Пропедевтика изучения рациональных чисел в курсе математики начальной школы

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символомкоторый называют бесконечной десятичной дробью.

Например, существует отрезок длина которого выражается рациональным числом .

Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: = 5,666….

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби, которые могут быть как периодическими, так и непериодическими.

Однако существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСО выражается несократимой дробью Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство

Из него следует, что т2 = 2n2. Значит, т2 - четное число, тогда и число т - четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, т = 2 р. Заменив в равенстве т2 = 2n2 число т на 2 р, получаем, что Отсюда следует, что n2 четно, следовательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими. Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа через процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так, , - это иррациональное числа. Иррациональными являются также и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом I+

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+ Таким образом, При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке.

Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел нужны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняются по правилам, известным нам из школьного курса математики.

В данном параграфе были уточнены следующие понятия, известные из школьного курса математики:

- дробь (правильная и неправильная);

- равные дроби;

- несократимая дробь;

- положительное рациональное число;

- равенство положительных рациональных чисел;

- смешанная дробь;

- бесконечная периодическая десятичная дробь;

- бесконечная непериодическая десятичная дробь;

- иррациональное число;

- действительное число.

Анализ теоретической литературы показал, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и оно лежит в основе определения понятия положительного рационального числа. Была определена связь сложения и умножения положительных рациональных чисел с измерением длин отрезков и получены формулы для нахождения их суммы и произведения.

Мы доказали, что множество положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

Изучив различные теоретические источники [4,5,21,48], мы выяснили, что любое положительное рациональное число представимо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.

2. Методические аспекты формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы

2.1 Методика формирования понятия доли и дроби в курсе математики начальной школы

Темы «Доли» и «Дроби» традиционно присутствовали во всех учебниках по математике для начальных классов. В прежних вариантах учебников тема «Доли» рассматривалась во 2 классе системы 1-3 и в 3 классе системы 1-4. Учащиеся знакомились с понятием доли (дроби вида ) и дроби (правильной дроби, в которой числитель меньше знаменателя), учились сравнивать дроби с опорой на предметную модель и решать два вида задач с дробями: нахождение дроби от числа и нахождение числа по его дроби.

На сегодня в соответствии с «Обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы» [17] объем изучения данной темы значительно сократился в учебниках традиционной содержательной ориентации (учебники М.И. Моро и др., учебники Н.Б. Истоминой). В то же время эта тема значительно расширена в вариативных учебниках системы Л.В. Занкова, системы В.В. Давыдова и «Школы 2100». В этих методических школах расширение объема знакомства с дробями обусловлено стремлением авторов сформировать у ребенка более общее представление о числе. Поскольку сформировать хоть в какой-то мере обобщенное представление об объекте возможно только в процессе произведения умственных операций над данным объектом (сравнение его с объектами другого рода, выделение сходства и различия, проведение аналогий и др.), необходимо иметь для организации данной умственной деятельности хотя бы два вида объектов. Знакомство младших школьников только с натуральными числами не позволяет проводить такую работу. Дроби не являются натуральными числами (поскольку не являются целыми) - это числа рациональные. Не ввода в словарь ребенка эти термины, можно тем не менее организовать работу по сопоставлению этих двух видов чисел и знакомству с некоторыми сходными операциями с этими числами (соотнесение с предметной моделью, запись, сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями и т.п.).

В последней редакции традиционного учебника математики понятие «Доля целого» рассматривается в 4 классе (часть 1) и некоторые сведения о дробях даются на последних страницах учебника для 4 класса (часть 2). Задания на нахождение дроби от числа и нахождения числа по данному значению его дроби встречаются в тексте учебных пособий несколько раз.

Понятие дроби связано с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе, однако, практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно всегда рассматривалось в начальной школе, с множеством чисел фактически не связывается.

Дробь в классической методической трактовке курса математики для начальных классов - это способ получения части объекта, при этом искомая часть необходимо удовлетворяет ряду специальных требований.

В математике рассматривается два подхода к определению понятия дроби - аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический - на основе измерения длин отрезков.

По определению дробь - это число вида , где m и n - целые числа, причем n не равно 0.

Далее определяется ряд операций для чисел этого вида (что понимать под сложением и вычитанием дробей, что понимать под умножением и делением дробей, какую дробь считать большей, а какую - меньшей) и ряд свойств, которыми обладают дроби (например, основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится).

Такой подход отражен в учебниках для 5 - 6 классов, что позволяет говорить о возможности формирования понятия дроби как числа.

В учебниках математики для начальных классов отражен другой подход к определению понятия рационального числа (дроби) - через измерение длины отрезка. Для описания результата этого процесса используют дробь.

Суть процесса состоит в следующем: если удается разделить некоторый объект А (например, отрезок) на b равных частей (т.е. взятую мерку b уложить по длине отрезка без остатка) и взять с таких частей, то, результат этой операции можно выразить так:

Получена часть объекта А. При этом не рассматривается как самостоятельное число, а только как « - ая часть объекта А».

Например, для ученика начальных классов фактически не имеет смысла символ сам по себе, так как непонятно, что именно разделено на 4 равные части. В то же время словосочетание « часть яблока» имеет смысл: из него ребенку ясно, что яблоко было разделено на 4 равные части и взята 1 часть.

Таким образом, программой начальных классов не предусмотрено формирование понятия дроби как числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей). Все эти действия считаются подготовкой к знакомству с дробями в 5 - 6 классе. Данный подход к формированию представлений о долях и дробях реализован во всех альтернативных учебниках математики для начальных классов.

Методическая проблема знакомства ребенка с дробями состоит в выборе учителем целесообразного множества исходных объектов и практических операций, которые ученик будет выполнять над ними. Понятие дроби будет отождествляться с результатом этой операции. Термин «целесообразное множество» подразумевает, что множество выбранных объектов должно делиться нацело, иначе нельзя воплотить требование «равные части», при этом в случае геометрической фигуры можно иметь в виду и равновеликие части, например:

Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции:

1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок;

2) сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок;

3) находить «дробь от числа» (делением объекта или множества на равные части);

4) восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция).

Все эти умения формируются на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.

Словом «доля» в 3 классе [17; 259] называют дробь вида . Долю получают делением объекта на несколько равных частей.

Запись вида подразумевает, что объект разделили на две или четыре равных части и взяли одну из них. Запись такого вида в последней редакции учебника математики для 3 класса (2001) не рассматривается.

Детям сообщается словесное название полученной части: одна двенадцатая доля, одна шестая доля…

Используя рисунок круга, разделенного на несколько равных частей дети сравнивают доли, обозначая результат сравнения словом (а не знаком).

Например:

Назови, какие доли круга получились на каждом чертеже. Сравни, какая доля больше: одна восьмая или одна четвертая; одна третья или одна шестая.

Далее в учебнике сразу предлагаются задания на нахождение доли величины и величины по ее доле, сформулированные в виде задач.

Приведем пример задания на нахождение доли величины [17; 260]:

Длина ленты 9 дм. Отрезали одну треть этой ленты. Сколько дециметров ленты отрезали?

Выполнение:

Данное задание является типовой задачей на нахождение доли величины. Смысл задания соответствует процессу нахождения доли объекта. Для иллюстрации этого смысла дети чертят в тетради отрезок длиной 9 дм (модель заданного в задаче объекта). Повторяют способ действия для получения одной третьей части (доли) объекта: разделим отрезок на три равные части. Запись 9 дм: 3 = 3 дм. Затем выполняют операцию разделения на отрезке и измеряют полученную третью часть (проверка).

Приведем пример задания (задачи) на нахождение числа по его доле [17; 261]:

Длина одной третьей части отрезка равна 4 см. Узнай длину всего отрезка.

Выполнение:

Данная задача является обратной по отношению к приведенной выше.

Для построения модели ситуации данной задачи следует рассуждать так. Нарисуем произвольный отрезок. Его длину мы не знаем. Обозначим ее знаком вопроса:

В задаче дана длина одной третьей части отрезка - разделим его на три равные части (приблизительно, поскольку это лишь рабочий рисунок к задаче) и подпишем над одной частью ее длину:

Поскольку все три части отрезка равные, значит, каждая из них должна иметь длину 4 см. Тогда длина всего отрезка 4 см · 3 = 12 см.

Далее в учебнике 3 класса (часть 2) встречаются задания этого же вида, в которых нужно найти доли (части) различных величин.

Например:

1) Квадратный лист бумаги со стороной 2 дм разрезали на пять равных частей прямоугольной формы. Найди площадь одной части.

Решение:

Задачу решают практическим способом, поскольку способы вычисления площади по формуле дети узнают в 4 классе.

2) В начальных классах школы учится 210 человек. Одну третью часть всех учеников составляют третьеклассники. Сколько детей учится в первых и вторых классах этой школы?

Решение:

Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так. Чтобы найти одну третью часть от всего количества детей, разделим его на 3:

На всех остальных детей приходится две части, значит

70 · 2 = 140 (чел.).

Или по другому: все остальные дети учатся в 1 и 2 классе, значит,

210 - 70 = 140 (чел.).

3) За полгода в районную библиотеку поступило 200 книг для детей. Это составляет четвертую часть всех поступивших книг. Сколько всего книг поступило в библиотеку за эти полгода?

Решение:

Задачу решают, сопровождая ее наглядным изображением ситуации. Рассуждают так:

Обозначим произвольным отрезком все поступившие книги - мы не знаем сколько их:

Известна четвертая часть всех книг - разделим отрезок на 4 равные части (приблизительно) и обозначим известную часть.

Поскольку все четыре части равны, значит, на каждую из них должно приходиться по 200 книг, значит,

200 · 4 = 800 (кн.) - поступило в библиотеку.

В 4 классе ставится задача нахождения нескольких долей целого. Например:

1) Длина отрезка 10 см. Он разделен на 5 равных частей. Сколько сантиметров в четырех пятых долях этого отрезка? Рассмотри чертеж и решение:



1) Найдем, сколько сантиметров в одной пятой доле отрезка:

10 см: 5 = 2 см.

2) Найдем, сколько сантиметров в четырех пятых долях отрезка:

2 см · 4 = 8 см.

Ответ: 8 см.

Работа над данным понятием идет исключительно в словесных обозначениях: детям сообщается термин и дается его практическая иллюстрация. Символьное обозначение дроби на данном этапе не рассматривается.

Далее предлагаются различные задания (в виде задач на нахождение нескольких долей числа) аналогичного характера.

Например:

Начерти отрезок длиной 60 мм. Раздели его на 6 равных частей. Сколько миллиметров в пяти шестых долях этого отрезка?

В данном случае речь идет только о пяти долях из шести имеющихся, но не о дроби .

Знакомство с символикой и операция сравнения дробей рассматривается на последних страницах учебника математики для 4 класса (часть 2) [17; 263].

Рассматривается способ записи дроби: .

Правильный способ чтения этой записи и смысл каждого ее элемента: число, записанное под чертой, показывает, на сколько равных частей разделено целое число; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей.

Слова «числитель» и «знаменатель» детям не сообщаются.

Сравнение дробей проводится с опорой на рисунок. Следует обращать внимание на то, что необходимо сравнивать соизмеримые части одного объекта, поскольку для ученика начальной школы дроби - это только части объекта или множества.

Например:

Отвечая на вопросы, ученики сравнивают соответствующие части равных полосок (для наглядности их можно закрасить разными цветами).

Рассуждения:

Сравниваю одну восьмую долю полоски и одну четвертую долю такой же полоски. Одна четвертая доля больше, чем одна восьмая доля одной и той же полоски.

Задания, требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.

Доля - это одна из нескольких равных частей величины.

Например:

1) 6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?

Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 · 2 = 12 (листов).

2) Маленькая перемена длится 5 минут, что составляет четвертую часть большой перемены. Сколько минут длится большая перемена?

Рассуждение:

Четвертых частей может быть только 4. Если в каждой из них по 5 минут, то вся перемена 5 · 4 = 20 (мин).

3) Чему равна треть суток? Половина суток? Четверть часа? Три четверти года?

Для ответов на все вопросы используют смысл понятия доля (несколько долей) величины и знание соотношения единиц времени.

Сутки - это 24 часа.

Треть суток 24: 3 = 8 (ч). Половина суток 24: 2 = 12 (ч).

Час - это 60 мин. Четверть часа 60: 4 = 15 (мин).

Год - это 12 месяцев. Четверть года 12: 4 = 3 (мес).

Три четверти года 3 · 3 = 9 (мес).

4) Начерти отрезок, длина которого 48 мм. Чему равна длина третьей части отрезка?

Рассуждение:

Третьих частей в отрезке может быть только три.

48 мм: 3 = 16 мм - длина одной третьей части.

5) Начерти отрезок, пятая часть которого равна 17 мм.

Рассуждение:

Пятых частей в отрезке может быть только 5. Если каждая из них равна 17 мм, то весь отрезок 17 мм · 5 = 85 мм.

В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т.е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т.п., по специальным правилам, как это делается в 5 - 6 классах средней школы).

Результаты действий с дробями учащиеся усваивают как результаты операций над объектами, данными в предметной модели или рисунке.

Рассуждения:

Одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски - вместе две четвертых доли полоски.

Одна четвертая доля полоски и еще две таких же доли, вместе получается три четвертых доли полоски.

Следует отметить, что с точки зрения введенного определения дроби, как части объекта, числа, множества, является некорректной работа с неправильными дробями.

Неправильная дробь - это дробь, у которой числитель больше,

чем знаменатель, например: и т.п.

В ряде альтернативных учебников (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон) представлены задания, в которых учащиеся должны действовать с неправильными дробями: сравнивать их, расставлять по возрастанию или убыванию и т.п.

А.В. Белошистая считает, что для того чтобы подобные задания были корректными, следует использовать другое определение дроби (как рационального числа, заданного соответственным определением; см. выше), как это сделано в учебниках средней школы [17].

С точки зрения используемого в начальной школе определения выражение вида - не имеет смысла, поскольку оно должно пониматься так: некий предмет (яблоко, полоску) разделили на 4 равные части, а затем взяли 7 таких частей. Речь идет об одном предмете, поэтому взять 7 частей неоткуда!

Даже если речь идет о множестве: «в классе 36 детей», то одна четвертая доля этого количества равна 9 детям, а - долей должны соответствовать количеству 64 человека при том, что изначально их было 32!

Таким образом, при ознакомлении учащихся начальной школы с неправильными дробями следует по-другому построить методику их знакомства с понятием «Дроби» (сделать это на основе аксиоматического определения) и не использовать понятие «Доли» вообще [17].

2.2 Формирование понятия доли и дроби в вариативных программах обучения математики

В соответствии с программой по математике, в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в 3-4 классах. Это значит, в начальных классах надо создать конкретное представление о доле и дроби. С этой целью предусматривается в 3 классе (Программа Моро М.И.) ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 4 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби, научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.

Ознакомить детей с долями - значит сформировать у них конкретные представления о долях, т.е. научить детей образовывать доли практически.

Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть.

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; интерактивные тренажеры, презентации.

Л.Г. Петерсон предлагает организовать ознакомление учащихся с долями следующим образом.

У каждого из учащихся и у учителя по несколько одинаковых кругов, прямоугольников. Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части (показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2). Покажите их. Возьмите квадрат. Как получить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.

Учащиеся могут сделать это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали и получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части (рис. 4)



Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4

Как получить одну вторую долю круга (разделить круг на две равные части и взять одну такую часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата? (половина - «-, - «-) Сколько половин круга в целом круге (2)?

Доли записывают с помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.

Учащиеся записывают на половине круга 1/2 и объясняют, что показывает в этой записи каждое число.

Так же образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски и т.п.) надо данный отрезок (прямоугольник, полоску и т.п.) разделить на 5 равных частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.

Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей (рис. 5) Назовите и запишите, какая доля квадрата (круга) отрезана (закрашена).



Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5

Можно предлагать самим детям изобразить долю отрезка и записать эту долю.

В каждом случае надо спрашивать, сколько всего долей в целом. Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и т.п.

Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.

Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2 и поставить знак «>», «<».

Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков (рис. 6). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6

Решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе.

Во 2 классе рассматривается только простые задачи, а в третьем классе они включаются в составные.

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с использованием наглядных пособий.

Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили дробь - три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.

Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа.

Для сравнения дробей Л.Г. Петерсон предлагает пользоваться иллюстрациями с равными прямоугольниками (рис. 7). Учащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник. Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.



1
1/2	1/2
1/4	1/4	1/4	1/4
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

Рис. 7

Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?

Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на рисунок.

Предлагаются вопросы на сравнение дробей:

1. Вставьте пропущенный знак» > «, «< «или «=«

3/8*3/4; 4/5*1; 4/8*1/2;

2. Подбираете такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:

5/10=*/2; 3/8>*/4; 1/2<*/4

Выполняя такие и подобные упражнения, учащиеся прибегают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками, или изображают дроби с помощью, например отрезков.

Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение дроби числа. Решение этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий.

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ на протяжении всего учебного года.

В программе Л.Г. Петерсон [42] в 4 классе 20 часов отводится на раздел «Общие понятия», где предполагается знакомство учащихся с долями, дробями, процентами.

С целью расширения математического кругозора учащихся при изучении темы «Доли» вводятся термины: дробь, числитель и знаменатель, рассматривается образование, чтение, запись и сравнение дробей с числителем больше единицы.

Для формирования представления о дроби, используются решения текстовых задач. Первой учащимся можно предложить задачу: «Два брата разделили между собой поровну 6 яблок. Сколько яблок досталось каждому брату?»

Ученики самостоятельно записывают решение задачи: (6:2=3) и дают ответ на ее вопрос, объясняя выбор арифметического действия. Далее предлагается следующая задача: «Два брата разделили между собой одно яблоко поровну. Сколько яблок досталось каждому брату?»

Учитель берет одно яблоко и просит разделить его между братьями поровну. Как поступить в данном случае? Ученики предлагают разрезать яблоко на две равные части. Учитель разрезает яблоко, показывает одну из равных частей и спрашивает: «Как можно назвать эту часть яблока (половина)?». Почему (яблоко разрезали пополам)? Кто догадался, как можно по-другому назвать половину (одна вторая)? Докажите (яблоко разделили на две равные части и взяли одну из частей).

Учитель показывает вторую часть яблока и предлагает учащимся назвать ее.

Вспомните вопрос задачи и ответьте на него (каждому брату досталась половина или одна вторая яблока). Одна вторая - это дробное число. Оно записывается так -1/2. Запишите решение задачи.

На доске оформляется запись: 1:2=1/2.

Далее поясняется, что в записи дроби 1/2 число, которое стоит под чертой, показывает, насколько равных частей делят предмет. Это число называется знаменателем дроби. Число, которое стоит над чертой, показывает, сколько таких частей взято. Это число называется числителем дроби.

Затем, для решения предлагается задача:

«Три брата разделили между собой три яблока поровну. Сколько досталось яблок каждому брату?» Учащиеся самостоятельно записывают решение этой задачи, формулируют ответ на ее вопрос, выясняют значение числителя и знаменателя дроби одна третья.

Что бы научить детей сравнивать дроби (доли) на основе наглядности, можно использовать учебное задание с элементами самоконтроля, которое предлагает Л.Г. Петерсон.

На доске расположены шесть карточек, на которых изображены одинаковые квадраты, разделенные на равные части различным образом. Квадраты расположены в следующем порядке:

К В А К Л Ю

Учитель задает вопросы: Какие фигуры изображены? Что общего у всех этих квадратов? Просит учащихся разбить эти квадраты на группы и объяснить, по какому признаку они это сделали.

На доске получилась иллюстрация:

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учитель предлагает:

Рассмотрите первую пару квадратов и скажите, какая часть каждого квадрата заштрихована? Покажите 1/2 часть первого квадрата. Обозначьте дробью. Что обозначает знаменатель этой дроби? Что означает числитель этой дроби? Покажите 1/2 другого квадрата. Обозначьте дробью. Сравните заштрихованные части этих квадратов. Запишите числовое равенство.

Учитель показывает как правильно оформить запись 1/2 = 1/2

Аналогичная работа проводиться с остальными парами квадратов.

Затем квадраты расставляются в такой последовательности:

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

К А В К Ю Л

Ученикам предлагается поменять местами карточки, на которых изображены равные дроби. Если задание будет выполнено правильно, они прочитают слово К Л Ю К В А - ответ к загадке:

Когда весною талые сойдут с болот снега

Она как бусы алые усеет берега

Данное задание ученики выполняют с интересом. Повышенную активность, даже у слабых учеников, вызывает вторая часть задания.

Для формирования умения сравнивать дроби, предлагаются учебные задания с элементами занимательности и самоконтроля.

Приведем одно из заданий:

На доске прикреплены модели кругов, разрезанные на две, на восемь, на шесть, на четыре, на три равные части.

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Работа проходит следующим образом:

Какие геометрические фигуры перед вами? Что общего у всех этих кругов? Посмотрите на первый круг слева. Насколько равных частей они разделены? Покажите заштрихованную часть круга. Какая это часть круга? Запишите соответствующую дробь под этим кругом. На сколько равных частей разделен следующий круг? Покажите заштрихованную часть круга. Какая это часть? Запишите соответствующую дробь под кругом. Что означает знаменатель этой дроби, что означает числитель этой дроби?

Аналогичная работа проводится с другими кругами.

Далее предлагается таблица:

1/6	1/2	1/3	1/8	1/4
И	К	А	Н	Г

Используя эту таблицу, учащиеся заменяют дроби буквами и отгадывают загадку: «Не куст, а с листочками, не рубашка, а сшита, не человек, а говорит».

(КНИГА)

Затем на доске делается запись:

1/2 и 1/8 1/4 и 1/8 1/3 и 1/8 1/3 и 1/6 1/2 и 1/6 1/4 и 1/6 1/3 и 1/4

1/8 и 1/2 1/8 и 1/4 1/8 и 1/3 1/6 и 1/3 1/6 и 1/2 1/6 и 1/4 1/4 и 1/3

Используя в качестве наглядности круги, требуется поставить вместо и соответствующие знаки сравнения. Учащиеся выполняют это задание самостоятельно, а затем проводят проверку у доски.

Чтобы ввести дроби с числителем больше единицы, предлагаем решить следующую задачу:

«Мама к чаю подала торт, разрезанный на 10 равных кусков. Брат съел 2 куска торта, а сестра один кусок. Какую часть торта съел брат? Какую часть торта съела сестра?»

Для решения этой задачи используем наглядный материал - круг, разделенный на 10 равных частей.



Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Размещено на http://www.allbest.ru/

Работа над задачей проходит так: На сколько равных частей мама разделила торт? Сколько торта съела сестра? Покажите на рисунке.

Какую часть торта составляет один кусок? Кто может записать соответствующую дробь? Сколько кусков торта съел брат? Покажите на рисунке. Какую часть торта составляют два куска? Кто сможет записать дробь две десятых?

Этот вопрос сначала вызывает затруднение. Однако поразмыслив, многие приходят к верному выводу и записывают: 2/10.

- Назовите знаменатель этой дроби. Объясните, что он означает. Назовите числитель этой дроби. Объясните его значение. Затем учащиеся выполняют сравнение дробей с опорой на наглядность и записывают соответствующие неравенства:

1/10<2/10, 2/10>1/10

Кому из детей досталось больше торта? А кому меньше? Сколько всего кусков торта съели дети? Покажите на рисунке. Какую часть торта составляют три куска? Запишите дробь. Объясните значение числителя и знаменателя этой дроби.

Выполнение этого задания, вызывает интерес даже у малоактивных детей. В работе принимают участие все ученики класса.

Далее ведется работа по изучению тем «Нахождение доли числа» и «Нахождение числа по доле». Обе эти темы вводятся одновременно. Причем, первой решалась задача, в которой требовалось по доле найти число. Затем предлагается составить обратную задачу, т.е. найти долю числа.

Деятельность учащихся должна быть организована следующим образом: Вначале учащимся предлагается задача: «Береза прожила 50 лет, что составляет одну пятую продолжительности ее жизни. Какая продолжительность жизни березы?».

На доске дана модель этой задачи. Дети, используя модель рассуждают так: «Одна пятая часть составляет 50 лет, а в целом пять таких частей. Можно узнать продолжительность жизни березы, для этого надо 50 умножить на 5». Под моделью выполняется запись: 50*5=250

Дети дают ответ на вопрос задачи.

Учитель предлагает составить задачу, обратную данной. Ученики быстро и правильно справляются с этим заданием: «Продолжительность жизни березы 250 лет. Она прожила 1/5 своей жизни. Сколько лет прожила береза?».

Составленную задачу ученики решают самостоятельно, используя модель, данную к первой задаче. Получив ответ, они убеждаются в правильности решения исходной задачи.

Рассмотренные задания, используемые при изучении темы «Доли» способствуют формированию понятия дробь, числитель, знаменатель, а также образованию, чтению, записи и сравнению дробей с числителем больше единицы, а следовательно имеют пропедевтическое значение для усвоения понятия рационального числа на дальнейших этапах изучения математики. Применение нестандартных учебных заданий при изучении темы способствует активизации деятельности и интереса учащихся по изучаемому материалу.

В программе Аргинской И.И. [42] расширение понятия числа происходит за счёт знакомства с дробными, а также целыми положительными и отрицательными числами.

Основными направлениями работы с ними являются осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел, выделение детьми таких ситуаций в окружающем мире, относительность их использования как в жизни, так и в математике.

На изучение чисел в 3 классе отводится 40 часов. По теме «Дробные числа» изучаются следующие темы:

Рассмотрение ситуаций, приводящих к появлению дробных чисел, дроби вокруг нас. Понятие дроби как доли целого. Запись дробных чисел. Числитель и знаменатель дроби, их математический смысл с точки зрения рассматриваемой интерпретации дробных чисел. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями и разными знаменателями. Сравнение дроби с единицей. Установление соотношения между числителем и знаменателем дроби, когда она меньше единицы, равна единице, больше единицы. Знакомство со смешанными числами. Расположение дробных и смешанных чисел на числовом луче[42].

Таким образом, анализ программ по математике для начальной школы показал, что в начальной школе существуют реальные возможности для формирования понятия доли и дроби в 3-4 классах.

2.3 Дидактическое обеспечение уроков математики в 4 классе по формированию понятия доли и дроби

Опытно-практическая работа проводилась в 4 «Б» классе МОУ Борисоглебской СОШ №11, учитель Энгель О.А.

На констатирующем этапе эксперимента учащимся была предложена самостоятельная работа с целью: выявить умения учащихся выполнять действия с дробными числами.

Сравните.

а); б); в) ; г) ;

д); е); ж); з).

Карточка №1

1.У Коли было 11 яблок. 7 яблок он отдал Мише. Какую часть яблок он отдал Маше?

а) б) в) г)

2. Площадь поля 20 га. Тракторист вспахал часть всего поля. Сколько гектаров вспахал тракторист?

а) 80; б) 5; в) 4; г) 16.

3. Турист прошел 6 км, что составляет всего пути. Какое расстояние должен пройти турист?

а) 2 км; б) 18 км; в) 3 км; г) 15 км.

4. В классе 24 ученика. всех учащихся класса составляют девочки. Сколько девочек в классе?

а) 64; б) 8; в) 12; г) 9.

5. На полке 35 учебников, это всех книг. Сколько книг на полке?

а) 25; б) 49; в) 7; г) 5.

6.

а) да; б) нет; в) сравнить нельзя.

Карточка №2

1. Из 10 задач ученик решил 7. Какую часть всех задач решил ученик?

а) б) в) г)

2. У Буратино было 10 золотых. своих денег он отдал коту Базилио. Сколько золотых получил кот Базилио?

а) 2; б) 50; в) 5; г) 8.

3. Среди цветных карандашей было 7 синих, что составляет всего количества карандашей. Сколько всего цветных карандашей?

а) 21; б) 3; в) 15; г) 18.

4. В сквере 35 деревьев. всех деревьев составляют липы. Сколько лип в сквере?

а) 5; б) 25; в) 49; г) 7.

5. В классе 15 мальчиков, что составляет всех учеников класса. Сколько учеников в классе?

а) 9; б) 30; в) 25; г) 20.

6.

а) да; б) нет; в) сравнить нельзя.

5. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1. Из числа 42 вычтите числа 40.

2. Ученики решили отремонтировать36 парт. За неделю они отремонтировали всего количества. Сколько парт им осталось отремонтировать?

3. Тетради в клетку составляют купленных тетрадей. Сколько всего куплено тетрадей, если среди них было 9 тетрадей в клетку?

Вариант 2

1. Из числа 56 вычтите числа 45.

2. В корзине было 54 яблок. Миша съел всех яблок. Сколько яблок осталось в корзине?

3. На долю первого звена хоккейной команды пришлосьвсех заброшенных в игре шайб. Сколько всего шайб забросила команда, если первое звено забросило 8 шайб?

ответы

В-1 В-2

1. 19 1. 24

2. 12 2. 42

3. 24 3. 12

См. приложение1.

Сравнительная характеристика уровня успешности при выполнении заданий, составленных на этапе констатирующего эксперимента, отражена на диаграмме.

Полученные результаты констатирующего эксперимента свидетельствует о том, что знания учащихся двух классов находятся на одном уровне.

Цель формирующего этапа эксперимента: разработать и апробировать систему уроков математики для начальной школы, направленных на формирование понятия доли и дроби.

На этапе формирующего эксперимента нашей разработали систему уроков математики для начальной школы, направленных на формирование понятия доли и дроби.

Конспект урока математики для 4 класса по теме «Дроби вокруг нас. Запись дробей». УМК «Школа России».

Цели: Организация деятельности учащихся по:

1) Созданию ситуации, позволяющей осознать учащимися, что записать ответ задачи натуральным числом не всегда возможно, что позволит сделать естественный переход к знакомству с дробными числами; активизации опыта учащихся по использованию дробных чисел в жизни; продолжению формирования навыка использования изученных вычислительных алгоритмов для решения уравнений;

2) Развитию логического мышления через решение логических задач;

3) Воспитанию активности, аккуратности, самостоятельности.

Оборудование: карточки, слайды «Мышки и сыр», «Математический диктант», индивидуальные доски, маркеры, тряпочки, бумажные гуси, бумажный пирог.