Уравнения и неравенства в курсе математики основной школы

Размещено на http: //www. allbest. ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Курсовая работа

по дисциплине « Методика обучения и воспитания(математика) »

Направление подготовки - 44.03.01 Педагогическое образование

Профиль подготовки - Математика

на тему «Уравнения и неравенства в курсе математики основной школы»

Выполнил студент: Тенишева А.А.

Группа: 133ФПМ51

Руководитель: Родионов М.А.

2018

Содержание

Введение

1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики

2. Основные этапы изучения понятия уравнений в основной школе

3. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и неравенств. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Очевидно, этой ролью уравнений и неравенств в естествознании определяется и их роль в школьном курсе математики. При изучении любой темы уравнения и неравенства могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития.

Данная тема выбрана не случайно, уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, и именно поэтом тема « Изучение уравнений и неравенств» является одной из центральных. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Исходя из вышесказанного, выбирая тему работы, можно руководствоваться ее значимостью и сложностью при обучении учащихся решению уравнений и неравенств разного вида.

Цель:

1) изучить научно-методическую литературу, касающуюся изучению уравнений и неравенств;

2) рассмотреть основные методы и приемы решения различных уравнений и неравенств;

3) проанализировать школьные программы и выделить в них место уравнений и неравенств.

1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики

неравенство координата алгебра математика

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Это можно проиллюстрировать, выделив главные области возникновения и функционирования понятия «уравнение» как:

* средства решения текстовых задач;

* особого рода формулы, служащей в алгебре объектом изучения;

* формулы, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Названным областям соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры.

1. Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Данный аспект линии уравнений и неравенств во многом обеспечивает мотивацию изучения школьного курса математики в целом. При решении текстовых задач ведущим аппаратом является математическое моделирование, а одним из средств построения модели и решения ситуации в ее рамках - уравнения, неравенства и их системы.

2. Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах:

* выделение и изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств и систем;

* изучение обобщенных понятий, относящихся ко всей линии в целом, что позволяет сформировать обобщенный аппарат теории (выделить общие понятия линии: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следствие, система и совокупность уравнений; общие и частные методы решения).

3. Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией, причем эта связь - двусторонняя (идея последовательного расширения числовой системы).

Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. Методы, разработанные в теории уравнений и неравенств, применимы к исследованию функций (элементарные методы исследования функций с целью построения графика). Аппарат линии функции (график и графические представления) привлекается к исследованию уравнений, неравенств и их систем.

Также следует отметить связь рассматриваемой линии с теорией тождественных преобразований. Последняя приобретает новое содержание и смысл при изучении равносильных преобразований уравнений и неравенств. В свою очередь, владение содержанием линии уравнений и неравенств позволяет расширить список выполнимых преобразований. Так, умение решать квадратные уравнения позволяет осуществлять сокращение дробей, в числителе или знаменателе которых имеется квадратный трехчлен.

Решение уравнений и неравенств способствует развитию мышления, исследовательских способностей, сообразительности, находчивости, настойчивости и т.д. Решение задач методом уравнений является одним из эффективных способов осуществления межпредметных связей.

В виду большой важности и обширности материала, связанного с уравнением и неравенством, его изучение организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь вводятся понятия уравнений и неравенств, теоремы о равносильностях не доказывается, их содержание разъясняется на конкретных примерах. Рассматриваются алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений, приемы решения некоторых уравнений высших степеней (разложение на множители, метод замены), приемы решения дробно-рациональных уравнения, простейших иррациональных уравнений, линейных неравенств и их систем, а также неравенств второй степени. Учащиеся знакомятся с применением метода интервалов для решения некоторых неравенств (высших степеней и дробно-рациональных). Правомерного применения приемов решения уравнений и неравенств различных видов разъясняется на конкретных примерах. При рассмотрении уравнений с двумя переменными и их систем используется геометрическая интерпретация. Обращение к геометрическим образам является важным шагом в реализации взаимосвязи курсов алгебры и геометрии. Особое внимание уделяется системам линейных уравнений с двумя переменными. Для их решения используются способ подстановки, сложения, графический способ. Рассматриваются системы двух уравнений второй степени с двумя переменными. Выделяются системы составленные из одного уравнения второй степени, а другого первой степени. Подчеркивается, что такую систему всегда можно решить способом подстановки.

Приобретенные навыки в решении уравнений, неравенств и систем находят в применении при решении текстовых задач, что позволяет убедить учащегося в значимости их алгебраических знаний.

В 10-11 классах сведения об уравнениях и неравенствах, полученные учащимися в основной школе, углубляются и систематизируются. Рассматривается круг решаемых уравнений и неравенств: тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные и дифференциальные уравнения. В виду большой сложности теория дифференциальных уравнений в школьном обучении представлена лишь своими начальными сведениями, которые не образуют связного целого, а относятся к конкретным прикладным вопросам.

Изучение уравнений и неравенств в первую очередь направлено на то, чтобы научить школьников составлять уравнения, системы уравнений по условию задачи. Учащиеся должны овладеть приемами и способами решения основных видов уравнений.

2. Основные этапы изучения понятия уравнений в основной школе

В школьном курсе математики учащиеся сталкиваются с понятием уравнения на протяжении всего обучения. В зависимости от класса меняется как способ решения уравнения, так и его обоснование. Впервые с уравнением учащиеся встречаются в начальной школе. Уравнения решаются подбором или с использованием правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. С 5 класса начинается систематическое изучение уравнений. Изучение уравнений в 5-6 классах имеет ряд отличительных особенностей: с одной стороны они рассматриваются как самостоятельные понятия, с другой стороны - используются как служебные единицы для решения текстовых задач и формирования вычислительных навыков.

Метод введения понятия - конкретно-индуктивный.

Этапы введения понятия	Реализация этапов
Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность данного понятия.	В учебнике Н.Я. Виленкина введение понятия уравнение начинается с задачи: На одной чашке весов находится арбуз и гиря в 6кг., а на другой - гиря в 15 кг. Весы находятся в равновесии. Найти массу арбуза.
Выявление существенных и несущественных признаков данного понятия, введение термина.	Математическая модель ситуации задачи: х + 6 = 15 Существенные признаки: равенство, содержит переменную Несущественные: в какой части стоит переменная, какой буквой обозначается.
Формулируется определение.	Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия.	Задания типа: Какие из выражений являются уравнениями: «2 + 3 = 5; 2 + х = 8; 5>3; а+8; 5в-3=2 и т.д.?»

В 5-м классе уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе - основной способ решения - на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Поэтому в 5-м классе рассматриваются 6 простейших видов уравнений:

а + х = в; а - х = в; х - а = в; х*а = в; х : а = в; а : х = в .

Образец рассуждений при решении уравнения (7 + х) - 15 = 21 (5 кл.)

1. Неизвестная буква входит в уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое необходимо к разности прибавить вычитаемое:

7 + х = 21 + 15;

7 + х = 36.

2. Теперь неизвестное входит в слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 36 - 7; х = 29.

С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом числовом множестве: (8,5 -у) * 7,2 = 37,44 и др. После упрощения выражений вида 5х + 7х на основе распределительного закона решаются уравнения, в которых требуются такие преобразования: (27х - 16х) : 11 = 3 и др. При решении таких уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований.

В процессе работы над понятиями «уравнение», «корень уравнения» полезно включать задания творческого характера. Например: «составить уравнение, корнем которого было бы число 5» или «какое число можно подставить в уравнение 2х + * = 15 вместо *, чтобы число 6 было его корнем?»

В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Неизвестное может находиться в обеих частях уравнения. Появляются уравнения с модулем.

Для обоснования возможности переноса членов уравнения из одной части в другую используются свойство противоположных чисел (а + (-а) = 0) и весы: На левой чаше весов лежат арбуз и гиря в 6 кг, а на правой - 15кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза? Математическая модель ситуации: х + 6 = 15. Чтобы найти массу арбуза, снимем с левой чаши весов гирю в 6 кг, а чтобы не нарушать равновесия, необходимо снять 6 кг и с правой чашки: х + 6 - 6 = 15 - 6, то есть х = 15 - 6. Можно сказать, что мы слагаемое 6 перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Воспользоваться весами для решения уравнения х - 5 = 9 уже нельзя. Воспользуемся свойством противоположных чисел: х-5 +5=9 + 5... .Затем рассматриваем уравнение 5х = 2х + 6 . Решаем аналогично. После этого формулируется правило: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки. В этом же пункте учащиеся узнают, что корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.

В 7 классе вводится понятие равносильности. При решении уравнений используются свойства равносильности (1 и 2). Основное внимание уделяется решению линейных уравнений с одной переменной. Естественно, что их учащиеся уже решали в 5 - 6 классах. Поэтому в курсе алгебры 7 класса знания обобщаются, проводится исследование линейного уравнения ах + в = 0 в зависимости от параметров а и в: ах = - в

при а - уравнение имеет единственное решение х = - в/а;

при а = 0, в 0 - уравнение не имеет решений;

при а = 0, в = 0 - уравнение примет вид 0х = 0, х - любое число.

При изучении темы «Многочлены» учащиеся используют разложение на множители для решения уравнений вида: ах2 +вх = 0;

х2-а2 = 0; х2 + 7х + 6 = 0

(х2 + 6х + х + 6 = 0; х(х + 6) + (х + 6) = 0; (х + 6)(х + 1) = 0 => х = -6 или х = - 1).

В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений»

В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе.

В учебнике определение квадратного уравнения вводится явно. «Уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где а0 называется квадратным уравнением». Желательно к этому определению подойти через конкретные задачи. Формулы корней квадратного уравнения необходимо вывести, используя выделение полного квадрата в трехчлене ах2 + вх + с и сводящее уравнение к двучлену, а не давать учащимся в готовом виде. При этом учащиеся должны твердо усвоить, что дискриминант позволяет узнать: есть ли корни у уравнения, а если есть, то сколько их. Кроме того, необходимо научить учащихся использовать формулу для случая, если в - четное, а также формулу корней приведенного квадратного уравнения.

Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квадратного уравнения:

– Способ выделения полного квадрата.

– Через дискриминант по формуле корней.

– По теореме, обратной теореме Виета.

– Графическим способом.

Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения.

Для решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби, учащимся могут быть предложены два способа:

1 способ основан на использовании равенства дроби нулю:

2 способ опирается на условие равенства дробей с одинаковыми знаменателями:

В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений.

Графический способ решения уравнений состоит в следующем: «Дано уравнение

f(x) = g(x).

Строим в одной системе координат графики

у = f(x) и у = g(x).

Отыскиваем абсциссы точек пересечения».

Возможность применения графического способа решения весьма ограничена, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка.

Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволяет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций.

Использование графического способа полезно и в устной работе с учащимися.

Пример. Выяснить, сколько корней имеет уравнение и определить их знаки:

х2 = - 6х; - Зх2 = -10/х; х4 = х + 13; = -Зх и др.

Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики.

В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование, включающее в себя: 1) построение модели, 2) исследование модели, 3) анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

– осмысление текста задачи и анализ ее содержания;

– осуществление поиска решения и составления плана решения;

– реализация плана решения;

– анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявления величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи («краткой модели») текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна служить математическая модель ситуации. При решении задачи алгебраическим методом - это уравнение или система уравнений.

Третий этап предполагает исследование математической модели (решение уравнения или системы); перенос результатов исследования математической модели в заданную ситуацию; запись ответа.

На четвертом этапе работы с сюжетной задачей можно предложить другие варианты решения (другое уравнение или систему, арифметический способ решения).

Мы видим, что процесс решения сюжетной задачи - это теоретическое исследование, представляющее собой процесс математического моделирования.

Решение сюжетных задач с помощью уравнений - один из центральных вопросов методики алгебры. Выделим некоторые его аспекты: «Как научить учащихся составлять уравнение по тексту задачи? », «Какие при этом возможны эвристические схемы рассуждения?»; «Как кратко записать задачу?»; «Как использовать графические иллюстрации?»; «Как провести подготовительную работу по решению задач методом уравнений?»; «Нужна ли проверка при решении сюжетных задач?». Эти вопросы исследовали ученые-методисты, учителя (Д. Пойа, Л.М. Фридман, В.П. Радченко и др.)

Предложим некоторые правила, помогающие составлять уравнение по тексту задачи.

Правило Коши: для того, чтобы составить уравнение, надо обозначить неизвестное буквой, например х, и произвести с ним и с данными величинами все вычисления, которые выполняются при проверке правильности решения. Именно так ведется поиск решения сюжетной задачи с помощью анализа Евклида.

Правило Ньютона: для составления уравнения нужно условие задачи перевести с естественного на алгебраический язык.

Правило сравнения: необходимо составить два разных алгебраических выражения для одной и той же величины и поставить между ними знак равенства.

Каждое из этих правил с определенной стороны характеризует процесс составления уравнения по условию задачи. Но применять их ученику, который не умеет составлять уравнения, довольно трудно. Поэтому полезно сообщить ему эти правила на более позднем этапе обучения методу составления уравнений.

3. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы

Основная учебная цель изучения материала линии неравенств - овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического и графического) неравенств как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики.

Содержание этого материала позволяет продолжить развитие различных познавательных процессов, речи, умения учиться, алгоритмического и обобщенного мышления, элементов творческой деятельности при решении всех основных типов задач алгебраическим методом, развитие пространственного воображения при решении графическим методом.

Гуманитарный потенциал этой линии, как числовой, связан с историей развития алгебры и содержанием текстовых задач: исторических, занимательных, краеведческих и так далее, что дает возможность ставить перед учащимися цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности в целом, общей культуры (гуманитарной, экологической), культуры общения, чувства прекрасного. Решение задач практического, жизненного содержания является одним из средств связи математики с жизнью и подготовки учащихся к выбору профессии.

Изучение неравенств в школе можно разделить на следующие этапы:

- пропедевтический (1-6 класс);

- основной (курс алгебры 7-9 классы основной школы);

- завершающий (10-11 классы старшей школы).

Пропедевтический этап (1 - 6 кл.)

С 1-го класса детей знакомят с понятиями «больше» и «меньше» ( 6 больше 5; 7 меньше 8), «увеличить» и «уменьшить», формируют навыки сравнения на основе счета, учат сравнивать выражения. В основном дети проводят сравнение на дидактическом (раздаточном) материале и примерах из жизни.

Во 2 классе детей обучают сравнению величин (длина является критерием сравнения), чисел, сравнению выражения с числом, знакомят с символами «=»; «<»; «>». Появляются числовые неравенства(5<6; 8>7).

В 3 классе дети обучаются навыкам проведения сравнения «выражения с выражением после операции в каждом из них», сравнению выражений(13 -9 * 13 - 8, 16 + 7 * 16 + 8) без выполнения вычислений (то есть идет пропедевтика свойств числовых неравенств и доказательства этих свойств). Много внимания уделяется усвоению учащимися смысла терминов «меньше «на», больше «в»». Учащиеся приобретают навыки «поразрядного» сравнения, навыки «прикидки».

Учащиеся решают задачи типа: «Какой знак нужно поставить вместо * чтобы получить верное неравенство (5*7; 1+9*9)»; «Длина одного отрезка 8 см, второго в 2 раза меньше, чем первого, а третьего на 16 см больше, чем второго. Узнай длину третьего отрезка и вырази ее в дм.»

Математика 5 - 6 класс

В начале курса рассматривается тема: «Меньше или больше», при изучении которой у учащихся закрепляются навыки, приобретенные в начальной школе, и формируются новые навыки.

При счете натуральные числа называют по порядку. Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше и больше, то которое называют позже.

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки < и > (Например, 4<7).

Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это факт записывается в виде двойного неравенства 2<3<6.

Знаками < и > обозначают также результат сравнения. Если отрезок AB короче CD пишут AB<CD.

Учащиеся решают задачи:

- Какая из точек лежит левее на координатном луче …

- Запишите с помощью двойного неравенства.

- Прочитайте запись...

- Какое число больше.

- Я задумал число, оканчивающееся на 5. Оно больше 210 и меньше 220. Назовите его…

Учащиеся должны в зависимости от конкретного вида чисел применять тот или иной способ сравнения.

1. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби записана цифра 4, а во второй - цифра 5.

Так как 4<5, то 3,6748 < 3,675.

2. Сравним отрицательные числа -15 и - 23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т.е. -15 > -23.

3. Сравним обыкновенные дроби 5/8 и 4/7.Для этого приведём их к общему знаменателю:

5/8=35/56;

4/7=32/56

Так как 35>32, то 5/8>4/7.

4.Сравнить углы треугольника.

Учащиеся должны усвоить основные критерии и процедуры сравнения, осмыслить первое обобщение «неравенства являющееся важным средством для проведения операции сравнения».

При изучении темы «Среднее арифметическое» учащиеся используют теорию неравенств для проведения округления с наименьшей погрешностью, нахождения средней скорости движения.

При изучении темы «Построение треугольников», усваивая возможность существования треугольника с заданными сторонами, учащиеся приобретают первичные знания «существования неравенств ограничения». (Треугольник со сторонами 3см, 5см, 8 см - не существует; необходимо, чтобы а + в >с.)

Именно в этих классах идет формирование геометрического определения неравенства. (Тема «Сравнение чисел с помощью координатной прямой»).

Огромную роль в формировании теории неравенств играет усвоение учащимися понятия «Модуль числа». С помощью этого понятия учащиеся будут сравнивать числа, вычислять оценку погрешности, описывать ограничения и существование математических объектов…

В теме "Деление" в упражнении № 609 (С.А. Теляковский) вводятся новые символы «? и ?».

Кроме неравенств со знаками > и <, которые называют строгими, используют нестрогие неравенства, для которых введены знаки ? и ?.

Основной этап (Алгебра 7 - 9 кл.)

7 класс. Теория неравенств находит применение при проведении исследования функций: определения области определения и области значений функций; построения графиков не на естественных, а на ограниченных областях; влияния знаков параметра на расположение графиков в координатной плоскости, выяснения свойств функций.

Учащиеся должны усвоить, что неравенства являются средством перебора логических возможностей решения задач и построения функций.

Изучение неравенств является подготовительным этапом к решению систем неравенств и задач линейного программирования.

8 класс Главный упор делается на тему «Числовые неравенства и их свойства», которые являются базой для:

- решения неравенств с одной переменной;

- обоснования двух методов приближенных вычислений: метода границ и практических методов;

- выявления видов функционирования неравенств…

В учебнике С.А. Теляковского данная тема изложена в трех пунктах (П.27. Числовые неравенства. П.28. Свойства числовых неравенств. П.29. Сложение и умножение числовых неравенств), а операция сравнения введена следующим образом: « Мы будем считать, что положительное направление задано слева направо. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа.»

Для любых двух действительных чисел а и в определена операция сравнения, результатом которой является одно из трех утверждений: число а больше числа в; число а равно числу в; число а меньше числа в.

Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = в, а<b, a>b.

Определение. Из двух чисел а и в меньшим является то, которому соответствует на координатной прямой точка, лежащая левее. Число а равно числу в, если им соответствует одна точка.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее - точкой, лежащей левее.

В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулем. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении.

Определение Число а больше числа b, если разность а - b- положительное число; число а меньше числа b, если разность а - b- отрицательное число.

Заметим, что если разность а - b равна нулю, то числа а и b равны.

Доказательство Пусть а и b некоторые числа, причём а>b, то есть число а находится правее числа b. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа. Значит, с - положительное число. Следовательно, а - b = c, т.е. а - b>0.

В учебнике А. Г. Мордковича вводятся следующие свойства числовых неравенств:

1) a>b, b>c => a>c

2) a>b => a+c>b+c

3) a>b, m>0 => am>bm, a>b, m<0 => am<bm

4) a>b, c>d => a+d>b+d

5) a, b, c, d>0, a>b; c>d => ac>bd

6) a, b?0, a>b => an>bn, nN

и рассматриваются теоремы, выражающие свойства числовых неравенств.

Свойство 1 Если

а>b и b>c, то a>c.

По условию, а>b, т.е. а - b - положительное число. Так как b>c, то b-c - положительное число.

Сложив положительные числа а - b и b - c получим положительное число. Имеем

(а - b)+(b - c)=a - c.

Значит a - c - положительное число, т.е. a>c.

Свойство 1 можно обосновать, используя геометрическую модель множества действительных чисел, т.е. числовую прямую. Неравенство а>b означает, что на числовой прямой точка а расположена правее точки b, а неравенство b>c - что точка b расположена правее точки с. Но тогда точка а расположена на прямой правее точки с, т.е. a>c.

Свойство 1 называют свойством транзитивности.

Свойство 2 Если

а>b, то а + c > b+c.

Преобразуем разность (а + c) - (b+c):

(а + c) - (b+c) = а-b

По условию а>b, поэтому а-b - положительное число. Значит, и разность (а + c) - (b+c) положительна. Следовательно, а + c > b+c.

Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Свойство 3 Если a>b и m>0, то am > bm;

Если a>b и m<0, то am < bm.

Смысл свойства 3 заключается в следующем:

Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить;

Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить (< на >, > на <).

То же относится к делению обеих частей неравенства на одно и то же положительное или отрицательное число m, поскольку деление на m всегда можно заменить умножением на 1/m.

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a>b на -1, получим - a< -b.

Это значит, что если изменить знаки у обеих частей неравенства, то надо изменить и знак неравенства:

если a>b, то - a< -b.

Следствие Если a и b - положительные числа и a>b, то 1/а<1/b.

Разделим обе части неравенства a>b на положительное число ab: a/ab > b/ab. Сократив дроби, получим, что

1/b>1/a, 1/a<1/b.

Знание свойств числовых неравенств помогает работать при исследовании функций. (С неравенствами связаны такие известные свойства функций, как наибольшее и наименьшее значения функции на некотором промежутке: ограниченность функции снизу и сверху; свойство возрастания и убывания функции.) Числовые неравенства используются при решении текстовых задач, при решении квадратных неравенств.

Важно выработать у учащихся прочный навык почленного вычитания, деления и умножения числовых неравенств.

Дано: 15<x<16, 2<y<3. Оценить сумму x+y, разность х - у, произведение ху, частное х/у.

Сумма х + у

15<x<16

2<y<3

17< x + y <19,

разность x-y, представим разность в виде суммы x +(-y),

-2>-y>-3, то, есть 3<-y<-2

15<x<16

-3<-y<-2

12<x-y<14,

произведение xy

15<x<16

2<y<3

30<xy<48,

частное x/y, представим частное в виде произведения x*1/y.

Так как 2<y<3, то Ѕ>1/y>1/3 , то есть 1/3<1/y<1/2.

15<x<16

1/3<1/y<1/2

5<x/y<8.

У учащихся следует выработать навыки решения следующих видов задач: Сравнить два числа. Задачи на оценку (оценить произведение двух чисел, сумму двух чисел, их разность, возведение в степень числа, оценить обратное ему число.) Задачи на доказательство. (1. Пусть а и b- положительные числа и a>b. Доказать, что 1/а<1/в. 2. Пусть а - положительное число. Доказать, что a+1/a 2.) В 8 классе изучаются темы «Линейные неравенства с одной переменной», «Системы неравенств с одним неизвестным». При решении линейных неравенств с одной переменной полезно ознакомить учащихся с алгоритмом его решения. Материал этих тем находит применение при решении нелинейных неравенств типа:

(ax +b)(cx +d)<0; .

Решение неравенств вида х - а < 0, х - а > 0 готовит учащихся к изучению курса анализа.

В учебнике Г.В. Дорофеева учащиеся знакомятся с методом доказательства неравенств по определению. По другим учебникам знакомство учащихся с приемами доказательства неравенств не предусмотрено.

Все приобретенные учащимися навыки находят применение при изучении тем «Решение квадратных неравенств» и «Действительные числа». (Замечание: в некоторых учебника этот материал изучается в 9 классе.)

Учащиеся, по крайней мере, должны знать 3 способа решения квадратных неравенств:

1. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, построить эскиз графика квадратного трехчлена и записать ответ.

2. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, использовать метод интервалов.

3. Графический метод решения неравенства: ах2 + вх +с>0 ах2 > - вх - с.

9 класс Формируется навык проведения равносильных преобразований неравенств.

В учебнике А.Г.Мордковича в теме «Рациональные неравенства» вводится определение рационального неравенства.

Определение: Рациональным неравенством с одной переменной x называется неравенство вида h(x)>q(x), где h(x) и q(x) рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной x с помощью операции сложение, вычитание, умножение, деление.

В главе «Рациональные неравенства и их системы, линейные и квадратные неравенства» предполагается знакомство учащихся с методом интервалов и использование этого метода при решении неравенств вида: < 3, >0.

При изучении темы «Системы неравенств» учащимся можно предложить решить задачу: «Найти область определения выражения »

методом составления системы неравенств.

В целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений. В частности, они проходят те же этапы изучения. Особенности изучения неравенств.

1) Все неравенства изучаются вслед за соответствующим классом уравнения, за исключением линейных.

2) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением линейных и квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений.

3) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а = b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Кроме, линейных. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, с тем чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он формализуется в виде «метода интервалов».

4) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.

Заключение

При выполнении работы « изучение уравнений и неравенств в курсе основной школы» была изучена научно-методическая литература, касающаяся данной темы, проанализирован ряд учебников по математике алгебре для 5-9 классов, выделены основные методические рекомендации учителю математики.

Для реализации целей и задач данной линии предполагается использовать следующие формы уроков: лекции, практикумы по решению задач, самостоятельные и контрольные работы; возможно и использование менее традиционных форм, таких, как семинар, дискуссия, обсуждение, мозговой шторм и т.д.

Линия уравнений и неравенств тесно связана с числовой линией, поэтому изучение каждого последующего вида уравнений расширяет представления учеников о числовых множествах, и как следствие разнообразные формулировки заданий (раскройте скобки, приведите подобные слагаемые, упростите выражение в какой-либо части уравнения или неравенства), нацеленных на отработку обязательной алгебраической подготовки учеников, обеспечивают достаточно регулярное обращение к разнообразным случаям вычислений с целыми, действительными и рациональными числами, поэтому уравнения и неравенства могут быть использованы в теме «Операции над числами и свойства этих операций» как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

Решение задач из различных разделов математики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере ее расчленения на арифметику, алгебру, геометрию. Значительна роль метода уравнений и неравенств в решении задач жизненного содержания. Решение задач, связанных с основами современного производства, экономикой народного хозяйства, со смежными дисциплинами может служить одним из эффективных способов осуществления принципа политехнического обучения и связи преподавания математики с жизнью, подготовки учащихся к свободному выбору будущей профессии.

Список используемой литературы

1) В.А. Любецкий Основные понятия школьной математики, изд. «Просвещение» 1987г.

2) В.С Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, изд. «Просвещение» 1990г.

3) Г.И. Глейзер «История математики в школе 7-8 классов» 1982г.

4) Задачи по математике. Уравнения и неравенства. ВавиловК. И. Мельников И.И. изд. «Наука» 1987г.

5) Алгебра и математический анализ. 10 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. «Просвещение».

6) А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др. “Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. Учебное пособие для студентов пед.институтов по физ.-мат. специальности ”; сост. В. И. Мишин.-М.: Просвещение, 1987г.

Размещено на Allbest.ru