Элементы теории чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

На рубеже XX-XXI веков актуальным вопросом российского образования стал вопрос модернизации образовательной сферы, и создания механизма устойчивого развития данной системы с целью повышения качества обучения. Одной из составляющих модернизации является введение предпрофильного и профильного обучения. Профильное обучение предназначено для создания образовательного пространства, способствующего самоопределению учащихся старших классов, через организацию элективных курсов, информационную работу и профильную ориентацию.

Профильная подготовка представляет собой систему педагогической, психологической, информационной и организационной поддержки учащихся основой школы, содействующей их успешному самоопределению по окончанию школы и обоснованному выбору пути продолжения образования. Большая роль в профильном обучении отводиться элективным курсам, на которых в полной мере должны быть учтены личностно-значимые для обучаемых образовательные цели.

Так как элективные курсы используются в образовательных учреждениях недавно, нормативных документов и методических материалов к ним пока еще недостаточно. Многие учителя не владеют полной информацией о целях и задачах профильного обучения в школе, формах и методах его реализации; не знают, как разработать интересный и полезный для учащихся элективный курс. Поэтому актуальным на данный момент является вопросы: систематизации информации по элективным курсам, рассмотрение специфики создания элективных курсов, а также выявление особенностей методики их проведения. Особую значимость приобретает рассмотрение элективных курсов по математике как одной из важных школьных дисциплин. Поэтому тема, выбранная для исследования, актуальна.

Целью дипломной работы является разработка элективного курса “Элементы теории чисел”.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Ознакомиться с историей возникновения и развития элективных курсов;

Определить цели и требования, предъявляемые к содержанию элективных курсов;

Изучить психолого-педагогические особенности учащихся старшего подросткового возраста;

Разработать методический материал для элективного курса “Элементы теории чисел”.

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической и методической литературы, учебников, учебных пособий, научно-популярной литературы по математике.

Дипломная робота состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованных источников.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики.

Глава I посвящена истории возникновения и развития элективных курсов. Рассматриваются цели проведения элективных курсов по математике, отбор содержания, методов и форм проведения элективных курсов. Выявляются психолого-педагогические особенности учащихся старшей школы.

В главе II расписана пояснительная записка к элективному курсу. Кратко изложено содержание данного элективного курса и приведены конспекты двух занятий. В заключении представлены основные выводы и результаты проведенного исследования.

Глава I. Общие вопросы организации и проведении я элективных курсов по математике с учащимися средней школы

§1. История возникновения и развития элективных курсов

Факультативные занятия являются одной из форм дифференцированного обучения. 10 ноября 1966 года было опубликовано правительственное постановление «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы». В нем, в частности, отмечалось отставание уровня учебно-воспитательной работы школы от потребностей практики, и в связи с этим была намечена система мер по ликвидации этого отставания, среди которых нашли отражение новые, принципиально важные для школы формы обучения. Одной из них явились факультативы. В постановлении было сказано, что они создаются «для углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также для развития разносторонних интересов и способностей учащихся». Таким образом, факультативные занятия явились формой дифференциации обучения, учитывающей индивидуальные склонности и способности учащихся.

Однако термин «факультативные предметы» был известен еще в XIX веке. П.Ф.Каптерев в своей книге «О разнообразии и единстве общеобразовательных курсов» [3] в 1893 году употребил его для названия углубленных курсов в старших классах. По мнению автора, весь общеобразовательный курс, в частности, математики, должен занимать восемь лет и распадаться на восемь классов, тогда «общая часть курса должна занимать никак не менее четырех лет, причем общеобразовательные предметы не должны, конечно, прекращаться с пятого года учения, но продолжаться и в остальные годы, постепенно сокращаясь и уступая свое место факультативным, которые в последние годы учения являются и преобладающими, сосредоточивающими на себе если не исключительное, то преимущественное внимание учащихся. Начавшись общими предметами, курс оканчивается факультативными».

К 1966 году, к моменту появления факультативных курсов, отечественной школой уже был накоплен значительный опыт по организации и проведению таких форм дифференцированного обучения, как классы с углубленным изучением ряда предметов и специализированные школы. Факультативные занятия не только не противоречили названным формам, но и прекрасно дополняли их, так как, являясь самой подвижной, доступной и массовой формой обучения, могли вводиться практически в каждой школе. Учитель со своими учениками, пожелавшими посещать факультатив, опираясь на примерные программы факультативных курсов, мог создать свой собственный курс, отвечающий интересам конкретных учеников, что очень важно специально подчеркнуть.

В практику работы школы факультативные занятия вошли, начиная с 1967/1968 учебного года. Начался первый этап введения факультативов по математике в школу.

Первые курсы назывались «Дополнительные главы и вопросы математики» и «Специальные курсы». В журнале «Математика в школе» были опубликованы программы этих курсов[2;5;10]. В это время факультативные курсы были ориентированы на новую программу (с конца 60-х годов прошлого века в нашей стране началось движение за реформу математического образования) по математике и являлись местом апробации новых тем. После широкой экспериментальной проверки на факультативных занятиях некоторые темы были включены в основной курс по математике. Например, «Метод координат», «Множества и операции с ними», «Бесконечные множества», «Геометрические преобразования», «Производная» и др.

Уже в конце учебного года (10-12 июня 1968 года) в Москве состоялось совещание по опыту углубленного изучения отдельных школьных предметов по выбору учащихся. Делегаты обсудили итоги первого года внедрения факультативных занятий в школу, рассмотрели широкий круг вопросов, связанных с их организацией, содержанием, методами и формами проведения, оценкой знаний учащихся, местом факультативных занятий в учебно-воспитательном процессе, связи с другими занятиями по математике, в том числе внеклассных и т.п.

По мере внедрения в жизнь новых программ обязательного курса математики, программа факультативного курса «Дополнительные главы и вопросы математики» претерпела ряд изменений. Так, в 1973/1974 учебном году, в связи с переходом 7 класса (современный 8 класс) на новые программы, а 9 класса (современный 10 класс) - на переходные программы по математике, была принята усовершенствованная программа факультативных курсов, которая, как было отмечено выше, не включила ряд тем, переведенных в основной курс.

Например, дополнительные главы по курсу математики для 7-8 классов включили следующие темы:

1. Делимость чисел и простые числа.

2. Системы счисления и арифметические основы работы электронных вычислительных машин.

3. Элементы теории множеств.

4. Метод координат.

5. Функции и графики.

6. Номограммы.

Заметим, что, практически, нет геометрических тем, из шести - только одна, связанная с координатами, которая, на самом деле, не является чисто геометрической темой.

К 1980 году был завершен переход средней школы на новую программу по математике. Факультативный курс «Дополнительные главы и вопросы математики» с успехом выполнил свои функции и был заменен на новый факультативный курс. Начался второй этап введения факультативных занятий в школе.

Новый факультативный курс включил в себя три следующие раздела:

1. Избранные вопросы математики 7-10 (8-11) классы.

2. Математика в приложениях 9, 10 (10, 11) классы.

3.Алгоритмы и программирование 8-10 (9-11) классы.

Последний раздел заменил специальные курсы по математике. Программа данных факультативных курсов была опубликована в журнале «Математика в школе». Для раздела «Математика в приложениях» журнал поместил примерное тематическое планирование с указанием рекомендуемых форм проведения занятий и списком литературы. Для проведения занятий по первому разделу «Избранные вопросы математики издательство «Просвещение» выпустило соответствующую литературу. Приведем основные темы этого курса.

7 - 8 (в настоящее время 8-9) классы:

1. Системы счисления и арифметические основы работы электронных вычислительных машин.

2. Симметрия.

3. Элементы математической логики.

4. Множества на координатной плоскости.

5. Бесконечные множества.

В теме «Симметрия» представлен содержательный материал. Рассмотрены перемещения (движения) плоскости: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, переносная, или скользящая, симметрия (композиция осевой симметрии и параллельного переноса); симметрии различных фигур, в том числе правильных многоугольников, звездчатых правильных многоугольников; красивые розетки, линейные орнаменты (бордюры), симметрии решеток.

9 (сейчас 10) класс:

1. Метод математической индукции.

2. Элементы комбинаторики.

3. Элементы теории вероятностей.

4. Языки программирования.

5. Бинарные отношения и соответствия.

10 (сейчас 11) класс:

1. Дифференциальные уравнения.

2. Комплексные числа и многочлены.

3. Элементы сферической геометрии.

Как видим, геометрических тем в девятом (десятом) классе вообще не предусмотрено. В десятом (одиннадцатом) классе в числе элементов сферической геометрии рассмотрены следующие: начальные понятия сферической геометрии; соответствие между сферической геометрией и планиметрией; сферическая тригонометрия; перемещение сферы; площади сферических многоугольников; применение сферической геометрии в навигации; картографические проекции.

В помощь учителю, ведущему факультативные занятия по этому курсу, были изданы соответствующие методические пособия.

Как мы уже отмечали, началом новой реформы можно считать съезд работников народного образования, который проходил в Москве в декабре 1988 года. На нем была принята Концепция общего среднего образования, основным направлением которой была провозглашена широкая дифференциация обучения. Реформой предусматривалось дальнейшее развитие всех форм дифференциации, в том числе и факультативной, основной целью которой является возможность углубленного изучения отдельных предметом, в том числе и математики. Таким образом, начался третий этап введения факультативных занятий по математике.

В 1990 году была опубликована новая программа факультативных курсов. В ней сказано, что на факультативных занятиях учащиеся углубляют знания по основному курсу, получаемые на уроках, приобретают умения решать более трудные и разнообразные задачи. Факультативные занятия предусматриваются с 7 класса. В старших (10-11) классах углубление основного курса носит систематический характер и выполняет функции подготовки к продолжению образования и к сдаче вступительных экзаменов в вузы.

Наряду с углублением основного курса, на факультативе целесообразно и определенное расширение содержание учебного материала, в основном за счет линии современных приложений математики. Характер прикладных факультативов на разных ступенях обучения также должен быть различным. Если в 7-9 классах это преимущественно «чистый» практикум, то в старших классах учащиеся должны познакомиться и с теоретическими основами приложений. В выпускных старших классах необходимы также факультативные курсы обзорного характера, освещающие роль и место математики в современном мире.

В предложенном факультативе предусмотрены такие факультативные курсы:

1. За страницами учебников математики.

2. Математическая мозаика.

3. Подготовительный факультатив.

Первые два предназначены для учащихся основной школы, а последний - для старшеклассников. Для проведения первого факультатива была выпущена следующая книга: [13]. В нее вошли следующие темы: 7 класс - Системы счисления. Простые и составные числа. Геометрические построения. Замечательные точки в треугольнике. 8 класс - Числовые множества. Метод координат. Элементы математической логики. Геометрические преобразования плоскости. 9 класс - Функции и графики. Уравнения, неравенства, их системы. Замечательные теоремы и факты геометрии. Логическое строение геометрии.

Факультативный курс «Математическая мозаика» включает в себя такие вопросы: 7 класс - Магические квадраты. Великаны и карлики в мире чисел. Математические ребусы и шифровки. Лист Мебиуса. Математические игры. 8 класс - Принцип Дирихле. Комбинаторные задачи. Математические парадоксы и софизмы. Логические задачи. Разрезание фигур. 9 класс - Контрпримеры в математике. Эвристики, аналогия, поиск закономерностей, выдвижение гипотез и обоснование гипотез, математическая индукция. Занимательные задачи вероятностного характера.

Подготовительный факультатив для 10-11 классов имеет более узкую и конкретную направленность. Его целью является подготовка учащихся к продолжению образования, повышение уровня их математической подготовки. Преподавание на факультативе строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса математики. В программу факультатива вошли следующие вопросы: Алгебраические уравнения, неравенства, системы. Текстовые задачи. Функции и графики. Начала анализа. Квадратный трехчлен. Доказательства неравенств. Тригонометрические функции. Показательная и логарифмическая функции. Числа и числовые последовательности. Нестандартные уравнения и неравенства. Задачи с параметрами. Методы решения планиметрических задач. Стереометрические задачи и методы их решения.

Для проведения данного факультатива была выпущена соответствующая литература:

- [1].

- [14].

- [15].

Отличительной чертой современного этапа развития факультативной формы обучения является то, что учителям предоставляется право работать по любой из опубликованных программ, в том числе и по авторским. Это решение было принято из-за того, что обучение на факультативных занятиях по единой программе, обязательной для всех, оказалось несостоятельным. Учителя вели, как правило, факультативные занятия или спецкурсы по собственной программе, учитывая специфику своего конкретного класса, интересы и запросы ребят. Кроме этого, в современных условиях необходимо учитывать также особенности уровневой дифференциации обучения в основной школе и профильную направленность в старших классах.

В 2002 году была принята новая Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования (приказ № 2783 от 18 июля 2002 года), в которой, наряду с базовыми и профильными курсами, выделяются специальные элективные курсы - курсы по выбору. Их с полным правом можно считать преемником факультативных курсов. Действительно, и те, и другие, прежде всего, направлены на удовлетворение индивидуальных склонностей, потребностей учащихся, развитие их способностей. Но есть и большая разница. Например, факультативные курсы не были обязательными для всех учащихся. Существовала специальная программа факультативов по математике, которой должен был руководствоваться каждый учитель, ведущий факультативные занятия, были изданы учебные пособия.

Элективные курсы обязательны для всех учащихся, но какими им быть в конкретной школе во многом зависит от самих школьников, их интересов, запросов. В идеале предполагается с помощью курсов по выбору для каждого ученика построить индивидуальную образовательную программу, или траекторию. Элективные курсы будут начинаться в 9 классе основной школы в рамках предпрофильной подготовки, поэтому оказывать существенное влияние на выбор основного профильного направления обучения в старшей школе.

§2. Цели проведения элективных курсов по математике

Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике - уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы.

Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых часов для занятий сокращается. Математика как школьная дисциплина оставляет учащихся на рубеже прошлых веков и чрезвычайно мало знакомит с современными научными достижениями.

Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике.

Прилагательное «элективный» в переводе с латинского языка означает избранный, отобранный. Отсюда следует, что любой курс, названный в учебном плане «элективным» должен выбираться.

Элективные курсы играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы.

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трёх типов: базовых, профильных, элективных.

Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов.

Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

При этом предполагается, что элективные курсы должны способствовать внутрипрофильной специализации обучения, а так же для разработки учащимися собственного образовательного профильного маршрута, так как одной из основных задач, стоящих перед системой образования, является переориентация на подготовку человека, самостоятельно выбирающего индивидуальную траекторию развития в соответствии со своими способностями и возможностями, ответственно принимающего решения и эффективно действующего в современно меняющемся мире. Самостоятельность как ответственное, инициативное, независимое поведение - это основной вектор взросления молодых людей.

Элективные курсы должны быть содержательно и деятельно связаны с конкретным профилем, моделируя характерные для него учебные ситуации и проблемы.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору для старшеклассников, которые реализуются за счет школьного компонента и имеют следующие цели:

развитие содержания базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по математике;

дополнение содержания профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углублённым;

удовлетворение разнообразных познавательных интересов школьников, выходящих за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности;

развитие математического мышления, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углублённого изучения математики.

Элективные курсы играют большую роль в совершенствовании школьного образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, а также варьировать объём и сложность изучаемого материла.

Элективные курсы решают следующие задачи:

реализуют индивидуализацию обучения, удовлетворяют образовательные потребности школьников.

создают условия для того, чтобы ученик утвердился в сделанном им выборе направления дальнейшего обучения, связанного с определенным видом профессиональной деятельности, или отказался от него.

помочь старшекласснику, совершившему первоначальный выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности, связанных с ней.

Таким образом, элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат для внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных траекторий школьников.

§3. Отбор содержания, методов и форм проведения элективных курсов с учащимися средней школы

элективный курс элемент теория число

Одним из направлений современной образовательной парадигмы является профильное обучение, которое предполагает предпрофильную подготовку. Цель профильного образования: самоопределение личностное и профессиональное.

Большое значение в предпрофильной подготовке имеют элективные курсы, избранные учащимися и обязательные для посещения.

Требования к содержанию элективных курсов:

построение курса должно позволять в полной мере использовать активные формы организации занятий, информационные, проектные формы работы. В противном случае и «ликвидация пробелов» и «углубленная подготовка» переродятся во вполне традиционное натаскивание.

элективные курсы должны способствовать созданию положительной мотивации, иметь социальную и личную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся.

по возможности курсы должны опираться на какое-либо пособие, это позволит исключить «монополию учителя на информацию».

содержание курсов не должно дублировать содержание предметов, обязательных для изучения.

программа курса может состоять из ряда законченных модулей. Это позволит ученику, в том случае, если он понял, что его выбор ошибочен, пойти, в следующей четверти(полугодии) на занятия по другому элективному курсу.

Таким образом, отобранное содержание должно, с одной стороны, соответствовать познавательным возможностям старшеклассников, а с другой - предоставляя ученику возможный опыт работы на уровне повышенных требований, развивать его учебную мотивацию.

Формы и методы обучения на элективных курсах.

При выборе методов и приемов обучения на элективных курсах необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы элективного курса.

На элективных курсах по математике могут использоваться разнообразные формы и методы проведения занятий:

лекции.

практические работы.

обсуждение заданий по дополнительной литературе.

доклады учеников.

написание рефератов.

экскурсии.

Часть материала может быть вычитана лекционно. При проведении лекции допустимы беседы с учащимися, обсуждение по ходу рассказа вопросов, заинтересовавших школьников.

Большую пользу приносит подготовка учениками рефератов. Выполнение такого рода работы необходимо для развития навыков самообразования, удовлетворения индивидуальных интересов учащихся. Необходимо, чтобы подготовленные рефераты заслушивались всеми и обсуждались в обязательном порядке. Для рефератов следует подбирать темы, по которым имеется легкий доступ к литературе. План реферата можно предложить составить ученику самостоятельно, но можно и помочь ему в этом. Для проведения практических работ учитель составляет рекомендации, с помощью которых определяется цель работы, задания для учащихся, порядок выполнения практической работы. Задания целесообразно подбирать дифференцированно, а при подведении итогов можно показать результаты деятельности всей группы в целом.

Основными формами проведения элективных курсов по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного элективных курсов учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Одной из возможных форм ведения элективных курсов по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения элективных курсов может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Проведение элективных курсов по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения.

По существу элективные курсы являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились элективные курсы по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на элективных курсах по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

§4. Психолого-педагогические особенности учащихся

В настоящее время школа испытывает значительные трудности, одна из причин которых видится в том, что обучение и воспитание в недостаточной степени опираются на комплекс имеющихся психолого-педагогических знаний о формировании и развитии личности ученика. Формирование личности происходит, прежде всего, в школьные годы, поэтому педагогам надо изучать индивидуальные особенности учащихся, создавать условия для реализации их творческих устремлений. Эффективность работы педагогов и психологов проверяется тем, насколько психологически и морально готовыми к взрослой жизни оказываются старшеклассники, насколько правильный выбор пути они сделали.

В старших классах школы развитие познавательных процессов детей достигает такого уровня, что они оказываются практически готовыми к выполнению всех видов умственной работы взрослого человека, включая самые сложные. Девушки и юноши уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Они относительно свободно размышляют на нравственные, политические и другие темы, практические не доступные интеллекту младшего школьника. У старшеклассников отмечается способность делать общие выводы на основании частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста - это умение оперировать гипотезами.

К старшему школьному возрасту дети усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словесно-логического мышления. Одновременно наблюдается интеллектуализация всех остальных познавательных процессов. Долгое время развитием таких сторон интеллекта, как здравый смысл, смекалка, интуиция школа пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися трудовых умений и навыков. В структуру практического интеллекта, на совершенствование которого следует обращать особое внимание в старших классах, входят такие качества ума, как предприимчивость, экономность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость проявляется в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное, в том, что какая бы проблема перед ним не возникала, он всегда готов и в состоянии отыскать ее оптимальное решение в практическом плане. Предприимчивый человек из любой ситуации сможет найти выход. Экономность как качество практического ума состоит в том, что обладающий этим качеством человек в состоянии найти такой способ действия, который в сложившейся ситуации с наименьшими затратами и издержками приведет к нужному результату. Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Умение оперативно решать поставленные задачи - динамическая характеристика практического интеллекта, проявляющаяся в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения. Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности - стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию - характерная особенность и подросткового, и юношеского возраста. Развитие самосознания старшеклассников выражается в применении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда, в проявлении ощущения взрослости. Все это приводит к переосмыслению содержания целей и задач деятельности. Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). На этом этапе развитии подросток способен самостоятельно выбирать нужную ему ту, или иную информацию. Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Одновременно с этим складывается новое отношение к учению, особенно в последних классах школы. Ее выпускников привлекают предметы и виды знаний, где они могут лучше узнать себя, проявить самостоятельность, и к таким знаниям у них вырабатывается особенно благоприятное отношение. Специфика юности заключается в том, что именно в эти годы идет активный процесс становления мировоззрения, и к окончанию школы мы имеем дело с человеком, более или менее определившимся, со взглядами хотя и не всегда правильными, но стабильными.

Как отмечал Р.С. Немов, интеллектуальная зрелость, в том числе нравственно-мировоззренческая, готовность старших школьников ставить и решать, различные жизненные задачи в этом возрасте очевидна, хотя здесь говорить о ней пока что приходится в общем виде, имея в виду сравнительно невысокий уровень интеллектуального развития немалого числа современных юношей и девушек.

Речь идет о возможностях, которые имеются у всех старшеклассников, и многими из них практически реализуются. Значительны и индивидуальные различия, существующие между старшеклассниками, причем в настоящее время даже наблюдается тенденция к их увеличению в связи с дифференциацией учебных программ, учебных заведений, относительной свободой выбора в них учебных предметов. Большинство старших школьников к окончанию школы самоопределяются в будущей профессии. У них складываются профессиональные предпочтения, которые, однако, не всегда являются достаточно продуманными и окончательными.

Будущие профессиональные успехи детей в немалой степени определяются трудовыми умениями и навыками, которые активно формируются в школьные годы. Без достаточно высокого уровня общего интеллектуального развития немыслимы сколько-нибудь значительные успехи в любом виде деятельности. Не менее важны и специальные способности, проявляющиеся в трудовых умениях и навыках, являющихся базой для многих различных видов профессиональной деятельности. Подростковый и ранний юношеский возраст - это время профессионального самоопределения. Очень важно именно в эти годы окончательно выявить и по мере возможности развить те способности, на основе которых юноше можно было бы разумно и правильно осуществлять выбор профессии. Начиная со средних классов школы наряду с общеобразовательным должно быть организовано и специальное обучение детей, профессионально ориентирующее их в соответствии с имеющимися задатками и способностями на выбор вида и рода занятий, причем на добровольной основе. Т.е. профессионализация обучения с одновременной его дифференциацией по способностям должна вводиться параллельно и в дополнение к общеобразовательной программе, т.к. основной направленностью личности старшеклассника является, ничто иное, как, выбор своего жизненного пути, который в свою очередь неразрывно связан с выбором профессии.

Глава 2. Разработка факультативного курса “Элементы теории чисел” для учащихся старшей школы

§1. Пояснительная записка

Данный элективный курс рассчитан на 15 часов для учащихся старших классов. В него входит теория и практика как по школьному курсу до 8 класса, так и часть теории немного посложнее.

Главная цель данного курса - заинтересовать ученика математикой, привить ему вкус к этой древней, но вечно юной науке. В данном курсе рассказывается о магических квадратах и числовых ребусах, вычислении дней недели и составлении расписании соревнований - вещах либо интригующих, либо имеющих реальное практическое значение. В результате, если ученик и не захочет стать математиком, то он надолго сохранит впечатление о красоте математики, силе и широте диапазона применений ее на практике. Также одной из важных целей обучения является знакомство учащихся с математикой как с общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и себя.

В ходе изучения названного курса преследуются следующие цели:

Образовательная цель - углубить и расширить знания учеников по математике.

Воспитательная цель - развивать мотивацию дальнейшего математического образования.

Развивающая цель - научить самостоятельно мыслить, сопоставлять, анализировать, обобщать; прививать навыки исследовательской работы.

В процессе изучения элективного курса реализуются следующие задачи:

реализация учеником интереса к выбранному предмету;

уточнение готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне;

Традиционные формы организации занятий, как лекция и семинар, безусловно, будут применяться, но на первое место выйдут такие организационные формы, как дискуссия, диспут, выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального домашнего задания) или с содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя или ученика.

Тематическое планирование.

№	Тема занятия	Количество часов
1	Введение. История. Формулировка задачи Пифагора	1
2-3	Простые и составные числа. Решето Эратосфена	2
4	Простые числа Мерсенна	1
5	Простые числа Ферма	1
6	Основная теорема о разложении на множители. Делители	1
7	Совершенные числа	1
8	Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.	1
9	Взаимно простые числа. Алгоритм Евклида.	1
10-11	Задача Пифагора. Решение задачи Пифагора	2
12-13	Определение сравнения. Свойства. Алгебра сравнений	2
14-15	Возведение сравнений в степень. Теорема Ферма	2

Отметим некоторые варианты выполнения учениками зачетных заданий.

В простейшем варианте это может быть:

Решение учеником в качестве домашнего индивидуального задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждую главу и называется «Задачи для самостоятельного решения».

Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела «Задачи для самостоятельного решения» или из какого-либо другого источника.

Однако более предпочтителен другой вариант аттестации учеников, а именно: для промежуточной аттестации учащихся рекомендовать им написать рефераты на предложенные учителем темы (список тем может быть сообщен заранее, чтобы ученики могли воспользоваться правом выбора темы или даже сумели предложить свои собственные «свободные» темы; ряд тем приводится в конце каждой главы).

Работа над рефератом может быть сугубо индивидуальной, но не исключаются темы, предназначенные для выполнения небольшой группой учеников. По совету учителя учащиеся для работы над рефератами, возможно, должны будут обратиться к различным источникам (журналы «Квант» и «Математика в школе», различные сборники конкурсных задач, монографическая литература, при возможности иностранные издания и сайты в Интернете). По результатам работы над рефератом учащимся предлагают выступить с докладом на уроке или принять участие в дискуссии или диспуте. Все это должно быть соответствующим образом оценено учителем. Кроме того, реферат может оказаться дополнением к той или иной главе данного пособия, тогда учащиеся станут участниками такого рода деятельности, как «Допишем учебник».

§2. Содержание элективного курса

Занятие 1: Введение. История. Формулировка задачи Пифагора. Фигурные числа

Во введении приводятся краткие сведения о возникновении и развитии теории чисел.

В прямоугольном треугольнике длины сторон удовлетворяют соотношению

,

где z -длина гипотенузы.

Иногда все длины сторон z, a и b выражаются целыми числами. Простейший случай,

x=3,y=4,z=5.

Греки предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах: произведение

рассматривалось как площадь c прямоугольника со сторонами a и b.

Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представить в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом - в виде прямоугольника со стороной, равной единице. Например, пять может быть представлено как прямоугольное лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единице, а другую - пяти. Такие числа греки называли простыми числами. Число 1 явилось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.

Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры.

Определение: Числа изображенные на рисунке 1 называются треугольными.

В общем случае n-ое треугольное число задается формулой

Обобщением треугольных чисел и квадратов явились многоугольные числа. Метод их получения можно проиллюстрировать на примере пятиугольных чисел. Для этого рассмотрим рисунок.

(рис. 2)

Глядя на него, легко найти несколько первых пятиугольных чисел: 1, 5, 12, 22, 35. Можно показать, что n-е пятиугольное число выражается формулой

Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильных шестиугольников.

Предлагаемые задачи:

Докажите по индукции общую формулу Tn= для треугольных чисел.

Доказательство: Предположим, что верно соотношение



Можно проверить его для n = 2, 3, 4. Из рисунка 4 видно, что Tn из прибавлением числа n, поэтому

Докажите формулу Pn= для пятиугольных чисел.

Доказательство: Из рисунка 2 видно, что для того, чтобы получить Pn нужно прибавить к число

Если мы уже знаем, что

(это справедливо для n = 2, 3, 4 в соответствии с последовательностью 1, 5, 12, 22, 35 - первые пять пятиугольных чисел), то отсюда следует, что

Докажите, что произвольное k-угольное число выражается формулой

Попытайтесь найти несколько решений уравнения Пифагора в целых числах. Ответ: x=5, y=12, z=13; x=7, y=24, z=25; x=8, y=15, z=17.

Докажите, что если x, y, z - пифагоров треугольник, то kx, ky, kz kz - также является пифагоровым, для любого

Занятие 2-3: Простые и составные числа. Решето Эратосфена

Одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей.

Когда число

является произведением двух чисел a и b, то мы называем a и b множителями или делителями числа c. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с. Любое число , у которого существует не тривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители, то оно называется простым.

Теорема: Любое целое число является либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство: Если с не является простым числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель p. Тогда p - простое число, так как если бы p было составным, то число с имело бы еще меньший множитель.

Мы подошли к первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какой-либо его нетривиальный множитель?

Согласно теореме достаточно делить на все простые числа, меньшие с. Но мы можем заметно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители оба множителя a и b не могут быть больше , так как в противно случае получили бы

,

что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие .

Схема составления таблиц простых чисел: напишем последовательность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу. Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каждое второе число, начиная с 2(кроме самого числа 2), то есть все четные числа 4, 6, 8,10 и так далее, подчеркивая каждое из них. После этой операции первым неподчеркнутым числом будет число 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставив число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое третье число после него, то есть числа 6, 9, 12, 15 и так далее. Следующим неподчеркнутым числом будет число 5, потом 7 и так далее. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность не подчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми.

Теорема: Существует бесконечное число простых чисел.

Доказательство: Предположим, что существует только k простых чисел:

Тогда в решете не оказалось бы неподчеркнутых чисел, больших чем . Но это невозможно, так как произведение этих простых чисел

будет отсеиваться k раз, по разу для каждого числа, поэтому следующее число не может быть подчеркнуто ни для кого из них.

Предполагаемые задачи:

Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.

Найдите простое число, следующее за простым числом 1973. Ответ: 1979.

Составьте таблицы простых чисел для каждой из сотен: 1 - 100, 101 - 200, …, 901 - 1000. Ответ: В каждой из первых десяти сотен имеется соответственно 24, 20, 16, 16, 17, 14, 16, 14, 15, 14 простых чисел.

Занятие 4: Простые числа Мерсенна

Выясните, какие числом (простым или составным) являются следующие числа:

Задача: Докажите, что если n - не простое, то тоже не простое.

Простые числа Мерсенна являются простыми числами специального вида

,

где p - другое простое число. Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о совершенных числах, которые мы рассмотрим позже.

Если начать вычислять числа для различных простых чисел p, то видно, что не все они оказываются простыми. Например,

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверке всех чисел для различных простых чисел p.

В исследовании чисел Мерсенна можно выделить стадию, достигшую своей кульминации в 1750 году, когда Леонард Эйлер установил, что число является простым. К тому времени было найдено 8 простых чисел Мерсенна:

В 1876 году французский математик Лукас установил, что огромное число

является простым.

Простые числа Мерсенна, меньшие этого числа, задаются значениями p, указанными выше, а также значениями p = 61, p = 89, p = 107.

Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до p = 257.

Далее задача была переложена на ЭВМ. Д. Х. Лемер установил, что значения

дают простые числа Мерсенна. Дальше Ризель показал, что p=3217 дает простое число Мерсенна, а Гурвиц нашел еще два таких значения:

Огромного успеха добился Гиллельс, который нашел еще три числа Мерсенна:

На данный момент известно 46 простых чисел Мерсенна.

Занятие 5: Простые числа Ферма

Первыми пятью простыми числами ферма являются

В соответствии с этой последовательностью общая формула для простых чисел Ферма должны иметь вид

Ферма был абсолютно уверен, что все числа этого вида являются простыми, хотя он не приводил вычислений других чисел, кроме указанных пяти. Однако это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез после того как, Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма

не является простым. Но числа Ферма появились в другой задаче, задаче построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Определение: Правильным многоугольником называется многоугольник, вершины которого лежал на некоторой окружности на одинаковых расстояниях друг от друга. Если у правильного многоугольника n вершин, то мы называем его правильным n-угольником. Если мы проведем n радиусов, соединяющих центр окружности с вершинами, то получим n центральных углов величиной каждый. Если можно построить угол, имеющий данную величину, то можно построить и этот n-угольник.

Гаусс доказал, что правильный n-угольник с нечетным числом вершин, может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда, и только тогда, если число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных чисел Ферма.

Предполагаемые задачи:

Найдите все нечетные числа

,

для которых можно построить правильный n-угольник. Ответ: n = 3, 5, 15, 17, 51, 85.

Как построить правильный 51-угольник, имея правильный 17-угольник? Ответ:

Занятие 6: Основная теорема о разложении на множители. Делители

Любое составное число может быть записано в виде произведения

причем ни один из делителей не равен 1 и каждый из них меньше с.

При разложении числа с на множители один из них, и даже оба могут оказаться составными. Если a - составное, то разложение на множители можно продолжить:

Каждое число, большее 1, является либо простым числом или произведением простых чисел.

Последовательное разложение на множители может выполнено многими способами. При этом можно использовать таблицу делителей. Сначала найдем наименьшее простое число , делящее число с, так что

.

Если - составное число, то по таблице делителей наименьшее простое число , делящее , так что

Затем найдем наименьший простой делитель числа и так далее.

Но главное здесь то, что независимо от способа разложения числа на простые множители результат будет всегда одним и тем же, различаясь лишь порядком их записи.

Теорема: Разложение числа на простые множители единственно.

Доказательство: Предположим, наша теорема о единственности разложения на множители неверна. Тогда должны существовать числа, имеющие по крайней мере два различных разложения на простые множители. Выберем из них наименьшее и обозначим его через с0. Для небольших чисел, скажем, меньше 10, истинность теоремы можно установить прямой проверкой. Число с0 имеет наименьший простой множитель p0, и мы можем записать:

Так как , то число единственным образом раскладывается на простые множители. Отсюда следует, что разложение числа с0 на простые множители, содержащее число p0, единственно.

А так как, по предположению, имеется по крайней мере два разложения числа с0 на простые множители, то должно быть разложение, не содержащее число p0. Наименьшее простое число в этом разложении обозначим через p1 и запишем

Так как

, то

и, следовательно,

.

Рассмотрим число

Так как оно меньше, чем число с0, то оно должно раскладываться на простые множители единственным способом; при этом простые множители числа состоят из простых множителей чисел

и .

Так как число с0 делится на p0, то из выражения

следует, что число также делится на p0. Следовательно, p0 должно быть делителем либо числа , либо

.

Но любой простой делитель числа больше, чем p0, так как - наименьшее простое число в разложении

.

Таким образом, остается единственная возможность: p0 должно быть делителем числа

и, следовательно, оно делит . Итак, мы пришли к противоречию, потому что является простым числом и не может делиться на другое простое число p0.

Если число d является делителем числа n, то есть , то есть

то единственными простыми числами, на которые может делится число d, будут только те, которые делят число n, а именно:

.

Таким образом, разложение числа d на простые множители записывается в виде

Простое число может содержаться не более раз, как и в самом числе n; аналогично - для и других простых чисел. Это значение для числа можно выбрать способом:

Аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из значений, которые может принимать число , может сочетаться с любым из возможных значений числа и так далее, то общее число делителей числа n задается формулой

Предполагаемые задачи:

Найдите разложение на простые множители каждого из чисел 120, 365, 2010.

Проделайте тоже самое для чисел из занятия 3.

Найдите количество делителей у следующих чисел: 60, 366, вашего почтового индекса.

Ответ:

Какое натуральное число ( или числа), не превосходящие 100, имеет наибольшее количество делителей?

Ответ: Наибольшим количеством делителей у числа, не превосходящего 100, является 12. Такое количество делителей имеют числа 72, 84, 90, 96.