Решение логарифмических неравенств при подготовке к ЕГЭ в старших классах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Курс: Методика обучения математике в основной и старшей образовательной школе

Тема: Решение логарифмических неравенств при подготовке к ЕГЭ в старших классах

Москва, 2011 год

Содержание

Введение

Основные свойства логарифма

Методы решения логарифмических неравенств

Решение задач

Заключение

Список использованной литературы

Введение. Из истории логарифмов

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером (1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги (1552-1632). Первым опубликовал работу Непер в 1614 г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620 г. Идеей логарифма Непер овладел около 1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого - «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогрессии, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогрессии. Первые таблицы на русском языке были изданы в 1703 г. при участии замечательного педагога 18 в. Л. Ф. Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма».

Основные свойства логарифма

P1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ? 1 и b > 0.

P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a > 0, a ? 1, N₁·N₂ > 0).

P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ? 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ? 1, N₁N₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N ^k = k log_a N (a > 0, a ? 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

log_a N ^2s = 2s log_a |N| (a > 0, a ? 1, N ? 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1, N > 0),

в частности, если N = b, получим

(a > 0, a ? 1, b > 0, b ? 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (3)

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (4)

(a > 0, a ? 1, b > 0, c ? 0), (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b > 0, a ? 0, |a| ? 1). (6)

Методы решения логарифмических неравенств

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

f(x) < g(x),

f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

h(x) > 1,

f(x) > g(x) > 0,

0 < h(x) < 1,

0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ?, <, ?. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Решение задач

логарифмический неравенство школьник математика

Пример 1. Решить неравенства

a) log₃(x² - x) ? log₃(x + 8);d)

b) e) log_2x(x² - 5x + 6) < 1.

c)

Решение. a) Используя утверждение 1, получим

log₃(x² - x) ? log₃(x + 8) Ы x² - x ? x + 8,Ы x² - 2x - 8 ? 0,Ыx+8 > 0,x > -8,Ы x ? -2,x ? 4,Ы x О (-8;-2]И[4;+Ґ).

x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Ы x О (3;4),Ы x О (3;4).

x О--Ж,

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log_2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак <).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

Неравенства вида F(log_ax) > 0 сводятся подстановкой t = log_ax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t² + t - 2 ? 0, откуда t ? -2 или t ? 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

.

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

Следовательно,

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства - множество (5;+Ґ). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x - 2)(x - 5) < lg4.

Используя утверждение 1, получим

Решаем систему

и, учитывая ОДЗ, получим x О (5;6).

e) Определим ОДЗ неравенства

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим

Используя свойство P2, получим

Обозначив log₃x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

Следовательно,

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

c) Определим ОДЗ неравенства

Поскольку

,

неравенство равносильно следующему:

откуда следует

Обозначив t ? 0, получим квадратное неравенство

(t - 1)² > t + 11,

t² - 3t - 10 > 0,

откуда t < -2 или t > 5. Поскольку t ? 0, остается t > 5 или Ы x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x О (5;+Ґ).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)И(2;+Ґ). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log₂(x-1) > 0 при x > 2 и log₂(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что для любого x из ОДЗ, при x О (1;2)И(2;3) и при x > 3, значит,

получим x О (1;2)И(3;+Ґ).

Заключение

В данной работе была кратко приведена основная теоретическая информация, необходимая для решения логарифмических неравенств. Помимо этого, были рассмотрены некоторые общие приемы решения таких неравенств и приведены примеры решения. Следует отметить, что решение логарифмических неравенств часто вызывает затруднения у школьников при подготовке к Единому государственному экзамену по математике. Это, в свою очередь, требует повышенного внимания к данной теме.

Логарифмические неравенства встречаются учащимся как при решений заданий части В (как правило, это простейшие логарифмические неравенства), так и при решении заданий уровня повышенной сложности, встречающихся в части С. В последнем случае, задания требуют от учащихся уверенных навыков решения логарифмических неравенств, и наиболее рационально подходить к решению этих заданий в рамках функционального метода решения логарифмических неравенств.

Список использованной литературы

1. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика. Справочные материалы», Книга для учащихся, М.: «Просвещение», 1990 г.

2. Л. О.Денищев, Е. М.Бойченко и др. «Готовимся к единому государственному экзамену», Математика, Изд. «Дрофа», 2004 г.

3. Ф. Ф.Лысенко, В. Ю.Калашников «Подготовка к ЕГЭ по математике», Ростов-на-Дону, 2002 г.

Размещено на Allbest.ru