Решение задач на построение методом геометрических мест в курсе планиметрии основной школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме:

Решение задач на построение методом геометрических мест в курсе планиметрии основной школы



СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Научно-методические аспекты обучения старшеклассников решению задач на построение

§1. Психолого-педагогическая характеристика учащихся подросткового возраста

§2. Значение задач на построение в школьном курсе планиметрии

Глава 2. Геометрические построения циркулем и линейкой

§1. Общая характеристика задач на построение

§2. Основные построения. Элементарные задачи на построение

§3. Основные методы решения задач на построение

Глава 3. Метод геометрических мест для решения задач на построение

§1. Классификация и решение задач на построение в курсе 7 класса

§2. Классификация и решение задач на построение в курсе 8 класса

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ



ВВЕДЕНИЕ

В разное время высказывались различные мнения о преподавании геометрии и ее месте в системе школьного образования. Недостатки в освоении геометрии ведут к серьезному ущербу всего миропонимания.

Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни, начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально- логически осмыслить. Чем богаче и разностороннее мир ребенка, тем большее количество таких первоначальных знаний он получает до начала обучения в школе. По наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняя способность оперировать геометрическими образами и синтезировать геометрические знания может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является задача планомерного, систематического развития геометрического, образного мышления, восприятие геометрии не только как школьного предмета, но и как феномена человеческой культуры.

Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён Древней Греции.

Уже математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.

Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчётливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования - всё это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. План решения любой задачи на построение - цепочку основных построений, приводящих к цели - можно рассматривать как некоторый алгоритм и, следовательно, их можно использовать и в старших классах как содержательный материал курса информатики и вычислительной техники. В процессе решения задач на построение учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры школьников, систематически требуя от них четкой последовательности основных построений. Задачи на построение развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Посредством задач на построение, даже простейших из них, более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач ученик создает наглядную модель изучаемых свойств и отношений и работает с этой моделью. Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

Как известно, задача на построение в планиметрии состоит в том, чтобы, исходя из заданных на плоскости геометрических фигур, применяя заранее предписанные средства (инструменты), построить новую геометрическую фигуру, находящуюся в определенных отношениях с данными фигурами. В качестве средств построения чаще всего выступают классические инструменты - циркуль и линейка.

Тема нашей работы «Решение задач на построение методом геометрических мест в курсе планиметрии базовой школы».

К сожалению, в современной школе эта начальная часть геометрического образования развита недостаточно. В следствии этого при переходе в 7 класс школьники встречаются с трудностями, возникающими при изучении систематического курса геометрии: во-первых, происходит знакомство с новой терминологией, во-вторых, учащимся приходится работать с совершенно новыми объектами, восприятие которых требует развитого абстрактного мышления, в-третьих, от учащихся требуется не только свободное владение математическим языком, но и умение самостоятельно доказывать какие-либо утверждения.

Цель дипломной работы состоит в том, чтобы на примере задач из учебников Атанасяна Л.С., Погорелова А.В. и Александрова А.Д. продемонстрировать преимущества их решения именно методом геометрических мест, подчеркнуть универсальный характер этого метода, выявить особенности его применения на уроках геометрии в 7-8 классах общеобразовательной школы.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

- проанализировать действующие учебники 7 классов, методическую, педагогическую и психологическую литературу по теме дипломной работы;

- разработать систему упражнений для проведения уроков геометрии по выбранной теме в 7-8 классах общеобразовательной школы.

При подготовке дипломной работы использовалось следующие методы исследования:

- анализ литературы по теме дипломной работы;

- беседы с опытными учителями

Данная работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются психолого-педагогические особенности старшеклассников, их возрастные особенности и отношения к математике в целом. Здесь показано значение задач на построение, а также основные моменты их положительного влияния задач на общий уровень математического образования школьников.

Во второй главе приводятся основные построения, элементарные задачи на построение и методы решения такого рода задач.

В третьей главе рассматриваются решения задач на построение методом геометрических мест в курсе 7 и 8 класса по учебникам Атанасяна Л.С., Погорелова А.В. и Александрова А.Д..

После третьей главы приводиться заключение, библиография.



Глава 1. Научно-методические аспекты обучения старшеклассников решению задач на построение

§1. Психолого-педагогическая характеристика подросткового возраста

Общая характеристика возраста. подростковый возраста охватывает период развития детей от 13 до 15 лет, что соответствует возрасту учеников VII-VIII классов средней школы.

Подростковый возраст -- период гражданского становления человека, его социального самоопределения, активного включения в общественную жизнь, формирования духовных качеств гражданина. Личность юноши и девушки складывается под влиянием совершенно нового положения, которое они начинают занимать по сравнению с подростком, в обществе, коллективе. Положение старших в школе, приобретение опыта серьезной общественной деятельности решающим образом сказываются на развитии личности учащихся X -- XI классов.

Л.С. Выготский особое внимание обращал на развитие мышления в подростковом возрасте. Главное в развитии мышления - овладение процессом образования понятий, что ведёт к высшей форме интеллектуальной деятельности, новым способам поведения. По словам Л.С. Выготского, функция образования понятий лежит в основе всех интеллектуальных изменений в этом возрасте. Организация учебной деятельности должна обеспечить ее направленность на формирование теоретического дискурсивного (рассуждающего) мышления, мышления, основанного на оперировании не конкретными образами и представлениями, а понятиями, на умении сопоставлять эти понятия, переходить в ходе рассуждения от одного суждения к другому. В интеллектуальной деятельности учащихся в период отрочества усиливаются индивидуальные различия, связанные с развитием самостоятельного мышления, интеллектуальной активности, творческого подхода к решению задач, что позволяет рассматривать подростковый возраст как сенситивный период для развития творческого мышления.

Социальная ситуация как условие развития и бытия в подростковом возрасте принципиально отличается от социальной ситуации в детстве не столько по внешним обстоятельствам, сколько по внутренним причинам. Подросток продолжает жить в семье, учиться в школе, он окружен по большей части теми же сверстниками. Однако сама социальная ситуация трансформируется в его сознании в совершенно новые ценностные ориентации - подросток начинает интенсивно рефлексировать на себя, на других, на общество. Теперь уже иначе расставляются акценты: семья, школа, сверстники обретают новые значения и смыслы. Для подростка происходят сдвиги в шкале ценностей. Все освещается проекцией рефлексии, прежде всего самые близкие: дом, семья.

В условиях семьи. Подросток, как правило, живет вместе со своей семьей. Он вошел в семью через свое рождение, привык к близким так, как привыкают к ним в детстве. Теперь наступает пора оценок близких. Набирая опыт жизни, подросток открывает для себя многообразные семейные отношения, которые отличаются от родительской семьи. Он испытывает потребность в более универсальной, более широкой идентичности и одновременно в укреплении своего собственного чувства личности, в обособлении своего «Я» от семейного «Мы». Сама семья занимает прежние позиции по отношению к подростку.

Обычно семья относится к подростку в соответствии со сложившимися семейными (и родовыми) традициями.

Семья с высокой рефлексией и ответственностью понимает, что ребенок взрослеет и что с этим надо считаться, изменяя стиль взаимоотношений. К подростку начинают относиться с учетом появившегося у него чувства взрослости. Не навязывая своего внимания, родители выражают готовность обсудить его проблемы. «Как дела у тебя, Петр?», «Я готов выслушать тебя, Петр», «Я могу тебе помочь в этом, Петр». В таком ключе взрослые из хорошо рефлексирующих семей выражают готовность к сотрудничеству с подростком. Главное в такой семье - сохранение столь желанного для отрочества чувства самоуважения.

Характер подростка из семьи с высокой рефлексивностью и ответственностью развивается вполне благополучно (если, конечно, здесь нет угнетающих это развитие предпосылок). Он строит свои отношения с окружающими (взрослыми и сверстниками) преимущественно по адекватно лояльному типу. Ценностные ориентации подростка в такой семье направлены на проникновение в ценности всего многообразия реальной действительности: предметного мира, образно-знаковых систем, природы, самого социального пространства непосредственных отношений людей. Высокая рефлексия окружения создает благоприятные условия для духовного развития подростка.

Семья отчужденная. В этой семье к подростку относятся так же, как и в детстве,- им мало интересуются, избегают общения с ним и держатся от него на расстоянии. Отчужденные родители уже сделали свой вклад в развитие характера своего ребенка: он или тоже стал носителем отчужденных форм поведения и обладателем отчужденной души, или у него сложился горький комплекс собственной неполноценности. Тенденции развития его характера как способа взаимодействия с другими людьми уже отчетливо проявляют себя: превалируют нигилистические реакции, агрессия или неадекватная лояльность, пассивный стиль поведения.

Подросток в такой семье чувствует себя лишним. По большей части он устремляется на улицу к своим сверстникам, где ищет удовлетворения в общении. Стиль общения со сверстниками дублирует, как правило, способы его взаимодействия в семье. Отчужденная семья может ограничить возможности ребенка в развитии.

Семья авторитарная по сложившимся стереотипам продолжает предъявлять подростку те же жесткие требования, что и в детстве. Обычно, если это было принято ранее, здесь продолжают применять и физические наказания (в детстве - шлепали, теперь могут «врезать»). В авторитарной семье подросток так же одинок, несчастен и неуверен в себе, как и в детстве. Однако тенденции развития его характера уже отчетливо вырисовываются: он становится носителем авторитарного способа взаимодействия с людьми или, напротив, демонстрирует униженную неадекватную лояльность, пассивность, за которой стоит высокая невротизация неуверенного в себе подростка. Авторитарная семья также может ограничить возможности подростка в развитии.

Семья с попустительским отношением. В такой семье продолжает господствовать принцип вседозволенности: подросток уже давно «сел на голову» родителям и хорошо освоил способы манипулирования ими. Эгоизм и сопутствующая ему конфликтность - основные характеристики характера подростков из таких семей. Здесь подросток несчастлив вдвойне: сам по себе возраст - уже кризис личностного развития плюс еще недостатки, сформированные в его личностной позиции отношениями вседозволенности, чего ему никогда не предложит действительная жизнь.

Семья гиперопекающая. Подросток в такой семье вырос под пристальным вниманием и заботой родителей, у которых масса своих внутренних проблем, возникающих по большей части на основе личных трагедий и комплексов. С подростком родители по-прежнему не расстаются, опекают его не только извне, но стремятся завладеть и его душевными переживаниями. Здесь подросток, как и в детстве, неуверен в себе. В случае необходимости он не может дать отпор, но и не может сам построить позитивные отношения. Он пассивен, принужденно лоялен. Он инфантилен по своим социальным реакциям и на эту его особенность уже реагируют сверстники, дающие ему детские прозвища типа «Малыш», «Маменькин сынок», «Детский сад» и др.

Описанные стили отношений к подростку демонстрируют лишь тенденции условий развития личности в подростковом возрасте. Реальная жизнь может быть мягче, благополучнее, но и жестче, ужаснее, непостижимее. В семье может быть одновременно множество разнообразных стилей общения, обусловленных неоднородностью культурных уровней ее членов (дедушек, бабушек, родителей, других родственников). Подросток может стремиться к идентификации со своими родителями, но может занимать и отчужденную позицию.

Прежде всего мышление является высшим познавательным процессом. Оно представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности. Мышление порождает такой результат, какого ни в самой действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление (в элементарных формах оно имеется и у животных) также можно понимать как получение новых знаний, творческое преобразование имеющихся представлений.

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.

На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

Мышление -- это движение идей, раскрывающее суть вещей. Его итогом является не образ, а некоторая мысль, идея. Специфическим результатом мышления может выступить понятие -- обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях.

Мышление -- это особого рода теоретическая и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций ориентировочно-исследовательского, преобразовательного и познавательного характера.

Рассмотрим виды мышления:

Теоретическое понятийное мышление -- это такое мышление, пользуясь которым человек в процессе решения задачи обращается к понятиям, выполняет действия в уме, непосредственно не имея дела с опытом, получаемым при помощи органов чувств. Он обсуждает и ищет решение задачи с начала и до конца в уме, пользуясь готовыми знаниями, полученными другими людьми, выраженными в понятийной форме, суждениях, умозаключениях. Теоретическое понятийное мышление характерно для научных теоретических исследований.

Теоретическое образное мышление отличается от понятийного тем, что материалом, который здесь использует человек для решения задачи, являются не понятия, суждения или умозаключения, а образы. Они или непосредственно извлекаются из памяти, или творчески воссоздаются воображением. Таким мышлением пользуются работники литературы, искусства, вообще люди творческого труда, имеющие дело с образами. В ходе решения мыслительных задач соответствующие образы мысленно преобразуются так, чтобы человек в результате манипулирования ими смог непосредственно усмотреть решение интересующей его задачи.

Оба рассмотренных вида мышления -- теоретическое понятийное и теоретическое образное -- в действительности, как правило, сосуществуют. Они неплохо дополняют друг друга, раскрывают человеку разные, но взаимосвязанные стороны бытия. Теоретическое понятийное мышление дает хотя и абстрактное, но вместе с тем наиболее точное, обобщенное отражение действительности. Теоретическое образное мышление позволяет получить конкретное субъективное ее восприятие, которое не менее реально, чем объективно-понятийное. Без того или другого вида мышления наше восприятие действительности не было бы столь глубоким и разносторонним, точным и богатым разнообразными оттенками, каким оно является на деле.

Отличительная особенность следующего вида мышления наглядно-образного состоит в том, что мыслительный процесс в нем непосредственно связан с восприятием мыслящим человеком окружающей действительности и без него совершаться не может. Мысля нагляднообразно, человек привязан к действительности, а сами необходимые для мышления образы представлены в его кратковременной и оперативной памяти (в отличие от этого образы для теоретического образного мышления извлекаются из долговременной памяти и затем преобразуются).

Последний из видов мышления -- это наглядно-действенное. Его особенность заключается в том, что сам процесс мышления представляет собой практическую преобразовательную деятельность, осуществляемую человеком с реальными предметами. Основным условием решения задачи в данном случае являются правильные действия с соответствующими предметами. Этот вид мышления широко представлен у людей, занятых реальным производственным трудом, результатом которого является создание какого-либо конкретного материального продукта.

Заметим, что перечисленные виды мышления выступают одновременно и как уровни его развития. Теоретическое мышление считается более совершенным, чем практическое, а понятийное представляет собой более высокий уровень развития, чем образное.

Подростковый возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы.

В подростковом и раннем юношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов, и прежде всего мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект в своих высших проявлениях становится речевые, а речь интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно- образного. Можно ли ускорить все эти процессы, и если да, то каким образом это сделать?

Думается, что с точки зрения психолого-педагогических возможностей развития, которыми обладают школьники средних и старших классов, с позиций совершенствования обучения и научения на этот вопрос следует дать утвердительный ответ. Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трем направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий. Развитию мышления в старших классах школы может способствовать такой вид занятий, до сих пор, к сожалению, слабо представленный в общеобразовательной школе, как риторика, понимаемая в качестве умения планировать, составлять и произносить публичные речи, вести дискуссию, умело отвечать на вопросы. Большую пользу могут сыграть разные формы письменного изложения мысли, применяемые не только на занятиях языком и литературой (в форме традиционного изложения или сочинения), но и другими школьными предметами. Они вполне могут быть использованы на занятиях по математике, в частности и в стереометрии при решении задачи на построение на этапе анализа условия задачи и на этапе исследования возможных путей решения. При этом важно оценивать не только содержание, но и форму изложения материала.

Ускоренного образования научных понятий можно добиться на занятиях специальными предметами, где соответствующие понятия вводятся и изучаются. При представлении учащемуся любого понятия, в том числе и научного, важно обратить внимание на следующие моменты:

а) почти каждое понятие, в том числе и научное, имеет несколько значений;

б) обычные слова из повседневно используемого языка, который употребляется и для определения научных понятий многозначны и достаточно точны для того, чтобы определить объем и содержа не научного понятия. Поэтому любые определения понятий через слова обыденного языка могут быть только приблизительными;

в) отмеченные свойства допускают как вполне нормальное явление существование различных определений одних и тех же понятий, полностью совпадающих друг с другом, и это относится даже к самым точным наукам, таким, как математика и физика. Ученому, пользующемуся соответствующими понятиями, обычно ясно, о чем идет речь, и поэтому он не всегда заботится о том, чтобы определения всех без исключения научных понятий были одними и теми же;

г) для одного и того же человека по мере его развития, а также науки и представляющих ее ученых по мере их проникновения в суть изучаемых явлений, объем и содержание понятий, естественно, меняются. Произнося одни и те же слова через значительный период времени, мы обычно вкладываем в них несколько различный, со временем меняющийся смысл. Из этого следует, что в средних и старших классах школы учащиеся не должны механически учить и повторять застывшие определения научных понятий. Скорее следует добиваться того, чтобы сами учащиеся находили и давали определения этих понятий. Это, несомненно ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у старшеклассников. Становлению внутреннего плана действий могут помочь специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т. е. в уме. Например, на занятиях математикой следует побуждать учащихся к тому, чтобы они больше считали не на бумаге или с помощью калькулятора, а про себя, находили и четко формулировали принцип и последовательные шаги в решении некоторой задачи прежде, чем практически приступят к реализации найденного решения. Надо придерживаться правила: до тех пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому осуществлению решения не следует приступать. Этими принципами и правилами можно пользоваться на занятиях всеми без исключения школьными предметами, тогда и внутренний план действий будет формироваться у учащихся быстрее.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей.

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач.

Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности -- стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию -- характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным.

Результатом обучения математике, прежде всего, является формирование различных видов познавательной деятельности или отдельных её элементов: понятий, представлений, различных умственных действий. Формирование познавательной деятельности непосредственно связано с процессом усвоения, так как процесс усвоения знаний - это всегда выполнение учащимися определённых познавательных действий. Вот почему при планировании усвоения любых знаний необходимо определить, в какой деятельности (в каких умениях) они должны использоваться учениками, с какой целью они усваиваются. Кроме того, учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют всей необходимой в данном случае системой действий, составляющих умение учиться.

Особое внимание при обучении математике, в частности геометрии, нужно уделять принципу развивающего обучения. Среди развивающих задач обучения геометрии особо выделяются следующие:

Развитие мышления - одна из основных задач геометрии. Логика геометрии заключена не только в отдельных формулировках и доказательствах, но и во всей системе в целом.

Развитие пространственного воображения - расширяет видение мира. Оно обогащает внутренний мир человека, давая ему возможность создавать в себе и созерцать разнообразные картины. Развитие пространственного воображения - это важный элемент общей культуры.

Развитие познавательного интереса к геометрии - необходимо проведение целенаправленной работы по формированию устойчивого интереса учащихся к овладению знаниями. Наличие познавательных интересов учащихся способствует росту их активности на уроках, повышению качества знаний, формированию положительных мотивов учения, активной жизненной позиции, что в совокупности вызывает повышение эффективности всего процесса обучения.

Развитие творческих способностей, необходимых каждому человеку. Чем шире круг знаний человека, тем продуктивнее его творческая деятельность. Творчество высшая форма активности и самостоятельности.

При отборе содержания, соответствующего профилю обучения, необходимо стремиться к научности материала. Принцип научности имеет отношение и к методам педагогической деятельности и деятельности детей. В соответствии с эти принципом процесс обучения математики должен быть направлен на развитие познавательной активности учащихся, на формирование у них умений и навыков научного поиска, на ознакомление их со способами научной организации учебного труда.

Этому способствует широкое использование проблемных ситуаций при изучении геометрии. Суть проблемной интерпретации учебного материала состоит в том, что преподаватель не сообщает знаний в готовом виде, но ставит перед учащимися проблемные задачи, побуждая искать пути и средства их решения. Вопрос о применении теоретических знаний на практике, применение абстрактных теоретических фактов при решении задач относительно конкретных, реальных объектов ставит учащегося в проблемную ситуацию. Ученик вынужден либо самостоятельно осуществлять мыслительный поиск, либо с помощью преподавателя.

Но при создании проблемных ситуаций на уроках геометрии необходимо учитывать реальные возможности учащихся в соответствии с принципом доступности и посильности обучения. При предъявлении недоступного для усвоения материала резко снижается мотивационный настрой на учение, падает работоспособность, быстро наступает утомление. Вместе с тем чрезмерное упрощение математического материала тоже снижает интерес к учению, не способствует формированию учебных навыков и, главное, не содействует развитию учащихся.

Изложение материала должно быть последовательным и образовывать некоторую систему, то есть отвечать требованиям преемственности, последовательности и систематичности. Преемственность в обучении математики предполагает такую организацию педагогического процесса, при которой тот или » иной урок является логическим продолжением предыдущего. Последовательность и систематичность в обучении позволяют разрешить противоречие, где, с одной стороны, необходимость формирования системы знаний, умений и навыков по предметам, а с другой - необходимость формирования целостного мировоззрения о единстве и обусловленности окружающего мира.

Обучение соответствующее выбранному профилю характеризуется сознательностью, так как отвечает потребностям учащегося. Содержание обучения, отвечающие индивидуальным способностям и склонностям ученика, возбуждает активность учащегося. Причём активность должна быть направлена не столько на простое запоминание и проявление внимания, сколько на сам процесс самостоятельного добывания знаний. В обучении геометрии решающее значение имеет овладение теоретическими знаниями, а это значит их осмысление и усвоение на понятийном уровне и осознание прикладного значения теоретических идей.

В связи с этим необходимо отметить, значительное увеличение роли наглядности в процессе обучения. Наиболее приемлемыми формами работы, методами и средствами обучения учащихся в данной ситуации являются те, которые позволяют через физические действия с материальными объектами переходить к общим выводам; учат в конкретных объектах и явлениях реальной действительности видеть возможность применения общих закономерностей формул.

Наглядность в процессе обучения основана на закономерностях познания окружающей действительности и развития мышления, которое развивается от конкретного к абстрактному. Научные понятия и абстрактные положения легче доходят до учащихся, если они подкрепляются конкретными фактами в процессе сравнения, проведения аналогий и т. п. Наглядность в процессе обучения геометрии обеспечивается применением разнообразных иллюстраций, демонстраций, лабораторно - практических работ, использованием ярких примеров и жизненных фактов.

По линии возрастания абстрактности виды наглядности подразделяются следующим образом:

естественная - абстрактные геометрические объекты и положения иллюстрируются примерами предметов из объективной реальности, данный вид наглядности наиболее распространён в силу простоты реализации;

экспериментальная - абстрактные геометрические положения подтверждаются в ходе специально организованных опытов, экспериментов; обучение в рамках профильной дифференциации предоставляет возможность организовывать лабораторно-практические работы, выполнение которых даёт наглядное экспериментальное подтверждение многих положений геометрии; объёмная - демонстрация моделей геометрических тел; демонстрация параллельно с формальным описанием и чертежом объёмной модели стереометрического тела значительно усиливает эффективность обучения; изобразительная - иллюстрация абстрактных геометрических объектов и положений картинками, фотографиями, рисунками; символическая и графическая - использование схем, формул для демонстрации взаимосвязи и других отношений между теми или иными понятиями.

Чтобы не сдерживать развитие абстрактного мышления учащихся, в использовании наглядности важно чувство меры. Большое значение имеет сочетание применения наглядности с творческой работой детей по созданию наглядных пособий. В использовании наглядности должна быть вариативность, чтобы в сознании учеников не запечатлелся какой-либо конкретный образ предмета или явления. Так, некоторые учащиеся испытывают затруднения при работе с цилиндром, если он расположен горизонтально, если все теоретические факты относительно цилиндра и его свойств иллюстрировались на цилиндре, имеющем вертикальное положение.

Итак, обучение геометрии с одной стороны базируется на рекомендациях и принципах общей методики преподавания математики, педагогики и психологии. С другой стороны обладает своей спецификой, связанной, прежде всего с контингентом обучающихся и отбором содержания, соответствующего профилю обучения. Эта специфика определяется возрастными, психологическими и социальными особенностями учащихся их склонностями, предпочтениями, направленностью личности.

§2. Значение задач на построение в школьном курсе планиметрии

Геометрические задачи на построение не только дают возможность основательно изучить геометрию, но и прививают такие навыки и способности, которые весьма полезны каждому, так как облегчают изучение других предметов и помогают решать различные вопросы науки, техники, искусства и обыденной жизни.

Говоря о значении геометрических задач на построение, следует обратить внимание на следующие моменты.

I. Решение геометрических задач на построение является одним из надёжных способов систематического повторения приобретённых сведений по геометрии.

Действительно, при решении геометрических задач на построение ученик должен теоретически обосновывать правильность каждого своего действия.

Само собой разумеется, что необходимость доказывать правильность геометрических построений вынуждает учащегося непрестанно повторять приобретённые сведения по геометрии, в результате чего эти сведения прочно закрепляются в его памяти.

Учащиеся лучше усваивают геометрию в том случае, если проработка её теорем и вытекающих из них следствий сопровождается систематическим решением соответствующих геометрических задач на построение.

II. Геометрические задачи на построение заставляют учащегося обстоятельнее и глубже разобраться в известных ему сведениях по геометрии.

Уже на первых уроках геометрии ученику сообщается понятие об окружности как о геометрическом месте точек (ГМТ) на плоскости, равноотстоящих от данной точки на той же плоскости. По мере дальнейшего прохождения геометрии и выполнения задач на построение ученик узнаёт, что окружность и её части (дуги) являются в то же время и другими геометрическими местами точек. Действительно, учащийся убеждается, что:

1) окружность -- ГМТ, из которых каждая является центром окружности данного радиуса, проходящей через данную точку,

2) окружность -- ГМТ, из которых данная окружность видна под данным углом,

3) окружность -- ГМТ, расстояния которых до двух точек А и В находятся в одном и том же отношении,

4) окружность -- ГМТ, сумма квадратов расстояний, которых от двух данных точек есть данная величина и т. д.

III. Геометрические задачи на построение побуждают учащегося давать практическое применение имеющимся у него сведениям по геометрии.

Например, если требуется найти в треугольнике такую точку, из которой все три

стороны видны под одним и тем же углом, то для решения этой задачи учащийся вынужден дать практическое применение следующим имеющимся у него сведениям:

1) Лучи, выходящие из одной точки, на плоскости образуют прилежащие углы, сумма которых равна 360°.

2) Построение угла, равного 120°.

3) Построение сегмента, опирающегося на данный отрезок и вмещающего данный угол.

IV. Решение геометрических задач на построение помогает учащимся лучше изучить черчение.

Действительно, осуществляя требуемое задачей построение, учащиеся неизбежно выполняют ряд таких операций, которые, в сущности, относятся к черчению. И вполне понятно, что преподаватель математики, требуя от учеников аккуратного выполнения пояснительных чертежей, сопровождающих решение геометрических задач на построение, способствует выработке у учащихся необходимых чертёжных навыков.

V. Геометрические задачи на построение в стереометрии способствуют развитию пространственных представлений.

Действительно, выполняя хорошо подобранные упражнения по геометрии, среди которых задачи на построение играют главную роль, ученики приобретают следующие ценные качества: во-первых, способность отчётливо представлять себе пространственные геометрические образы и, во-вторых, умение мысленно выполнять операции над воображаемыми геометрическими линиями, фигурами, поверхностями и телами.

Эти качества весьма облегчают изучение начертательной геометрии. Геометрические задачи на построение, развивая пространственные представления, облегчают учащимся изучение химии, физики, астрономии.

VI. Геометрические задачи на построение более, чем другие математические задачи, приучают учащихся средней школы дисциплинировать своё внимание.

Учеников не затрудняют только те геометрические задачи на построение, решение которых сводится к выполнению какого-нибудь элементарного построения. Что касается остальных задач этого рода, то в подавляющем большинстве они ученикам представляются трудными, подобными замысловатым ребусам или загадкам. Поэтому ученики, стремясь найти решение затрудняющей их геометрической задачи на построение, вынуждены сосредоточивать всё своё внимание на её условии, на свойствах и зависимостях тех геометрических образов, которые входят в набросок предполагаемого решения.

Приобретаемый навык сосредотачивать своё внимание на прорабатываемых геометрических задачах, на построение весьма ценен, так как он приносит большую пользу и при изучении других предметов и при решении самых разнообразных вопросов.

VII. Геометрические задачи на построение прививают учащимся навык целеустремлённо припоминать.

Решая геометрическую задачу на построение, учащемуся приходится не просто припоминать всё, что он усвоил по геометрии, а именно тот круг сведений, к которому относится данная задача.

Если, например, в задаче говорится о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей, то учащийся старается припомнить всё, что ему известно об окружностях, их касании, пересечении и т. д. и не станет утруждать себя при этом припоминанием формул, выражающих поверхности и объёмы различных геометрических тел. Таким образом, геометрические задачи на построение побуждают учащегося целеустремлённо припоминать и в процессе этого проявлять логичность рассуждений, так как из припоминаемого необходимо отбирать лишь то, что даёт возможность решить возникший вопрос.

Кроме того, решение геометрических задач на построение приводит к тому, что память учащегося из пассивной хранительницы разных сведений превращается в активную помощницу, облегчающую решение различных теоретических и практических вопросов.

VIII. Геометрические задачи на построение приучают учеников проявлять инициативу, изобретательность.

Пусть требуется, например, через две данные точки провести окружность, касающуюся данной прямой KL. Учащийся, прежде всего от руки набрасывает приблизительный рисунок (рис. 1).

Рис. 1 Рис.2

Затем, принимая во внимание, что KL является касательной к искомой окружности, учащийся начинает перебирать в своей памяти всё, что относится к касательной.

Среди других сведений он вспоминает следующее: если из какой-нибудь точки, находящейся вне круга, проведём секущую и касательную к нему, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

На чертеже нет той точки вне круга, из которой проведена секущая и касательная к нему, но учащийся создаёт её: соединяет точку А с В и продолжает этот отрезок до встречи с прямой KL, в некоторой точке С (рис. 2).

По теореме СА*СВ = СТ2.

Из этого уравнения учащийся находит отрезок СТ, а значит, и ту точку Т, в которой данная прямая KL, должна касаться искомой окружности. Таким образом, к двум данным точкам (А и В) на окружности он присоединяет ещё одну найденную точку T той же окружности. Затем, зная три точки А, В и Т искомой окружности, он легко определяет центр и радиус и чертит её.

Как видим, в задаче не упоминалась секущая - учащийся должен по своей инициативе ввести её в чертёж, чтобы найти путь к выполнению требуемого построения.

Весьма много инициативы и изобретательности учащийся вынужден проявить при решении трудной геометрической задачи на построение и при отыскании новых способов получения требуемого построения.

IX. Геометрические задачи на построение приучают учащихся проявлять настойчивость в достижении намеченной цели

Многочисленные наблюдения показывают, что при умелой постановке преподавания геометрии учащиеся охотно решают не только задачи на построение, помещённые в стабильных учебниках и задачниках, но и те задачи этого рода, которые встречаются в других учебных пособиях, причём при отыскании требуемого построения не останавливаются перед затратой значительного времени и труда.

X. Геометрические задачи на построение приучают учащихся логически рассуждать.

Действительно, в чём состоит процесс решения геометрической задачи на построение?

Учащийся ставит перед собою определённую цель: выполнить требуемое в задаче построение. Для достижения этой цели ему приходится прежде всего хорошо вдуматься в содержание условия задачи и припомнить необходимые сведения из геометрии. Только в самых простых геометрических задачах на построение оказывается возможным сразу же осуществить требуемое построение. В большинстве же случаев при решении таких задач, прежде чем получить возможность осуществить искомое построение, необходимо бывает предварительно сделать одно или несколько вспомогательных построений, каждое из которых представляет результат логических умозаключений.

Первое вспомогательное построение целиком основывается на данных условия задачи и на определённых геометрических сведениях, без знания которых невозможно решить рассматриваемую задачу. Если появляется необходимость во втором вспомогательном построении, то первое вспомогательное построение включается в число данных. Выполняя одно за другим вспомогательные построения, учащийся, наконец, приходит к возможности осуществить искомое построение.

Вспомогательные построения вообще являются целесообразно направленными попытками, но не всегда каждая из них приводит к желаемой цели. Поэтому в процессе решения геометрических задач на построение приходится отбрасывать те вспомогательные построения, которые не упрощают ход решения, а усложняют его или даже заводят в тупик. Таким образом, из всех логически возможных построений приходится выбирать наиболее подходящие, наиболее быстро приводящие к цели.

Найдя способ выполнить требуемое построение, учащийся должен, во-первых, логически обосновывать правильность каждой из отдельных операций этого построения и , во-вторых, логическими рассуждениями установить, всегда ли рассматриваемая задача имеет решение и сколько она допускает решений в отдельных случаях.

XI. Принимая во внимание, какую роль играют геометрические задачи на построение в усвоении геометрии и развитии мышления, надо предлагать эти задачи в течение всего времени прохождения курса геометрии, начиная от самых лёгких и постепенно переходя к более сложным. Осуществить непрестанное упражнение нетрудно, потому что всегда можно найти достаточное количество задач этого рода, которые были бы тесно связаны с любым прорабатываемым разделом геометрии. Для этой цели надо использовать не только те геометрические задачи на построение, которые приведены в стабильном учебнике в конце каждого раздела, но и подходящие задачи, взятые из других пособий.



Глава 2. Геометрические построения циркулем и линейкой

§1. Общая схема решения задач на построение

При решении каждой новой задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т. п.. Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырёх этапов:

1)анализ;

2)построение;

3)доказательство;

4)исследование.

Конечно, эта схема не является, безусловно, необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьёзно помогает при решении конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.

Анализ

Анализ - это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертёж можно выполнять „от руки". Иногда построение вспомогательного чертеж» сопровождают словами: „предположим, что задача уже решена".

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведённым из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нём указанные в задаче отрезки.

Если вспомогательный чертёж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры F сводится к построению некоторой другой фигуры F1. Затем подмечают, что построение фигуры F1 сводится к построению фигуры F2 и т. д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Fn, построение которой уже известно.

Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию, медиане и высоте, проведённым к этому основанию. Рассматривая вспомогательный чертёж (рис. 3), замечаем, что треугольник ABC можно легко построить, если будет построен треугольник BDE. Тогда останется только отложить по обе стороны от точки Е на прямой DE отрезки, равные половине данного основания.В

Рис. 3

Но треугольник BDE - прямоугольный и строится по гипотенузе m и катету h (элементарная задача).

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удаётся непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудалённую от двух данных точек В и С. Построение чертежа - наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую а (рис.4), на ней выбираем точку А и на равных расстояниях от прямой а выбираем (по разные стороны от прямой) точки В и С. После этого ещё не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Проведём к прямой а перпендикуляры ВВ] и CQ, построим отрезок ВС и отметим точку М пересечения отрезка ВС с прямой а. Легко заметить, что М -- середина отрезка ВС, а отсюда уже ясен способ построения.

Рис. 4

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё нет на нём.