Теоретические основы развития математического мышления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы развития математического мышления младших школьников с помощью необычных задач

1.1 Особенности математического мышления учащихся начальных классов и возможности его развития на уроках

1.2 Роль необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

Выводы по I главе

Глава 2. Методика применения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

2.1 Логические задачи как средство развития математического мышления

2.2 Использование различных способов решения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

2.3 Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

Выводы по II главе

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

мышление урок логический

Введение

Актуальность выбранной темы подтверждается тем, что главной задачей педагога становится не просто научить, а научить учиться. На 1-й план выходит образование многофункциональных учебных действий. Среди познавательных многофункциональных учебных действий выдается группа логических действий. Именно логика является основой для приобретения ребёнком познаний в разных областях деятельности. Умение основ логики предопределяет успешность обучения. Постижение предметов в исходной школе должно строиться в большей степени на мыслительной деятельности, нежели на работе памяти.

Именно при решении необычных заданий оттачивается, шлифуется мысль ребенка, мысль связанная, последовательная, доказательная. С начала и до конца обучения в школе математическая задача бессменно помогают ученику вырабатывать верные математические представления, глубже узнать разные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает вероятность использовать постигаемые теоретические расположения, дозволяет устанавливать многообразные числовые соотношения в отслеживаемых явлениях. Решая задачи, представленные в продуманной математической системе, учащиеся не только энергично овладевают оглавлением курса математики, но и приобретают знания думать творчески. Учащиеся обязаны уметь решать не только типовые задачи, но требующие знаменитой автономности мышления, оригинальности, изобретательности.

Все это подтверждает надобность исследования методологии обучения решению необычных заданий на уроках математики и во внеурочное время, исследования их роли в становлении математического мышления младших школьников.

Исходя из этого, нами избрана следующая проблема исследования - это выявление педагогических условий влияния необычных заданий на развитие мышления младших школьников. Цель исследования - рассмотреть использование необычных заданий на уроках математики как средство развития логического мышления у младших школьников.

Объектом исследования является процесс обучения математике в начальных классах.

Предметом исследования - влияние необычных заданий на развитие математического мышления учащихся начальных классов.

В качестве гипотезы было выдвинуто предположение, согласно которому нестандартные задачи благоприятно влияют на развитие математического мышления учащихся начальных классов, если:

- такие задачи регулярно будут предлагаться учащимся на уроках и во внеучебное время;

- при составлении их будут учтены возрастные особенности младших школьников.

В соответствии с проблемой, целью, объектом, предметом и гипотезой исследования были поставлены следующие задачи:

Изучить особенности математического мышления младших школьников и влияние необычных заданий на его развитие.

Для организации опытно-экспериментальной работы провести классификацию необычных задач, доступных для младших школьников.

Составить методические рекомендации для решения основных видов необычных заданий младшими школьниками.

Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что разработанная нами методика решения необычных заданий на уроках и во внеурочное время может быть использована педагога ми начальных классов и студентами в период педпрактики.

Для решения поставленных заданий и проверки исходных предположений был использован комплекс взаимосвязанных и дополняющих друг друга методов. Из организационных методов мы применили сравнительный метод с помощью поперечных срезов. Из эмпирических методов исследования, включающих все способы получения научных фактов, нами были использованы наблюдение, беседа и опрос, метод экспертной оценки, анализ продуктов деятельности педагога и учащихся.

Глава I. Теоретические основы развития математического мышления младших школьников с помощью необычных задач

1.1 Особенности математического мышления учащихся начальных классов и возможности его развития на уроках

Под математическим становлением ребенка младшего школьного возраста будем понимать целеустремленное и последовательно организованное образование и становление общности взаимосвязанных основных (базовых) свойств и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому знанию реальности.

Цель математического становления школьников - это стимуляция и становление математического мышления (соответствующих усилюсь компонентов и качеств этого мышления).

Основным направлением организации математического становления является целеустремленное становление конструктивного и пространственного мышления. [13, 46]

Модель постигаемого математического представления либо отношения играет роль универсального средства постижения свойств математических объектов. При таком подходе к образованию исходных математических представлений учитывается не только особенность математики (науки, постигающей количественные и пространственные характеристики реальных объектов и процессов), но и происходит обучение школьников всеобщим методом деятельности с математическими моделями реальной реальности и методом построения этих моделей.

Являясь всеобщим приемом постижения реальности, моделирование разрешает результативно формировать такие приемы умственной деятельности как систематизация, сопоставление, обзор и синтез, суммирование, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные методы рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе насыщенное становление словесно-логичного мышления.

Таким образом, дозволено считать, что данный подход будет

обеспечивать образование и становление математического мышления ребенка, а, следственно, будет обеспечивать его математическое становление.

Производительность и качество обучения математике определяются не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических умений, знаний и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического становления, степенью подготовки к независимому овладению познаниями. Таким образом, у школьников обязаны быть сформированы определенные качества мышления, твердые навыки разумного учебного труда, развит познавательный интерес. Следственно, безусловно, что среди многих загвоздок улучшения обучения математике в исходной школе весомое значение имеет задача образования у учащихся математического мышления.

В нынешней психологии мышление воспринимается как общественно обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия значительно нового, процесс опосредованного обобщённого отражения реальности в ходе её обзора и синтеза. Мышление появляется на основе фактической деятельности из чувственного знания и вдалеке выходит за его пределы.

Чем же отличается математическое мышление от характеристики, которая присуща мышлению вообще? [11, 77]

Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целеустремленного становления которого нереально достичь результативных итогов в овладении школьниками системой математических познаний, знаний и навыков. Образование математического мышления младших школьников полагает целеустремленное становление на предмете математики всех качеств, присущих безусловно-научному мышлению, комплекса мыслительных знаний, лежащих в основе способов научного знания, в органическом единстве с формами проявления мышления, обусловленными особенностью самой математики, с непрерывным акцентом на становление научно-теоретического мышления.

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены особенностью постигаемых при этом объектов, а также особенностью способов их постижения. Математическое мышление характеризуют возникновением определённых качеств мышления. К ним относятся: эластичность, оригинальность, глубина, направленность, рациональность, широта, активность, критичность, доказательность мышления, организованность памяти, чёткость и лаконичность речи и записи.

Эластичность мышления проявляется в знании изменять методы решения задачи, выходить за границы привычного метода действия, находить новые методы решения заданий при изменении задаваемых условий. А.Эйнштейн указывал на эластичность мышления как на характерную черту творчества.

Антиподом эластичности мышления является шаблонность мышления. Это желание следовать знаменитой системе правил в процессе решения задачи. Шаблонность мышления частенько является следствием «натаскивания» учащихся по определённым видам типовых задач. Зачастую, скажем, школьники начинают решать неизвестную им задачу тем методом, тот, что им «1-й пришёл в голову». Именно на преодолевание этого качества мышления направлены нетрадиционные задачи. Другое качество математического мышления - активность. Она характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой задачи, желанием непременно решить эту загвоздку, исследовать разные подходы к её решению.

Становлению этого качества у учащихся содействует рассмотрение разных методов решения одной и той же задачи.

Следующее качество - направленность мышления, которая включает тяготение осуществлять умный выбор действий при решении какой-нибудь загвоздки, а также тяготением к поиску наикратчайших путей её решения.

Направленность мышления даёт вероятность больше экономичного решения многих задач, которые обыкновенным методом решаются если не трудно, то слишком длинно. [21, 61]

Такова, скажем, задача о вычислении суммы 1+2+3+…+97+98+99+100. Поставив целью упростить вычисление посредством использования каких-нибудь законов сложения, школьник без труда установит знаменитый метод вычисления этой суммы: 1+2+3+…+97+98+99+100= (1+99)+(2+98)+…+(49+51)+5+100=5050.

Направленность мышления содействует проявлению рациональности мышления, которая характеризуется наклонностью к экономии времени и средств для решения задачи, тяготение разыскать оптимально примитивное в данных условиях решение, применять в ходе решения схемы, условные обозначения.

Рациональность мышления зачастую проявляется при наличии широты мышления, которая характеризуется, как способность формировать обобщённые методы действий, имеющие широкий диапазон переноса и использования к частным, знание охватить загвоздку в совокупности, не упуская при этом имеющих значение деталей; обобщить задачу, расширить область приложения итогов, полученных в процессе её разрешения.

Это качество мышления проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для них факты в процессе теснее знакомой им деятельности. Так, скажем, изучив распределительный закон умножения касательно сложения, записанный в форме а*(в+с)= ав+ас, учащиеся проявят широту мышления, если сразу смогут применить данный закон в вычислении: 2,5 *73,7 + 26,3 * 2,5.

Глубина мышления характеризуется знанием выявлять, сущность которого из постигаемых фактов в их связи с другими фактами.

Знаменито, что знание происходит двояко: в сознании отражается не только сам объект знания, но и его фон, представляющий общность связанных с этим объектом разных свойств его самого и других, связанных с ним объектов.

Процесс отделения фона от самого объекта - трудный процесс. Величина фона зависит от знаний исследовать данный объект в его значительных свойствах довольно велико. [7, 49]

Таким образом, глубина мышления проявляется, раньше каждого, в знании отделить основное от второстепенного, найти логическую конструкцию рассуждения, отделить то, что сурово подтверждено, от того, что принято «на надежду». Глубина мышления исключительно ясно проявляется при решении такого вида необычных задач, как математические софизмы.

Все рассмотренные выше качества могут развиться лишь при наличии активности мышления, которая характеризуется постоянством усилий, направлены на решение некоторой задачи, желанием непременно решить поставленную загвоздку, исследовать разные подходы к её решению, изучать разные варианты постановки этой задачи в зависимости от метаморфозы условий.

Активность мышления у учащихся проявляется также в желании разглядеть разные методы решения одной и той же задачи, обратится к изысканию полученного итога.

Так, скажем, учащиеся проявят определенную активность мышления, если спросят педагога: «Отчего на нуль разделять невозможно?».

Педагог будет содействовать становлению у школьников активности мышления, если сможет уговорить их в том, что принятое в математике условие о неосуществимости деления на нуль умно. В самом деле, проверка действия деления умножением говорит о том, что при делении на нуль мы не получаем никакого итога (пускай а = 0 и 0: 0 =n , где n - всякое число, потому что n * 0 = 0).

Качество мышления, противоположное данному качеству, есть пассивность мышления. Оно появляется в итоге формального усвоения математических умений.

В числе качеств математического мышления значимое место занимает критичность мышления, которая характеризуется знанием оценить правильность выбранных путей решения поставленной загвоздки, получаемые при этом итоги с точки зрения их достоверности, важности.

В процессе обучения математике это качество мышления проявляется наклонностью к разного вида проверкам, дерзким прикидкам обнаруженного итога, а также к проверке умозаключений, сделанных с поддержкой индукции, аналогии и интуиции. [11, 113]

С критичностью мышления узко связана доказательность мышления, характеризуемая знанием терпеливо и тщательно относиться к собиранию фактов, довольных для вынесения какого- либо мнения; тяготением к обоснованию всего шага решения задачи, знанием отличать итоги подлинные от правдоподобных (раскрывается при решении математических софизмов); вскрывать достоверную причинность связи посылки и завершения.

Наконец, к числу главных качеств мышления относится организованность памяти. Память всего школьника является нужным звеном в его познавательной деятельности, зависит от её нрава, целей, мотивов и определенного оглавления.

Организованность памяти обозначает способность к запоминанию, долговременному сохранению, стремительному и положительному воспроизведению стержневой учебной информации и упорядоченного навыка.

Ясно, что в обучении математике следует развивать у школьников как оперативную, так и долговременную память; обучать их запоминанию особенно значительного, всеобщих способов и приёмов решения задач; формировать знание упорядочить свои умения и навык.

Организованность памяти даёт вероятность соблюдать правило экономии в мышлении. Следственно нецелесообразно загружать память учащихся непотребной либо незначительной информацией, не накапливать у них навык учебной деятельности, непотребной для последующего. Так, скажем, до недавнего времени школьники «разучивали» решение типовых текстовых задач, не имеющих большого познавательного значения; это крайне негативно сказывалось и на становлении их памяти. [26, 14]

В процессе обучения математике становлению и укреплению памяти школьников содействуют:

а) мотивация постижения;

б) составление плана учебного материала, подлежащего запоминанию;

в) широкое применение в процессе запоминания сопоставления, аналогии, систематизации.

Все перечисленные качества математического мышления крепко взаимосвязаны и проявляются в учебной математической деятельности школьников не изолированно.

1.2 Роль необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

Становление логичного мышления - одна из главных заданий исходного обучения. Роль математики в становлении логичного мышления экстраординарно огромна. При сознательном усвоении математических умений учащиеся пользуются основными мыслительными операциями: обзором и синтезом, сопоставлением, обобщением, абстрагированием и конкретизацией; делают индуктивные итоги, проводят дедуктивные рассуждения. Знание думать логически - нужное условие удачного усвоения учебного материала.

Метаморфоза приоритетных направлений становления нынешней системы образования ставит перед школой задачу образования творчески мыслящих людей, владеющих нестандартным взором на загвоздки, обладающих навыками исследовательской работы. К сожалению, для нынешней исходной школы в России все еще характерна репродуктивная действие. На уроках школьники примерно все время решают типовые задачи. Привыкая к выполнению стандартных типовых заданий, имеющих исключительное решение и, как водится, исключительный результат, тот, что предварительно предопределен на основе некоторого алгорифма, учащиеся привыкают к однотипным действиям, начинают думать по эталону, фактически не имеют вероятности делать независимо, результативно развивать личный умственный потенциал, раньше каждого логическое мышление. Чай созидание - это знание отказаться от клише мышления, для того чтобы сделать что-то новое.

Широкие вероятности в этом отношении открывает решение школьниками необычных задач. Нестандартная задача - это задача, алгорифм решения которой учащимся незнаком. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Нужен поиск решения, что требует творческой работы мышления и содействует его становлению. [9, 55]

Универсального способа, дозволяющего решить всякую нестандартную задачу, в математике нет, потому что нетрадиционные задачи в какой - то степени неповторимы. Впрочем при обучении решению необычных заданий дозволено и необходимо следовать тем же педагогическим условиям, что и при работе со стандартными задачами. Разглядим некоторые из них.

Во -первых, нужно вызвать у учащихся интерес к решению той либо другой задачи. Для этого нужно скрупулезно отбирать увлекательные задачи. Это могут быть задачи - шутки, задачи-сказки, старые задачи, перевоплощения математические фокусы, отгадывание чисел и т.д.

Во - вторых, задачи не обязаны быть ни слишком легкими, ни дюже сложными, потому что, не решив задачу либо не разобравшись в ее решении, предложенном учителем, школьники могут утратить надежду в свои силы. В этом случае значимо соблюсти меру помощи. Подсказка должна быть минимальной.

В - третьих, работу по обучению решению необычных заданий следует вести планомерно, начиная с I класса.

При решении необычных заданий используются те же методы решения, что и для стандартных: алгебраический, арифметический, графический фактический, способ предположения , способ подбора.

Знаменито, что существуют определенные этапы решения задачи, выполнение которых разрешает считать решение законченным всецело:

Обзор текста задачи;

Составление плана решения

Осуществление выработанного плана

Исследование полученного решения.

Исключительно сложен для учащихся 1-й этап - обзор текста задачи. Следственно нужно с самого начала обучения решению заданий формировать у младших школьников всеобщее знание исследовать задачи. Решающее значение имеет знание обнаружить и составить план решения задачи. С этой целью применяют рассуждения от данных к желанным величинам и, напротив, от желанных (вопроса задачи) к данным величинам, допустима их комбинация. Поиск плана решения задачи дозволено осуществлять, скажем, с подмогой аналогии, установив сходство отношений в данной задаче с отношениями в задаче, решенной ранее. [10, 112]

Вообще процесс решения всякий нестандартной задачи состоит в последовательном использовании 2-х основных операций: 1) сведение (путем реформирования либо переформулирования) нестандартной задачи к иной, ей равнозначной, но теснее стандартной; 2) разбиение нестандартной задачи на несколько вспомогательных стандартных подзадач. Для того чтобы легче было осуществлять методы разбиения и моделирования, пригодно с самого начала при решении необычных заданий приучить школьников к построению вспомогательной модели задачи - схемы, чертежа, графа, графика, таблицы. Это содействует становлению определенного и абстрактного мышления во связи между собой, потому что модель задачи, с одной стороны, дает вероятность реально представить зависимости между величинами, входящими в задачу, а с иной - содействует абстрагированию от сюжетных деталей, от предметных, описанных в тексте задачи.

Что касается третьего этапа, то он зачастую реализуется теснее при составлении плана решения либо может быть реализован без специального труда. Четвертый этап следует считать необязательным, но желанно и его осуществлять там, где это допустимо.

Начинать знакомство с нестандартными задачами отличнее:

С заданий с недостающими данными;

С нерешаемых задач, развивающих знание осуществлять обзор новой обстановки;

С заданий на определение обоснованности;

С заданий на образование знания проводить дедуктивные рассуждения (при их решении учащиеся обязаны проявить смекалку, додуматься, что задача вообще не решается либо что в задаче есть лишние данные либо данных не хватает). [13, 49]

В качестве одного из основополагающих тезисов нынешней доктрины преподавания математики на 1-й план выдвигается идея приоритета развивающей функции обучения математике. В соответствии с этим стержневой целью математического образования становится не постижение основ математической науки, а становление знания математически, а значит логически изучать явления реального мира. Следственно применение учителем исходной школы разного рода необычных заданий в учебном процессе является нужным элементом обучения математике.

Логические задачи владеют высоким потенциалом. Они содействуют воспитанию одного из важнейших качеств мышления - критичности, приучают к обзору воспринимаемой информации, её разносторонней оценке, повышают интерес к занятиям математикой.

Дидактическая ценность таких заданий неоспорима. Попадая в предварительно приготовленную западню, ученик испытывает досаду, сожаление от того, что не придал специального значения тем нюансам, из-за которых он попал в несуразное расположение. Примитивное сообщение детям о том, что учащиеся, как водится, допускают в заданиях такого рода ошибки, малодейственное. Потому как оно, невзирая на общность и адресность, не является для определенно взятого ученика личностно важным. Во-первых, событие, о котором сообщается, происходило когда-то давным-давно, в прошлом, а во-вторых, всякий из учеников наивно предполагает, что в число неудачников сам Он не попадает. [18, 115]

Чтобы получить целостное представление обо всём разнообразии логических задач, их вероятностях в становлении критичности мышления младших школьников, приведём одну из имеющихся типологий этих задач.

I тип. Задачи, данные которых в той либо другой мере навязывают неверный результат. (Сколько прямоугольников дозволено насчитать в изображении окна?

II тип. Задачи, данные которых тем либо другим методом подсказывают неверный путь решения. (Тройка лошадей проскакала 15 километров. Сколько километров проскакала всякая лошадь?)

Хочется исполнить деление 15 : 3 и тогда результат: 5 км. На самом деле деление исполнять совсем не надобно, от того что вся лошадь проскакала столько же, сколько и каждая тройка, т.е. 15 км.)

III тип. Задачи, вынуждающие придумывать, составлять, строить такие математические объекты, которые при заданных условиях не могут иметь места. (Применяя цифры 1 и 4 запишите трёхзначное число, дающее при делении на 3 остаток, равный 2. Придумать такое число нереально, от того что всякое число, удовлетворяющее условию задачи, делится на 3 без остатка.)

IV тип. Задачи, вводящие в заблуждение из-за неоднозначности трактовки терминов, словесных циклов, буквенных либо числовых выражений. (На листе бумаги написано число 606. Какое действие надобно совершить, чтобы увеличить это число в полтора раза? Тут имеется в виду не математическое действие, а легко игра с листом бумаги. Если опрокинуть лист, на котором написано число 606, то увидим запись 909, т.е. число, которое в полтора раза огромнее числа 606.)

V тип. Задачи, которые допускают вероятность «опровержения» семантически правильного решения синтаксическим либо другим нематематическим методом. (Крестьянин продал на рынке трёх коз за 3 рубля. Спрашивается: «По чему вся коза вульгарна?». Явственный результат: «по одному рублю» - опровергается: козы по деньгам не ходят, а ходят по земле.)

Описанные разновидности заданий не исчерпывают каждого их разнообразия, но дают представление о методах их составления и применения в обучении математике.

Нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является вестимой цепью знаменитых действий. Следственно представление нестандартной задачи касательно. Триумф в решении зависит не только от того, решались ли прежде сходственные задачи, сколько от навыка их решения вообще, от числа всецело разобранных решений с поддержкой педагога с подробным обзором всех увлекательных аспектов задачи. Нерешённая задача подрывает у учащихся убежденность в своих силах и негативно влияет на становление интереса к решению заданий вообще, следственно педагог должен проследить за тем, чтобы поставленные перед школьниками нетрадиционные задачи были решены. Но совместно с тем решение необычных заданий с поддержкой педагога - это совсем не то, чего следует достигать. Цель постановки в школе необычных заданий - обучить школьников решать их независимо. [22, 59]

Нетрадиционные задачи делятся на 2 категории:

1 категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной сложности - типа заданий математических олимпиад.

2 категория. Задачи типа математических веселий.

Первая категория необычных заданий предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обыкновенно связаны с тем либо другим определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные расположения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении сложных задач.

Вторая категория необычных заданий прямого отношения к школьной программе не имеет и, как водится, не полагает огромный математической подготовки. Это не значит, впрочем, что во вторую категорию заданий входят только лёгкие упражнения. Тут есть задачи с дюже сложным решением и такие задачи, решение которых до сего времени не получено.

Нетрадиционные задачи, поданные в интересной форме, вносят чувствительный момент в умственные занятия. Но связанные с необходимостью каждый раз использовать для их решение заученные правила и приёмы, они требуют мобилизации всех собранных познаний, приучают к поискам оригинальных, не шаблонных методов решения, обогащают искусство решения прекрасными примерами, принуждают восторгаться силой рассудка. [26, 34]

Выводы по I главе

Становится явственным один значительный недочет школьных задачников: дюже немного задач, предусматривающих связь между разделами курса.

Таковы требования психологии, выполнение которых помогает становлению математического мышления школьника. Педагог исходных классов, безусловно, должен рассматривать их в практике организации урока, домашнего задания, а также в организации вне учебных занятий и досуга учащихся. Он должен не натаскивать школьников на разных таблицах сложения, вычитания, умножения, на механическом запоминании разных правил, а, раньше каждого, должен приучать с охотой и осмысленно думать. «Не нужно мучить учеников длиннейшими и скучнейшими механическими вычислениями и упражнениями. Когда они потребуются кому-либо в жизни, он их проделает сам, - да на это есть всевозможные вычислительные машины», - так писал Е. И. Игнатьев ещё в начале нашего столетия.

Ещё одна характерная специфика необычных математических заданий состоит в том, что они способны вызвать интерес к итогу решения, а заманчивость приобретения итога вдохновляет на преодоление сложностей процесса решения заданий и тем самым помогает воспитанию умственной активности. Интересные упражнения гонят прочь умственную и волевую лень, тренируют мышления, вырабатывают повадку к умственному труду, надобность в нём, воспитывают настойчивость в преодолении сложностей, вызывают целебно действующее на организм счастливое сознание триумфа в случае самосильно обнаруженного решения. [20, 120]

Включая нетрадиционные задачи в арсенал развивающих средств, педагог приобретает очаровательное пособие не только для умного заполнения досуга учащихся, для игры, но и для ежедневной умственной гимнастики.

Глава II. Методика применения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

2.1 Логические задачи как средство развития математического мышления

Под логическими задачами традиционно понимают такие задачи, которые решаются с поддержкой одних лишь логических операций. Логические задачи могут решаться реально и фактически решаются обыкновенными рассуждениями. Изредка решение их требует долгих рассуждений, нужное направление которых предварительно невозможно предугадать. Эти сложности преодолеваются, если для решения этих заданий применять агрегат алгебры, высказываний. Правда, в этом случае появляются другие сложности, связанные с переводом условий заданий на язык алгебры высказываний и с применением агрегата этой алгебры. Знание решать задачи средствами традиционной алгебры (составление и решение уравнений) помогает им преодолевать эти сложности.

Современные исследования показали, что именно в исходной школе закладываются основы доказательного мышления. На данном этапе школьного обучения основная цель работы состоит в том, чтобы школьники обучились делать итоги из тех мнений, которые предлагаются им в качестве начальных, чтобы они сумели ограничиться оглавлением этих мнений, не привлекая других познаний. Некоторые дети, скажем, рассуждая о том, кто из ребят самый мощный, если Вова мощнее Марины, а Марина слабее Кати, делают итог, что Вова мощней всех, так как мальчуганы неизменно мощней девчонок.

Становлению логичного мышления могут содействовать следующие задачи. [29, 155]

Задача. Было три фигурки: треугольник, круг и квадрат (педагог единовременно изображает это в левой части доски). Всякая из них жила в одном из трёх домиков: 1-й домик был с высокой крышей и маленьким окном, 2-й с высокой крышей и огромным окном, 3-й с низкой крышей и огромным окном (говоря это, педагог рисует домики).

Треугольник и круг жили в домиках с огромным окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей (по мере рассказа педагог даёт схематическое изображение этих мнений справа от их изображения домиков). Надобно отгадать, в каком домике живёт вся фигурка (изображение вопроса задачи ещё правее).

Разбор задачи осуществляется с поддержкой следующих вопросов.

Что нам вестимо про фигурки? (Нам вестимо, что треугольник и круг живут в домиках с огромным окном, а круг и квадрат в домиках с высокой крышей).

Про какую фигурку вестимо огромнее каждого? (Про круг).

Что знаменито? (Вестимо, что круг живёт в домике с высокой крышей и с огромным окном).

Есть ли у нас такой домик? Да, это домик 2. Напишем цифру 2 в результат рядом с кругом.

Что сейчас дозволено узнать? (Дозволено узнать, где живёт треугольник. Он живёт в домике 3). Отчего? (Так как в задаче сказано, что треугольник живёт в домике с огромным окном. А потому что в одном таком домике живёт круг, то в ином живёт треугольник). Напишем в результате рядом с треугольником цифру 3. А где живёт квадрат? (Квадрат живёт в домике 1, так как данный домик остался свободным). Напишем в результате рядом с квадратом цифру 1.

Решение большинства логических заданий дозволено подчинить дальнейшему плану: [28, 88]

1. выделить в условии то, что относится к мнению о парах предметов;

2. определить предмет, о котором вестимо огромнее каждого;

3. сделать итог об этом предмете;

4. сделать итоги об остальных предметах.

В тех случаях, когда школьники испытывают затруднения при решении логических задач, с ними необходимо проводить работу на материале упрощённых задач. Так, вначале необходимо предложить задачу, на материале которой дозволено ясно представить толк рассуждения при выборе знаков предметов.

Скажем: Было две фигурки: круг и квадрат и два домика с окном. Круг жил в домике с окном, квадрат жил в домике 2. Где жил круг?

На материале заданий такого типа ребёнок учится решать больше трудные задачи, а основное - делать альтернативный итог, тот, что выступает значимым звеном в рассуждении при решении логических задач.

Позже решения заданий на логическое мышление с опорой на наглядно представленное условие рационально проводить работу только с текстовой частью условий этих заданий (то есть без изображения мнений), чтобы школьники практиковались рассуждать. Наравне с этим пригодно также предлагать детям независимо составлять сходственные задачи. Тут допустимы два этапа. На первом этапе педагог предлагает два звена данные, где говорится о предметах и их знаках, а мнения, характеризующие связи предметов и знаков, школьники придумывают сами. На втором этапе школьники сами выдумывают всю задачу. [24, 28]

Исключительно нравятся учащимся исходных классов логические задачи со сказочным сюжетом. Являясь увлекательным по форме, они усиливают интерес к самой задаче, побуждают ребёнка решать загвоздку, вызывают желание помочь полюбившимся героям. Красота решения, непредвиденный поворот мысли, логика рассуждений, всё это усиливает чувствительное восприятие детей.

Дюже главно подобрать посильные для учеников задания, соответствующие их вероятностям, становлению. Пригодно и дать 1-й толчок для побуждения ребёнка заняться решением, а после этого усилить его сопротивляемость перед встающими сложностями. Чай зачастую бывает, что даже способный ученик не хочет примитивно прочитать задачу, не то что решать её, а следственно уместно применять внешнюю занимательность текстов. Цель может быть достигнута, если условие задачи будет схоже на сказку.

Желание помочь попавшему в беду любимому герою, тяготение разобраться в сказочной обстановки - всё это стимулирует умственную действие ребёнка.

В то же время важно и обратная связь: в ряде случаев встреча со сказочными героями в мире математики побуждает ученика ещё раз прочитать литературное произведение, поразмышлять, глубже заглянуть в него.

При составлении заданий нужно достигать, чтобы поведение сказочных героев соответствовало духу самой сказки: единоборство за честность Ивана-царевича и хитрость Кащея Бессмертного, верность дружбе неунывающего Буратино и желание поживиться за сторонний счёт лисы Алисы и кота Базилио и т.д. Симпатии школьников на стороне правильных героев. Добросердечно торжествует, зло наказано, негативные качества высмеиваются. Сказки и через задачи продолжают воспитывать детей.

Данные задачи со сказочными сюжетами во многих случаях массивны. Выбранная форма сказки влечёт за собой касательно крупной её объём - чай при составлении задачи доводится следовать литературному тексту сказки. Но в таком случае школьники с огромным удовольствием читают условие, вникают в его толк - а работа с текстом является значительной частью психологической подготовки школьника к решению задачи. [13, 57]

Чтобы не быть голословным, приведём пример сходственной задачи.

Иван супротив Кащея Бессмертного.

Помогу тебе, Иван, вызволить Василису Очаровательную, - сказала Баба Яга.

По душе ты мне пришёлся. Да и от Кащеева коварства много я страдала, уж дюже хочется его проучить.

Вот тебе, Иван, клубок. Приведёт он тебя прямо к Кащею Бессмертному. В одной из них томится Василиса Красивая, в иной находится Змей Горыныч, а третья темница - пустая. Учти, что все надписи на дверях темницы неверные.

Кинул Иван клубок на землю. Покатился клубок, а Иван - за ним. Длинно ли, коротко ли, он дошёл до Кащея Бессмертного. Затребовал Иван у него Василису Красивую.

Повёл Кащей Ивана в подземелье. Показал там три темницы, на дверях которых написано:

темница 1 - “Здесь Василиса Очаровательная»;

темница 2 - «Темница 3 не пустая»;

темница 3 - «Тут Змей Горыныч».

Отпущу, Иван, с тобой Василису Красивую, если угадаешь, в какой она темнице. Покажешь на дверь, за которой Змей Горыныч, - быть тебе им растерзанным. Покажешь на пустую темницу - быть тебе в ней узником до конца дней своих.

Задумался Иван … Ребята, порекомендуйте Ивану, на какую дверь показать.

Результат. Василиса Очаровательная во 2 темнице.

Надпись на двери темницы 2 неверная, то есть темница 3 пустая. Значит, 1 и 2 темницы не пустые. Надпись на двери 1 темницы тоже неверная. Значит, там Змей Горыныч. Тогда во 2 темнице Василиса Очаровательная. [25 ,184]

Логические задачи являются к тому же отличным индикатором математических способностей именно потому, что не требуют никаких математических познаний и навыков, помимо элементарных. Следственно первоначально логические задачи доступны теснее первоклассникам, учителю лишь нужно заинтересовать решением задачи, придать ей занимательность.

Доступность логической задачи не обозначает лёгкость её решения. Чтобы её решить, надобно приложить существенные умственные усилия. И тем весомее будет с точки зрения самооценки учащихся её положительное решение.

Таким образом, логические задачи являются очаровательным средством становления математического мышления. Они развивают знание логически рассуждать, выводить одно из иного, повышают активность мысли.

2.2 Использование различных способов решения необычных заданий в развитии математического мышления младших школьников

Решение необычных заданий составлением уравнения.

Для этого нужно:

провести разбор задачи с целью выбора основного незнакомого и обнаружения зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме 2-х алгебраических выражений;

найти основание для соединения этих выражений знаком «=»и составить уравнение;

найти решения полученного уравнения, организовать проверку решений уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Скажем, о поисках основания для соединения 2-х алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об специальном этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом вероятности объединить их знаком «=».

Как обнаружение зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Триумф в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они настоящий толк этих отношений (скажем, отношений, выраженных терминами «позднее на…», «старше в…раз» и т.п.). Дальше требуется осознание, каким именно математическим действием либо, свойством действия либо какой связью (зависимостью) между компонентами и итогом действия может быть описано то либо иное определенное отношение.

Приведём пример оформления записи разбора нестандартной задачи, решаемой составлением уравнения. [8, 15]

Задача. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста - 1кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста совместно». Какова масса рыбы?

Х кг - масса туловища;

(1+Х/2) кг - масса головы;

Потому что по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем уравнение:

Х=1+ Х/2+1

Х - Х/2=2

Х/2=2

Х=4

4 кг - масса туловища;

1+1/2*4=3 (кг) - масса головы;

3+4+1=8 (кг) - масса каждой рыбы;

Результат: 8 кг.

Численное решение необычных заданий дозволено получить графическим методом. Данный способ нагляден и довольно примитивен. Разглядим методологию его проведения на определенном примере. [17, 16]

Задача. У 2-х рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?»

«В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», - ответил 1-й.

«А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», - подсчитал 2-й.

Я сосчитал, а сейчас посчитайте вы.

Решение:

Сколько рыбы в корзине первого рыбака? Как обозначим это условие на чертеже?

Подметим на чертеже, сколько рыбы было у 2 рыбака.

Можем ли мы узнать, сколько рыбы составляет половину корзины 2 рыбака? Откуда это следует?

Сколько каждого было рыбы у 2 рыбака? А сколько у 1 рыбака?

Методы решения комбинаторных задач.

Включение комбинаторных заданий в исходный курс математики оказывает правильное воздействие на становление младших школьников. «Целеустремленное обучение решению комбинаторных заданий содействует становлению такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем целенаправленность мыслительной деятельности ученика на поиск разных решений задачи в случае, когда нет особых указаний на это».

Комбинаторные задачи дозволено решать разными способами. Условно эти способы дозволено поделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» способе решения необходимо определить нрав выбора, предпочесть соответствующую формулу либо комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить итог. Результат - это число допустимых вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же способе решения на 1-й план выходит сам процесс составления разных вариантов… И основное теснее не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким способам относится способ перебора. Данный способ не только доступен младшим школьникам, но и разрешает накапливать навык фактического решения комбинаторных задач, что служит основой для вступления в будущем комбинаторных тезисов и формул. Помимо того, в жизни человеку доводится не только определять число допустимых вариантов, но и непринужденно составлять все эти варианты, а, обладая приёмами систематического перебора, это дозволено сделать больше разумно.

Задачи по трудности осуществления перебора делятся на три группы:

Задачи, в которых надобно произвести полный перебор всех допустимых вариантов.

Задачи, в которых применять приём полного перебора не рационально и надобно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).

Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к различного рода объектам. [16, 84]

Приведём соответствующие примеры задач:

Расставляя знаки «+» и « - « между данными числами 9…2…4, составь все допустимые выражения.

Проводится полный перебор вариантов:

два знака в выражении могут быть идентичными, тогда получаем 9+2+4, 9-2-4;

два знака могут быть различными, тогда получаем 9+2-4, 9-2+4.

Педагог говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: крупный и небольшой квадраты, крупный и небольшой круги так, что на первом месте находится круг и идентичные по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Каждого существует 24 разных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию не уместно, следственно проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять крупной круг, тогда небольшой может быть только на третьем месте, при этом огромный и небольшой квадраты дозволено поставить двумя методами - на второе и четвёртое место.

Схожее рассуждение проводится, если на первом месте стоит небольшой круг, и также составляются два варианта.

Три партнера одной фирмы хранят дорогие бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии правда бы 2-х компаньонов, но не одного. Как это дозволено сделать?

Вначале перебираются все допустимые случаи разделения ключей. Всему компаньону дозволено дать по одному ключу либо по два различных ключа, либо по три. [4, 54]

Представим, что у всего партнера по три различных ключа. Тогда сейф сумеет открыть один партнер, а это не соответствует условию.

Представим, что у всего партнера по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не сумеют открыть сейф.

Дадим всем компаньону по два различных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут всякие два партнера, сумеют ли они открыть сейф.

Могут прийти 1-й и 2-й компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти 1-й и 3-й компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти 2-й и 3-й компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3).

Таким образом, чтобы обнаружить результат в этой задаче, надобно исполнить операцию перебора несколько раз.

«При отборе комбинаторных заданий необходимо обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Мы усердствовали, чтобы задачи не выглядели неестественным, а были внятны и увлекательны детям, вызывали у них позитивные эмоции. Желанно, для составления заданий применять фактический материал из жизни».

Методы решения математических софизмов.

Софизм - подтверждение ложного заявления, причём оплошность в доказательстве умело замаскировано. Софизм в переводе с греческого обозначает хитрую неправду, ухищрение, головоломку.

Ошибки, допущенные в софизме обыкновенно сводятся к дальнейшим: выполнению «запрещённых» действий, применению ложных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «нелегальным» обобщениям, неправильным использованиям теорем.

Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждении, базируясь на которой была сделана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, раньше каждого, развивает логическое мышление, прививает навыки верного мышления. [22, 67]

Найти ошибку в софизме - это, значит, понять её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в иных математических рассуждениях.

Помимо критичности математического мышления данный вид необычных заданий выявляет эластичность мышления. Сможет ли ученик «вырваться из тисков» этого сурово логического на 1-й взор пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ложным и делает ложным все последующие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению постигаемого материала, развивает внимательность и скептическое отношение к тому, что изучается.

Вот, к примеру, софизм с неправильным использованием теоремы.

Подтвердим, что 2*2=5.

Возьмём в качестве начального соотношения следующее явственное равенство:

4:4=5:5 (1)

Перепишем его в таком виде:

1*(1:1)=5*(1:1) (2)

Числа в скобках равны, значит, 4=5 либо 2*2=5.

Решение: в рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) сделана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения касательно сложения.

Либо иной софизм с применением «нелегальных» обобщения.

Имеются две семьи - Ивановых и Петровых. Вся состоит из 3 человек - папы, матери и сына. Папа Иванов не знает папы Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Исключительный сын Ивановых не знает исключительного сына Петровых. Итог: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Правильно ли это?

Решение: если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному рангу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Скажем, папа Иванов может знать мать и сына Петровых (как подметил ученик экспериментального класса Морозов Саша).

Правда всеобщих правил для решения необычных заданий нет ( по этому эти задачи и именуются нестандартными ), впрочем мы постарались дать ряд всеобщих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении необычных заданий различных видов. [13, 85]

Математические ребусы, кроссворды, шарады

Ребус - это загадка, но загадка не вовсе обыкновенная. Слова и числа в математических ребусах изображены при помощи рисунков, звездочек, цифр и разных знаков. Чтобы прочесть то, что зашифровано в ребусе, нужно верно назвать все изображенные предметы и осознать, какой знак что изображает. Ребусами люди пользовались еще тогда, когда не умели писать. Свои письма они составляли из предметов. Скажем, предводители одного племени послали некогда своим соседям взамен письма птицу, мышь, лягушку и пять стрел. Это обозначало: «Умеете ли летать как птицы и прятаться в земле как мышь, прыгать по болотам как лягушки? Если не умеете, то не пробуйте воевать с нами. Мы осыпям вас стрелами, как только вы вступите в нашу страну».

Числовые ребусы - это примеры, в которых все либо некоторые цифры заменены звездочками либо буквами. При этом идентичные буквы заменены звездочками либо буквами. При этом идентичные буквы заменяют идентичные цифры, различные буквы - различные цифры.

2.3 Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

В ходе исследовательской работы нами были выдвинуты следующие задачи:

определить вероятности необычных заданий в процессе становления математического мышления младших школьников;

изучить, как применяются сходственные задачи в практике работы учителей;

разработать на основе навыка работы передовых учителей методологию обучения учащихся поисковой деятельности при решении необычных задач.

Руководствуясь перечисленными задачами, наше исследование проходило в несколько этапов.

1-й этап был посвящён постижению психолого-педагогической, математической, методической литературы по данной теме с целью сопоставления вероятностей необычных и нормальных заданий в качестве средства становления математического мышления.

На втором этапе анализировался навык учителей МОУ СОШ №3 г.Элисты по утилитарному использованию необычных заданий на уроках математики в исходных классах.

На третьем этапе проводилась разработка и апробация методологии обучения учащихся решению необычных задач.

У них собран определенный навык в составлении и применении крохотных книг по увлекательной математике. Первую из них - «Десять задач» - дозволено было сделать из материала книги В.Н.Русанова

В практике современного обучения математике на решение заданий отводится огромная часть времени как на уроках, так и при выполнении школьниками домашних заданий. Но из-за применения только типовых заданий это учебное время применяется неэффективно, что негативно сказывается на качестве обучения математике в совокупности. [9, 46]

Знаменитый учитель-математик Д. Пойа так высказался по этому поводу: «Что значит владение математикой? Это есть знание решать задачи, причём не только типовые, но и требующие вестимой автономности мышления, здорового смысла, оригинальности, изобретательности».

Общепринята связь мышления и процесса решения задач: «мышление психологически выступает как действие по решению задач». И правда мышление не отождествляется процессу решения задачи, дозволено утверждать, что образование мышления результативнее каждого осуществляется через решение задач. Рассматривая, что «задача - это осело, на котором оттачивается, шлифуется мысль ребёнка, мысль связанная, последовательная, доказательная», в ходе решения математической задачи дозволено формировать у школьников элементы творческого математического мышления совместно с реализации основных целей обучения математике. Но осуществить это дозволено в том случае, если в школьном курсе математики будет содержаться методическая система необычных задач, процесс решения которых формирует у учащихся познавательный интерес, и автономность, развивает математические способности.