели. При таком подходе знакомство с той же линией второго порядка - эллипсом - мы начинаем с динамической визуализации процедуры его получения (вычерчивания), которая позволяет выявить основное свойство точек фигуры:

|MFj | + |MF2| = const и |MFj | + |MF2| > |F1F2|.

Широкие возможности для создания образов восприятия дают современные компьютерные математические системы. Метод компьютерного моделирования позволяет реализовать принцип взаимодополнительности аналитического и синтетического способов представления геометрического материала. Так, решая задачу по теме «Сопровождающий трехгранник кривой» в пакете Matematica, студенты выполняют построение заданных геометрических объектов и наблюдают их взаимное расположение с помощью функции вращения «RealTime3D».

Формирование обобщенного представления. На данном этапе происходит преодоление знаковой натурализации геометрических понятий - денатурализация. Формируются топологические представления об изучаемом геометрическом объекте, осваиваются различные способы оперирования им, выделяются основные свойства изучаемого понятия. Исследование геометрического объекта проводится по его математической модели в зависимости от изменения ее внешних (положение относительно центра проектирования и плоскости изображений) и внутренних (инварианты ортогональных преобразований) характеристик. На рис. 2-5 представлен процесс исследования в системе Matematica геометрических свойств линии Кассини в зависимости от значений входящих в ее уравнение параметров:

(х 2 + у 2) - 2с 2(х 2 - у 2) = а 4 - с 4.

1) а < с. Линия построена при а = 0,7с, а = 0,85с. Видно, что в данном случае она представляет собой пару обособленных овалов.

2) а = с. Линия Кассини преобразуется в кривую, называемую лемнискатой Бернулли.

3) с < а < сур2. Линия Кассини приобретает четыре симметрично расположенные точки перегиба.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Таким образом, методическая схема развития пространственного компонента коммуникации учитывает характерную для онтогенеза личности последовательность формирования представлений. Сначала геометрический объект рассматривается как абстрактное целое, как часть пространства (топологические представления, опирающиеся на деятельность образных компонентов мышления - размерность, непрерывность, связность и др.). Далее объект конкретизируется через выяснение его формы (проективные представления) и размеров (метрические представления, выражающие количественную природу пространства - метрика, кривизна, кручение, эйлерова характеристика и др.).

Рис. 5

Логический компонент коммуникации. Подключение логического компонента мышления в области геометрии способствует выделению метрических свойств изучаемого объекта, а также установлению связей между его топологическими и метрическими свойствами. На основе выделенных существенных свойств формулируется определение геометрического понятия. Далее оно закрепляется в процессе решения задач различного уровня сложности, выявляются его связи с другими понятиями.

Важным условием реализации логического компонента коммуникации является обучение, основанное на принципе проблемности, при котором усвоение знаний и начальный этап формирования навыковпроисходят в процессе относительно самостоятельного решения студентами системы задач-проблем, протекающего под общим руководством преподавателя.

В ходе проблемного обучения геометрии нами применяются следующие приемы.

Создание проблемных ситуаций - постановка познавательных задач, побуждение учащихся к анализу фактов (сравнению, противопоставлению, обобщению), выдвижению гипотез. Так, на занятии по дифференциальной геометрии, посвященном линейчатым поверхностям, перед студентами ставится проблема: «Показать, что геликоид является линейчатой поверхностью». Форма этой поверхности (рис. 6) и ее параметрические уравнения

учащимся знакомы, однако теперь нужно представить геликоид как поверхность, порождаемую движущейся в пространстве прямой линией (образующей) и определяемую векторным уравнением где r - радиус-вектор точки М на поверхности, r) - радиус-вектор направляющей, l(s)) - единичный вектор образующей, s - длина дуги направляющей линии, отсчитываемая от некоторого начала.

Рис. 6. Геликоид

Организация диалога, коллективного обсуждения возможных подходов к разрешению проблемной ситуации. Например, найти эволюту эллипса, заданного параметрическими уравнениями:

Одной группе студентов мы предлагаем решить эту задачу с использованием векторного уравнения эволюты: Данный способ приводит к эллиптическому интегралу вида

не выражающемуся в элементарных функциях. Вторая группа студентов решает задачу на основе параметрических уравнений эволюты

и довольно быстро получает результат - астроиду. В ходе коллективного обсуждения второй способ решения признается более рациональным. обучение математическое образование

Метод проблемного изложения учебного материала, при котором преподаватель размышляет, доказывает, обобщает, анализирует факты и ведет за собой мышление студентов, способствуя его активизации. Так, при знакомстве с гиперболой мы считаем необходимым обсудить с учащимися тот факт, что «школьная» гипербола y = k/x является ее частным случаем. С этой целью мы предлагаем повернуть гиперболу y = k/x на угол п/4, воспользовавшись формулами поворота

Выразив x и y через x' иy

и подставив в уравнение y = k/x, получаем уравнение равносторонней гиперболы:

Проблемная или эвристическая беседа - постановка перед студентами ряда вопросов, отвечая на которые они высказывают предположения и пытаются самостоятельно доказывать их справедливость, осуществляя тем самым самостоятельное продвижение в усвоении новых знаний. В ходе эвристической беседы такие предположения касаются лишь одного из элементов новой темы, а во время проблемно-поисковой беседы учащиеся разрешают серию проблемных ситуаций.

Проблемно-поисковые самостоятельные работы. Учащиеся по заданию преподавателя выполняют определенные виды действий, подводящих к усвоению новых знаний, либо выполняют упражнения, углубляющие уже имеющиеся знания. Один из вариантов самостоятельной работы: «Показать, что эволюта плоской линии является огибающей семейства ее нормалей и вывести параметрические уравнения». Для ее выполнения студентам необходимо самостоятельно составить и реализовать следующий план:

показать, что касательная к эволюте совпадает с нормалью к линии;

составить уравнение семейства нормалей к линии;

найти огибающую этого семейства.

Настоящая статья посвящена проблеме реализации культурно-ценностного подхода в системе высшего образования. Конкретизацией общеметодологических оснований и предметно-сущностного содержания образования выступает концепция социокультурного обучения математике, обеспечивающая формирование у обучающихся базовых способностей мышления, воображения, коммуникации, рефлексии, дающих возможность эффективно действовать в социальной среде. В данной работе представлены элементы технологии социокультурного обучения геометрии будущих бакалавров педагогического образования, направленной на развитие базовой способности понимания посредством поэтапного решения психодидактических задач осознания, осмысления, обобщения. Излагается методика организации учебно-познавательной деятельности студентов, ориентированная на формирование мотивационного, пространственного и логического компонентов социокультурной коммуникации. Содержащиеся в статье материалы могут быть внедрены в практику работы вузовских преподавателей геометрии, а также учителей профильных математических классов.

Библиографический список

Анохин П.К. Очерки по физиологии функциональных систем. М., 1975.

Брейтигам Э.К. Достижение понимания, проектирование и реализация процессного подхода к обеспечению качества личностно развивающего обучения: Монография. Барнаул, 2011.

Земляков А.Н. Психодидактические аспекты углубленного изучения мате¬матики в старших классах общеобразовательной средней школы // Мате¬матика. 2005. № 6. С. 17-21.

Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения: В 2-х т. Т. 1.

Леонтьев Д.А. Психология смысла: природа, строение и динамика смысло¬вой реальности. М., 2003.

Подаева Н.Г., Подаев М.В. Обновление содержания школьного математи¬ческого образования: социокультурный подход: Монография. СПб., 2014.

Подаева Н.Г. Социокультурная концепция математического образования. Елец, 2012.

Сенашенко В.С. О некоторых проблемах развития и функционирования высшей школы России // Материалы выездного заседания научно-мето¬дического совета по математике Министерства образования и науки РФ, посвященные конкурсу «Лучшее учебное издание по математике». Елец, 2010. С. 10-27.

Устиловская А.А. Психологические механизмы преодоления знаковой натурализации идеального содержания геометрических понятий: Дис. ... канд. психол. наук. М., 2008.

Жук Лариса Викторовна - кандидат педагогических наук; доцент кафедры прикладной математики и информатики Института математики, естествознания и техники, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Размещено на Allbest.ru