Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» (утверждена распоряжением Правительства Российской Федерации от 29.12.2001 № 1756 - Р (п. 2)) отмечается, что необходимо создавать условия для введения профильного обучения на старшей ступени общеобразовательной школы. Надо создать систему специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся.

Следует различать понятия «профильное обучение» и «профильная школа». Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении реализации этой цели. Профильная школа есть форма реализации этой цели.

Переход к профессиональному обучению преследует следующие цели:

обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полноценного общего образования;

создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ профессионального высшего образования.

Важнейшим вопросом организации профильного обучения является определение структуры и направлений профилей: социально-экономический, гуманитарный, физико-математический, естественно-научный, филологический, информационно-технический, агротехнический, оборонно-технический, художественный, универсальное обучение (непрофильные классы и школы).

математика школа обучение



1. Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе

1.1 Цели организации элективных курсов по математике

Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике - уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы.

Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых часов для занятий сокращается. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.

Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента.

Прилагательное «элективный» (Electus - латинский, Л. Крысин «Толковый словарь иноязычных слов», «Русский язык», М., 1998.) в переводе с латинского языка означает избранный, отобранный. Отсюда следует, что любой курс, названный в учебном плане «элективным» должен выбираться.

Элективные курсы играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы.

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трёх типов: базовых, профильных, элективных (с. 12).

Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.

Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

При этом предполагается, что элективные курсы должны способствовать внутрипрофильной специализации обучения, а так же для разработки учащимися собственного образовательного профильного маршрута, так как одной из основных задач, стоящих перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, самостоятельно выбирающего индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями, ответственно принимающего решения и эффективно действующего в современно меняющемся мире. Самостоятельность как ответственное, инициативное, независимое поведение - это основной вектор взросления молодых людей.

Элективные курсы должны быть содержательно и деятельно связаны с конкретным профилем, моделируя характерные для него учебные ситуации и проблемы.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:

развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике;

дополнение содержания профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым;

удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;

развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Элективные курсы играют большую роль в совершенствовании школьного образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материла.

Значит, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий школьников.

1.2 Типология элективных курсов по математике

Выполненный в ходе исследования анализ педагогической, методической литературы показал, что существует несколько типологий элективных курсов:

I. По разрешаемым задачам:

Элективные курсы выполняют ряд задач:

Создать условия для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с ним определенного вида профессиональной деятельности.

Помочь старшекласснику, совершившему в первом приближении выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности с ней связанных.

Удовлетворить естественное любопытство молодого человека к какой-то области знаний, которая не представлена в традиционном учебном плане.

Ознакомить с дополнительными разделами учебного материала.

Следующие виды элективных курсов решают поставленные выше задачи:

Пробные (их можно сравнить с факультативными курсами, программы которых будут ориентированы на знакомство с видами деятельности, характерными для человеческой работы в той или иной деятельности; при подготовке можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы и т.д.).

Ориентационные (например, элективный курс «Задачи на проценты» для экономического профиля); для подготовки можно использовать научно-популярную литературу, пособия для профессиональной школы, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.

Общекультурные (например, элективный курс «Золотое сечение», «Кривые в архитектуре» для любого профиля).

Углубляющие (на данных элективных курсах происходит углублённое изучение дополнительного раздела;

для подготовки можно использовать темы и задания к факультативным курсам, дополнительные главы к школьным учебникам, пособия для подготовки в вуз и т.д.).

II. Следующую типологию можно условно обозначить «по связи с предметом»:

Размещено на http://www.allbest.ru

Итак, «по связи с предметом» элективные курсы делятся на предметные, межпредметные и на элективные курсы по предметам, не входящим в базовый учебный план.

III. По содержанию:

Размещено на http://www.allbest.ru

Таким образом, из приведённых типологий элективных курсов ясно, что существуют элективные курсы, которые помогают глубоко изучить предмет, входящий в базовый учебный план, другие элективные курсы помогают показать межпредметные связи изучаемых предметов, а третьи помогают изучить предметы, не входящие в базовый учебный план. Некоторые из этих курсов направлены на изучение путей и методов применения знаний математики на практике, другие посвящены изучению методов решения математических задач, но все приведённые элективные курсы удовлетворяют потребности и интересы учащихся.

1.3 Организация элективных курсов по математике

В настоящее время предлагается проводить элективные курсы начиная с 7 класса профильной школы. Группа учащихся создаётся из учащихся параллельных классов, возможно так же создание объединённых групп из учеников последовательных классов.

Для успешного проведения элективного курса необходимо, по возможности, внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов занятий.

Проведение элективного курса требует высокого уровня профессиональной подготовки учителя. В ряде случаев для проведения элективных курсов приглашают преподавателей высших или средних специальных учебных заведений.

Выбор и посещение элективного курса по математике до 9 класса включительно производится свободно, а в 10-11 классах курсы обязательны для посещения. Требования к ученику такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашних заданий, собранность, дисциплинированность в учёбе и др.

Обучение ведётся по программам, созданным самим учителем, по его так называемому авторскому проекту.

Учитель, предлагающий курсы подобного содержания, должен уже на первом занятии увлечь своих учеников. В данном случае важна не только тема элективных курсов, но и время их проведения.

Но каждый учитель должен придерживаться ряда правил по организации элективного курса:

Требования к элективным курсам:

Избыточность (их должно быть много).

Кратковременность (6-16 часов).

Оригинальность содержания, названия.

Курс должен заканчиваться определенным результатом (творческое сочинение, проект и др.).

Нестандартность.

Элективные курсы, как правило, носят авторский характер.

Определение учебной программы

Учебная программа - нормативный документ, в котором отражены цели, содержание, особенности оценки эффективности результатов процесса обучения конкретного учебного курса.

Структурные элементы программы элективных курсов:

Титульный лист.

Пояснительная записка.

Содержательная часть.

Методическая часть.

Приложение.

Подробное описание структурных элементов элективных курсов:

Титульный лист

Пояснительная записка

Актуальность программы, обоснование необходимости программы (доводы о важности изучаемого компонента, недостаточность изучения в базовом курсе, соответствие возрасту, связь с наукой и др.).

Цели и задачи программы (развитие интереса, оказание помощи в выборе профессии и др.), цель должна отражать результат (создать проект и др.).

Обоснование отбора содержания его логике (элементы программы должны быть взаимосвязаны, должно быть выделено содержание).

Указание внутрипредметных и межпредметных связей.

Сведения об учащихся, на которых рассчитана программа.

Характеристика временных и материальных ресурсов (программа предусматривает типовое оборудование, нуждается в экскурсиях и др.).

Технические указания к тексту программы (для всех один текст, повышенного уровня - другой).

Содержательная часть

Последовательный перечень тем с их кратким содержанием, указанием времени, необходимого на их изучение.

Список демонстраций, практических и лабораторных работ, экскурсий.

Методическая часть

Методические рекомендации.

Требования к уровню знаний, умений и навыков, полученных в результате обучения.

Развитие компетентности.

Критерии эффективности реализации программы.

Формы и методы контроля.

Список рекомендуемой литературы.

Приложение

Тематическое планирование.

Дидактический материал.

Дискеты с электронными презентациями.

Экспертиза программы

Экспертиза программы может проводиться на методсовете школьного муниципального уровня.

Итак, разработка элективного курса - это трудно, так как необходимо придерживаться ряда правил, а так же иметь большой запас знаний и умений.

1.4 Основные требования к отбору задач для занятий элективного курса

Элективный курс по математике представляет собой одну тему, рассмотренную глубоко (например, элективный курс может называться «Комбинаторные задачи», а может состоять из нескольких тем, связанных друг с другом (например, «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»).

Основной курс математики служит источником тем для углублённого изучения на элективном курсе, но учитель в праве проводить свой элективный курс, который не имеет ничего общего с основным курсом математики.

Элективные курсы дополняют математические кружки, факультативы не только новым содержанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, присущими любому учебному предмету: связностью изложения, длительностью цикла изучения темы и др.

Также элективные курсы предоставляют большие возможности для подготовки к олимпиадам, поступлению в вуз и др.

Между тем любой элективный курс немыслим без определённого набора задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются как очень эффективное средство усвоения школьниками понятий, методов, вообще математических теорий, как наиболее действенное средство развития культуры мышления учащихся, как незаменимое средство привития учащимся умений и навыков в практических применениях математики.

В литературе выделяются следующие принципы отбора задач, ориентированных на усвоение содержания элективного курса:

Принцип преемственности.

Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, так как уже в самом содержании задачи «заложено» содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы деятельности и т.д.). С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и предметами и основного курса математики, и элективного курса.

Принцип связи теории с практикой.

В процессе обучения задачи должны выступать как средство связи теории с практикой, при этом практика может как предшествовать познанию, так и сопутствовать ему и заключать его. Задачи «должны не только заключать изучение теорем, понятий, … но и предшествовать, и сопутствовать им, то есть выступать в качестве средства усвоения знаний» (Г.И. Саранцев).

Принцип полноты.

То есть стремление более полно отразить в цепочке задач математические идеи, а также привести примеры, относящиеся к различным отраслям знаний (физика, экономика и т.д.), установить межпредметные связи.

Принцип контрастности.

Ориентирован на то, что уже на начальных этапах обучения при подборе заданий необходимо брать контрастные виды заданий, не допускать повторяемости одних и тех же видов (Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев и др.). При этом задания должны быть как с положительными, так и с отрицательными ответами.

Овладение методами научного познания происходит, главным образом, в процессе решения задач. Поэтому система задач должна предусматривать обучение эвристическим приёмам. Эвристические приёмы являются элементами содержания, однако школьные учебники практически не знакомят с ними учащихся, отсутствуют и задачи, способствующие их формированию. Поэтому на занятиях в процессе решения задач целесообразно обучать школьников основным эвристическим приёмам. В исследованиях по методике преподавания математики среди эвристических приёмов наиболее часто встречаются следующие: аналогия, индукция, приём элементарных задач, приём моделирования и т.д.

В литературе также выделяются и другие эвристические приёмы: введения вспомогательных элементов и нового неизвестного, достраивания фигуры, обобщения, постановки и выполнения производного задания, равносильного преобразования требования задачи, получения следствий и т.д. При этом одни приёмы раскрывают весь процесс решения задачи (иногда его называют способом решения задачи), другие - отдельные его фрагменты (тактические или локальные приёмы).

Принцип формирования исследовательских умений.

Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный творческий поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из нескольких основных этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Чаще всего в учебном исследовании проблема формулируется самим учителем. Доказательство или опровержение гипотезы обычно сводится к доказательству соответствующей гипотезы математического факта. Основная же эвристическая деятельность учащихся связана с выдвижением гипотез. Создание гипотезы в учебных исследованиях основывается на аналогии, сравнении, исследовании предельных случаев, наблюдении, интуиции, опыте и суждениях.

Заметим, что элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения. Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. При этом организация обучения в рамках элективного курса предполагает разделение класса, как минимум, на две подгруппы.

Таким образом, элективные занятия позволяют формировать и развивать у учащихся разносторонние интересы, культуру мышления, математическую культуру, умение самостоятельно восполнять знания, приобщают школьников к самостоятельной исследовательской работе, дают возможность познакомиться с некоторыми современными достижениями науки. Кроме того, они способствуют раскрытию внутреннего потенциала учащихся, созданию условий для их самореализации и развития. Элективные курсы позволяют наиболее успешно применять индивидуальный подход к каждому школьнику с учётом его способностей, более полно удовлетворять познавательные и жизненные интересы учащихся.

1.5 Содержание элективных курсов по математике

Содержание элективных курсов определено программой, разработанной учителем и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики», «Математика в приложениях» и др. К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения темы элективного курса, а также примерное содержание.

Исторический материал на элективных курсах.

Историческому аспекту математики на элективных курсах можно уделить большее внимание, чем в основном курсе (особенно для гуманитарного профиля). Степень включённости исторических сведений может меняться - от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане её последовательного исторического развития.

Практическая работа.

Так как программа элективных курсов чаще всего является авторской, ее усвоение потребует от ученика умения слушать и воспринимать материал, легко его конспектировать, а также использовать дополнительную литературу. С другой стороны, элективные курсы должны способствовать развитию навыков самостоятельной работы, поэтому особое внимание необходимо уделить организации исследовательской деятельности. С этой целью в программу должны быть включены различные практикумы:

групповая работа с научным текстом с последующим коллективным анализом для определения основных понятий, для выделения проблемы, постановки целей и задач исследования;

работа в библиотеке, подбор литературы по заданной теме с помощью каталогов;

работа в компьютерном классе, использование электронных энциклопедий и справочников, использование поисковых серверов Интернет для подбора информации;

публичные выступления по заданной проблеме.

Современное общее образование универсально в том смысле, что оно предназначено для всех, безотносительно к тому, чем сегодняшний ребенок впоследствии будет заниматься - торговлей, политикой, военным делом. Но как бы ни развивалось общество, некоторая его часть занимается наукой. Именно к тем ученикам, которые обнаруживают склонность к теоретической деятельности, имеет смысл обратить некоторые избранные математические курсы.

Суть разрабатываемых курсов состоит в том, чтобы представить в наиболее явной и чистой форме суть науки как таковой.

1.6 Формы занятий и контроль знаний на элективных курсах по математике

Введение профильного обучения, а особенно элективных курсов, в программу старшей школы, несомненно, потребует разнообразия форм и методов обучения, так как профильное обучение - это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

При выборе форм и приёмов обучения на элективных курсах необходимо учитывать содержание курса, уровень развития и подготовки учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы.

Одно из главных требований к формам и методам состоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельности в различных формах её проявления.

Выделим возможные формы организации занятий элективного курса - это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, игры, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах и индивидуально, дистанционное обучение и создание проектов. При этом дифференцированный подход к обучению учащихся осуществляется за счет выбора задач и работ, содержащих различные уровни сложности.

В конце изучения каждой темы может быть проведено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиады. Контроль по изучению всего материала может быть осуществлен через творческое задание по составлению задач и проверочные тесты.

Итогом освоения программы элективного курса может также являться констатация личных достижений по освоению содержания, представление индивидуальной творческой работы по выбору учащихся или создание проектов, как каждым учащимся, так и группой учащихся. При этом может быть организован круглый стол - как презентация творческих работ, проектов и подведение итогов.

Таким образом, в этой главе нашей работы обосновывается, что элективные курсы - это неотъемлемая часть профильного образования, эти курсы обязательны для посещения старшеклассниками. Элективные куры направлены прежде всего на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей, склонностей школьника.

В литературе встречается несколько типологий элективных курсов: «по разрешаемым задачам», «по связи с предметом», «по содержанию», но каждый курс создаётся при условии выполнения определённых требований - это такие как избыточность, кратковременность, оригинальность содержания и др. При этом любой элективный курс немыслим без задач, поэтому необходимо знать принципы их построения - принцип преемственности, принцип связи теории с практикой, принцип полноты и др.

В этой же главе предложены методические рекомендации для подбора содержания элективного курса, а так же предложены формы занятий и контроль знаний на элективных курсах.

Таким образом, из всего вышесказанного можно сделать вывод, что каждое занятие элективного курса - это тот же самый урок, требуемый подготовки, отличных знаний изучаемого материала, поиск дополнительных интересных сведений и фактов и др.



2. Разработка элективного курса «Вычисление и существование площади поверхности в школьном курсе математики»

2.1 Аннотация программы

Данный факультативный курс способствует формированию познавательного интереса учащихся к математике, развитию их логического и аналитического мышления, математической интуиции. При его изучении внимание школьников акцентируется на практическое применение свойств и теорем в повседневной жизни, показывается связь математики с окружающей действительностью, а так же вычисление и существование площадей поверхности.

2.2 Пояснительная записка

Систематическое изучение курса планиметрии предоставляет широкие возможности рассмотрения и изучения свойств геометрических фигур. Однако существующее в современном образовании противоречие между уменьшением количества часов, отводимого на изучение математики и вызванного устранением перегрузки учащихся, и повышением требований к качеству знаний и умений, акцентирует внимание на содержании факультативных курсов, проводимых в рамках вариативного компонента.

Данная программа факультативного курса «вычисление и существование площади поверхности» предназначена прежде всего для работы с учащимися 11 классов.

Она составлена с учетом содержания программы по математике для учреждений, обеспечивающих получение среднего образования с 11-летним сроком обучения. Рассчитана данная программа на 10 часов. Занятия должны проводиться раз в неделю.

Основная цель курса: развитие у учащихся пространственного воображения, логического мышления, познавательной и творческой активности на основе решения задач на решении интеграла а также изображение графиков

Задачи курса по выбору:

подготовить учащихся к систематическому изучению курса математического анализа;

провести с учащимися пропедевтическую работу по возможностям изучения математики в будущем на повышенном или углубленном уровне;

выработать у учащихся навыки работы с научной литературой с соответствующим составлением кратких текстов прочитанной информации, продолжить развитие исследовательских умений и навыков;

показать учащимся возможности использования аргументированных логических выводов в дискуссиях.

В результате изучения факультативного курса «вычисление и существование площади поверхности» у учащихся:

расширяются и углубляются знания, связанные с содержанием программы основного курса алгебры и начала анализа;

формируются практические навыки и умения работы с интегралами и геометрическим инструментарием;

усиливается прикладная направленность изучения математики;

развивается пространственное воображение;

развивается математическая интуиция, логическое и абстрактное мышление;

формируется культура математической речи;

развиваются математические и конструкторские способности;

повышается познавательная активность, формируется познавательный интерес, развивается интеллектуальный и творческий потенциал;

формируются умения и навыки самостоятельной исследовательской и творческой работы с научной литературой;

создается комфортная, положительно ориентированная направленность на изучение математики.

Тематический план курса

№	Тема занятия	Кол-во часов
1	Не много из истории. Определение площади поверхности.	2
2	Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции.	2
3	Площадь поверхности вращения тела.	1
4	Двойной интеграл. Вычисление площади в случае прямоугольной области. Вычисление площади в случае криволинейной области.	2
5	Криволинейный интеграл. Выражение площади с помощью криволинейных интегралов.	1
6	Поверхностные интегралы. Площадь поверхности, заданной явным уравнением. Площадь поверхности в общем случае.	1
7	Зачетное занятие	1

2.3 Содержание программы

Не много из истории. Определение площади поверхности (2 часа).

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме



S =

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где N - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

2.4 Поверхность тела вращения

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ДS1, ДS2… ДSn (рис. 1). Каждая хорда длины ДSi (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ДPi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

,

Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме



распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ДSi стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2)

так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,оi.. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.

или

(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ? x ? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=ц(t), y=ш(t) (t0 ? t ? t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции (2 часа).

Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции (чертёж 1). Эта фигура ограничена сверху кривой , имеющей уравнение , где - положительная и непрерывная в промежутке функция; снизу она ограничена отрезком оси , а с боков - двумя ординатами и (каждая из которых может свестись к точке).

Чертёж 1

Так как площадь P рассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишь об её вычислении. С этой целью разобьём промежуток на части, вставив между a и b ряд точек . Обозначив через и , соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу)



Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому . Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе суммы имеют своим пределом интеграл , следовательно, ему и равна искомая площадь

P=. (1)

Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу и сверху кривыми (чертёж 2), уравнения которых и , то, рассматривая её как разность двух фигур и , получим площадь названной трапеции в виде

P=. (2)

Пусть теперь дан сектор AOB (чертёж 3), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этом кривая AB задаётся полярным уравнением , где - положительная непрерывная в промежутке функция.



Чертёж 2, 3

Вставив между и (см. чертёж) значения , проведём соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее значение функции в и , то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P). Составим отдельно из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут

и .



В этих суммах и легко узнать суммы Дарбу для интеграла ; при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда фигура (P) квадрируема и

P=. (3)

Примеры:

1). Определить площадь фигуры, заключённой между двумя конгруэнтными параболами и (чертёж 4).

Очевидно, нужно воспользоваться формулой (2), полагая там , . чертёж 4.

Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдём абсциссу точки M пересечения обеих парабол, отличной от начала; она равна 2p. Имеем

.

2). Формула (1) может быть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями , . . Произведя замену в интеграле (1), получим (в предположении, что при и при ):



. (4)

Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления , и учесть, что возрастает от до , когда убывает от до нуля, то найдём . Мы вычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили её.

Чертёж 5

3). Найти площадь одного витка архимедовой спирали (чертёж 6).

Имеем по формуле (3) , в то время как площадь круга радиуса будет . Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен ещё Архимеду). чертёж 6.

4). Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой

, (чертёж 5).

Имеем по формуле (4)

.

Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a.

Площадь поверхности вращения тела (1 час).

Рассмотрим вопрос о вычислении площади поверхности вращения. Вычислим площадь поверхности вращения, считая её существующей и обладающей свойством аддитивности.

Пусть имеем на плоскости xy (именно в верхней полуплоскости) некоторую кривую AB, заданную уравнением вида

, , , (10)

Где и - функции от параметра, непрерывные вместе со своими производными. Для простоты будем предполагать её незамкнутой и лишённой кратных точек. Нам удобно ввести в качестве параметра дугу s, отсчитываемую от точки , и перейти к представлению

, , (11)

Параметр s изменяется здесь от 0 до S, если через S обозначить длину всей кривой AB.

Задача состоит в определении площади Q поверхности, полученной от вращения кривой AB вокруг оси x. Роль независимой переменной играет .

Если выделить элемент ds кривой (чертёж 12), то его приближённо можно принять за прямолинейный и вычислять соответствующий ему элемент площади как площадь усечённого конуса с образующей ds и радиусами основания y и y+dy. Тогда, по известной из школьного курса формуле,

.

Впрочем, это ещё не та формула, к которой мы стремимся - произведение двух бесконечно малых надо отбросить. Мы придём к линейной относительно формуле , откуда уже, «суммируя», окончательно получим

(12)



где под y надлежит разуметь фигурирующую в (11) функцию.

Если вернуться к общему параметрическому заданию (10) нашей кривой, то, произведя в предшествующем интеграле замену переменной, преобразуем его к виду (чертёж 6)

. (12а)

В частности, если кривая задана явным уравнением , так что в роли параметра оказывается x, будем иметь:

. (12б)

Примеры:

1). Определить площадь поверхности шарового пояса.

Пусть полукруг, описанный около начала радиусом r, вращается вокруг оси x. Из уравнения круга имеем ; далее, , , . В таком случае площадь поверхности пояса, описанного дугой, концы которой имеют абсциссы и , по формуле (12б) будет

,

где h - высота пояса. Таким образом, площадь поверхности шарового пояса равна произведению окружности большого круга на высоту пояса. В частности, при и , т.е. при , получаем площадь всей шаровой поверхности .

2). Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги циклоиды , .

Так как , , то

.

Двойной интеграл. Вычисление площади в случае прямоугольной области. Вычисление площади в случае криволинейной области (1 час).

Возьмём функцию , представляющую прямоугольную область . Вычислим площадь данной области с помощью двойного интеграла. Разобьём промежутки и на части, вставляя точки деления

,

.

Тогда прямоугольник разложится на частичные прямоугольники (чертёж 17):

. (чертёж 7)

Обозначим через и точные нижнюю и верхнюю границы прямоугольника . Возьмём , тогда . Просуммируем

,

где s и S - суммы Дарбу.

Если и устремить к нулю, то . Это и есть значение K площади:

.

Рассмотрим область , ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми: , , а с боков двумя ординатами и (чертёж 8).

Заключим область в прямоугольник , (чертёж 18) полагая , . Значение площади K площади в этом случае:

.

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой (чертёж 19):

. Наличие двучлена наталкивает на мысль перейти к полярным координатам:

, ,

площадь .

Благодаря симметрии, определим (чертёж 19) площадь части фигуры, т.е. . Полярное уравнение лемнискаты , , получаем , искомая площадь есть . Криволинейный интеграл. Выражение площади с помощью криволинейных интегралов (1 час). Запишем сначала формулу Грина:

.

Если функции P и Q в формуле Грина подобрать так, чтобы , то двойной интеграл приведётся к площади D.

Если и , то ,

если и , то ,

если и , то .

Последняя формула является наиболее употребительной.

Пример: Найти площадь эллипса с полуосями a и b. Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: , . Тогда

.

Поверхностные интегралы. Площадь поверхности, заданной явным уравнением. Площадь поверхности в общем случае (1 час).



Пусть поверхность задана явным уравнением , причём изменяются в квадрируемой области на плоскости , и в этой области имеет непрерывные частные производные и . Разложим область с помощью сетки кривых на элементы . Рассмотрим .Если построить на контуре этой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси , то она вырежет на поверхности элемент. Элемент соответствует элементу . Точка соответствует точке , где . Проведём в точке касательную плоскость. Упомянутая цилиндрическая поверхность на этой плоскости вырежет элементарную фигуру , площадь которой служит приближением к площади элемента . Сумму можно считать приближением к площади поверхности . Площадь при стремящихся к нулю диаметров всех элементов или . Отсюда , где - угол нормали к поверхности с осью . Если удовлетворяет точке , то для площадей плоских фигур и имеем , откуда . Получаем интегральную сумму . Исходя из того, что , площадь .

Рассмотрим простую гладкую поверхность , заданную параметрически. Для каждой точки поверхности явное уравнение заменяется явным же уравнением или . Отсюда следует, что вся поверхность разлагается на конечное число кусков . Вычислим площадь .

.

Замечание: Перейдём от параметров с областью изменения к параметрам с областью изменения по формулам , . Тогда поверхность выразится новыми уравнениями , , . Обозначим , , - так называемые гауссовы коэффициенты. Так как , то .

Выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.

Пример: Найти площадь частей сферической поверхности , вырезанных из неё цилиндром .

Решение. , , , тогда , причём областью интегрирования служит круг, ограниченный окружностью .

В полярных координатах получим . Проинтегрировав, получим .

В сферических координатах, так как , , , то

.



Заключение

В заключении можно сказать, что поставленные цели и выдвинутые задачи достигнуты и получены следующие результаты и выводы:

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса.

Система профильной школы состоит из базовых общеобразовательных, профильных и элективных курсов.

Организация обучения математике в различных профилях должна осуществляться в соответствии с психолого-педагогическими особенностями и стилем мышления учеников.

Элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных интересов.

Выделяют несколько типологий элективных курсов: «по связи с предметом», по содержанию, по разрешаемым задачам.

Сформулированы основные требования к отбору задач для элективных курсов: преемственность, контрастность, полнота и др.

Разработаны методические рекомендации по проведению элективных курсов (отбор содержания, формы занятий, контроль знаний и др.).

Разработан элективный курс по математике «Вычисление и существование площади поверхности» для 11 класса.



Список литературы

1. Аксёнова, Э.А. Профильное образование школьников [Текст] / Э.А. Аксёнова // Образование в Сибири. - 2002. - №1. - с. 2-5.

2. Болотов, В.А. Образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным [Текст] / В.А. Болотов. // Математика в школе. - 2003. - №9. - с. 4-8.

3. Виноградова И.А. Олехник С.Н. Садовничий В.А. «Задачи и упражнения по математическому анализу», Часть 1, 1988.

4. Гузеев, И. С Содержание образования и профильное обучение в старшей школе [Текст] / И.С. Гузеев // Народное образование. - 2002. - №9. - с. 113-123.

5. Демидович Б.П. «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997.

6. Колосов, В. Углублённое математическое образование [Текст] / В. Колосов. // Математика. - 2004. - №. - с. 2-7.

7. Колягин, Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин, В.В. Пикал. // Математика в школе. - 1995. - №6. - с. 27-32.

8. Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. - 1990. - №1. - с. 2-13.

9. Матвеев Н.М. «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений», 1967.

10. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математической специальности / А.Я. Блох, Е.С.канин, Г. В, И.Г. Килина. - М.: Просвещение, 1985. - с. 336

11. Шведов И. «Математический анализ. Часть 1. Функции одной переменной».

12. Шведов И. «Математический анализ. Часть 2. Интегральное исчисление функций многих переменных ».

13. Шилов Г.Е. «Математический анализ (функции нескольких вещественных переменных)», Части 1-2, 1972.

14. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации. / М.В. Крутихина, З.В. Шилова. - Киров, ВятГГУ. - 2006. - с. - 40

Размещено на Allbest.ru