Развивающее обучение на уроках математики

Итак, потребность в учебной деятельности побуждает школьников к усвоению теоретических знаний, мотивы - к усвоению способов их воспроизводства посредством учебных действий, направленных на решение учебных задач (задача - это единство цели действия и условий ее достижения).

Учебная задача, которая школьникам предлагается учителем, требует от них:

1) анализа фактического материала с целью обнаружения в нем некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными проявлениями этого материала, т. е. построения содержательной абстракции и содержательного обобщения;

2) выведения па основе абстракции и обобщения частных отношений данного материала н их объединения (синтеза) и некоторый целостный объект, т. е. построения его «клеточки» и конкретного мысленного объекта; 3) овладения в этом аналитико-сиитетическом процессе общим способом построения изучаемого объекта.

При решении учебной задачи школьники раскрывают происхождение «клеточки» изучаемого целостного объекта и, используя ее, мысленно воспроизводят этот объект. Тем самым, при решении учебной задачи школьники осуществляют некоторый микроцикл восхождения от абстрактного к конкретному, как путь усвоения теоретических знаний.

Учебная задача существенно отличается от многообразных частных задач, входящих в тот или иной класс. Так, имея дело с частными задачами, школьники овладевают столько же частными способами их решения. Лишь в процессе тренировки школьники усваивают некоторый общий способ их решения. Усвоение этого способа происходит путём перехода мысли от частного к общему. Вместе с тем при решении учебной задачи школьники первоначально овладевают общим способом решения частных задач. Решение учебной задачи важно не только для данного частного случая, но и для всех однородных случаев. Мысль школьников движется при этом от общего к частному.

При выделении и усвоении общего способа решения частных задач школьники сопоставляют пути решения многих частных задач, выделяя при этом некоторый общий путь. Так, для усвоения способа решения определенного типа физических задач, школьникам требуется решить до 88 таких частных задач; для формирования обобщенного способа решения типовой арифметической задачи учебники иногда предлагают школьникам решить до 20 - 30 аналогичных задач.

В психологии был выявлен и принципиально иной путь формирования у школьников обобщенного способа решения задач. Некоторые школьники, столкнувшись лишь с одной конкретной частной задачей, стремятся, прежде всего, подвергнуть ее такому анализу, чтобы выделить внутреннюю связь ее условий, отвлекаясь при этом от частных их особенностей. Решая первую конкретную задачу данного типа, они, тем самым решали все задачи данного типа. Кратко описанное обобщение «с места» является обобщением, носящим теоретический характер, а та одна конкретная задача, при решении которой школьники могут решить все задачи данного класса, является учебной задачей, требующей мыслительного действия анализа и теоретического или содержательного обобщения.

При обучении в массовой школе доминирующее значение нередко приобретает эмпирическое мышление школьников, поэтому случаи обобщения с места, (т. е. теоретического обобщения) наблюдаются чаще всего у способных школьников, умеющих «принимать» от учителя или даже ставить самостоятельно учебную задачу и могущих решать ее посредством анализа. Вместе с тем необходимо отметить, что при организации в школе процесса усвоения в форме развернутой и полноценной учебной деятельности, важнейшим компонентом которой служит учебная задача, у большинства детей будут развиваться аналитические средства ее решения на основе обобщения, носящего теоретический характер.

Рассмотрим содержание таких понятий, как «учебная задача» и «учебная проблема» (второе понятие было введено в теории проблемного обучения). Прежде всего, следует отметить, что до, сих пор отсутствует четкое разграничение понятий «задача» и «проблема». М.И. Махмутов дал следующую характеристику учебной проблеме - это отражение логико-психологического противоречия процесса усвоения, определяющее направление умственного поиска, пробуждающее интерес к исследованию (объяснению) сущности неизвестного и ведущее к усвоению нового понятия или нового способа действия.

Если учесть то обстоятельство, что учебная задача стимулирует мышление школьников к объяснению еще неизвестного, к усвоению новых понятий и способов действия, то станет понятным, что общий смысл и общая роль учебной задачи в процессе усвоения в принципе будут те же, что и у учебной проблемы. Специалисты проблемного обучения утверждают, что знания не передаются учащимся в готовом виде, а приобретаются ими в процессе самостоятельной познавательной деятельности в условиях проблемной ситуации. Учебная деятельность в своей основе также нацелена на то, чтобы школьники усваивали знания в процессе самостоятельного решения учебных задач, которое позволяет им раскрыть условия происхождения этих знаний. Отметим, что проблемное обучение, как и учебная деятельность, внутренне связано с теоретическим уровнем усвоения знаний и с теоретическим мышлением.

Таким образом, В.В. Давыдов показал, что теория учебной деятельности и теория проблемного обучения достаточно близки друг к другу одновременно, это не исключает некоторых значительных расхождений между этими теориями при интерпретации содержания ряда понятий.

Учебная задача решается школьниками путем выполнения определенных учебных действий:

- преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;

- моделирование выделенного отношения в предметной, графической или буквенной форме;

- преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом виде»;

- построение системы частных задач, решаемых общим способом;

- контроль выполнения предыдущих действий;

- оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.

Каждое такое действие состоит из соответствующих операций, наборы которых меняются в зависимости от конкретных условий решения той или иной учебной задачи (действие соотносится с целью задачи, а его операции - с ее условиями).

Первоначально школьники, не умеют самостоятельно формулировать учебные задачи и выполнять действия по их решению. Им помогает в этом учитель, но постепенно соответствующие умения приобретают сами ученики (именно в этом процессе у них формируется самостоятельно осуществляемая учебная деятельность, умение учиться).

В психологии выявлены и описаны некоторые существенные особенности исходной формы учебных действий. Эта форма состоит в совместном выполнении группой школьников под руководством учителя распределенных между ними учебных действий. Постепенно происходит интериоризация этих коллективно распределенных действий, превращение их в индивидуально осуществляемое решение учебных задач.

5.2 Особенности учебных действий

Рассмотрим основные особенности учебных действий. Исходным и, главным (1) действием является преобразование условий учебной задачи с целью обнаружения некоторого всеобщего отношения того объекта, который должен быть отражен в соответствующем теоретическом понятии. Важно отметить, что речь здесь идет о целенаправленном преобразовании условий задачи, направленном на поиск, обнаружение и выделение вполне определенного отношения некоторого целостного объекта. Своеобразие этого отношения состоит в том, что, с одной стороны, оно является реальным моментом преобразуемых условий, с другой - выступает как генетическая основа и источник всех частных особенностей целостного объекта, т. е. его всеобщим отношением. Поиск такого отношения составляет содержание мыслительного анализа, которое в своей учебной функции выступает первоначальным моментом процесса формирования требуемого понятия. Но следует иметь в виду, что рассматриваемое учебное действие, в основе которого лежит мыслительный анализ, вначале имеет форму преобразования предметных условий учебной задачи (это мыслительное действие первоначально осуществляется в предметно-чувственной форме).

Следующее (2) учебное действие состоит в моделировании выделенного всеобщего отношения в предметной, графической или буквенной форме. Важно отметить, что учебные модели составляют внутренне необходимое звено процесса усвоения теоретических знаний и обобщенных способов действия. При этом не всякое изображение можно назвать учебной моделью, а лишь такое, которое фиксирует именно всеобщее отношение некоторого целостного объекта и обеспечивает его дальнейший анализ.

Поскольку в учебной модели изображается некоторое всеобщее отношение, найденное и выделенное в процессе преобразования условий учебной задачи, то содержание этой модели фиксирует внутренние характеристики объекта, ненаблюдаемые непосредственно. Учебная модель, выступая как продукт мыслительного анализа, затем сама может являться особым средством мыслительной деятельности человека.

Еще одно (3) учебное действие состоит в преобразовании модели с целью изучения свойства выделенного всеобщего отношения объекта. Это отношение в реальных условиях задачи как бы «заслоняется» многими частными признаками, что в целом затрудняет его специальное рассмотрение. В модели это отношение выступает зримо и можно сказать «в чистом виде». Поэтому, преобразовывая и переконструируя учебную модель, школьники получают возможность изучать свойства всеобщего отношения как такового, без «затемнения» привходящими обстоятельствами. Работа с учебной моделью выступает как процесс изучения свойств содержательной абстракции всеобщего отношения.

Ориентация школьников на всеобщее отношение изучаемого целостного объекта служит основой формирования у них некоторого общего способа решения учебной задачи и тем самым формирования понятия об исходной «клеточке» этого объекта. Однако адекватность «клеточки» своему объекту обнаруживается тогда, когда из нее выводятся многообразные частные его проявления. Применительно к учебной задаче это означает выведение на ее основе системы различных частных задач, при решении которых школьники конкретизируют ранее найденный общий способ, а тем самым конкретизируют и соответствующее ему понятие; («клеточку»). Поэтому следующее учебное действие (4) состоит в выведении и построении определенной системы частных задач.

Благодаря этому действию школьники конкретизируют исходную учебную задачу и тем самым превращают ее в многообразие частных задач, которые могут быть решены единым (общим) способом, усвоенным при осуществлении предыдущих учебных действий. Действенный характер этого способа проверяется именно при решении отдельных частных задач. Школьники подходят к ним как к вариантам исходной учебной задачи и сразу, как бы «с места» выделяют в каждой из них то общее отношение, ориентация на которое позволяет им применять ранее усвоенный общий способ решения.

Рассмотренные учебные действия в сущности все вместе направлены на то, чтобы при их выполнении школьники раскрывали условия происхождения усваиваемого ими понятия (зачем и как выделяется его содержание, почему и в чем оно фиксируется, в каких частных ситуациях оно затем проявляется). Тем самым это понятие как бы строится самими школьниками, правда, при систематически осуществляемом руководстве учителя (вместе с тем характер этого руководства постепенно меняется, а степень самостоятельности школьника постепенно растет).

Большую роль в усвоении школьниками знаний играют учебные действия контроля и оценки. Так, (5) контроль состоит в определении соответствия других учебных действий условиям и требованиям учебной задачи. Контроль позволяет ученику, меняя операционный состав действий, выявлять их связь с теми или иными особенностями условий решаемой задачи и получаемого результата. Благодаря этому контроль обеспечивает нужную полноту операционного состава действий и правильность их выполнения.

(6) Действие оценки позволяет определить, усвоен или не усвоен (и в какой степени) общий способ решения данной учебной задачи, соответствует или нет (и в какой мере) результат учебных действий их конечной цели. Вместе с тем оценка состоит не в простой констатации этих моментов, а в содержательном качественном рассмотрении результата усвоения (общего способа действия и соответствующего ему понятия), в его сопоставлении с целью. Именно оценка «сообщает» школьникам о том, решена или не решена ими данная учебная задача.

Выполнение действий контроля и оценки предполагает обращение внимания школьников к содержанию собственных действий, к рассмотрению оснований этих действий с точки зрения соответствия требуемому задачей результату. Такое рассмотрение школьниками оснований собственных действий, называемое рефлексией, служит существенным условием правильности их построения и изменения. Учебная деятельность и отдельные ее компоненты (в частности, контроль и оценка) осуществляются благодаря такому основополагающему качеству человеческого сознания, как рефлексия.

Например, известно, что главная цель курса математики состоит в том, чтобы к концу средней школы сформировать у учащихся полноценную концепцию действительного числа, основой которого является понятие величины. Это понятие, определяется отношениями «равно», «больше», «меньше». Ориентация на эти общие отношения позволяет школьнику осуществлять разностное сравнение предметно представленных величин. Еще до усвоения понятия числа он может фиксировать результаты этого сравнения с помощью таких буквенных формул, как, а = b; а > b, а < b, и производить многие их преобразования типа: а + с = b; а = b - с; а + с = b +с и т. д., опираясь на соответствующие свойства указанных отношений.

Однако в некоторых ситуациях трудно бывает или невозможно вовсе выполнить непосредственное разностное сравнение и сразу обнаружить, например, равенство или неравенство наличных величин (отрезков, грузов и т. д.). Учитель демонстрирует первоклассникам подобные ситуации и просит их осуществить поиск подходящего способа решения данной задачи. Дети выдвигают разные гипотезы и с помощью учителя приходят к выводу о том, что во всех таких ситуациях нужно выполнять опосредствованное сравнение. Учитель первоначально подводит самих детей к постановке этих вопросов, а затем ставит перед ними учебную задачу, требующую открытия и усвоения ими общего способа опосредствованного разностного сравнения величин, опирающегося на их предварительное кратное сравнение с помощью числа.

Учебные действия, позволяющие решить данную задачу, направлены на поиск, обнаружение и изучение детьми свойств, характеризующих кратное отношение величин, фиксация которого в модели как раз и обозначает число (в принципе - действительное число, хотя отдельные виды чисел предполагают наличие особых условий реализации кратного отношения и построения его модели).

При выполнении первого учебного действия школьники осуществляют такое предметное преобразование величин, когда в них обнаруживается кратность отношения. При этом учащийся находит третью величину (мерку), с помощью которой можно установить кратность двух исходных величин, требующих разностного сравнения. Например, величины А и В не могут быть сравнены непосредственно (так, отрезки не могут быть непосредственно наложены друг на друга). Условия задачи преобразуются ребенком так, что он находит некоторую величину с, применение которой позволяет ему определить, сколько раз эта величина «укладывается» в исходных величинах А и В. Поиск того, сколько раз величина с «укладывается» в величинах А и В, позволяет ученику определить их кратное отношение, которое можно записать с помощью такой формулы: А / с и В / с (черта между буквами обозначает кратность).

Второе учебное действие связано с моделированием процесса выделения кратного отношения и его результата. В данном случае это моделирование осуществляется при единстве предметной, графической и буквенной форм. Так, первоначально кратное отношение может быть выражено с помощью предметных или графических палочек («меток»), указывающих результат как отдельного «наложения» мерки, так и всех подобных «наложений» (сколько раз данная мерка содержится в величине через их кратное отношение). Затем этот результат может быть выражен в словесной форме - в форме числительных («один, два, три... раза»). Тогда формулы кратного отношения и опосредствованного разностного отношения приобретают следующий вид:

математика начальный школа занков

А / с = 4; В / с = 5; 4 < 5; А < В.

В общем виде эти формулы могут быть записаны так:

А / с = К; В / с = М; К < М; А < В.

Таким образом, буквенная модель процесса и результата выделения кратного отношения в общем виде выглядит так А / с = N. Благодаря этой общей формуле модели дети могут выделять и фиксировать любое частное кратное отношение величин, выражаемое в соответствующем конкретном числе (например, при данных А и с отношение изображается числом 5). По соотношению самих этих чисел (т. е. по свойствам числа как модели кратного отношения) можно опосредствованным путем решить исходную задачу разностного сравнения.

Третье учебное действие состоит в таком преобразовании самой модели выделенного отношения, которое позволяет изучать его общие свойства. Так, изменение мерки с при той же исходной величине А приводит к изменению конкретного числа, изображающего их отношение. Поэтому, например если А / с = К и b < с, то А / b > К и т. д.

Усвоение школьниками содержания и следствий этого учебного действия имеет первостепенное значение при их знакомстве с миром чисел. Этот процесс является характерной чертой решения именно учебной задачи, когда некоторые общие свойства чисел изучаются школьниками до ознакомления с многообразием их частных проявлений.

Четвертое учебное действие направлено на конкретизацию общего способа выявления кратного отношения и на решение частных задач предполагающее поиск и фиксацию конкретных чисел, характеризующих отношения вполне определенных величин (например, нахождение числовой характеристики той или иной направленной или дискретной величины при данной мерке). Это действие позволяет учащимся связать общий принцип получения числа с частными условиями сосчитывания совокупностей или измерения непрерывных объектов. Понимание числа обнаруживается в том, что школьник может свободно переходить от одной мерки к другой, при определении числовой характеристики того же объекта, а тем самым соотносить с ним разные конкретные числа (одна и та же физическая величина может быть соотнесена с самыми разными конкретными числами). Таким образом, ученики решают исходную учебную задачу путем построения общего способа получения числа и одновременно усваивают его понятие. Теперь они могут применять этот способ и соответствующее ему понятие в самых разных жизненных ситуациях, требующих определения числовых характеристик объектов.

Пятое учебное действие - действие контроля позволяет учащимся при сохранении общей формы и смысла, предыдущих четырех действий, изменять их операционный состав в зависимости от частных условий их применения, от конкретных особенностей их материала (благодаря этому действия становятся умениями и навыками).

(6) Действие оценки на всех стадиях решения школьниками учебной задачи нацеливает другие их учебные действия на конечный рёзультат - на получение и использование числа как особого средства сопоставления величин.

Таким образом, здесь описаны те учебные действия, которые позволяют детям усвоить понятие числа на основе содержательного (теоретического) обобщения. В процессе реального обучения эти действия имеют более сложное строение, описание которого предполагает и более детальную характеристику учебной деятельности школьников на уроках математики.

Отметим, что определение конкретного состава учебных задач и действий при усвоении школьниками материала того или иного учебного предмета представляет результат специальных и достаточно трудоемких психолого-дидактических и психолого-методических исследований. Они требуют применения общих положений теории учебной деятельности, которая вместе с тем сама развивается и уточняется при проведении этих конкретных исследований.

Тема 6. Особенности методики системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова

6.1 Учебная задача и ее решение

Для того чтобы сформулировать полноценное теоретическое мышление, а таким является индуктивно-дедуктивное мышление, способное переходить от частного к общему и обратно, анализировать и обобщать, необходимо обеспечить учащемуся на занятиях возможность свободного мысленного движения в двух указанных взаимосвязанных направлениях: от абстрактного к конкретному и от конкретного к абстрактному. Здесь обеспечивается приоритет первого над вторым.

Целенаправленная учебная деятельность - это деятельность, в которой ребенок становится субъектом учения, деятельность по самоизменению. Организовать ее - основная и наиболее сложная методическая задача учителя. Она решается с помощью различных методов и методических приемов:

- проблемного изложения,

- метода учебных задач,

- коллективных и групповых методов,

- новых методов оценивания результатов и др.

Выполняя одну и ту же деятельность, ученик может руководствоваться совершенно разными мотивами: обеспечивать свою безопасность; угождать учителю; исполнять обязанности (роль) или искать ответ на собственный вопрос. Только наличие мотива последнего типа определяет деятельность ученика как целенаправленную учебную деятельность.

При проблемном изложении учитель не только сообщает детям выводы науки, но по возможности ведет их по пути открытия, создает ситуацию, когда ученик должен следить за диалектическим движением мысли к истине. Учитель делает школьников соучастниками научного поиска. Это соответствует природе мышления как процесса, направленного на открытие новых для ученика закономерностей, путей решения познавательных и практических проблем.

Термин «учебная задача» в широком понимании - это то, что дается учащемуся (или выдвигается им самим) для выполнения в процессе учения в познавательных целях.

Учебная задача в технологии развивающего обучения похожа на проблемную ситуацию. Это незнание, столкновение с чем-то новым, неизвестным, но решение учебной задачи состоит не в нахождении конкретного выхода, а в отыскании общего способа действия, принципа решения целого класса аналогичных задач.

Учебная задача решается школьниками путем выполнения определенных действий:

- принятие от учителя или самостоятельная постановка учебной задачи;

- преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;

- моделирование выявленного отношения в предметной, графической и буквенной формах;

- преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом виде»;

- построение системы частных задач, решаемых общим способом;

- контроль выполнения предыдущих действий;

- оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.

Решить задачу теоретически - значит решить ее не только для данного частного случая, но и для всех однородных случаев. При этом большую роль играет моделирование в предметной, графической или знаковой форме способа решения задачи. Учебной моделью можно назвать такое изображение, которое фиксирует всеобщее отношение некоторого целостного объекта и обеспечивает его дальнейший анализ.

Поскольку в учебной модели изображается некоторое всеобщее отношение, найденное и выделенное в процессе преобразования условий задачи, то содержание этой модели фиксирует внутренние характеристики объекта, наблюдаемые непосредственно. Таким образом, учебная модель выступает как продукт мыслительного анализа, затем сама может являться особым средством мыслительной деятельности человека.

Отношение объекта (всеобщее) как бы «заслоняется» многими частными признаками, что затрудняет его специальное рассмотрение. В модели это отношение выступает зримо и в «чистом» виде. Поэтому школьники, преобразовывая и переконструируя учебную модель, получают возможность изучать свойства всеобщего отношения как такового, без «затенения» привходящими обстоятельствами. Работа с учебной моделью выступает как процесс изучения свойств содержательной абстракции - некоторого всеобщего отношения. Далее, опираясь на него, учащиеся строят систему частных задач. Эти задачи решаются общим способом, и выводят многообразные частные особенности данной учебной задачи (восхождение от абстрактного к конкретному). И, наконец, весь ход решения задачи подвергается рефлексии.

Согласно Л.С. Выготскому, исходным субъектом психического развития является не отдельный человек, а группа людей. В их социально-культурной деятельности и под ее решающим влиянием формируется индивидуальный субъект, который на определенной стадии становления приобретает автономные источники своего сознания и переходит «в ранг» развивающихся субъектов. Подобно этому источники возникновения и первоначального существования целенаправленной учебной деятельности лежат не в отдельном ребенке, а в управляющем влиянии системы социальных отношений в классе (учитель и учащийся). Каждый ученик становится в положение либо субъекта - либо источника идеи, либо оппонента, действуя в рамках коллективного обсуждения проблемы.

Проблемные вопросы вызывают у ученика определенные творческие усилия, заставляют излагать собственное мнение, формулировать выводы, строить гипотезы и проверять их в диалоге с оппонентами. Такая коллективно-распределенная мыследеятельность дает двойной результат:

- помогает решить учебную задачу и

- существенно развивает умения учащихся формулировать вопросы и ответы, искать аргументацию и источники решений, строить гипотезы и проверять их критическим рассудком, рефлексировать свои действия, а также способствует деловому общению.

Организовать, направить, поддерживать этот диалог - одна из важнейших задач учителя. Но решить ее он может только «изнутри», как равноправный участник диалога. Его предложения, мнения, оценки должны быть открыты для критики в той же мере, что и действия и высказывания других. В диалоге «учитель - ученик» соблюдается принцип постепенно убывающей помощи и увеличения доли самостоятельной деятельности школьника.

В отличие от традиционной технологии развивающее обучение предполагает совершенно иной характер оценки учебной деятельности. Качество и объем выполненной учеником работы оценивается не с точки зрения ее соответствия субъективному представлению учителя о посильности, доступности знания ученику. Оно оценивается с точки зрения субъективных возможностей ученика. В данный момент оценка отражает персональное развитие ученика, совершенство его учебной деятельности. Поэтому, если ученик работает на пределе своих возможностей, он непременно заслуживает высшей оценки, даже если с точки зрения возможностей другого ученика это посредственный результат. Здесь важны не пятерки сами по себе, а пятерки как средство, стимулирующее исполнение учебной деятельности, как доказательство, убеждающее «слабого» ученика в том, что он способен развиваться. Темпы развития личности глубоко индивидуальны, и задача учителя - не вывести всех на некий, заданный уровень знаний, умений, навыков, а вывести личность каждого ученика в режим развития, пробудить в ученике инстинкт познания, самосовершенствования.

Позиция учителя: «к классу не с ответом, а с вопросом», учитель ведет к известным ему целям обучения, поддерживает инициативу школьника в нужном направлении (остальные направления, к сожалению, игнорирует).

Позиция ученика: субъект познания; за ним закрепляется роль познающего мир (в специально организованных для этого условиях).

Технология Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова опирается на познавательную мотивацию деятельности, поэтому она дает положительные результаты в начальной ступени обучения.

6.2 Особенности изучения математики в начальной школе

Основная задача школьного учебного предмета по математике состоит в том, чтобы привести учащихся «к возможно более ясному пониманию концепции действительного числа». Основы этой концепций должны усваиваться детьми уже в начальной школе. Это означает, что детям с самого начала должно быть раскрыто общее основание всех видов действительного числа. Таким основанием, по мнению В.В. Давыдова, является усвоение детьми математического понятия величины. Знакомство детей с многообразием чисел, рассматриваемых в концепции действительного числа, является важным путем конкретизации понятия величины.

Усвоение детьми основной идеи концепции действительного числа должно начинаться с овладения ими понятием величины и с изучения ее общих свойств. Тогда все виды действительного числа могут быть усвоены на основе овладения детьми способами конкретизации этих свойств. В таком случае идея действительного числа будет «присутствовать» в обучении математике с самого его начала.

Понятие величины связано с отношениями «равно», «больше», «меньше». Множество каких-либо предметов тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие определить, будет ли А равно В, больше В или меньше В. В качестве примера математической величины В Ф. Каган рассматривает натуральный ряд чисел, так как с точки зрения такого критерия, как положение, занимаемое числами в ряду, этот ряд удовлетворяет определенным постулатам и поэтому представляет собой величину.

Свойства величин раскрываются при оперировании человеком реальными длинами, объемами, грузами, промежутками времени и т. д. (еще до их выражения числами). Возможность организации реальных действий по преобразованию величин допускает введение соответствующего учебного материала уже в I классе.

В основу экспериментального обучения математике (так же как и в основу принятого курса) положена концепция действительного числа. Однако в отличие от обычной программы в экспериментальном обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.

Этот подход к проблеме построения экспериментального учебного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач, составленных применительно к младшим классам:

1) введение школьников в сферу отношений величин - формирование у них абстрактного понятия математической величины;

2) раскрытие учащимся кратного отношения величин как общей формы числа - формирование у них абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);

3) последовательное введение детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрицательных чисел) - формирование у школьников понятий об этих числах как одного из проявлений общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;

4) раскрытие учащимся однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов операции, то по ним можно однозначно определить значение третьего элемента) - формирование у них понимания взаимосвязи элементов основных арифметических действий.

Дадим краткую характеристику содержания перечисленных учебных задач. Так, первая задача требует от учащихся выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов («равно», «больше», «меньше»). Затем эти отношения младшие школьники фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет приступить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их «чистом виде». Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), ученики в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой числа, выводят свойства числового ряда.

Содержанием второй учебной задачи является овладение школьниками общей формой числа. Это осуществляется посредством определения кратного отношения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая - в качестве ее меры (при их выполнении школьники выявляют условия происхождения самой формы числа и овладевают способом ее построения).

При постановке последующих учебных задач учитель создает такие ситуации, которые требуют от школьников использования не одной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, поскольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании школьниками этого ряда мер возникает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной системе, если это отношение будет десятикратным. Так в I классе вводится понятие многозначного числа.

Однако в некоторых ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к ее укрупнению (как это было до сих пор), а к уменьшению. Результат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, описывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяют им при выполнении действия измерения обозначать его результаты с помощью положительного или отрицательного числа.

Переход учащихся от изучения общих свойств величины к выделению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, позиционного, дробного, отрицательного и т. д.), - это главная линия построения всего экспериментального обучения математике. Вместе с тем от этой линии осуществляются многообразные ответвления, связанные с тем, что определенные свойства выделяемых отношений могут служить основой для построения новых понятий. Однако такие понятия формируются по той же схеме: от выделения основного отношения и изучения его свойств к выведению возможных частных следствий.

При решении первоклассниками учебной задачи, приводящей их к пониманию взаимосвязи элементов арифметических действий сложения и вычитания, дети сначала знакомятся с соответствующими операциями над величинами, фиксируя их пространственно-графическими схемами и буквенными формулами. Затем при построении отрезков ученики выясняют такое свойство операции, как однозначность ее структуры, что приводит к следующему следствию: если известны значения двух элементов операции, то по ним всегда и однозначно можно определить значение третьего элемента. Это позволяет построить на основе заданного равенства несколько видов уравнений (школьники устанавливают, что количество таких уравнений равно количеству элементов, включенных в равенство, - х + а = с,

с - х = а, с - а = х). По этим уравнениям какую-либо сюжетную исходную текстовую ситуацию школьники преобразуют в соответствующее количество так называемых текстовых задач.

Текстовые задачи строятся школьниками как частные случаи выражения некоторых общих закономерностей. Именно таким образом в I классе появляются простые задачи на сложение - вычитание, а во II - на умножение - деление. Составные задачи (которые требуют выполнения промежуточных операций) строятся детьми во II классе из простых задач при замене буквы, обозначающей известное данное, буквенным выражением, описывающим операции дополнительного поиска значения этого данного.

Формированию у школьников умения анализировать составные текстовые задачи основное внимание уделяется в III классе. При этом учащиеся овладевают способами построения краткой записи условия задачи, его графического изображения (развернутый анализ текста задач постепенно свертывается). Введение в III классе отрицательных чисел позволяет учащимся применять алгебраический способ решения задач (на основе построения уравнений с проведением последующих тождественных преобразований).

Формирование умений и навыков различных вычислений происходит на основе предварительного усвоения детьми общих закономерностей и свойств тех или иных арифметических действий. В общем виде школьники предварительно рассматривают возможность их использования при вычислениях разного рода и только затем приступают к выполнению конкретных заданий на вычисления. Усвоение детьми вычислительных приемов происходит с помощью тренировочных листов, которые построены таким образом, что сначала требуют от учащихся полного, развернутого выполнения всех операций вычислительного приема, а затем обеспечивают постепенное свертывание вычислений и непроизвольное запоминание их табличных случаев.

Экспериментальная программа по математике включает изучение элементов геометрии. Когда это возможно, геометрический материал связывается с изучением чисел и арифметических действий. Например, задача на нахождение периметра прямоугольника рассматривается в связи с изучением распределительного свойства умножения относительно суммы (II класс). На уроках проводятся собственно геометрические упражнения. На основе вычерчивания, вырезывания, моделирования дети учатся распознавать геометрические фигуры, знакомятся с их свойствами. В I классе они получают представление об углах (прямом и непрямом), прямоугольнике (квадрате). Во II классе школьники знакомятся с видами треугольников, учатся делить окружность на равные части. Во II - III классах большое внимание уделяется нахождению периметров фигур, а в III классе - их площадей. Решение геометрических задач, связанных с анализом положения и формы фигур, способствует развитию у детей элементарных пространственных представлений и умения рассуждать.

Решение всех перечисленных учебных задач осуществляется школьниками посредством выполнения учебных действий. (1). Первое из действий состоит в преобразовании условий задачи с целью выделения отношения, являющегося основой общего способа ее решения (например, кратного отношения величин как общей основы понятия чисел). (2) Вторым действием является моделирование выделенного отношения, а (3) третьим - преобразование модели с целью изучения выделенного отношения. Дадим более подробную характеристику третьему учебному действию, выполняемому детьми на математическом материале. Это действие имеет существенное значение в общем процессе усвоения учащимися теоретических знаний, поскольку именно оно позволяет понять детям специфику ориентации в особенном идеальном плане (модель - это предметно-знаковое выражение идеального).

Так, после выполнения измерения и записи соответствующей модели-формулы

А / с = 5 тот же объект измеряется детьми с помощью другой меры. При записи результата вновь выполненного действия дети вместе с учителем выясняют целесообразность сохранения прежней буквы для обозначения объекта (А) и изменения буквы (с) для обозначения новой меры. Цифра, записываемая после знака равенства, тоже оказывается иной. В следующей ситуации сохраняется прежняя мера, но изменяется объект - соответственно изменяются или сохраняются буквы и цифра.

Освоение школьником преобразования модели осуществляется в двух направлениях. Сначала модель строится им после или в процессе манипуляций с предметным материалом. Затем, наоборот, по заданной модели ребенку нужно выполнить соответствующие манипуляции. Например, учитель записывает новую формулу, в которой сохраняется прежнее обозначение измеряемого объекта, но изменяется буква, обозначающая меру. Дети должны произнести соответствующие изменения в предметной ситуации и далее выполнить измерение в новых условиях.

Кроме буквенных моделей, важную роль при формировании математических понятий играют пространственно-графические модели. Существенной их особенностью является объединение в них абстрактного смысла с предметной наглядностью. Строго говоря, абстракция математического отношения может быть произведена с помощью одних только буквенных формул. Но в них фиксируются лишь результаты реально или мысленно произведенных действий с объектами. А пространственные изображения (например, в виде абстрактных отрезков или прямоугольников), представляют собой зримую величину (протяженность), позволяют детям производить такие реальные преобразования, результаты которых можно не только предполагать, но и наблюдать.

Как можно видеть, моделирование связано с наглядностью, которую широко использует традиционная дидактика. Однако в развивающем обучении системы Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова наглядность имеет специфическое содержание. В наглядных моделях находят отражение существенные или внутренние отношения и связи объекта, выделенные (абстрагированные) посредством соответствующих преобразований (обычная наглядность фиксирует лишь внешне наблюдаемые свойства вещей).

Отметим, что именно абстрактный материал является адекватным для постановки и решения учебной задачи, связанной с освоением общего способа действия. Вместе с тем справедливо и обратное утверждение: абстрактный материал приобретает учебное значение только в ситуациях учебной задачи.

Характерно, что в принятом начальном обучении появление абстрактного материала (в частности, буквенной символики) связано с окончанием учебной работы по какому-либо разделу. В экспериментальном же обучении такой материал вводится в самом начале учебной работы. Так, буквенная символика в первом случае служит средством фиксации свойств какого-либо материала, обнаруженных детьми в процессе решения многих конкретных задач. Во втором же случае сравнительно рано вводимый абстрактный материал служит средством «схватывания» учащимися оснований предметного действия.

Продолжим рассмотрение третьего учебного действия (преобразования модели) на примере усвоения детьми однозначности структуры математической операции. Так, первоклассникам предлагается представить в виде отдельных отрезков прямой каждый элемент равенства а + b = с. Выполняя это задание, школьники обнаруживают, что размер отрезка, вычерчиваемого последним (а порядок их вычерчивания может быть любым), не может быть взят произвольно, так как он зависит от уже выбранных размеров других отрезков. Таким образом, первоклассники открывают фундаментальное свойство математических структур - их однозначность.

Затем учащиеся переходят к выявлению конкретных особенностей этого свойства. При вычерчивании тех же отрезков школьники обнаруживают следующее. Третий отрезок должен изображать значение целого, значит, для определения его длины нужно длины уже имеющихся отрезков складывать. Когда же третий отрезок выступает в роли части, то приходится из длины отрезка целого вычитать длину отрезка произвольно взятой части. Затем учебные ситуации строятся таким образом, что происходит постепенный переход школьников от работы с чертежами к описанию действий только с помощью буквенных формул.

В дальнейшем при выполнении (4) четвертого учебного действия дети переходят от рассмотрения общих особенностей указанного свойства математических структур к рассмотрению его частных проявлений. Так, из общего свойства однозначной зависимости элементов математической операции может быть выведено частное следствие. Это действие имеет практическое приложение: если требуется знать числовые характеристики элементов операции, то необходимость в непосредственном счете или измерении возникает только по отношению к двум из них, в то время как третий может быть определен путем выполнения формальных операций со значениями первых двух.

Школьники первоначально в общем виде устанавливают все возможности опосредствованного поиска значений компонентов одной и той же операции, что фиксируется ими в процессе замены записи одной формулы исходного равенства (например, а - в = с) записями ряда уравнений (х - в = с, а - х = с, а - в = х). Сюжет же, которым задается операция-равенство, трижды превращается (по числу элементов сюжета, а, следовательно, по числу возможных уравнений) в текстовую задачу. Тем самым дети сами выводили различные виды простых текстовых задач и простых, уравнений.

Переход от общего к частному осуществляется не только в форме конкретизации содержания исходных абстракций, но и путем смены буквенной символики конкретно-числовой. Важно отметить, что такой переход осуществляется как подлинное построение конкретного из абстрактного на основе выделенных закономерностей. При этом дети должны первоначально выполнять развернутые формы фиксации этого перехода, а затем учиться их свертывать.

Когда школьник уже овладел принципиальной схемой общего способа предметного действия, необходимого для решения учебной задачи, на первый план, выступает учебное (5) действие контроля, основная функция которого состоит в обеспечении этого способа всеми операциями, необходимыми для успешного решения ребенком всего многообразия конкретно-частных задач. Например, когда ребенок в принципе уже владеет общим способом измерения величин, получая определенный результат, учитель, предлагает ему повторно проделать это измерение, меняя при этом какую-либо конкретную операцию измерения с правильной на неправильную. Так, один раз при отливании воды можно наполнить меру до краев. В другой раз - частично, один раз при каждом наполнении меры можно называть числительное, в другой раз - не при каждом и т. д. Выяснение школьником причин изменения ранее полученного результата при повторном выполнении измерения позволяет ему выделить и усвоить ряд конкретных операций, необходимых для правильного измерения.

С учебным действием контроля тесно связано (6) действие оценки, направленное на выявление готовности ребенка перейти к решению новой учебной задачи, требующей и нового способа решения (оценка определяет, в частности, и сформированность общего способа решения прежней задачи). Поскольку новая задача является таковой не полностью, а только в части своих условий, то, выделив с помощью оценки эту часть, школьники не только определяют невозможность решения этой задачи прежним способом, но и устанавливают, с чем связано возникшее здесь затруднение. Так как оценка устанавливает недостаточность имеющегося общего способа действия, то тем самым она ориентирует ребенка на поиск именно нового общего способа решения возникшей учебной задачи, а неполучение того или иного частичного результата от ее решения.

После того как у школьников был сформирован общий способ решения учебной задачи, им предлагалось применить его в конкретных условиях частных задач практического характера. Например, учащиеся получали готовый текст конкретной арифметической задачи, включающий отношение целого и частей. Учащиеся сначала фиксируют ее содержание с помощью пространственно-графической схемы или уравнения. Это позволяло им рассматривать данные этой задачи через призму категорий целого и частей и находить правильное решение (в последующем соответствующие данные помечались в качестве целого и частей прямо в тексте задачи, и, наконец, учащиеся быстро решают задачу без внешнего обнаружения процесса анализа ее условия). В результате применение детьми общего способа к решению различных частных задач происходит «с места».

Тема 7. Познание сущности явлений младшими школьниками

7.1 Формирование научных понятий у младших школьников

Ребенок начинает обучаться в школе, обладая конкретным мышлением. Под влиянием обучения происходит постепенный переход от познания внешней стороны явлений к познанию их сущности, отражению в мышлении существенных свойств и признаков. Это дает возможность делать первые обобщения, первые выводы, проводить первые аналогии, строить элементарные умозаключения. На этой основе у ребенка постепенно начинают формироваться понятия, которые, вслед за Л. С. Выготским, мы называем научными (в отличие от житейских понятий, складывающихся у ребенка на основании его опыта вне целенаправленного обучения). Чтобы сформировать у ребенка научное понятие, необходимо научить школьника дифференцированно подходить к признакам предмета. Надо показать ученику, что есть существенные признаки, без наличия которых предмет не может быть подведен под данное понятие. Эти признаки не всегда легко увидеть и выделить. Вместе с тем школьник должен понять, что имеются и несущественные для данного понятия признаки, характеризующие индивидуальные особенности предмета, которые иногда очень заметны и впечатляющи.

Умение дифференцировать признаки и выделять существенное приходит не сразу. Ведь младший школьник воспринимает в первую очередь внешние признаки, а именно они-то могут и не быть существенными. Этим и объясняется наиболее частая ошибка, которую допускают младшие школьники в процессе формирования понятий, - замещение признаков, неправомерное обобщение на основе несущественных признаков или на основе рядоположения существенных и несущественных признаков.

При раскрытии понятия «птица» первоклассники указывали на такие внешние признаки, как «летают», «прыгают», «поют», «клюют». Учащиеся II класса особо выделяли признак «летают» (но на этом же основании относили к птицам бабочек), «живут в поле или в лесу» (и на этом основании исключали из числа птиц домашних птиц). Учащиеся III класса уже правильно выделяли существенные признаки понятия «птица», но не систематизировали их. Лишь ученики IV класса перечисляли признаки систематизированно. Подобным образом формировались у учащихся арифметические понятия (множимое, множитель, произведение).

Критерием овладения тем или иным понятием является умение им оперировать. Здесь выясняется, какие признаки положил ученик в основу понятия.

На какие же категории признаков при понятийном обобщении опираются младшие школьники? Здесь тоже имеется определенная закономерность. Учащиеся I - II классов отмечают, прежде всего, наиболее наглядные внешние признаки, характеризующие действия объекта («что он делает») или его назначение («для чего он»), т. е. утилитарные и функциональные признаки («луна светит»; «птицы летают, поют»; «сливы вкусные, их едят»; «на лошади ездят и возят»). Примерно с III класса школьники заметно освобождаются от внушающего влияния наглядных признаков и все больше опираются на знания и представления, сложившиеся в процессе обучения. При образовании понятий учащиеся все больше опираются на признаки, отражающие существенные связи и отношения между предметами и явлениями. Третьеклассники способны и к более высокому уровню обобщения: они умеют установить иерархию понятий, вычленяют более широкие и более узкие понятия, находят связи между родовыми и видовыми понятиями. А ведь для этого необходимо осознавать признаки также в определенной иерархии. Например, младший школьник правильно соотносит понятия «растение», «злак», «пшеница» или «млекопитающее», «хищник», «волк». На этой основе младший школьник овладевает приемами классификации объектов. Аналогично развивается и умение строить умозаключения, доказательства, систему аргументации. Если ученик I и иногда II класса часто подменяет аргументацию и доказательство простым указанием на реальный факт или опирается на аналогию (далеко не всегда правомерную), то ученики III и тем более IV класса под влиянием обучения способны дать обоснованное доказательство, развернуть аргументацию, построить дедуктивное умозаключение.