Аксиоматика школьного курса геометрии. Сравнительный анализ с аксиоматикой Гильберта
Изложение аксиом геометрии Евклидом. Система аксиом, построение теорий пропорций и измерения немецкого математика Д. Гильберта. Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С. Разделение аксиом на группы.
| Рубрика | Педагогика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.01.2013 |
| Размер файла | 64,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
20
Министерство образования и науки РФ
Министерство образования Иркутской области
ГОУ ВПО
"Восточно-Сибирская Государственная академия образования"
РЕФЕРАТ
"Аксиоматика школьного курса геометрии.
Сравнительный анализ с аксиоматикой Гильберта"
Выполнила: студентка 2 курса
заочного отделения факультета МФИ
Маркелова Анна Владимировна
Иркутск, 2011
Содержание
- Введение
- Аксиомы учебника школьного курса геометрии
- Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С.
- Выводы
- Список используемой литературы
Введение
В течение двух тысячелетий "Начала" Евклида считались неподражаемым образцом научного изложения. Из небольшого числа первоначальных понятий и основных положений (аксиом и постулатов) развивается путем логической дедукции ряд теорем, выражающих собою свойства и отношения геометрических фигур и тел.
Для основоположников современного математического естествознания, для Леонарда-да-Винчи, для Кеплера, для Галилея изложение Евклида являлось недосягаемым образцом точности (certezza), математические символы и фигуры, изучаемые в "Началах",-иероглифами, которыми написаны законы природы.
Для Канта аксиомы Евклидовой геометрии суть синтетические априорные суждения, и так как мы не можем представить себе пространства, в котором эти аксиомы не имели бы места, то не только пространство есть трансцедентная, независящая от опыта форма чистого воззрения, но и аксиомы геометрии Евклида имеют такое же трансцедентное происхождение. Таков исходный пункт "Критики чистого разума", имевшей такое влияние на философию XIX века.
До сих пор изучение Евклида является необходимым для всякого преподавателя геометрии, который желает сделать из изучения этой науки школу логического мышления. В Англии, в Италии до последнего времени первые книги Евклида с небольшими изменениями являются учебниками геометрии.
Гильберт в небольшом сочинении дал свою систему аксиом, свое построение теории пропорций и теории измерения и выяснил многие другие основные вопросы геометрии.
Давид Гильберт родился 22 января 1862 г. в Кенигсберге. Подобно большинству других немецких ученых, он не ограничился курсом одного Кенигсбергского университета, но слушал также лекции Фукса в Гейдельберге, Клейна в Лейпциге, Эрмита в Париже. С 1886 до 1895 г. он занимал кафедру в Кенигсберге одновременно с Германом Минковским, с которым его связывала тесная дружба. С 1895 г. - он профессор Геттингенского университета. Его первые работы относятся к высшей алгебре (теория инвариантов; системы форм) и высшей арифметике (теория алгебраических тел). Результатом работ по высшей арифметике явился, между прочим, классический "Отчет о теории алгебраических тел" (1897), имевший большое значение для развития современной теории чисел.
Гаусс назвал арифметику царицею математики, как бы противопоставляя ее анализу, основанному на понятии о непрерывности, почерпнутому из интуиции. Кронекер, увлеченный успехами своих работ в теории чисел, связавший с теориею чисел высшую алгебру, развивал с оживлением идею Гаусса, настаивая на необходимости "арифметизации" всей математики, т.е. на сведении всех математических понятий к целому числу и отказывая до тех пор анализу той строгости выводов, которая присуща только арифметике. В дружеской переписке Вейерштрасса с его русскою ученицею С.В. Ковалевского находится письмо (1885 г.), в котором творец современной теории функций горячо жалуется на Кронекера, отрицательно относящегося к теориям иррационального числа, мечтающего о том, "что скоро арифметика покажет настоящие точные пути анализу и убедит в неверности всех тех умозаключений, с которыми работает современный, так называемый, анализ". Этот спор между выдающимися берлинскими математиками не мог не интересовать и талантливого молодого ученого. Гильберт, несмотря на свои выдающиеся успехи в области высшей арифметики, не встал на сторону Кронекера. Он решил, что и другие области математики могут и должны быть построены столь же строго, как высшая арифметика, которая, исходя из понятия о целом числе и основных аксиом, строит дедуктивным путем грандиозное здание теории алгебраических числовых тел. Естественно было, прежде всего, приложить это убеждение к геометрии, которая так долго считалась неподражаемым образцом дедуктивной науки, но в которой критика XIX века открыла так много "пятен".
Ближайшим поводом для изучения оснований геометрии послужила, с одной стороны, работа Винера (1891), показавшего в статье "Grundlagen und Aul'bau der Geometrie", что все теоремы плоской проективной геометрии могут быть доказаны с помощью элементарных плоскостных аксиом сопряжения и порядка, если вместе с тем считать доказанными теоремы Дезарга и Паскаля. Так как, с другой стороны, теорема Дезарга есть следствие всех (плоскостных и пространственных) аксиом сопряжения и порядка, то доклад Винера возбуждал особый интерес к теореме Паскаля.
С другой стороны, внимание Гильберта не могло не быть привлечено к основным вопросам геометрии теми замечательными работами его друга Минковского, которые показали, какое значение для теории целых чисел имеет систематическое приложение геометрии.
В 1899 г. в "Festschrift", изданной к торжеству открытия памятника Гауссу и Веберу в Геттингене, появилось то сочинение Гильберта, которое делается теперь доступным для всех русских читателей. После отзыва, данного А. Пуанкаре о работе Гильберта, делается излишним прибавлять что-либо к оценке, сделанной знаменитым французским математиком-философом; но нужно в этом предисловии остановить внимание на той постановке вопроса, которую Гильберт, в отличие от предшественников, придал задаче обоснования Евклидовой геометрии. Эта постановка и дала ему возможность перейти от аксиом геометрии к аксиомам других наук и к общему вопросу об аксиоматическом мышлении.
Основные понятия, "вещи", которым Гильберт придает название точек, прямых, плоскостей, не суть какие-либо специально определенные вещи и тем менее те геометрические образы, которые мы соединяем с этими названиями. Они определяются исключительно аксиомами, устанавливающими отношения между ними и производными из них понятиями. Только совокупность всех девятнадцати аксиом определяет геометрические образы Евклидовой геометрии и позволяет вместе с тем построить геометрию Декарта.
Аксиомы учебника школьного курса геометрии
Аксиомы геометрии представляют собой исходные положения, на основе которых строится вся геометрия, т.е. путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур. В аксиомах выражены свойства основных геометрических понятий. К таковым в геометрии относятся понятия точки, прямой и плоскости, понятие "лежать между", для точек прямой и вытекающих из них утверждениях используются такие общематематические понятия, как "принадлежать" (или "лежать на"), "множество", "число" и т.д.
В учебнике Атанасяна Л.С. приводится следующая формулировка аксиом.
Первая группа аксиом характеризует взаимное расположение точек, прямых и плоскостей.
1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
7. Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
Иногда вместо слов "точка В лежит между точками А и С" говорят, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В, или точки А и В лежат по одну сторону от точки С.
8. Каждая точка О прямой разделяет её на две части - два луча - так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.
При этом отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между ними. Если отрезок АВ и прямая а лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а в некоторой точке, лежащей между А и В, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.
9. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.
Если отрезок не имеет общих точек с данной плоскостью, то говорят, что концы отрезка лежат по одну сторону от плоскости; если же отрезок пересекается с плоскостью в некоторой своей внутренней точке, то говорят, что концы отрезка лежат по разные стороны от плоскости.
10. Каждая плоскость б разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости б, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости б.
При этом точки плоскости б не принадлежат ни одному из указанных полупространств. Плоскость б называется границей каждого из полупространств.
Следующая группа аксиом относится к понятиям наложения и равенства фигур.
Под наложением мы понимаем отображение пространства на себя. Однако не всякое отображение пространства на себя называется наложением.
Наложения - это такие отображения пространства на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах 11-17. в формулировках этих аксиом используется понятие равенства фигур, которое определяется так: пусть Ф и Ф1 - две фигуры; если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф1, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить с фигурой Ф1 или что фигура Ф равна фигуре Ф1.
11. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
14. Два равных угла hk и h1k1, лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P1, можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P1, причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи h и h1, k и k1, а в другом лучи h и k1, k и h1.
15. Любая фигура равна самой себе.
16. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
17. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.
Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним как измеряются отрезки. Пусть АВ - измеряемый отрезок, PQ - выбранная единица измерения отрезков.
18. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.
19. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
И последняя аксиома в стереометрии, как и в планиметрии, есть аксиома параллельных прямых.
20. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С.
Аксиоматика Гильберта содержит 20 аксиом, которые поделены на 5 групп.
I группа Аксиомы принадлежности
Аксиомы Гильберта этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.
В учебнике Атанасяна аксиомы этой группы также характеризуют взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Но в аксиоматике Гильберта их всего восемь, а в учебнике Атанасяна к этой группе аксиом относится десять аксиом. Гильберт в своих аксиомах использует названия точек А и В, названия плоскостей и , а также название прямой а. В учебнике же не используются названия точек, кроме точки О, которая фигурирует как разделительная точка прямой, также имеются названия прямой и плоскости. В школьную аксиоматику включены аксиомы, имеющие понятие луча, полуплоскости и полупространства, чего нет в I группе аксиоматики Гильберта. Ещё одной особенностью аксиом данной группы является то, что в аксиоматике Гильберта используется термин "Каковы бы ни были две точки…", а с другой стороны в школьном учебнике используется термин "Через любые две (три) точки…".
Аксиомы Атанасяна с 1 по 7 построены более упрощенно для понимания школьника, но каждая из аксиом с 8 по 10 дают сразу несколько разных отношений для плоскостей, точек, лучей, пространства и полупространства, что может вызвать затруднение в общем понимании отдельно взятой аксиомы.
Попробуем провести соответствие аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника Атанасяна:
I1 Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящая через эти точки.
I2 Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
Этим аксиомам соответствует аксиома учебника:
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Следующая аксиома Гильберта:
I3 На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
Аксиома учебника включает также понятие плоскости:
На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
Аксиомы Гильберта:
I4 Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость , проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
учебник геометрия аксиома гильберт
I5 Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.
Им соответствует одна аксиома учебника:
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Аксиома Гильберта:
I6 Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой а лежит в плоскости . Ей соответствует:
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома Гильберта:
I7 Если две плоскости и имеют общую точку А, то они имеют еще, по крайней мере, одну общую точку В. В соответствие этой аксиоме:
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Аксиома Гильберта:
I8 Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Ей соответствует аксиома:
Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Следующие аксиомы школьного учебника содержат такие понятия, как "принадлежать", "лежать между" и входят в состав одной (первой) группы аксиом:
1. Каждая точка О прямой разделяет её на две части - два луча - так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.
2. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.
3. Каждая плоскость б разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от плоскости б, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости б.
II группа Аксиомы порядка
Вторая труппа аксиом Гильберта описывает основные свойства неопределяемого отношения "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой.
II1 Если точка В лежит между точками А и С, то А.В. С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А.
II2 Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В.
II3 Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.
II4 Пусть А, В. С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В.С. Тогда если прямая а проходит через одну из точек отрезка АВ, то она проходит также через одну из точек отрезка АС или через точку отрезка ВС.
Аксиоме II2 и II3 соответствует следующая аксиома школьного учебника:
Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
Во II группу аксиом Гильберта не входят такие понятия как пространство, полупространство, луч, полуплоскость. Об этом говорилось выше.
III группа Аксиомы конгруэнтности
Основным неопределяемым понятием в этой группе аксиом Гильберта является понятие "конгруэнтности", или "равенства", отрезков и углов. Будем использовать слово равенство и обозначения: AB = CD (для отрезков) и или ; (для углов).
III1 Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такую точку , что АВ = A. Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА. '
III2 Если и , то .
III3 Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, и пусть и В'С' - два отрезка на той же или другой прямой , тоже не имеющие общих точек. Если и , то .
III4. Пусть в некоторой плоскости даны угол hk и луч h'. Тогда в заданной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч , существует и единственный луч k' такой, что , и все внутренние точки лежат в заданной полуплоскости. Каждый угол равен самому себе: .
III5 Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом и , то и .
Сравним эту группу аксиом с аксиомами учебника Атанасяна.
Во-первых: Гильберт не использует такое понятие как "наложение".
Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
Также нет в аксиомах Гильберта такого понятия как "неразвернутый угол".
От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
Во-вторых, в школьном учебнике практически нет обозначений отрезков, углов, которые используются у Гильберта, но введено такое понятие как "фигура", обозначается буквой Ф. И если у Гильберта рассматривается равенство отрезков, как в аксиоме III2, то у Атанасяна рассматривается равенство фигур.
Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.
В аксиоме Гильберта III4 имеется утверждение: Каждый угол равен самому себе: . В аксиоматике Атанасяна имеется отдельная аксиома:
Любая фигура равна самой себе.
Имеется также аксиома, показывающая совмещение углов наложением:
Два равных угла hk и h1k1, лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P1, можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P1, причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи h и h1, k и k1, а в другом лучи h и k1, k и h1.
IV группа. Аксиомы непрерывности
Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, чтобы ввести длину отрезка и величину угла, а также описать свойства непрерывности расположения точек на прямой.
IV1. Пусть АВ и CD - произвольные отрезки. Тогда на луче АВ существует конечное число точек , расположенных так, что точка А1 лежит между А и А2, точка А2 лежит между А1, и А3 и т.д., отрезки равны отрезку СD и точка В лежит между А и Ап.
IV2. Пусть, на какой угодно прямой а, дана бесконечная последовательность отрезков , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пусть далее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которого меньше этого отрезка. Тогда на прямой а существует точка, лежащая внутри всех отрезков .
В учебнике Атанасяна эта группа аксиом представлена двумя аксиомами, которые характеризуют измерение отрезков:
При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
V группа Аксиома параллельности
У Гильберта данная аксиома звучит так:
V. Даны: прямая а и, не принадлежащая ей, точка A. В плоскости, определяемой прямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой а.
В учебнике Атанасяна дана очень схожая формулировка, не имеющая, правда обозначений для плоскости, прямой и точки.
В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Выводы
Рассматривая аксиоматику Гильберта и аксиоматику школьного учебника Л.С. Атанасяна можно прийти к следующим выводам.
Наибольшую схожесть аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника можно отметить в первой группе аксиом (аксиомы принадлежности), где почти для каждой аксиомы Гильберта можно соотнести аксиому из школьного учебника. Отличие состоит лишь в том, какие термины при этом используются. В школьном учебнике, по моему мнению, дана более упрощенная формулировка некоторых аксиом. В одной аксиоме также может обобщаться две аксиомы Гильберта и, как можно было заметить, в школьном учебнике практически не используются обозначения для точек, прямых и плоскостей.
Во второй группе аксиом (аксиомы порядка) в аксиоматике Гильберта выстроен целый ряд аксиом для неопределяемого понятия "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой. С другой стороны в аксиоматике школьного учебника присутствует единственная схожая аксиома, но имеются аксиомы описывающие расположение точек на разных лучах, полупространствах, полуплоскостях, что существенно отличает их от аксиом Гильберта.
Третья группа аксиом школьного учебника в своей основе имеет такое понятие как наложение, т.е. отображение пространства на себя, чего нет в аксиомах Гильберта. Атанасян использует в этих аксиомах понятие равенства фигур, не уточняя, каких именно, в то время как Гильберт рассматривает равенство отрезков и углов.
Четвертая группа аксиом Гильберта довольно широко и полно описывает длину отрезка и величину угла, а также свойства непрерывности расположения точек на прямой с использованием обозначений. В школьном учебнике кратко и просто сформулированы две аксиомы, связанные лишь с измерением отрезков.
Аксиомы пятой группы и Гильберта и в школьном учебнике представлены лишь одной аксиомой (аксиома параллельности). Различие состоит лишь в том, что Гильберт использует обозначения в аксиоме, а школьный учебник в более упрощенной форме описывает ту же самую аксиому.
Таким образом, аксиоматика Гильберта хоть и схожа с аксиоматикой школьного учебника, но имеет при этом существенные отличия. По моему мнению, аксиомы учебника представлены в более упрощенном виде специально для усвоения их школьниками. Аксиомы построены с использованием других терминов, но, по сути, являются выводами или следствиями аксиом Гильберта.
Гильберт подходил к выстраиванию своих аксиом с научной точки зрения, т.к. он проводил исследования не только аксиом геометрии, но и исследовал аксиомы других наук. И такой метод, и стиль их представления вполне соответствовал, как говорится, месту и времени.
Список используемой литературы
1. Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 10-11: учебник для общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2005 г.
2. Электронная версия книги: "ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ" Под редакцией акад. Я.В. УСПЕНСКОГО, перевод с пятого немецкого издания под редакцией заслужен. проф. А.В. ВАСИЛЬЕВА, КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО "СЕЯТЕЛЬ", Е.В. ВЫСОЦКОГО Петроград, 1923 г.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии, традиционно-синтетический координатно-векторный методы, роль аксиом в построении школьного курса. Методика введения понятий и теорем, схема изучения признаков равенства треугольников.
реферат [181,6 K], добавлен 07.03.2010Аксиоматический подход в преподавании математики: основания и реализация. Аксиоматика евклидовой геометрии. Критика реализации аксиоматического подхода у А. Погорелова. Образовательное значение критики школьного учебника в обучении педагогов математиков.
дипломная работа [109,8 K], добавлен 25.08.2011Понятие величины в школьном курсе математики. Описание их свойств с помощью аксиом меры. Раскрытие формально-логической и прикладной сторон проблем изучения величин. Пропедевтический и систематический этапы изучения длин, площадей фигур в курсе геометрии.
контрольная работа [51,2 K], добавлен 25.03.2016Практическая деятельность учащихся при изучении геометрии. Этапы изучения измерений геометрических величин в школьном курсе математики, направления и примеры их использования и реализации. Сравнительный анализ учебных пособий по геометрии для 7-9 классов.
дипломная работа [9,4 M], добавлен 25.04.2011Обобщающее повторение по математике: его цели, особенности организации и проведения. Специальные методы решения планиметрических задач школьного курса геометрии. Распределение заданий по разделам курса геометрии в зависимости от уровня сложности.
дипломная работа [1000,5 K], добавлен 28.03.2015Методическая схема изучения теорем и их доказательства на примере признака параллельности прямой и плоскости. Сущность аксиом стереометрии, их роль при доказательстве теорем, иллюстрация на моделях. Методка изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
реферат [448,8 K], добавлен 07.03.2010Учебник как основное средство обучения в школе. Современные требования к структуре и содержанию школьного учебника на примере учебников по истории Отечества. Модернизация школьного образования. Основные критерии оценки качества школьного учебника.
курсовая работа [46,9 K], добавлен 20.10.2012Особенности отличия традиционного процесса обучения и инновационного. Современные подходы к организации школьного процесса, их характеристика: компетентностный, деятельностный, личностный, коммуникативный, социокультурный. Сравнительный анализ подходов.
курсовая работа [57,4 K], добавлен 12.12.2011Необходимость и возможность введения в начальной школе пропедевтического курса геометрии обсуждается педагогической общественностью уже более столетия. Сама "геометрия" определяется как раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур.
курсовая работа [43,0 K], добавлен 06.01.2009Роль изучения геометрии в формировании общего образования школьников, анализ действующих учебников. Система упражнений пропедевтики и развития интереса к математике. Методическая разработка материалов для проведения уроков по геометрии в 5-6 классах.
дипломная работа [3,7 M], добавлен 22.04.2011
