Методика преподавания неравенств в курсе математики 5-9 классов средней общеобразовательной школы

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Введение

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (ХХ-VI вв. до н.э.) имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решить задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI-X вв. н.э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т.д.). На рубеже XVI-XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования: а) уравнение как средство решения текстовых задач; б) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения; в) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением. Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию - линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эи аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.

в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями хR = b (R - натуральное число, большее 1) и а х = b.

Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств. Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b - неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффицентами и неотрицательным дискриминантом.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например , к заданиям на нахождение области определения некоторых функции, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядностии к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

В настоящей дипломной работе поставлена цель - показать и раскрыть методику преподавания неравенств в курсе математики 5-9 классов средней общеобразовательной школы. Для достижения этой цели мы поставили следующие задачи:

подойти к раскрытию данной темы начиная с науки древнего мира;

показать главную цель обращения к неравенствам в 5-6 классах;

подчеркнуть, что изучение темы «Неравенства» в 7-8 классах

опирается на четкие определения того, что значит «решить неравенство» и что такое «множество решений» неравенства;

показать различные способы доказательства неравенств;

раскрыть вопрос о равносильности неравенств.

Данная работа состоит из трех глав. В первой главе на основе

практического материала показана методика преподавания неравенств в 5-6 классах. Вторая глава обращена к неравенствам изучающих в 7-8 классах. В третей главе даются методические указания к теме «Неравенства» в 9 классе.

Дается заключение и список использованной литературы.

Глава 1. О системе изучения неравенств в 5-6 классах

Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в ее приложениях с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями.

До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равны». Поэтому пропедевтическое изучение неравенств должно осуществляться совместно с изучением уравнений. С отношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений дети знакомятся уже в 1 классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать уже простейшие числовые выражения, например такие как а + 3 и а + 1. Желательно научить ребят таким рассуждениям: первые слагаемые в обоих выражениях одинаковы, но второе слагаемое первого выражения больше второго слагаемого второго выражения, значит, первая сумма больше второй: а + 3 > а + 1

В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «решить неравенство» еще не вводятся. Приведем примеры заданий, предлагаемых в начальной школе.

Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство х < 9.

При каких значениях букв будут верны следующие неравенства: а + 18 < 22, а + 100 < 103?

Главная цель обращения к неравенствам в 5 классе: обеспечить вспомогательным матемтаическим аппаратом тему “Приближеннные вычисления”. Для 5 класса наиболее важными являются следующие задания:

Запишите все натуральные значения n, m, k, если n < 20, 23 < m < 31, 547 < k < 10 110.

Запишите, что число х больше числа 3,5, но меньше числа 3,8, при помощи знаков неравенства. Измерив отрезок KL, нашли, что 1 см. Укладывается в нем 6 раз с недостатком и 7 раз с избытком. Запишите результат измерения с помощью знаков неравенства.

В 6 классе для установления отношений «больше», «меньше» на множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Их решения осуществляются с помощью числовой оси.

Среди упражнений на закрепление понятия абсолютной величины числа полезно дать, например такие:

Если |a| < 5, то как расположены на координатной оси точик, соответствующие числу а?

Записать при помощи знаков неравенства вывод относительно числа х, если:

а) |x - 1| > 0,

б) |x + 1| > 0,

в) |x + 2| > 5,

г) |x - 2| < 5.

Можно ли утверждать, что а + b, если |а| = |b|?

1.1 Урок «Числовые неравенства и их свойства»

К занятию был подготовлен специальный плакат с заданиями. Все задания, записанные на листах, которые прикреплялись к листу ватмана с помощью скотча, закрывались большими бумажными фигурами. На каждой фигуре обозначалось или одно двойное неравенство или два (их надо было понимать как систему, но само понятие системы неравенств учащиеся еще не встречали, они действовали с двумя неравенствами на интуитивном уровне). В неравенствах вместо обычных латинских букв для обозначения переменных использовались странные знаки. Они сразу же привлекали внимание ребят. Отвечая на их удивленные взгляды, учитель пояснил, что таинственные иероглифы - это французские цифры XII в. Их значение можно узнать, если найти единственное натуральное число, удовлетворяющее каждому из неравенств.

Учитель объявил классу, что французские цифры сегодня показывают очередность выполнения заданий в классе. Первый этап урока обозначается, естественно, числом 1. Но где, на какой фигуре спрятано это число? Рассмотрев плакат и прикинув, какими могут быть решения всех неравенств, учащиеся устанавливают, что число 1 входит в множество решений только одного двойного неравенства, а именно того, которое записано на квадрате. Учитель снимает плакат модель квадрата, а под ним две надписи. Надпись на русском языке ставит перед учащимися общую задачу этого этапа: «Проверка домашнего задания». Вторая надпись сделана на английском языке, она служит символом самостоятельности, которую учащиеся должны были проявить в домашней работе: «Work out your own salvation» (добивайтесь своего собственными силами).

Двое ребят у доски выполняют домашнее задание, а в это время учитель повторяет со всем классом свойства неравенств, задавая вопросы, требующие моментальных ответов. Каждый математический вопрос чередуется с гуманитарным. Внимание ребят рассеивается, из-зи этого многие путаются, забывают простейшие свойства неравенств. А это уже говорит о том, что какие-то свойства еще недостаточно выучены. Ребята сами понимают провокационный характер гуманитарных вопросов и учатся преодолевать провокации, лучше выучивая заданные правила.

Вопросы:

1. Как правильно продолжить фразу: “Если a < b, то b...”? (b > a)

2. Кто сказал: «Когда я умру, Вселенная вздохнет с облегчением»? (Наполеон)

3. Как правильно продолжить фразу: «Если a < b и b < c, то a...”? (a < c)

4. Портос бежал за Арамисом, а Арамис - за Атосом. Арамис увидел прекрасную даму и сошел с дистанции. За кем бежал Портос? (За Атосом)

5. Миледи любит д,Артаньяна, а д,Артаньян - госпожу Бонасье. Можно ли сказать, что миледи любит госпожу Бонасье?

6. Если a < b и c - любое число, то что больше: a + c или b + c? (a + c < b + c)

7. В какой стране создали первую в мире энциклопедию? (Во Франции)

8. Если a < b и c - отрицательное число, то что больше: ac или bc? (ac > bc)

9. Про кого говорили: «Король-солнце»? (Про французского короля Людовика XIV)

10. Какой знак следует поставить между выражениями a + c и b + d, если a < b и c < d?

11. Как фехтовальщик д,Артаньян сильней, чем де Жюссак, а Атос сильней, чем Каюзак. Какая пара победит в схватке, если будут драться пара на пару: д,Артаньяни Атос против де Жюссака и Каюзака?

12. Чему равны площадь и периметр прямоугольников со сторонами a и c? (ac; 2(a + c) )

13. Кому принадлежат слова: “Гений - это терпение”. (Французскому естествоиспытателю Бюффону)

14. Если числа a, b, c, d положительныt и a < b, c < d, то какой знак нужно поставить между произведениями ac и bd? (ac < bd)

15. Продолжить фразу: “Если a < b, то 1a ...”. (1a >1b)

Как видим, перечисление свойств неравенств - довольно однообразное занятие. Поэтому оно и чередуется с литературными и историческими вопросами, чтобы учащиеся не скучали и держались в напряжении.

Но вот вопросы учителя иссякли, а двое у доски закончили выполнять даммашнее задание. Быстрая проверка всем классаом - и переход ко второму этапу урока. Но где находится число 2? Учащиеся говорят, что это число “прячется в треугольнике”, поскольку число 2 удовлетворяет и неравенствам 1 < ----------- < 4,1, и неравенствам -1 < < 3. Сняв с плаката треугольник, учитель открывает записанное по-русски занятий: «Money spent on brain is never spent in vain» (деньги, потраченные на образование, никогда не потрачены напрасно).

Учащиеся переводят английскую фразу и переходят к письменной работе. Задания записаны на карточках. Их заготовлено много, а у доски будут отвечать не более пяти человек - те, которые быстрей угадают номера первых пяти карточек. Эти номера учитель подсказывает своим вопросом. Тот, кто быстрей на него ответит, - берет карточку угаданного номера, записывает ее задание на доске и приступает к решению. Если кто-то опережает общий темп, то может взять другую карточку (угадав ее номер) и работать за партой или на другой части доски.

На уроке были отгаданы номера 1, 9, 3, 4, 6. Приведем в той же последовательности содержания заданий и ответы учащихся.

Вопрос: Какое натуральное число наименьшее? (Ответ: число 1)

Карточка №1. Докажите неравенство --------------------------------------------

Вопрос: Какое целое число, большее 4, но меньшее 10, кратно 3, но не кратно 2? (Ответ: число 9)

Карточка №9. Дано: 5 < x < 8, 6 < y < 10. Оцените значения выражений: а) 3x, б) -4y, в) x + y, г) x - y

Решение:

а) 5 < x < 8 | . 3,

15 < 3x < 24;

б) 6 < y < 10 | . 4,

24 < 4y < 40 | . (-1),

-24 > -4y > -40,

-40 < -4y < -24;

в) 5 < x < 8,

6 < y < 10,

11 < x + y < 18;

г) 6 < y < 10 | . (-1) - 10 < -y < -6,

-6 > -y > -10,

5 < x < 8,

-5 < x - y < 2

Вопрос: Двое играли в шахматы 3 часа. Сколько часов играл каждый? (Ответ: 3 часа)

Карточка № 3. Дано: 2 < a < 3, 9 < b < 15.

Оцените значения выражений: а) ab; б) a

b

Решение:--------------------------------------------------------------------------------

Вопрос: Сколько граммов в золотнике? (Ответ: 4 грамма)

Карточка №4. Измерив длину а и ширину b комнаты, установили, что 7,5 м-------------------------------------- Подойдет ли это помещение для бибилотеки, если для нее требуется комната плошадью не менее 40 м2? Комната подойдет для библиотеки, так как ее площадь S, вычисляемая по формуле S = ab, превосходит 40 м2.

Вопрос: Сколько неодушевленных предметов было у дамы их стихотворения «Дама сдавала багаж»? (Ответ: шесть предметов, поскольку «Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, картину, корзину, картонку» (и маленькую собачонку, которая не есть неодушевленный предмет.)

Карточка №6. Пусть ------------------------ углы треугольника. Известно, что ---------------------------------------------------- ------------------ оцените велиичну третьего угла --------

Решение7 --------------------------------------------------------------------

Отсюда ------------------------------------------------

Прибавим к обеим частям последнего двойного неравенства 1800:

Окончательно ----------------------------

Здесь приведены все записи, которые учащиеся ведут на доске и в тетрадях, поскольку при закреплении темы должны фиксироваться подробно все шаги решения. Каждая запись учащиеся обосновывают устно, повторяя соответствующие свойства неравенств.

Третий этап урока начинается с отгадывания того, на какой модели записано неравенство, во множество решений которого входит число 3. Это ромб (на нем записано: 2,1 --------------------------------). Учитель снимает модель с плаката, и все переводят записанный под ней девиз «Find sound arguments» (ищите убедительные доводы) и задание: решите устно следующую задачу.

Задача. Все коробки, какие есть на базе, имеют одинаковые площади оснований. Грузчики хотят поместить в один контейнер с той же площадью основания 20 коробок. Какой высоты должен быть контейнер, если высоты коробок оцениваются неравенствами 29 см. -------------------------------------------

Решение. --------------------------------------------

Что же практически означает последнее двойное неравенство?

Допустим, все плоские коробки имеют минимальную высоту 29 мм. Тогда все они поместятся в коробке высотой 580 см. Но если найдется хоть одна коробка большей высоты, то затея грузчиков провалится. В реальности очень часто бывает, что минимальный и максимальный размеры имеют далеко не все изделия, их размеры колеблются в заданных допусках. А если мы хотим быть уверены, что 20 коробок действительно всегда поместятся в контейнер, то надо считать, будто все коробки имеют максимальную высоту, т.е. выбрать контейнер высотой 620 см. Это и будет убедительным доводом в пользу затеи грузчиков.

Четвертый этап «скрывается» за моделью трапеции --------------------------------------------- Его девиз «Everything will be all right» (все будет хорошо). А задание такое: «Исправьте ошибки».

На доске в два столбика записаны восемь примеров. Два ученика вызываются к доске. Они должны как можно быстрее сделать так, чтобы все действительно стало хорошо, т.е. исправить ошибки, если они где-то встречаются.

Запись на доске.

--------

=======================

Свои исправления учащиеся должны самым подробным образом прокомментировать, ссылаясь на свойства неравенств. (В первом столбике следует исправить вторую и четвертую строки, во втором - третью и четвертую).

Пятый этап урока связан с установлением древней французской цифры 5. Она записана на прямоугольнике. А девиз такой: «Believe in yourself and tell yourself that you,re the best» (верь в себя и говори себе, что ты лучший). Задание этого этапа состоит в выполнении тестов. Тут надо по-настоящему поверить в себя. Учащиеся получают листы с вариантами теста и работают до конца урока, а потом сдают учителю свои тесты на проверку.

В заключение описания урока приводится один вариант теста.

Задание

1. Совместное начало записей свойств неравенств в столбце А с их завершением в столбце В.

№	А	В
1	Если a < b и c < d, то...	ac < bd
2	Если a < b и c < d, где a, b, c, d - положительные числа, то...	a + c < b + d
3	Если a < b и c - положительное число, то...	------=========
4	Если а < b и c - отрицательное число, то...	------=========

Даны неравенства:

====================================================

Впишите каждое из них в одну из малых фигур в соответствии с тем, как эти малые фигуры объединены на рис.2.



3. Оцените площадь (S см2) прямоугольника со сторонами а см и b см, если 3 см < a < 4 см, 7 см < b < 8 см (верный ответ из трех, предложенных ниже, обведите кружочком):

а) 10 см2 < S < 12 см2;

б) 21 см2 < S < 32 см2;

в) 20 см2 < S < 24 см2;

Глава 2 . О системе изучения неравенств в 7-8 классах

Тема «Неравенства» систематически изучается с 7 класса. В нее включены следующие подтемы: «Числовые неравенства и их свойства», «Почленное сложение и умножение числовых неравенств», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной».

Изучение данной темы опирается на четкие определения того, что значит «решить неравенство» и что такое «множество решений» неравенства.

Проводятся доказательства свойств неравенств. Выполнение упражнений на данную тему представляет собой удобную базу для обучения простейшим дедуктивным рассуждениям.

В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. С целью повышения доступности материала рассматриваются главным образом такие доказательства, которые ограничиваются методом сравнения с нулем разности левой и правой частей неравенств.

В связи с решением линейных неравенств с одной переменной дается понятие о числовых промежутках, появляются и вводятся соответствующие обозначения. При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание уделяется отработке умения решать простейшие неравенства вида ax < b, остановившись специально на случае, когда a < 0.

В этой теме рассматривается также решение систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких, которые записаны в виде двойных неравенств.

2.1 Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной

В начале урока учащиеся с помощью учителя кратко воспроизводят основные знания, полученные ими на предыдущем уроке: определение решения неравенства, определение линейного неравенства с одной переменной, формулировки свойств, позволяющих решать неравенства.

Подготовка школьников к восприятию осуществляется в ходе выполнения устной работы по заданиям, которые заранее выписаны на доске или заготовлены на кодопозитиве:

1. Какие из указанных чисел- 2,5; 11; 7 - являются решениями неравенства 2x - 15 > 0?

2. В таблице приведены неравенства, даны их геометрические интерпретации и записи соответствующих промежутков, но, к сожалению, всё перепутано. Восстановите истинную картину, подберите каждому неравенству соответствующую иллюстрацию и запись промежутка.

Неравенство	Графическая иллюстрация	Решение
x < 5	1 5 х	1. [5; + ]

3. Решите неравенства:

Укажите свойства или приведите логические рассуждения, позволяющие получить решение.

Методические комментарии

В задании 1 линейное неравенство выбрано для того, чтобы при обсуждении легко было перейти к двум способам отыскания решений. Первый - проверка верности числового неравенств, которое получается после подстановки числового значения переменной. Второй - отыскание промежутка, являющегося решением данного неравенства, и проверка принадлежности числа этому промежутку.

Для того чтобы учитель мог быстро определить уровень сформированности умения соотносить неравенство с соответствующим числовым промежутком, школьники отвечают на второе задание, пользуясь карточками с номерами от 1 до 4. Учитель спрашивает, например: «Какая графическая иллюстрация соответствует неравенству х < 5?» - Учащиеся должны поднять карточки с номером 2. Второй вопрос: «В какой строчке третьего столбца указано множество решений этого неравенства?» - Учащиеся демонстрируют карточки с номером 4. Если кто-то поднял не ту карточку, то у учителя появляется возможность сразу откорректировать неверно сложившиеся у учащегося представления.

При обсуждении предпоследнего неравенства 0 . х < 0,1 в задании 3 учитель обращает внимание школьников на его запись и предупреждает, что подобные неравенства нельзя решать так же, как решались предыдущие, т.е. делением обеих частей неравенства (или умножением обеих частей) на коэффицент при х. В данных случаях коэффицент при х равен 0, а деление на ноль невозможно. Умножение на ноль тоже ничего не даст. В самом деле: если мы запишем 0 . 0 . х < 0,1 . 0, то в левой части не изменится ничего, а в правой получим 0, т.е. 0 . х < 0. Некоторые думают, будто это означает, что х < 0. Отрицательные значения х действительно соответствуют исходному неравенству. Но ведь и положительные значения х ему тоже соответствуют! Множеству решений принадлежит и само число 0. Выходит, что множеством решений данного неравенства являются все известные нам числа.

Направляемые учителем, учащиеся должны осознать такой вывод: «Когда в одной из частей неравенства стоит выражение 0 . х, то не надо торопиться выполнять преобразования. Такие неравенства решаются просто с помощью здравого смысла, т.е. надо посмотреть на него внимательно, попробовать подставить в него различные значения х и сделать из частных результатов общий вывод».

Последнее неравенсто 0 . х > 13 тоже требует особого обсуждения. Учащиеся убеждаются, что, допустим, числа 0, -5, +6 не удовлетворяют неравенству. Теперь остается только мысленно опробовать любой отрицательный или положительный множитель, чтобы сделать вывод: «При умножении любого числа на 0, получим 0, т.е. число, которое меньше 13. Таким образом, неравенство решений не имеет».

После этапа повторения учитель предлагает классу найти решение трех неравенств:

Подобных заданий ребята еще не рассматривали, но зато они владеют методами решения линейных уравнений, в которых встречались аналогичные затруднения. На данном этапе используются поисковые методы работы. Класс разбивается на 3 группы: ученики из первой группы начинают выполнять задания с первого неравенства и далее по порядку, из второй группы - со второго неравенства, из третьей группы - с третьего неравенства, а потом уже решают все остальные. Учащиеся обсуждают возникающие проблемы с членами своей группы. Учитель в это врем имеет возможность понаблюдать за деятельностью групп, выявить затруднения, с которыми они сталкиваются, скорректировать ошибки.

К концу данного этапа представители от каждой группы показывают результаты своей работы, отвечают на вопросы учителя и учеников.

На доске появляются следующие записи:

Работа в группах обеспечила учащимся возможность трехуровневого выполнения заданий: самый слабый мог самостоятельно справиться только с одним неравенством, но и с решением других он познакомился. Ребята же посильнее выполнили всю работу и получили возможность блеснуть своими знаниями, демонстрируя решения у доски.

Переход к более трудным задачам учитель мотивирует следующим образом:

«На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных. Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование каких-либо объектов, оценить их количество, провести классификацию.

Итак, неравенство может стать хорошим помощником, вот только надо знать, когда необходимо обращаться к нему за помощью. Я хочу предложить вашему вниманию три непохожие друг на друга ситуации, но объединяет их одно: везде дело не обходится без неравенств».

Наступает этап углубления и освоения новых знаний. Учитель предлагает рассмотреть три проблемные ситуации.

Ситуация I

В типографию поступил для печати новый учебник алгебры для 8 класса. Но, к сожалению, в компьютере произошел сбой, и одно из заданий стало выглядеть следующим образом:

«С помощью калькулятора найти значение выражения 14-6х при следующих значениях переменной: 5; -2; 8,3; 10,63; -0,5; 3; 1/6».

Типографские корректоры заметили, что уже при х = 5 в приведенном выражении получаются странные вещи...

Что происходит с выражением при х = 5? Как узнать, нет ли еще лишних чисел в данном упражнении?

Обсуждение начинается с выяснения того, чем же так не устраивает значение переменной, равное 5? Учитель направляет разговор так, чтобы ученики вспомнили само понятие арифметического квадратного корня, условия его существования.

После обсуждения учащиеся составляют необходимое неравенство ////////////// и решают его. Получив в ответе промежуток ///////////// //////, находят «случайно попавшие» в задание значения переменной: 5; 8,3; 10,63; 3.

Все решение проблемной ситуации происходит через исследование. Так мы приходим к новому способу выполнения задания, к смене механической подстановки осмысленным методом решения.

В следующих ситуациях использованы задачи опережающего характера. Они сводятся к решению на интуитивном уровне уравнения с параметрами, а также уравнения, содержащего модуль алгебраического выражения.

Ситуация II

В квадратном уравнении, написанном на доске, во время перемены кто-то стер одно число:

2х2 - 3х + ... = 0

Учитель не стал восстанавливать исходное уравнение, а подставил на свободное место букву m, уравнение стало выглядеть так: 2х2 - 3х + m = 0. Ребятам было предложено самим найти значение m. Чтобы это стало возможным, учитель сообщил два следующих факта: m - число натуральное и уравнение имеет два различных корня.

Вопросами о том, каковы коэффиценты и свободный член этого уравнения, от чего зависит количество корней квадратного уравнения, учитель подвел учащихся к необходимости сначала составить дискриминант D = 9 - 8 m, а затем рассмотреть неравенство 9 - 8 m > 0. Решить неравенство уже не составило труда:

Значит, единственно возможное значение m - это 1.

Таким образом, перед уроком на доске было записано: 2х2 - 3х + 1 = 0

Ситуация III

Решите уравнение

Начинается обсуждение с повторения понятия модуля, известно учащимся с 6 класса. Выясняется, чему равен модуль отрицательного числа. Учитель фиксирует ответы на доске в виде записи

Чему в таком случае равно выражение |5х - 17|? В ходе обсуждения школьники выясняют, что

Теперь следует сопоставить полученные выводы с тем условием, что исходная дробь равна 1. Учащиеся вспоминают: равенство единице означает, что числитель дроби равен знаменателю, т.е.

|5х - 17| = 5х - 17, отсюда 5х - 17 > 0

Если не находится ни одного ученика, готового «подправить» неравенство, учитель обращает внимание класса на то, что выражение 5х - 17 не может принимать нулевых значений, поскольку стоит в знаменателе дроби, т.е. 5х - 17 > 0. Ответ: (3,4; + //////////////).

Учитель завершает урок следующими словами: «Неравенства - это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики - алгебре и теории чисел, геометрии и топологии, теории вероятностей и теории функций, математической физике и теории информации - можно указать фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств. Мы с вами только начали изучать этот распространенный объект математики - неравенства, а впереди еще столько удивительного!»

Итоги своей индивидуальной работы на уроке учащиеся подводят самостоятельно, фиксируя свою самооценку (по 10-балльной шкале) на подписанных листочках, на которых выполняли все письменные задания урока. Листочки сдают учителю.

Домашнее задание предусматривает уровневую дифференциацию:

1 уровень - задание репродуктивного характера

2 уровень - задание поискового плана: подобрать из учебной литературы задачу, решаемую с помощью линейного неравенства.

3 уровень - создание собственной задачи, решение которой основано на применении неравенств.

Глава 3. Методические указания к теме “Неравенства” в 9 классе

Изучение темы начинается с обобщения и систематизации знаний о действительных числах. Здесь не идет речь о построении какой-либо теории действительных чисел, просто повторяются известные учащимся термины - натуральные, целые, рациональные, действительные числа; рассматриваются отношения между соответствующими числовыми множествами; вводится понятие бесконечной десятичной дроби как «универсального» имени действительного числа, при этом вопрос о периодических и непериодических бесконечных десятичных дробях в общем тексте учебника не рассматривается, а отнесен к необязательному материалу.

Далее формулируются свойства числовых неравенств, которые иллюстрируются геометрически и подтверждаются соответствующими примерами. При рассмотрении вопроса о решении числовых неравенств с одной переменной вводится понятие равносильных уравнений и неравенств, формулируются свойства равносильных уравнений и неравенств. Прием решения линейного неравенства сопоставляется с приемом решения линейного уравнения, при этом акцентируется внимание на их сходстве и различии. Приобретенные учащимися умения получают развитие при решении систем линейных неравенств с одной переменной. Система упражнений содержит значительное число задач на применение неравенств.

В теме рассматривается также вопрос о доказательстве неравенств. Учащиеся знакомятся с некоторыми приемами доказательства неравенств и применяют их в ходе решения несложных задач.

В результате изучения материала главы учащиеся должны:

- знать и правильно употреблять термины, связанные с видами чисел: натуральное, целое, дробное, рациональное, иррациональное, действительное число;

уметь сравнивать и упорядочивать действительные числа;

применять свойства неравенств для оценки суммы и произведения

двух чисел;

- решать линейные неравенства, изображать множества их решений на координатной прямой;

- решать системы линейных неравенств с одной переменной, несложные двойные неравенства;

доказывать простейшие неравенства;

понимать термин «с точностью до...» и записывать приближенное

значение величины с указанной точностью в виде a +/- h, а также в виде двойного неравенства.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений и неравенств происходит постепенно. Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

решение простейших уравнений данного вида;

анализ действий, необходимых для их решения;

вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

решение несложных уравнений данного вида, не являющихся

простейшими;

анализ действий, необходимых для их решения;

формулировка частного приема решения;

применение полученного частного приема по образцу, в сходных

ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;

- работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

- сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения;

- применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения или неравенства, его формулировки, отработки и применения.

В 5-6 классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики 5-6 классов можно сформировать у учащихся, во-первых, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:

рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

установить, какие из следующих упрощений уравнения можно

сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффицент при неизвестном;

упростить уравнение;

найти значение неизвестного;

записать ответ.

Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с помощью уравнений, например, так, как это сделан в учебнике «Алгебра-7»: «... поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи».

В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения курса алгебры в 7 классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения).

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения уравнения первой степени):

1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п.4, если «нет» - п.2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению ax2 + bx + c = 0, где a > 0.

4) проверить равенство коэффицентов b и с нулю; если b и c нулю; если b=0 или c=0, то п.5, если ======================== то п.6;

5) найти х по правилам: при ===========================================================

6) найти дискриминант уравнения D = b2 - 4 ac;

7) найти х по формуле: =============================

8) если нужно, сделать проверку;

9) записать ответ.

Формирование этого приема не только помогает учащимся овладеть способом решения квадратных уравнений, но и подсказывает им общие компоненты деятельности при алгебраическом решении уравнений. Та же идея подкрепляется решением задач с помощью квадратных уравнений, где уместно использовать перенос уже известного приема решения задач с помощью уравнений первой степени.

Изучение темы “Неравенства” дает возможность, проанализировав и обобщив действия в составе приемов решения уравнений, сформулировать соответствующие приемы решения неравенств. Это способствует еще большему обобщению приемов учебной деятельности, что в теоретическом плане приводит к усвоению учащимися более глубоких связей в изучаемом материале и создает предпосылки для дальнейшего обобщения приемов решения задач, а в практическом - к возможности запоминать меньшее количество приемов. Сформулируем обобщенный прием решения уравнений (неравенств) первой степени с одной переменной:

1) определить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если “да”, то п.4, если “нет” - п.2;

2) установить какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение (неравенство) к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение (неравенство) к линейному ах = b (ax > b);

4) найти =============================

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

записать ответ (если нужно, изобразив его на числовой оси).

После изучения алгоритма решения простейшего неравенства второй

степени с одной переменной =============== можно сформулировать аналогично обобщенный прием решения уравнений (неравенств) второй степени с одной переменной.

Изучение рациональных уравнений вносит в процесс решения уравнений существенно новый компонент, связанный с рассмотрением области определения выражения, входящего в уравнение, и возможных посторонних корней.

Учитывая это, сформулируем прием решения рационального уравнения:

1) определить, является ли данное дробное уравнение простейшим, т.е. уравнением вида ===========; если «да», то п.4, если «нет» - п.2.

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к виду =========: раскрытие скобок, перенесение членов из одной частив другую, приведение подобных, приведение к общему знаменателю;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к виду =========;

4) заменить данное уравнение равносильной ему системой =============== содержащей: а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий знаменатель Q (x); б) неравенство, характеризующее область определения дроби;

5) решить полученную систему;

6) если нужно, сделать проверку;

записать ответ.

Программа по математике 9 класса предусматривает знакомство и с некоторыми общими для всех видов уравнений приемами преобразования уравнений к простейшим (разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах.

Нетрудно заметить, что разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной служит очередным расширением «фонда» преобразований уравнений и неравенств к простейшим. Тогда к концу изучения курса алгебры неполной средней школы обобщенный прием алгебраического решения уравнений может иметь следующий вид:

1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п.4, если «нет» - п.2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители, введение вспомогательной переменной, возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной ему системой уравнений и неравенств;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;

4) решить известным способом простейшее уравнение;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Сформулировав обобщенный прием решения уравнений в теме «Уравнения и системы уравнений», учащиеся могут его отрабатывать, применять, переносить и закреплять при изучении темы «Прогрессии» и при обобщающем повторении курса алгебры. С его повторения, причем в несколько свернутом виде, следует начать изучение новых видов уравнений в старших классах, так как на основе обобщенного приема частные приемы изучаемых здесь видов уравнений учащиеся могут сформулировать самостоятельно.

Так, изучив формулы и правила решения простейших тригонометрических уравнений sin x = a, tg x = a и основные тригонометрические преобразования, можно конкретизировать обобщенный прием решения тригонометрических уравнений:

1) определить, является ли уравнение простейшим тригонометрическим уравнением; если «да», то п.4, если «нет» - п.2.

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим тригонометрическим уравнениям: общие для всех уравнений преобразования (с использованием основных тригонометрических тождеств, формул приведения, теоремы сложения и следствий из нее, формул понижения степени, преобразований тригонометрических сумм в произведение и обратно);

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;

4) найти решения простейших уравнений по соответствующим формулам;

5) если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Аналогично можно организовать работу по формированию приемов решения иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.

В иррациональных и логарифмических уравнениях и неравенствах предъявляются свои требования к области определения входящих в них выражений, появляются различные сочетания этих требований, что создает предпосылки для формулировки обобщенного приема определения ОДЗ уравнения или неравенства и вносит дополнения в «фонд» преобразований их к простейшим. Сформулируем некоторые из них.

Обобщенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств:

1) определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида ============; если «да», то п.4, если «нет» - п.2.

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим иррациональным уравнениям (неравенствам): общие для всех уравнений и неравенств преобразования и специальные преобразования, основанные на свойствах арифметических корней;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшему;

4) заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой ==================

(или уравнением (неравенством)===============, содержащей: а) рациональное уравнение (неравенство), полученное из данного возведением в соответствующую степень n; б) неравенства, характеризующие область определения корня четной степени n = 2 k;

5) решить полученную систеиму;

6) если нужно, сделать проверку;

записать ответ.

Обобщенный прием решения показательных уравнений и неравенств:

1) определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида ==========, если «да», то п.4, если «нет» - п.2.

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим показательным уравнениям (неравенствам): общие для всех уравнений и неравенств преобразования и специальные преобразования, основанные на свойствах степеней, уравнение оснований степеней, логарифмирование;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшему;

4) исходя из свойств показательной функции, перейти от простейшего показательного уравнения (неравенства) к уравнению ==================================

5) решить полученное уравнение (неравенство);

6) если нужно, сделать проверку;

записать ответ.

Обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств:

1) определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида ===========; если «да», то п.4, если «нет» - п.2;

2) установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим логарифмическим уравнениям (неравенствам): общие для всех уравнений и неравенств преобразования и специальные преобразования, основанные на определении и свойствах логарифмов, потенцирование;

3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшим;

4) заменить данное уравнение (неравенство равносильной ему системой

==========================

содержащей: а) алгебраическое уравнение (неравенство), полученное из данного с помощью специальных преобразований (п.2); б) неравенства, полученные на основе области определения логарифмической функции и ее свойств;

5) решить полученную систему;

6) если нужно, сделать проверку;

7) записать ответ.

Поставленная цель при написании дипломной работы достигнута. В работе методический материал поддерживался практическим материалом (даются описания уроков).

3.1 Действительные числа

Пункт посвящен систематизации сведений о действительных числах. В значительной степени он содержит уже знакомый материал, поэтому появляется возможность повторить все, что учащиеся уже знают о натуральных, целых, рациональных, иррациональных числах. В ходе повторения вводятся обозначения соответствующих числовых множеств: N, Z, Q, R. Желательно, чтобы учащиеся запомнили их.

Материал, связанный с теорией действительныхз чисел, сложен в идейном отношении и обычно плохо усваивается учащимися. В связи с этим содержание пункта тщательно отобрано - здесь рассматриваются только те вопросы, которые можно отнести к разряду общеобразовательных и целесообразно обсуждать со всеми учениками. Прежде всего вводится понятие множества действительных чисел - это рациональные и иррациональные числа “вместе”. Затем рассматривается вопрос об изображении действительных чисел на координатной прямой. На примере построения точки с координатной /////////// демонстрируется тот факт, что рациональные числа не заполняют координатную прямую, затем сообщается о том (конечно, без доказательства), что действительных чисел оказывается уже достаточно для заполнения всей прямой. Целесообразно обратить внимание учащихся на то, что взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой позволяет использовать в математике равноправных языка - алгебраический и геометрический.

Принципиальным в принятой методике является следующее: бесконечная десятичная дробь не является исходным понятием для определения действительного и иррационального чисел, а рассматривается как «универсальное имя» действительного числа. При этом вопрос о периодических и непериодических дробях отнесен к необязательному материалу - он включен в пункт «Для тех, кому интересно».

Разбирая конкретные примеры обращения обыкновенных дробей в десятичные, учащиеся убеждаются в том, что любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Далее сообщается, что любое иррациональное число также изображается десятичной дробью, и на примере числа ///////////// демонстрируется, как получаются последовательные цифры соответствующей бесконечной десятичной дроби, а также то, что это число не представляется в виде конечной десятичной дроби.