Развивающее обучение на уроках математики

7.2 Аналитико-синтетическая деятельность младших школьников

Аналитико-синтетическая деятельность в начале младшего школьного возраста еще весьма элементарна. Она находится на стадии наглядно-действенного анализа при непосредственном восприятии предметов. Отчетливо показало это, например, исследование психолога Е. Шаломона. Занимаясь элементарным техническим конструированием, первоклассники все операции выполняли на основе восприятия модели, анализ у них принимал форму фактического действования. Необходимость произвести умственный анализ вызывала паузы в работе и хаотичный поиск правильного решения.

Освобождение анализа от практического действования происходит по мере приобретения учениками опыта, по мере накопления знаний, умений и навыков. Ученики II класса уже могут анализировать предмет, не прибегая к практическим действиям с ним, они способны вычленять различные признаки, стороны предмета уже в речевой форме. Большое значение в этом плане имеет обучение родному языку и арифметике. Обучение арифметике связано с умением в результате анализа абстрагировать число от его конкретного значения, анализировать условия задачи. Переход от чувственного анализа (связанного с непосредственным восприятием) к умственному (когда аналитическая деятельность не связана с непосредственным восприятием, а основывается на представлениях и понятиях об объекте познания), особенно заметен у третьеклассников. Высокий уровень анализа вызван подчинением определенной целевой установке, когда школьник вычленяет не все признаки объекта, а лишь те, которые необходимы для решения определенной познавательной задачи. Если умственный анализ производит ученик II класса, то он, как правило, рассказывает о предмете все, что он знает, даже самые несущественные детали, независимо от той цели, которая ставится перед ним. Ученики старшего возраста уже руководствуются конкретной целью анализа.

Умственный анализ младших школьников проходит последовательно два уровня. На первом уровне происходит анализ по представлению, а поскольку представление как наглядный образ есть отражение видимых, наглядных признаков объекта, то и анализ на этом уровне есть выделение явных, наглядных, внешних признаков. Более высокий уровень умственного анализа есть анализ на основе понятий, и, следовательно, он связан с выделением внутренних, существенных признаков и свойств. Такой, как говорят, абстрактный умственный анализ можно наблюдать уже у третьеклассников. Заметное развитие он приобретает к концу младшего школьного возраста, в связи с началом систематического изучения широкого круга учебных предметов.

Таким образом, аналитическая деятельность младшего школьника развивается в направлении от наглядно-действенного к умственному и далее к абстрактно-умственному анализу; от анализа отдельного предмета, явления - к анализу связей и отношений между предметами и явлениями. Последнее есть необходимая предпосылка понимания школьниками явлений окружающей жизни. Понять новое, неизвестное явление означает соотнести его с известным, включить его в систему знаний, подвести новое явление под более общее, уже знакомое понятие. Это предполагает обычно умение размышлять, аргументировать. Сначала ученик овладевает умением понимать аргументацию учителя, следить за последовательным ходом его рассуждений, а затем, на этой основе, учится и сам развертывать цепь последовательных звеньев аргументации.

7.3 Проявление причинно-следственных связей в младшем школьном возрасте

Младший школьник встречается с известными трудностями при установлении и понимании причинно-следственных связей. Отмечается, например, смешение причинности с совпадением во времени («Семена на пришкольном участке не проросли, потому что в момент, когда их сеяли, был сильный ветер»). Кроме того, наблюдается узость в понимании причинно-следственных связей (младшие школьники, зная, что от нагревания металлический шарик расширяется, не сумели ответить, будет ли расширяться от нагревания металлический стержень). Младшему школьнику легче устанавливать связь от причины к следствию, чем от следствия к причине. Это и понятно: при умозаключении от причины к следствию устанавливается прямая связь, при умозаключении от факта к вызвавшей его причине такая связь непосредственно не дана, так как указанный факт может быть следствием самых различных причин, которые надо специально анализировать. Таким образом, младшему школьнику при одном и том же уровне знаний легче ответить на вопрос: «Как влияет теплое течение Гольфстрим на климат Северной Европы?», чем на вопрос: «Почему в Северной Европе климат теплее, чем в Северной Америке на этой же широте?», легче ответить на вопрос: «Что произойдет, если растение не поливать?», чем на вопрос: «Почему засохло это растение?»

Отмеченная закономерность характерна и для старших школьников. Старшеклассник назовет несколько возможных причин и, проанализировав ситуацию, остановится на искомой. Младший же школьник, даже владея соответствующими знаниями, указывает обычно на одну причину.

Для развития причинно-следственного мышления необходимо добиваться, чтобы младшие школьники не просто заучивали причинно-следственные отношения и зависимости, а понимали их, осознавали внутреннюю связь между явлениями.

Характеристика умственного развития в младшем школьном возрасте имеет не абсолютное, а относительное значение.

Процесс обучения организован так, чтобы у детей, начиная уже с I класса, активно формировались интеллектуальные операции. У учащихся этих экспериментальных классов был сформирован, в общем, более высокий уровень абстрагирования и обобщения сравнительно с детьми обычных классов исследовательского института общей и педагогической психологии АПН СССР под руководством Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. Эти психологи полагают, что наблюдаемые в настоящее время возрастные особенности умственной деятельности объясняются системой усвоения знаний в соответствии с принятыми программами.

Тема 8. Сближение психологического изучения учебной деятельности с работами методического характера

Изложенное выше понимание содержания построения учебной деятельности, по словам В.В. Давыдова, связано с результатами ее психологического изучения. Но такое понимание учебной деятельности в некоторых существенных моментах сближается с ее истолкованием в работах, носящих методический характер. В них намечаются основные пути дальнейшего совершенствования начального обучения.

8.1 Общий подход к учебной деятельности НИИ АПН СССР

Рассмотрим общий подход к учебной деятельности, изложенный в одной из таких работ, созданной сотрудниками сектора начального обучения НИИ содержания и методов обучения АПН СССР.

«...В связи с тем, что именно в младшем школьном возрасте учебная деятельность становится ведущей, - отмечают они, - формирование и развитие ее в I - III классах - центральная задача начального обучения и воспитания». И далее: «При этом наиболее важно обеспечить формирование у младших школьников общих умений и навыков учебной деятельности. Именно в начальной школе должна быть выполнена основная часть работы по формированию умения учиться». Именно так можно «подготавливать учащихся к успешному обучению на следующем этапе средней школы».

Выше было сказано, что и для детской психологии основной задачей современного начального обучения является, прежде всего, изучение закономерностей формирования у младших школьников полноценной учебной деятельности (умения учиться). Лишь при этом условии они могут успешно учиться в старших классах, где учение - один из видов общественно полезной деятельности.

Выдвижение на первый план развивающе-воспитательной функции оказало решающее воздействие, как на содержание, так и на методы начального обучения. Введение новых понятий и идей в начальное обучение предполагало повышение роли теоретических знаний, позволяющих рационализировать (и частично ускорить) изучение традиционного материала и усилить осуществление развивающе-воспитательной функции обучения. В связи с этим большое значение приобрели методы обучения, направленные на продуктивную деятельность учащихся, связанную с формированием обобщений, абстракций, с самостоятельным применением приобретенных теоретических знаний при решении учебных, познавательных и практических задач.

Действительно, возникновение новых идей в психологии и методике начального обучения было связано с осознанием того, что оно должно выполнять подлинно развивающую функцию, реализация которой предполагает насыщение его содержания теоретическими знаниями. Их усвоение предполагает, в свою очередь, формирование у младших школьников абстракций и обобщений, составляющих основу продуктивного мышления, что, способствует развитию у детей основ теоретического мышления.

8.2 Урок в развивающей системе В.В. Давыдова

По месту в цикле постановки и решения учебной задачи уроки делятся:

- на вводные (или постановочные) уроки,

- на уроки решения учебной задачи и

- на уроки конкретизации открытого способа действия (уроки решения частных задач).

Постановочные уроки - это наиболее трудные уроки в курсах обучения по системе РО, т.к. именно на этих уроках происходит переход от старого к новому способу действий. Постановочный урок, или вводный, - это урок или часть урока, на котором ставится учебная задача, т. е. демонстрируется несовершенство (ограниченность в применении) старого, освоенного способа действий и начинается поиск нового способа действий, подходящего к поставленной задаче. Основная задача учителя на данном уроке состоит в том, чтобы детям стало очевидно несовершенство того способа действий, которым они овладели.

Первый этап постановочного урока - создание «ситуации успеха». На этом этапе детям предлагается конкретно-практическая задача, опирающаяся на прошлый опыт ребенка. Каждый ученик индивидуально решает задачу, не испытывая при этом никаких трудностей. В результате достигается эмоциональное удовлетворение детей своими знаниями.

Включает демонстрацию детьми владения старым способом, выполнение нескольких заданий старым способом, форму вопросов и ответов, каким способом решить ту или иную задачу.

Второй этап - возникновение ситуации «интеллектуального разрыва». Детям предлагается похожая по внешним признакам конкретно - практическая задача, которую они решить уже не могут, так как она ориентирована уже на новый способ действия. В результате возникает эмоциональное переживание всеобщего неуспеха. Это положительная эмоция, т. к. нет переживания неуспеха на фоне спеха другого, осуществляется самооценка детей, которая проводится по усмотрению учителя, но лучше, если дети оценивают себя в письменной форме, т. к. это позволяет:

- учителю впоследствии более внимательно поработать с самооценкой каждого школьника,

- ученику впоследствии оценить отношение к своему прошлому взгляду на вещи.

Третей этап - фиксация «разрыва» в графико-знаковой форме и формулировка учебной задачи в словесной ферме. На этом этапе ученики вместе с учителем должны сформулировать то, чего им сейчас не хватает, т. е. испытать «дефицит своих способностей». Для этого необходимо проанализировать ситуацию практического затруднения: где и почему возникла трудность? Тогда и появляется учебная задача: «Что же мы будем делать дальше?»

Результатом является определение использования старых способов действий и формул в новых условиях.

На этом заканчивается первый этап учебной деятельности - этап постановки учебной задачи. Он может занимать от 10-15 минут до целого урока или нескольких роков.

Принципы постановки учебной задачи:

- Вводимое понятие должно быть предельно общим с тем, чтобы последующие этапы работы с понятием выступали для детей как конкретизация, уточнение исходного понятия.

- Прежде чем вводить новое знание, необходимо создать ситуацию необходимости его появления.

- Не вводить знание в готовом виде. Даже если нет никакой возможности подвести учащихся к открытию нового, всегда есть возможность создать ситуацию самостоятельного поиска, предварительных догадок и гипотез.

- Если учителю удалось поставить учебную задачу правильно, то ученики смогут, получив ответ на первую задачу, почти самостоятельно поставить следующую.

8.3 Рекомендации методистов построения учебной деятельности младших школьников

Методисты считают, что в процессе учебно-воспитательной работы нужно использовать уже на начальной ступени обучения обобщения, формируемые на основе минимального числа целесообразно организованных наблюдений. При этом необходимо, что бы дети в процессе усвоения нового приема действия знакомились с вопросами, которые возникли у человека, впервые решающего подобные задачи.

Те обобщения, которые формируются на основе минимального числа наблюдений, являются, по сути дела, содержательными обобщениями, не нуждающимися, как известно, в многократном сравнении сходных предметов. Ознакомление же детей с вопросами, возникающими у человека, впервые решающего ту или иную задачу, - это, уже некоторый момент прослеживания ими процесса происхождения способа решения данной задачи. Следовательно, указанные выше рекомендации методистов в определенной степени характеризуют способы построения собственно, учебной деятельности младших школьников.

М. Н. Скаткина полагает, что младшие школьники могут овладевать обобщениями и понятиями теоретического типа и усваивать знания при решении познавательных задач, а также в процессе их проблемного изложения, когда учитель в какой-то мере воспроизводит перед детьми путь их открытия. Эти соображения М.Н. Скаткина близки к некоторым положениям, развиваемым в психологической теории учебной деятельности. Согласно этой теории, как отмечалось, полноценное усвоение теоретических понятий происходит в процессе решения школьниками учебных задач, общий смысл которых сходен с задачами, называемыми в дидактике «познавательными».

Еще один путь сходства психологического понимания учебной деятельности с современным методическим подходом к усвоению знаний касается проблемы формирующейся при этом продуктивной мыслительной деятельности учащихся. Учебная деятельность по сути своей связана именно с продуктивным (или творческим) мышлением школьников, вместе с тем методисты считают, что «самостоятельные творческие работы в настоящее время организуются в начальных классах при изучении любого из учебных предметов». При выполнении этих работ школьники с необходимостью осуществляют самостоятельный поиск пути решения задачи, рассматривают его возможные различные варианты. Эти самостоятельные работы требуют продуктивной деятельности учащихся. Они более всего отвечают одной из важнейших задач современной школы - формированию творческой личности.

Развивающее начальное обучение должно быть направлено на решение этой важнейшей задачи современной школы, формировать у младших школьников творческое отношение к учебной деятельности. Успешное решение этой задачи представляет общий интерес и для методистов, и для психологов.



Лекция №7. Способы обоснования истинности суждений

Лекция № 8. Развитие понимания алгоритма в математике

Лекция № 9. Взаимосвязь логического и алгоритмического мышления школьников

Лабораторная работа 1. Тема: Содержание курса начального обучения математикепо системам Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Структура программ, учебников, методических пособий.

Лабораторная работа 2.Тема. Подготовка учителя к уроку в развивающих системах обучения Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова.

Лабораторная работа 3. Тема: Особенности изучения натуральных и дробных чисел и действий над ними в развивающих системах обучения Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова.

Лабораторная работа 4. Тема. Методика изучения величин в развивающих системах обучения Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова.

Практическое занятие. Тема 1. Методика изучения геометрического материала в развивающих системах обучения Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова.

Практическое занятие. Тема 2. Методика изучения алгебраического материала в развивающих системах обучения Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова.

Практическое занятие. Тема 3. Особенности работы над текстовыми задачами в развивающей системе обучения Л.В. Занкова

Практическое занятие. Тема 4. Особенности работы над текстовыми задачами в развивающей системе обучения Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова.

Практическое занятие. Тема 5. Просмотр записи урока развивающего обучения и его анализ



6. Практикум

Лабораторная работа 1

Тема: Содержание курса начального обучения математике по системам Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

Структура программ, учебников, методических пособий

Цели работы:

1. Изучить теоретические положения дидактических систем Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

2. Познакомиться со структурой программы по математике и содержанием основных ее разделов в системах Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

3. Изучить основные требования программ к знаниям, умениям и навыкам учащихся.

4. Познакомиться со структурой и содержанием учебников и методических пособий.

5. Изучить методическую литературу и выписать основные положения по теме занятия.

Оборудование:

1. Программы по математике для начальной школы.

2. Учебники по математике для начальных классов.

3. Рабочие тетради.

4. Основные пособия для учителя, являющиеся приложениями к учебникам.

Вопросы для обсуждения на лабораторном занятии:

* Изучение программных требований к знаниям, умениям и навыкам младших школьников по математике к концу каждого учебного года.

* Анализ программы по математике для начальной школы по системам Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

Ход работы:

/. Анализ программ.

Индивидуальные задания:

1. Перечислите основные разделы программ по математике для начальных классов и кратко охарактеризуйте содержание каждого из них.

2. Выпишите из объяснительной записки к программам цели обучения математике (образовательные, воспитательные, развивающие). Заполните таблицу:

Классы	1	2	3	4
Концентр
Количество часов по программе

3. Прочитайте в программах содержание одной из тем, предложенных ниже. Распределите прочитанный текст по методическим линиям. Заполните таблицу:

Натуральные числа и действия с ними	Величины и их измерения	Алгебраический материал	Геометрический материал

Темы для выполнения задания 4:

Вариант 1. Программа 1 класса, тема «Сложение и вычитание».

Вариант 2. Программа 2 класса, тема «Умножение и деление».

Вариант 3. Программа 1 класса, тема «Табличное сложение и вычитание в пределах двух десятков».

Вариант 4. Программа 3 класса, тема «Сложение и вычитание трехзначных чисел».

Вариант 5. Программа 3 класса, тема «Внетабличное умножение и деление».

5. Выпишите в таблицу основные требования, предъявляемые программой по одному из указанных ниже тем.

Темы для выполнения задания 5:

Классы	1	2	3	4
Основные требования

Вариант 1. Натуральные числа и 0.

Вариант 2. Алгебраический и геометрический материал.

Вариант 3. Величины,

Вариант 4. Вычислительные навыки.

Вариант 5. Текстовые задачи.

II. Анализ школьных учебников

Индивидуальные задания:

1. Познакомьтесь с обложкой, титульным листом, форзацами учебников по математике для 1-4 классов. Укажите возможности использования материала на обложках и форзацах в работе с учащимися.

2. Познакомьтесь с оглавлением каждого учебника. Сравните его с содержанием программы соответствующего класса. Опишите структуру учебников.

3. Определите, как в учебниках отмечаются теоретический материал и материал для запоминания. Приведите по одному примеру с указанием страницы учебника.

4. Иллюстрации можно условно разбить на следующие виды:

- заменяющие текст объяснения;

- помогающие понять математический смысл задачи или найти ее решение;

- рисунки, знакомящие детей с окружающим миром, отраженным в текстах задач.

Приведите по одному примеру каждого из указанных видов иллюстраций (укажите страницу учебника).

///. Анализ методических пособий.

Индивидуальные задания:

1. Познакомьтесь с оглавлением и структурой методического пособия для учителя по каждому классу. Опишите их.

2. Познакомьтесь со структурой учебников Математика Учебник для 1 класса. Опишите их.

Библиографический список

Основная литература

Учебно-методический комплект по курсу «Математика» (Система Л.В. Занкова):

Обязательный комплект

Аргинская И.И., Бененсон Е.П., Итина Л.С. Математика: Учебник для 1 класса: В 4 частях. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002 - 2006. *

Аргинская И.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 1 класс». -- Самара: Издательство «Учебная литература», 2002-2006.

Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебник для 2 класса. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002-2006.

Бененсон Е.П., Итина Л.С. Тетради по математике для 2 класса: В 4 частях. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002 -2006.

Аргинская И.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 2 класс». - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002-2006.

Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебник для 3 класса. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002 - 2006.

Бененсон Е.П., Итина Л.С. Тетради по математике для 3 класса: В 3 частях. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2001 - 2006.

Аргинская И.И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 3 класс». - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002-2006.

Аргинская И.И., Ивановская Е.И. Математика: Учебник для 4 класса. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002 - 2006.

Бененсон Е.П., Итина Л.С. Тетради по математике для 4 класса: В 2 частях. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002 - 2006.

Аргинская И. И. Методическое пособие к учебнику «Математика. 4 класс». - Самара: Издательство «Учебная литература», 2002-2006.

Аргинская И.И. Сборник заданий по математике для самостоятельных, проверочных и контрольных работ в начальной школе. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2005, 2006.

Дополнительная литература

Аргинская И.И.. Математические игры: Тетрадь для 1 класса. [Текст] / И.И. Аргинская, Е.П. Бененсон. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2004.

Примерное планирование уроков математики для 3 - 4 классов (система общего развития Л.В. Занкова) [Текст] / Вороницына Е.В., Федоскина О.В. - Самара: Издательство «Учебная литература», 2004, 2006.

Михеева Л.Г. Система Л.В. Занкова в практике обучения. [Текст] / Л.Г. Михеева. - Начальная школа. - 2002. - № 1. - С. 83-85.

Новое время - новая дидактика. Педагогические идеи Л.В. Занкова и школьная практика. [Текст] / - М.: ФНМЦ им. Л.В. Занкова; - Самара: Корпорация «Федоров», 2001. - С. 37-63, 135-153.

Сборник программ для четырехлетней начальной школы. Система Л.В. Занкова. [Текст] / - Самара: Издательство «Учебная литература», 2004 2006, 2007.-С. 121-161.

Обязательный минимум содержания образования по математике

Счет. Единицы счета. Натуральные числа от 1 до 1 000 00 Число и цифра нуль. Запись и названия чисел. Сравнение чисел. Знаки =, >, <.

Сложение чисел: слагаемые, сумма, знак сложения. Таблица сложения. Вычитание чисел: уменьшаемое, вычитаемое, разность: знак вычитания. Связь вычитания со сложением. Умножение чисел: множители, произведение, знак умножения. Таблица умножения. Деление чисел: делимое, делитель, частное, знаки деления. Связь деления с умножением. Действия с нулем

Порядок выполнения действий в числовых выражениях. Скобки.

Перестановка слагаемых в сумме. Группировка множителей в произведении. Умножение суммы на число. Умножение числа на сумму.

Устные и письменные вычисления с натуральными числами.

Нахождение неизвестного компонента арифметических действий.

Точка. Линии: прямые, кривые. Отрезок. Угол. Прямо угол. Многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат.

Вершины и стороны многоугольника. Окружность и круг. Куб. Шар.

Измерение длин. Метр, сантиметр, миллиметр, километр. Периметр многоугольника.

Измерение площади. Квадратный сантиметр, квадратный метр. Вычисление площади прямоугольника.

Измерение времени. Секунда. Минута. Час. Сутки. Неделя. Месяц. Год. Век.

Решение текстовых задач с использованием отношений «больше на», «меньше на», «больше в», «меньше в» и зависимостей между величинами.

Распределение программного материала по математике в системе Л. В. Занкова

В системе Л. В. Занкова основными учебниками считаются учебники И.И. Аргинской для трехлетней школы. Используя эти учебники для четырехлетней системы обучения, учитель самостоятельно распределял материал на более длительный срок обучения детей. Дополнительно к этим учебникам имеются тетради на печатной основе авторов Е.П. Бененсон, Л.С. Итиной.

Для четырехлетней начальной школы на сегодня существует комплект «учебник-тетрадь» для 1 класса вместо комплекта «учебник - 4 тетради» на печатной основе тех же авторов. Для 2 и 3 классов - учебник авторов И. И. Аргинской, Е.И. Ивановской и для 4 класса разработан учебник этих же авторов.

Приведем ориентировочное программное распределение тем в этих пособиях, составленное на основе анализа этих учебников, сборника «Программы для начальных классов 1 - 3 по системе Л. В. Занкова» (М.: Просвещение, 1998) и статьи И. И. Аргинской «Математика в системе общего развития» (Начальная школа: плюс-минус. 2000. № 4. С. 30-37).

1 класс

Сравнение множеств. Взаимнооднозначное соответствие элементов. Знаки сравнения. Число как характеристика класса эквивалентных множеств. Число и цифра. Сравнение чисел.

Нумерация в пределах 100. Разрядный состав. Сложение вычитание в пределах 10 и в пределах 20 (с переходом через десяток). Правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. Переместительное и сочетательное свойства сложения.

Числовые равенства и неравенства. Верные и неверные равенства.

Уравнения (в том числе вида х + 3 = 12, 17 - х - 9). Правила взаимосвязи компонентов сложения и вычитания.

Точка. Отрезок. Прямая, ломаная, кривая. Замкнутые незамкнутые кривые и ломаные. Луч. Углы (прямой, тупой, острый). Их буквенное обозначение. Длина отрезка. Сумма разность отрезков. Многоугольники: треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб. Треугольники равносторонние, разносторонние, равнобедренные.

Меры длины: см.

Знакомство с задачей в 1 классе не предполагается.

(Составлено по содержанию «учебника-тетради»: в 4 ч. Самара: Корпорация «Федоров», 1999.)

2 класс

Нумерация в пределах 100. Сложение и вычитание в пределах 100. Умножение и деление. Таблицы умножения и деления в пределах 100. Особые случаи умножения и деления (с нулем и 1). Все случаи порядка выполнения действий (в выражениях без скобок с действиями одной и разных ступеней, со скобками и действиями всех видов). Уравнения с умножением и делением. Взаимосвязь компонентов действий умножения и деления. Деление с остатком.

Трехзначные числа.

Уравнения вида (а + в) + х = с + е и др. Неравенства вида а + х > в, х - а < в и т. п. Системы простых неравенств.

Длина отрезка. Длина ломаной. Многоугольники. Четырехугольники, прямоугольники. Периметр многоугольника. Прямоугольные и равнобедренные треугольники. Ромб.

Объемные тела: призма, пирамида, конус, цилиндр, шар. Основание, ребро, грань, вершина многогранника.

Масса (кг). Сложение и вычитание масс. Емкость (л). Время и его единицы измерения: сутки, неделя, год. Час и минута. Часы. Календарь.

Меры длины: см, м, дм, мм.

Умножение и деление величин на натуральное число. Знакомство с задачей. Простые и составные задачи на все действия.

3 класс

Нумерация в пределах 1000.

Вычисления в пределах 1000: сложение и вычитание трехзначных чисел.

Разряды и классы: многозначные числа.

Внетабличное умножение и деление. Умножение и деление многозначных чисел на однозначное число.

Выражения с большим количеством действий и скобок. Неравенства вида: х - 4 > 6; Х. : 2 < 10 и т.п. Системы простых неравенств.

Римская нумерация.

Уравнения (в том числе вида (31 + х) - 18 = 23).

Дроби: сравнение дробей, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Приведение к общему знаменателю. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Смешанные числа. Неправильные дроби.

Числовой луч. Координаты точки на числовом луче. Координаты целых и дробных чисел.

Углы и их градусная мера. Сложение и вычитание углов. Окружность, дуга и радиус окружности. Свойство диаметра.

Изображения объемных тел на плоскости. Проекции объемных тел. Развертки многогранников. Проекции многогранников.

Площадь прямоугольника. Меры площади: см2, мм2, км2, дм2, м2 Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Длина (км, мм). Масштаб.

Масса (т, ц).

Простые и составные задачи на все действия.

4 класс

Нумерация многозначных чисел: разряды и классы. Действия с многозначными числами. Выражения с большим количеством действий и скобок.

Класс миллионов.

Точные и приближенные числа. Правило округления. Погрешность измерений.

Дроби: основное свойство дроби. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми и разными знаменателями. Умножение и деление дроби на натуральное число.

Положительные и отрицательные числа: запись, изображение на числовой прямой, сравнение. Координаты точки на числовой прямой.

Примеры с именованными числами, содержащие несколько действий (3 - 6 действий).

Уравнения и неравенства разной степени трудности (в том числе с дробями, содержащие неизвестное в обеих частях и др.).

Степень: возведение в степень, основание степени, показатель степени. Таблицы степеней некоторых чисел.

Диагонали многоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника. Классификации треугольников (по углам, по сторонам). Площадь прямоугольного треугольника. Площадь многоугольника. Площадь поверхности прямой призмы и пирамиды

Объемные тела: проекции, развертки, изображения на плоскости. Объем параллелепипеда. Меры объема: мм3, см3, км3, дм3.Объем произвольной прямой призмы.

Составные задачи всех видов. Алгебраический способ решения задач (составление уравнения).

Составлено по содержанию учебников издательства Корпорация «Федоров» (Самара, 2001).

Распределение программного материала по математике в системе В. В. Давыдова

В системе В. В. Давыдова существует несколько вариантов. 11 учебников математики для начальных классов различных авторских коллективов: учебники А. М. Захаровой, Т. И. Фещенко; учебники В. В. Давыдова, С. Ф. Горбова, Г. Г. Микулиной, О. В. Савельевой. Все эти комплекты учебников были разработаны для системы 1 - 3. Наиболее распространен учебник Э, И. Александровой. Он же включен в Федеральный перечень учебников для начальной школы. Э. И. Александрова разработала систему учебников для четырехлетней начальной школы: и 2000 году в издательстве «Вита-Пресс» был опубликован учебник для 1 класса системы 1 - 4 (в 2-х частях).

Приведем ориентировочное программное распределение тем в пособиях Э. И. Александровой, составленных на основе анализа учебников, сборника «Программы для начальных классов 1 - 3 по системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова» (М.: Просвещение, 1998 С. 93 - 124) и статьи Э. И. Александровой «Особенности нового курса математики в начальной школе» (Начальная школа: плюс-минус. 2000. № 4. С. 38 - 48).

1 класс

Сравнение предметов. Сравнение величин. Буквенное обозначение величин. Знаки сравнения. Сравнение величин при помощи меры - посредника. Переход от действий с предметами по формулам и наоборот. Сложение и вычитание величин как переход от неравенства к равенству и наоборот. Знаки + и -.Текстовые задачи с буквенными данными. Скобки в буквенных выражениях. Переместительное и сочетательное свойства сложения в буквенном виде. Уравнение.

Различные меры при измерении одной величины. Стандартные меры величин. Время, скорость, стоимость. Число как мера величины.

Римская нумерация.

Число как отношение величины к мере (функциональная зависимость).

Числовая прямая: начало отсчета, единичная мерка. Сравнение чисел на числовой прямой.

Сравнение чисел. Решение примеров, уравнений и задач с заменой буквенных данных на числовые (в пределах десятка). Связь между компонентами сложения и вычитания. Порядок действий в выражениях.

2 класс

Многозначные числа. Разряд и класс. Позиционные системы счисления. Чтение и запись чисел в различных системах счисления.

Разрядный состав многозначных чисел. Сравнение многозначных чисел. Действия с многозначными числами (кроме деления).

Таблица сложения и вычитания однозначных чисел.

Умножение и деление. Компоненты умножения и деления и их взаимосвязь. Переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения. Таблица умножения и деления. Умножение на 0 и 1; на 10, 100, 1000. Деление с остатком.

3 класс

Все действия с многозначными числами. Текстовые задачи с многозначными числами. Уравнения на все действия с многозначными числами. Порядок действий.

Признаки делимости.

Дроби: десятичные дроби как частный случай позиционных систематических дробей. Чтение и запись десятичных дробей, сложение и вычитание десятичных дробей, умножение и деление на 10, 100, 1000.

Именованные числа. Меры длины, массы, объема, площади. Деньги.

Время (век, год, час, мин, с). Действия с именованными числами.

Меры измерения углов (градус, мин, с, радиан). Число П.

4 класс

Микрокалькулятор. Проверка действий с различными числами с помощью микрокалькулятора.

Действия с десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение на число, деление на число.

Решение и составление текстовых задач, уравнений и математических выражений с десятичными дробями. Нахождений дроби от числа и числа по его дроби. Проценты: запись в десятичных дробях. Нахождение процентов от числа и числа по процентам. Оптовые и розничные цены, скидки, денежные вклады под проценты. Решение задач с сюжетами, связанными с реалиями жизни.

Периметры различных фигур и способы их вычисления: прямоугольник, треугольник, трапеция и др. Длина окружности.

Площади геометрических фигур: прямоугольник, прямоугольный треугольник. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике. Площадь произвольного треугольника.

Нахождение площади любых геометрических фигур путем разбиения их на прямоугольники и треугольники. Площадь правильного n-угольника. Площадь круга. Текстовые задачи на нахождение площади и периметра.

Объемы геометрических тел (см3, дм3). Формула объема прямого параллелепипеда.

Задачи всех видов: на движение, на «куплю-продажу», на производительность и т. п. Алгебраический способ решения задач (уравнение).

Лабораторная работа 2

Тема. ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К УРОКУ

Цели работы:

1. Научиться определять цели урока и цели отдельных упражнений.

2. Научиться пользоваться методической литературой при подготовке к конкретному уроку.

3. Изучить литературу и сделать необходимые выписки.

Оборудование:

1. Программы по математике для начальных классов.

2. Учебники математики для начальных классов.

3. Рабочие тетради.

4. Методические пособия для учителя, являющиеся приложениями к учебникам.

Вопросы для обсуждения на лабораторном занятии:

Подготовка учителя к уроку. Общий способ деятельности учителя при планировании урока.

Формы организации деятельности учащихся на уроке.

Требования к конспекту урока. Оформление конспектов.

Ход работы:

Индивидуальные задания:

1. Определите по программам место данного урока в курсе математики начальной школы.

1 вариант. «Натуральный ряд чисел»

2 вариант. «Табличное сложение и вычитание в пределах двух десятков»

3 вариант. «Внетабличное сложение и вычитание в пределах сотни»

4 вариант. «Внетабличное умножение и деление»

5 вариант. «Разряды и классы. Класс единиц и класс тысяч»

2. Найдите в учебниках, методических пособиях, тетрадях на печатной основе материал, относящийся к данному уроку. Укажите класс, концентр, страницы учебника, методического пособия и тетради на печатной основе, номера упражнений, относящиеся к уроку. Пользуясь методическим пособием, определите цели данного (данных) урока (уроков).

Заполните таблицу:

Тема Урока: Цели урока:
Класс	Концентр	Страница учебника	Страница методического пособия	Номера упражнений, их дидактическая цель

3. Пользуясь учебником, методическим пособием, рабочей тетрадью, укажите, какой материал этого урока связан:

- с подготовкой к изучению нового материала,

- с введением нового материала,

- с закреплением пройденного с частичным включением материала повторения,

- с закреплением материала первого урока с частичным включением нового материала,

- с обобщением изученного материала,

- с контрольным опросом, устным или письменным.



Заполните таблицу:

Материалы урока
Для подготовки к изучению нового материала	Для изучения Нового материала	Для закрепления пройденного с частичным включением материала повторения	Для закрепления материала первого урока с частичным включением нового материала	Для обобщения изученного	С контрольным опросом, устным или письменным

4. Изучите содержание материалов и статей в Приложениях 1, 2, и разработайте конспект урока математики по одной из выше предложенных тем, в системах Л.В. Занкова и Б. Эльконина - В.В. Давыдова, учитывая типические свойства этих методических систем

5. Посмотрите видеозаписи уроков и проведите анализ одного из них по схеме, предложенной в разделе 7.

Литература

Учебно-методический комплект по курсу «Математика» (Системы Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина-В.В. Давыдова).

Аргинская И. И. Многоаспектность математики*//Практика образования. - 2004. - № 2. - С. 2-4.

Вьюнкова Ю.Н. Педагогическая техника учителя, работающего по системе Л.В. Занкова//Начальная школа. - 1996. - №9 С. 20-25.

Козлова Е.Г. Подготовка учителя к уроку математики: каждодневная рутина или ежедневное творчество//Начальная школа. - 2005 -№ 8. - С. 55.

Нечаева Н.В. Занковский урок. Какой он?/Практика образования. - 2004. - № 1. - С.

Фрагмент статьи, опубликованной в журнале «Практика образования», № 1, 2004 г.

Приложение 1

ЗАНКОВСКИЙ УРОК. КАКОЙ ОН?

Н.В. НЕЧАЕВА,

научный руководитель ФНМЦ им. Л.В. Занкова, канд. пед. наук

Каждый урок в системе Л.В. Занкова, прежде всего, нацелен на общее развитие школьников. Его эффективность оценивается по разным показателям:

- по степени реализации дидактических принципов системы общего развития (обучение на высоком уровне трудности с соблюдением меры трудности, ведущая роль теоретических знаний, осознание процесса учения, быстрый темп прохождения материала, работа над развитием каждого, в том числе и слабого ученика) или

- по типическим свойствам методической системы (многогранность, процессуальность, коллизии, вариантность). Свое воплощение эти свойства находят в трех компонентах урока: 1) в его содержании 2) построении процесса учения; 3) в характере отношений.

Коротко поясним сказанное.

* Содержание урока. На уроке учитель планирует или изучение нового материала, или открытие учениками новых связей между уже изученным материалом, или столкновение и разведение сходных, но различающихся знаний. На каждом уроке школьники рассматривают какую-то новую ситуацию. Поэтому при определении содержания урока следует учитывать следующие положения:

* разнообразие источников содержания урока: учебник, рабочая тетрадь, учитель, ученики, литература, словари, окружающая действительность и прочее;

* соотношение на уроке нового и уже известного материала (зависит от состава класса и этапа обучения);

* степень новизны в содержании каждого задания;

* широта, богатство, глубина рассматриваемых проблем и связей.

Отбор конкретного материала определяется тем новым, что планируется на данном уроке, т. е. темой любого раздела. Вокруг этого нового концентрируются схожие с ним знания и противоположные, для того чтобы новое нашло свое место в системе знаний.

Процесс обучения. При планировании процесса обучения учитель ориентируется на богатство и разнообразие видов деятельности, которые он предложит ученикам. Он думает о соотношении репродуктивной и творческой деятельности школьников на уроке, об оправданности применения прямых и косвенных путей учения. Он старается создать такую ситуацию, чтобы новые знания и способы деятельности школьники открывали в результате решения коллизий, нахождения вариантов правильных решений, установления взаимосвязей, взаимозависимостей.

Учитель организует сравнение материала, его анализ, который подводит учеников к обобщению, к установлению закономерности, к формулированию этой закономерности.

Характер отношений между учениками и между учителем и учениками не должен блокировать свободную мысль учеников, возможность самостоятельно открывать новое знание, привлекая уже известные положения. Это значит, что источником языковой проблемы может быть и учитель, и любой ученик. Леонид Владимирович Занков призывал учителей держать паузу после проблемного вопроса, чтобы дать ученикам возможность подумать, обсудить ответ друг с другом. Желательно, чтобы правильность или неправильность поиска определял не учитель, а школьники, реагируя на ответы товарищей. Учитель же выступает в роли опытного проводника, ведущего через горы непростым путем, дающего возможность преодолевать препятствия, чтобы сплотить и сделать опытной свою команду. Преодолевая трудности, решая проблемы, ученики переживают многообразные эмоции, испытывают разные чувства. Благодаря этому на уроке нет места основному врагу познания - скуке.

Безусловно, ни один урок как создание конкретного учителя и конкретного класса не может быть образцом. Но основой любого урока должны стать: глубокая теория, богатое содержание, сравнение, сопоставление фактов, явлений и понятий, поиск связей между пройденным, изучаемым и перспективным материалом, открытие новых и новых граней в уже известном материале.

Учителю, начинающему работать по системе общего развития Л.В. Занкова, труднее всего бывает преодолеть привычку решать все за школьников. Учителя спешат с подсказывающим конкретным вопросом, торопятся вызвать сильного ученика, сделать обобщение за класс. Научитесь доверять силам детей. Ваши ученики сами смогут прийти к открытию, сделать обобщение, предложить свои, порой достаточно неожиданные для нас, педагогов, варианты решения учебной задачи. Именно тогда наряду с узкими задачами конкретной темы урока будут решаться и задачи общего развития школьника.

По материалам статьи газеты «Начальная школа», № 34, 2004 г.

Приложение 2

СТРУКТУРА И ОСОБЕННОСТИ УРОКА МАТЕМАТИКИ

В СИСТЕМЕ Л.В. ЗАНКОВА

И.И. АРГИНСКАЯ,

автор программы по математике

по системе Л.В. Занкова

В системе Л.В. Занкова используются разные формы обучения, однако основной остается классно-урочная система. Несмотря на это, ее конкретное воплощение принципиально отличается от привычных для учителя канонов построения. Это вызывает у учителей, начинающих работать в занковской системе, серьезные трудности, так как хорошо знакомая учителю схема построения моноурока, когда все его основное содержание «привязано» к одной теме, оказывается в данном классе абсолютно несостоятельной. Одной из характерных особенностей любого урока математики является его многоаспектность - работа сразу над несколькими связанными темами программы. Это нашло отражение и в учебниках математики, где задания, стоящие рядом, посвящены разным вопросам. Такая структура требует включения в один урок работы с самым разным материалом, продвижения в изучении нескольких тем. Одна из них является для данного урока ведущей и определяет его тему.

Рассмотрим для примера некоторые задания.

Первые десять заданий второй части учебника для 1 класса предусматривают:

№ 1. Сравнение чисел и изображение соответствующих им множеств.

№ 2. Сравнение объектов по изменяющимся и неизменным признакам (первое задание, в котором изменяются два признака).

№ 3. Работа над каллиграфией (написание цифр 7 и 1).

№ 4. Выделение «лишнего» (не подходящего к остальным) рисунка на основе анализа рисунков с различных позиций.

№ 5. Упорядочивание объектов по высоте.

№ 6. Графический диктант на основе ориентации на плоскости в одном из четырех направлений (вправо, влево, вверх, вниз).

№ 7. Ориентация на плоскости (первый случай ориентации с сочетанием двух направлений).

№ 8. Анализ «запутанного» рисунка. Работа над каллиграфией (написание цифр 8, 3, 2, 6).

№ 9. Знакомство с терминами «расположение в порядке увеличения (возрастания)» и «расположение в порядке уменьшения (убывания)».

№ 10. Анализ незавершенных рисунков и их идентичное завершение без представленного образца.

Из перечисленного ясно, что к основной теме относятся три -№ 1,5, 9. Между ними, как это видно, располагаются задания, относящиеся к самым разным вопросам, изучение которых начато в первой части учебника, а здесь получает свое развитие.

Задания учебника для 2 класса предусматривают:

№ 1. Сравнение объектов с включением варианта полной идентичности (подготовка к восприятию невидимых признаков сходства и различия).

№2. Восстановление таблицы сложения со значением 5. Анализ закономерности изменения слагаемых.

№ 3. Однозначные и двузначные числа, их запись. Классификация по самостоятельно выделенному признаку.

№ 4. Прямые, лучи и отрезки, их сходство и различие. Чтение названий этих линий. Измерение длины отрезков. Черчение прямых, лучей и отрезков. Их называние при помощи букв.

№ 5. Введение понятия «масса» на основе анализа реальных ситуаций и рисунков.

№ 6. Таблица сложения со значениями 7 и 8. Классификация.

Дополнение на основе выявленной закономерности.

№ 7. Анализ чертежа. Виды углов - прямой, острый, тупой.

№ 8. Составление математических рассказов к рисунку.

№ 9. Знакомство с различными видами весов. Использование двухчашечных весов без гирь для сравнения масс.

№ 10. Верные неравенства и равенства. Преобразование неравенств в равенства.

Так же, как в учебнике для 1 класса, здесь к основной теме «Масса» (с. 3-7) относятся задания №№ 1, 5, 9. Остальные посвящены повторению материала, изученного в 1 классе, и продвижению в его дальнейшем изучении.

Задания учебника для 3 класса предусматривают:

№ 145. Попытки сведения внетабличного умножения к табличному умножению

(варианты замены многозначного множителя произведением однозначных и суммой однозначных чисел). № 146. Задача на разрезание. Составление аналогичных задач.

№ 147. Составление ряда чисел по названной закономерности.

№ 148. Измерение и построение углов с помощью транспортира.

№ 149. Сравнение задач, решаемых сложением и умножением. Умножение счетных единиц (10, 100) на однозначное число.

№ 150. Сравнение многозначных чисел. Классификация отношений. Создание своих равенств и неравенств.

№ 151. Решение сложных выражений, установление порядка выполнения действий. Восстановление знаков действий и скобок в выражениях с данными значениями.

№ 152. Комбинаторная задача на составление чисел из заданных цифр.

№ 153. Умножение счетных единиц на однозначные числа. Использование для этого таблицы умножения.

№ 154. Решение задач на установление возраста. Составление задач, обратных данной задаче. «Внетабличное умножение и деление» (с. 67-70),

К теме относятся задания №№ 145, 149, 153. В остальных заданиях рассматриваются ранее изученные темы, расширяются и углубляются знания о них, что способствует формированию умений и навыков.

Задания учебника для 4 класса предусматривают:

№ 49. Поиск способов выполнения умножения многозначного на многозначное число (варианты замены одного из множителей произведением однозначных чисел или суммой таких чисел).

№ 50. Задача с избыточными данными. Ее преобразование и решение.

№51. Преобразования сложных выражений, не влияющие на их значения.

№ 52. Свойства квадрата и их использование в практической деятельности.

№ 53. Определение значений произведений многозначных чисел с помощью сочетательного закона умножения. И распределительного закона умножения относительно сложения. Оценка каждого способа.

№ 54. Задача с недостающими данными, ее преобразование разными способами.

№ 55. Использование приема прикидки при сложении многозначных чисел.

№56. Увеличение площади квадрата без смещения фиксированных точек.

№ 57. Решение неравенств с переменной при помощи соответствующих им уравнений. Графическое отражение области решений неравенств.

№ 58. Решение задачи разными способами. Выбор рационального способа и его обоснование.

К теме «Умножение многозначных чисел» (с. 22-24) относятся задания №№ 49, 53 и 57. Остальные задания посвящены повторению, закреплению и углублению материала других, ранее изученных тем.

При анализе приведенных перечней заданий может создаться впечатление, что ведущая на данном этапе тема «тонет» среди других, но это не так. Работа с выделенными основными заданиями должна занимать главенствующее место на уроке. Данные задания требуют подробного обсуждения детьми, вокруг них должны концентрироваться те дополнительные задания, которые учитель считает необходимым включить в урок.

С этих позиций рассмотрим фрагмент урока в 4 классе, основным заданием в котором будет № 53.

Учитель: Выпишите те произведения, значения которых вы сможете найти, и объясните, какие знания вам в этом помогут.

(Задание № 53: 39х · 19; 8х · 7; 193x · 1; 87х · 0; 62х · 18.)

Школьники выполняют задание самостоятельно, после чего учитель вызывает отдельных учеников для объяснения. Ученики объясняют выполнение 2, 3 и 4 произведений, 1 и 5 вызвали затруднение у большей части учеников. После побуждения со стороны учителя несколько учеников находят значение 5 выражения на основе сочетательного закона умножения, а 1 - на основе распределительного закона умножения относительно сложения.

Учитель: Выпишите в первый столбик произведения, значения которых можно найти, используя сочетательный закон умножения, а во второй - те, значения которых можно найти, используя распределительный закон умножения относительно сложения.

(Задание № 53 в несколько измененном виде: 128 х 12; 76 х 39; 29 х 31; 1249 х 84; 397х 144; 43 х 37; 27893 х 72.)

Школьники самостоятельно выполняют задание, после чего проводится проверка, в процессе которой ученики объясняют, по каким признакам они находили произведения каждого столбика. Часть детей выполнили задание верно, - но многие допустили ошибки.

Учитель: Посмотрите внимательно, что написано на доске, и расскажите, что вы заметили.

На доске:

257 х 6, 498 х 4, 3 769x8, 396x24, 49 726х 7.

Школьники: На доске пять произведений. Во всех произведениях первые множители - многозначные, а вторые - однозначные. Нет, это неверно, в четвертом произведении оба множителя - многозначные. Мы знаем, как умножать на однозначные числа, а как умножать на многозначные числа - не знаем. Значит, можем узнать значения не всех произведений.

Учитель: Молодцы, все заметили. Запишите и вычислите те произведения, которые умеете.

Ученики самостоятельно выполняют задание, затем меняются тетрадями и проверяют работу друг друга.

Учитель: А теперь главное задание: вспомните все свои знания об умножении и постарайтесь найти способ выполнения умножения в оставшемся произведении. Кто хочет, может советоваться друг с другом.

В классе устанавливается напряженная тишина, дети думают, что-то записывают, некоторые тихо переговариваются. Через некоторое время начинают подниматься руки.

Школьники: Можно узнать значение суммы из 24 слагаемых, каждое равно 396.

Учитель: Я согласен, так можно, ведь умножение заменяет сложение равных слагаемых. Только это очень долго складывать, а если слагаемых будет еще больше, то можно и целый день складывать и складывать. Я предлагаю заменить 24 суммой 9 + 9 + 6. Тогда получится: 396х· (9 + 9 + 6) = 396 х· 9 + 396x9 + 396 х ·6 (выходит к доске и делает запись). Дальше нужно найти значения трех получившихся произведений и сложить их.