Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Допущена к защите

Зав. кафедрой ____________Семенчук В.Н.

« ______» ______________ 2004 г.

МЕТОДЫ АКТИВИЗАЦИИ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

(дипломная работа)

Исполнитель

Студент группы М-61 _____________ Кривоносова С. М.

Научный руководитель

К.ф.-м.н., доцент _____________ Ермаков В. Г.

Рецензент

К.ф.-м.н., ст. преподаватель ____________ Вересович П. П.

Гомель 2004 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 ПРОБЛЕМА АКТИВИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

Работа в группах как средство мотивации на уроках математики

Влияние проблемного обучения математике на активизацию самостоятельной работы учащихся

2 РОЛЬ ЗАДАЧ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ, ОБУЧЕНИЕ ОБЩИМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Значение учебных математических задач

Роль задач в процессе обучения

Задачи - проблемы как средство активизации самостоятельной работы учащихся

Роль нестандартных задач в активизации самостоятельной работы учащихся

3 ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ КАК ОДИН ИЗ ГЛАВНЫХ МЕТОДОВ АКТИВИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

Кружковые занятия по математике и методика их проведения

Работа учащихся с дополнительной литературой при обучении математике

Факультативные занятия по математике и методика их проведения

4 РОЛЬ ВНЕКЛАССНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ В АКТИВИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ЧАЩИХСЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

РЕФЕРАТ

Дипломная работа: 63 страницы, 2 приложения, 18 источников.

Ключевые слова: активизация самостоятельной работы, мотивация, методы обучения, формы работы, интерес, поисково-исследовательская работа, проблемное обучение, внеклассная работа, эксперимент.

Объект исследования: методы и формы активизации самостоятельной работы учащихся в процессе обучения математике.

Предмет исследования: свойства и особенности методов обучения математике, используемых для активизации самостоятельной работы учащихся.

Цели и задачи дипломной работы: цель дипломной работы - изучить влияние различных методов обучения математике на активизацию самостоятельной работы учащихся.

Для достижения поставленной цели;

- проанализированы основные методы обучения математике

- использованы методы и приемы, которые используются при решении задач проблемного характера, нестандартных задач;

- приведены примеры решения нестандартных задач и задач проблем;

- разработаны варианты нестандартных мероприятий.

Методы исследования: сопоставительный анализ литературных источников, разработка специальных мероприятий и проведение их в классе, анализ полученных результатов.

ВВЕДЕНИЕ

Данная дипломная работа посвящена проблеме активизации самостоятельной работы учащихся при обучении математике. Актуальность этой проблемы вытекает из того, что в современных условиях есть много факторов, которые угнетают учебную активность учащегося и негативно сказываются на его самостоятельной работе. Это и сложные проблемы мотивации к учению, и возросшие темпы обучения, и особая сложность некоторых разделов и отдельных понятий математики.

Наряду с этими внешними причинами есть источники угнетения самостоятельной работы учащегося и внутри системы образования. Как отмечал Э. В. Ильенков: «…искалечить орган мышления гораздо легче, чем любой другой орган человеческого тела, а излечить очень трудно. А позже - и совсем невозможно. И один из самых «верных» способов уродования мозга и интеллекта - формальное заучивание знаний. Сравнительно малый процент способных к математическому мышлению мы получаем до сих пор вовсе не потому, что матушка-природа столь скупа на раздачу математических способностей, а совсем по другой причине. А прежде всего потому, что в сферу математического мышления мы зачастую вводим маленького человека вверх ногами, задом - наперед».

В силу названных обстоятельств необходимо активное противодействие этой тенденции общего ослабления учебной активности учащихся. Целью данной работы как раз и является изучение и систематизация методов активизации самостоятельной работы учащихся при обучении математике.

Для достижения этой цели в работе проанализированы основные методы обучения математике, в том числе, методы и приемы, используемые при решении задач проблемного характера и нестандартных задач, которые в наибольшей степени требуют собственной активности школьников. Собраны примеры использования этих задач в процессе работы со школьниками. Проведен анализ различных форм и методов внеклассной работы, которая открывает широкие возможности для проведения корректирующей работы и позволяет восстановить интерес к занятиям математикой. Кроме того, разработаны собственные варианты проведения внеклассных мероприятий, которые испытаны в условиях средней школы.

Собранные материалы и проведенные мероприятия показали, что, несмотря на отмеченные негативные тенденции, резервы для активизации самостоятельной работы учащихся достаточно велики, причем даже небольшой успех в данном направлении может оказать существенное влияние на весь процесс обучения школьников математике.

Первая глава дипломной работы посвящена обзору различных методов, используемых в обучении для активизации самостоятельной работы учащихся. Дальнейшее совершенствование методики обучения математике связано с тем, чтобы уделить больше внимания вопросам активизации познавательной деятельности школьников в процессе овладения ими системой основных знаний и навыков.

Учебные процесс представляет собой систему органического единства деятельности учителя и ученика. В этой системе под руководством учителя происходит овладение учеником системой знаний и способов деятельности, его развитие. Ученик может овладеть знаниями, научиться их применять и оценивать только в процессе собственной познавательной и практической деятельности, в процессе учения. Повышение эффективности результатов учения связано с совершенствованием методов обучения.

Эффективное овладение знаниями и способами деятельности предполагает такую организацию познавательной деятельности школьников, при которой учебный материал становится предметом их активных действий.

В методической и педагогической литературе указаны десятки целей математического образования и путей их осуществления. Среди них непременно присутствует и цель обеспечить ученику уровень знаний, необходимый в современном обществе и достаточный для овладения новыми знаниями.

Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от того, насколько умело будет построена учебная работа.

Наиболее эффективное влияние на активное усвоение учебного материала оказывает работа, построенная на проблемном обучении математике. Постановка проблемы прежде всего возбуждает в учащемся желание раскрыть тайну данной проблемы. А оно в свою очередь приводит учащегося к такому виду деятельности, как поисково - исследовательская.

Центральное место в проблемном обучении занимает именно исследовательский метод. Этот метод предполагает, что процесс обучения необходимо строить подобно процессу научного исследования, а именно: в данном процессе должно присутствовать осуществление основных этапов исследовательского процесса, разумеется, в упрощенной, доступной учащимся форме: выявление неизвестных (неясных) фактов, подлежащих исследованию (ядро проблемы); уточнение и формулировка проблемы; выдвижение гипотез; составление плана исследования; осуществление исследовательского плана, исследование неизвестных фактов и их связей с другими, проверка выдвинутых гипотез; формулировка результата; оценка значимости полученного нового знания, возможностей его применения.

Для активизации самостоятельной работы учащихся также можно использовать метод проблемного изложения и эвристический метод обучения.

Проблемное изложение, как и исследовательский метод, предъявляет высокие требования к научной подготовке учителя. Он должен не только свободно владеть учебным материалом, но и знать, какими путями шла наука, открывая свои истины.

Как будет видно далее, проблемное изложение подготавливает базу для применения эвристического метода, а эвристический метод - для применения исследовательского метода.

Эвристическая деятельность или эвристические процессы, хотя и включают в себя умственные операции в качестве важного своего компонента, вместе с тем обладают некоторой спецификой. Именно поэтому эвристическую деятельность следует рассматривать как такую разновидность человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает неизвестные ранее закономерности окружающих человека объектов (или объектов изучаемой науки).

Начало применения эвристического метода как метода обучения - математике можно найти еще в книге известного французского педагога - математика Лезана "Развитие математической инициативы". В этой книге эвристический метод не имеет еще современного названия и выступает в виде советов учителю. Вот некоторые из них:

Основной принцип преподавания - "сохранять видимость игры, уважать свободу ребенка, поддерживая иллюзию (если есть таковая) его собственного открытия истины"; "избегать в первоначальном воспитании ребенка опасного искуса злоупотреблением упражнениями памяти", ибо это убивает его врожденные качества; обучать, опираясь на интерес к изучаемому материалу.

Лезан приводит множество примеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике более эффективным, опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.

Большое значение эвристическому методу обучения в школе придавал другой русский педагог-математик Н. А. Извольский. В книге "Комбинационная работа" он писал, что "главной задачей обучения является развитие творческих способностей".

Все эти методы позволяют активизировать самостоятельную деятельность ученика, пробуждая желание заняться исследовательской и поисковой работой. Приведем ниже пример того, какое воздействие на активизацию самостоятельной работы учащихся оказывают задачи - проблемы.

Во второй главе рассмотрена роль задач в обучении математике, влияние задач - проблем и нестандартных задач на активизацию самостоятельной работы учащихся.

В третьей главе работы приводятся примеры влияния внеклассной работы на активизацию самостоятельной работы учащихся. Внеклассную работу по математике как один из методов активизации самостоятельной работы учащихся следует поставить на первое место. Во-первых, потому что во внеклассной работе нет давления на ребят отметочной системы. Без журнала, куда можно поставить плохую отметку, учащиеся чувствуют себя намного комфортнее. К тому же во внеклассной работе задачи представляются детям совсем в другом свете. Особый интерес вызывают задачи, требующие поисково - исследовательской работы, которая хотя и кажется ребятам трудной, но в то же время интересной и увлекательной.

В последней главе дипломной работы описан эксперимент, который лишний раз доказывает, что внеклассная работа оказывает положительное воздействие на повышение мотивации учения и активизацию самостоятельной работы учащихся.

Результатом дипломной работы является систематизация методов обучения, используемых для активизации самостоятельной работы учащихся при обучении математике.

1. ПРОБЛЕМА АКТИВИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

В методической и педагогической литературе указаны десятки целей математического образования и путей их осуществления. Среди них непременно присутствует и цель обеспечить ученику уровень знаний, необходимый в современном обществе и достаточный для овладения новыми знаниями. Здесь возникает вопрос: каким образом можно обеспечить ученику необходимый уровень знаний?

Анализируя сегодняшнее положение в школе, можно отметить тот факт, что для 90 процентов нынешних школьников значение математики, выходящей за границы арифметики, в их будущей деятельности равна нулю. Так что вполне можно защищать тезис о том, что детям старше пятнадцати лет, кроме тех учащихся, которые собираются получить научную или техническую специальность, вообще не нужно преподавать математику. Однако, поскольку трудно разглядеть способности к математике в детях более юного возраста, им всем, конечно, следует показать некоторое количество научных фактов и идей, приспосабливаясь к их незрелости.

В статье «Надо ли учить «современной» математике?» Ж. А. Дьедонне отметил: «Создается впечатление, что в средней школе все преподавание построено на том, чтобы воцарилась схоластика в худшем смысле этого слова. Большинство ныне работающих математиков и других ученых чувствуют себя подавленными, когда они сталкиваются со старой схоластикой, которую они воспринимают как неизбежное жизненное явление и приучаются уживаться с ним, отталкивая от себя агрессивные и рискованные настроения перед необходимостью «модернизма».

Тем не менее я по - прежнему надеюсь, что существующая неразбериха в конце концов приведет к умеренно разумному компромиссу. Поскольку влияние науки и техники на человеческую деятельность усиливается, мы не можем позволить себе роскошь расходовать драгоценные школьные годы будущих руководителей производства и инженеров на получение ими бесполезных знаний устарелыми методами, даже если признаем необходимость элемента «игры» в учебном курсе ».8

Из таких рассуждений становится очевидным тот факт, что возникает необходимость в таком обучении, которое кроме знаний даст учащимся возможность научиться извлекать из имеющейся информации такую, которая позволит непрестанно расширять границы познанного, уметь рассуждать, делать открытия.

Разумеется, не всякого ученика можно научить открывать истину. Трудно справиться с данной задачей, если ученик пассивно воспринимает информацию. Поэтому становится актуальной проблема активизации деятельности учащихся в целом, а в частности проблема активизации самостоятельной работы учащихся, как на уроке, так и в неурочное время. Задача учителя состоит в том, чтобы помочь ученику научиться открывать истину. А добиваться такой деятельности учитель должен, предоставляя ученику попробовать свои силы в выполнении различных творческих заданий.

Активизация учебной деятельности учащихся зависит от многих факторов. В число важнейших из них входит содержание изучаемого материала, общее развитие и жизненный опыт учащихся, уровень их математической подготовки, полученной в предыдущих классах. Например, если прежние знания и представления о предмете учащихся недостаточны для сознательного усвоения темы, для организации их активной работы над новым материалом, то необходимо организовать формирование этих опорных знаний, умений и навыков.

Говоря об основных причинах, порождающих недостатки в знаниях, умениях и навыках учащихся, их можно разделить на две группы: объективные по отношению к учителю и зависящие от уровня его педагогического мастерства. К основным объективным причинам следует отнести перегрузку памяти учащихся большим фактическим материалом.

Дальнейшее совершенствование методики обучения математике связано с тем, чтобы уделить больше внимания вопросам активизации познавательной деятельности школьников в процессе овладения ими системой основных знаний и навыков.7

Учебные процесс представляет собой систему органического единства деятельности учителя и ученика. В этой системе под руководством учителя происходит овладение учеником системой знаний и способов деятельности, его развитие. Ученик может овладеть знаниями, научиться их применять и оценивать только в процессе собственной познавательной и практической деятельности, в процессе учения. Повышение эффективности результатов учения связано с совершенствованием методов обучения.

Эффективное овладение знаниями и способами деятельности предполагает такую организацию познавательной деятельности школьников, при которой учебный материал становится предметом их активных действий.

Математика является наукой, которая родилась из практики и обслуживает практику, поэтому важно показать практическую значимость изучаемого материала. Например, задача такого содержания: «Для устройства мостов через небольшие речки под мостом прокладывают трубу, пропускная способность которой должна быть не меньше пропускной способности русла реки. Рассчитайте наименьшее значение радиуса этой трубы, чтобы речная вода беспрепятственно текла по ней. Поперечное сечение реки представляет трапецию с основаниями 5 м и 9 м и высотой 1,2 м».7

С целью формирования мотивов деятельности используются приемы эмоционального воздействия на школьников. Эффективность обучения предполагает преодоление пассивности школьников в учении.

С целью эмоционального воздействия на учащихся школьникам предлагаются задачи парадоксального характера, занимательные задачи, нестандартные задачи, задачи - проблемы, интересные эпизоды из истории математики, объяснение материала в 5-6 классах можно проводить в сказочной форме, в старших классах использовать групповые формы работы. Например, предлагается решить задачу следующего содержания:

«Бригада рабочих должна было в определенный срок изготовить 272 детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4 детали и уже за один день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей изготовит бригада к сроку?» В практике чаще всего анализируется условие задачи, выбирается неизвестное, вызывается ученик к доске для составления и решения уравнения. Но можно пойти другим путем. Учительница говорит, что для решения этой задачи ученик составил уравнение:

272 280 - 10х

--- = 10 + ------ + 1.

х х + 4

Определите, какую величину он обозначил через x? Доведите решение до конца, объяснив, что обозначают выражения:

272 280 - 10х 280 - 10х

х; х+4; ---; 10х; 280-10х; ------; 10 + ------ .

х х + 4 х + 4

и дайте обоснование составленному уравнению. Новая форма подачи задания придала ему определенную необычность, занимательность.5

В данной ситуации учащиеся должны определить смысловые значения компонентов, входящих в уравнение, что требует от них проницательности при изучении условия задачи, проникновения в сущность каждого выражения.

С целью подготовки учащихся к активному усвоению знаний организуются практические работы, чаще всего связанные с проведением различного рода измерений. На уроках геометрии перед доказательством теоремы «Сумма углов треугольника» можно вырезать все углы бумажной модели некоторого треугольника, приложить их друг к другу и увидеть, что сумма углов треугольника равна 180є.

Второй пример: перед доказательством теоремы «Вершины прямоугольного треугольника с гипотенузой АВ лежит на окружности с диаметром АВ» сначала берут два разных прямоугольных треугольника и на гипотенузе каждого из треугольников, как на диаметре, строят окружность. В результате оказывается, что у всех учащихся получился один и тот же результат: окружность прошла через вершину прямого угла. Такие практические работы подводят школьников к выявлению определенных математических закономерностей, которые необходимо дальше строго логически доказать. Все указанные выше приемы способствуют созданию проблемной ситуации, в условиях которой и протекает подготовка учащихся к целенаправленной активной деятельности.

Учитель, серьезно желающий помочь ученику, должен пробудить его любознательность, вызвать в нем желание решать задачу. Во всех моментах учебного познания особое место занимает самостоятельная работа учащихся. От ее характера, от степени ее самостоятельности прежде всего зависит глубина, сознательность и прочность усвоения знаний. Например, при изучении вывода формулы для вычисления площади параллелограмма можно применить элементы программированного обучения в форме заданий с пропусками. Предложить самостоятельно доказать формулу площади параллелограмма. А именно: спроектировать с помощью кодоскопа. На клеточном фоне доски появляется изображение параллелограмма АВСD и проставлены длины его основания и высота. Остальные элементы чертежа предлагается достроить самостоятельно и сделать дополнения в следующей записи:

Д а н о: АВСD - …, … - высота параллелограмма,

…= h, АD = б,

Д о к а з а т ь: S(ABCD)=…

Д о к а з а т е л ь с т в о: построим прямоугольник BCKL с такой же высотой, как и у параллелограмма.

Докажем, что площади параллелограмма АВСD и прямоугольника BCKL одинаковы. В самом деле, S(ABCD) = S(LBCD) - S?…; S(BCKL) = S(LBCD) - S?…; но ?…= ?… (Докажите, почему?), значит S?…= S?… . А если от площади одной и той же фигуры … вычесть площади равных треугольников S?… и S?… , то останутся равные площади. Значит S… = S… . Площадь прямоугольника равна произведению длины его основания на длину высоты. Основание и высоты прямоугольника и параллелограмма одни и те же, поэтому S(ABCD) = S(LBCD) = … .

Итак, мы доказали теорему «Площадь параллелограмма равна…».5

При работе по такому заданию перед учащимися постоянно возникают новые интеллектуальные задачи, в процессе решения которых глубже осмысливается и прочнее запоминается учебный материал. Учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от ее решения можно получить такое же удовольствие, как и от разгадывания кроссворда или ребуса. Задачи не должны быть слишком легкими и слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу, могут потерять веру в свои силы. Существует ряд задач, решение которых арифметическим методом изящнее и проще, чем с помощью уравнений. В качестве примера рассмотрим задачу: «Два мотоциклиста выехали одновременно из пункта А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км от пункта В. Прибыв в пункты А и В, мотоциклисты сразу же повернули назад и встретились вновь в 25 км от пункта А. Сколько километров между пунктами А и В?»

Не составляя уравнения, учащиеся рассуждают так. От начала движения до первой встречи оба мотоциклиста проехали расстояние АВ, а к моменту второй встречи - втрое большее расстояние. Таким образом, каждый из них до встречи проехал втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из пункта В, до первой встречи проехал 50 км (50 • 3 = 150). Поэтому расстояние от А до В равно 125 км (150 - 25 = 125).

Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым он будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся, повышать их математическую культуру, развивать вариативность мышления.

Например, при решении задачи, что больше

10№є+1 10№№+1

---- или ----

10№№+1 10№І+1

учащиеся, как правило, применяют наиболее естественный в данном случае способ решения - приведение дробей к общему знаменателю и сравнение их числителей.

Можно познакомить учащихся и с другими способами решения этой задачи, которые могут оказаться полезными при решении других задач.

Так, вычтя из обеих дробей по 0,1, получим дроби с одинаковыми числителями, которые можно сравнить устно:

10№є+1 1 9 10№№+1 1 9

---- - -- = ----- ; ----- - -- = ----- .

10№№+1 10 10№І+10 10№І+1 10 10№і + 10

9 9 10№є+1 10№№+1

Так как ------ > ------ , то ----- > ----- .

10№І + 10 10№і + 10 10№№+1 10№І + 1

Можно приводить очень много примеров активизации учащихся на уроках, но следует помнить, что ученик может проявлять активность в учении лишь в том случае, если он будет владеть общими навыками учебного труда: уметь планировать предстоящую деятельность, организовывать рациональное ее выполнение, определив для этого средства, этапы и т.д., и обязательно проводить самоконтроль.

1.1 Работа в группах как средство мотивации на уроках

математики

Возникает необходимость говорить об актуальности проблемы мотивации учащихся для активного и результативного изучения математики. В связи с постановкой данной проблемы учителя постоянно ищут новые формы и методы проведения уроков математики. Одним из таких методов является работа в группах.

В педагогической литературе у разных авторов можно встретить разные подходы к использованию названого метода; существуют также разновидности одного и того же, по существу, метода: «бригадный метод», «метод французских технологий» и т.д. Основные принципы, которые лежат в фундаменте всех этих инновационных методик, можно свести к следующему: учитель перестает быть «актером» перед своим классом, где большинство зрителей пассивно - если не сказать равнодушно - воспринимает «исполнение его роли», а становится учителем - консультантом; при этом девиз учеников формулируется так: «Научись сам и научи товарища!» На занятиях по математике особенно важно, чтобы ученики сами активно принимали участие в получении математических знаний, усвоении соответствующих умений и навыков. Вхождение ученика в состав группы на таком уроке уже может быть достаточным средством мотивации к осмыслению учебного материала, различных версий остальных членов группы. К тому же, работая в группе, ученики, у которых есть явные пробелы в знаниях, имеют возможность рисковать, высказывать не стандартные решения, помня, что оценивать будет не взрослый человек, а такой же, как он сам, ученик, его коллега. Интерес в данном контексте представляет собой опыт ежегодных «дней самоуправления», которые имеют место в некоторых школах и приобретают популярность среди учеников: практика показала, что материал, объясненный «учителями - учениками» остальные учащиеся усваивают не хуже, а даже лучше, чем тот же материал, объясненный учителем - профессионалом.

Здесь необходимо подчеркнуть, что работа в группах даст хороший результат только в том случае, если ее использовать при изучении нового материала, хотя ее можно проводить и на других этапах работы с материалом.

Теперь несколько слов относительно количественного подхода к формированию групп. В некоторых источниках оптимальными группами для реализации соответствующей методики называют группы из 6-8 человек. В то же время белорусский педагог Д. К. Олейникова допускает возможность создания на занятиях по математике группы даже из двух учеников ( это значит тех, кто сидит в классе за одним столом ). Были проведены опыты по организации работы как с группами, которые состоят из достаточного количества учеников, так и с мини - группами.7

Полученная информация показывает, что лучше всего реализация поставленных задач удавалась в группах, состоящих из четырех человек. Во - первых, такая группа не требует специальной перестановки мебели в классе (достаточно повернуть два кресла), а это делает группу мобильной. Во - вторых, работа в такой группе легче поддается эффективному контролю: во всяком случае, учителю хорошо видно, не пробует ли кто-нибудь из учеников «отсидеться за спинами других».

В - третьих, таких групп получается 6 - 7, что дает возможность держать все группы в поле зрения и быстро реагировать на сигнал «задание выполнено». Кстати, формы таких сигналов могут быть разными: об этом необходимо договориться с учениками в начале занятия - к примеру, поднятая рука означает «SOS!», а поднятая тетрадь - «задание выполнено». Еще проще, если группа имеет две сигнальные карточки разного цвета: красная - «SOS!», зеленая - «мы готовы».7

Перед работой с группами на занятиях должна быть проведена основательная подготовка. Необходимо не только заранее продумать, где, на каком этапе изучения темы можно предложить ученикам этот вид работы - с тем, чтобы достичь их достаточной заинтересованности в творческом усвоении данной темы. Невозможно обойтись без подготовки многочисленного материала - чтобы работа на занятиях проходила динамично и эффективно. Особое значение здесь имеет «инструкция» для работы каждой из групп. Такие инструкции могут содержать одинаковые задания для каждой группы, или быть разными как по содержанию, так и по уровню сложности. Главное, чтобы они были конкретными и доступными для соответствующей группы учеников. Необходимо также иметь подготовленные опорные карточки для тех групп, которые, возможно, поднимут сигнал «SOS!». И, конечно нужно иметь ответы ко всем заданиям, которые предлагаются группам во время занятий, чтобы быстро и результативно проверить выполнение поставленной задачи. Необходимо также продумать, в какой форме должен проводиться анализ работы каждой группы, а также результатов, полученных в каждой группе. Когда учащиеся видят, что их работа не осталась без конкретной выверенной оценки преподавателя - у них возникает дополнительный стимул для дальнейшей работы.

Как видно, предварительная подготовительная работа требует огромных усилий и времени, поэтому использование рассмотренной методики на занятиях ограничивается и этой объективной причиной.

Чтобы продемонстрировать возможность использования данной методики, можно рассмотреть пример проведения обобщающего повторения за курс алгебры в 8 классе. На это повторение программой предусмотрено 4 часа, причем два часа отводятся на проведение контрольной работы и подведение ее результатов. Даже если повторение происходит на протяжении всего учебного года и реализуется через систему упражнений, отмеченных в учебнике как «вопросы и задачи для повторения», все равно повторить содержание пунктов 30 - 35, обязательных для изучения, за два часа очень сложно.5

Поэтому ученикам можно предложить следующий подход к повторению:

- последний раздел учебника «Степень с целыми показателями», после изучения которого только что была выполнена контрольная работа, с повторения исключается;

- из четырех оставшихся разделов создаются три блока (разделы «Квадратные корни» и «Квадратные уравнения» объединяются в один блок), и на это отводят три из четырех предложенных часов;

- проводится домашняя контрольная работа по шести вариантам;

- последний, четвертый час посвящается анализу контрольной работы.

На каждом из трех первых занятий работает 6 - 7 групп учеников. Поэтому некоторые, наиболее объемные блоки предлагается повторять параллельно в двух группах. На каждом уроке группа получает новый блок для повторения. Не очень занимательный процесс повторения пройденного материала таким образом делается наиболее интенсивным и интересным.

Подводя итоги таких рассуждений, остановимся на тех преимуществах работы в группах, которые кажутся нам наиболее существенными:

1)Во время занятий ученики не сидят пассивно, наблюдая за учителем, а сами активно работают над заданием.

2)Ученики имеют возможность работать со своими товарищами, что в большей степени позволяет использовать свои знания даже тем, кто обычно стесняется или боится отвечать перед всем классом: одновременно вынуждены активизироваться и те, кто считает «чересчур» выступать на уроках, чтобы не показаться «выскочками».

3)Работая с инструкцией, ученики приобретают навыки самостоятельно выделять из теории отдельные разделы, выделять в них наиболее важные сведения, составлять план работы, искать аналогии, проводить параллели, делать самостоятельные выводы.

При оценке итогов работы той или иной группы очень важно избежать оценки индивидуального вложения того или иного ученика в работу всей группы. Можно подготовить контрольный тест для проверки того, как ученики овладели предложенным материалом, но оценивание доли работы отдельного ученика в общем деле необходимо оставить самим участникам группы. Это будет стимулировать тех учащихся, которые по некоторым причинам не очень активно принимали участие в работе группы, быть более активными в следующий раз.

1.1.1 Образец инструкции для организации работы в группах

Т е м а: «Рациональные дроби».

П о с т а н о в к а з а д а ч и: вашей группе необходимо:

1. Выполнить задания или найти ответы на следующие вопросы:

1) Приведите примеры целых и дробных выражений.

2) Какие дроби называются рациональными?

3) Дайте определение тождества; приведите примеры тождества.

4) Запишите в виде тождества основное свойство дробей.

5) Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.

6) Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

7) Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

8) Каким образом выполняется сложение и вычитание дробей с разными знаменателями?

Если вы не можете сформулировать ответ на вопрос или не знаете, как выполнить данное вам задание, используйте для помощи учебник («Алгебра-8», § 1, 2).

2. Выполните следующие упражнения:

1) Запишите в виде рациональных дробей выражения:

(х+2)І - (х-2)І б(b + 3) - b(б - 4)

а) ----------; б) -----------.

6(у-5) - 3(у-10) (б - b)І + 2 б b

2) Укажите допустимые значения переменной в выражениях:

3 б - b b - 2 х 3

а) -----; б) -----; в) ----- - ----- .

б - 1 21 х + 1 х - 1

3) Какие из равенств являются тождествами?

5(б - 3) 5б - 15 б + b х(х - 3) х

а) ----- = -----; б) ----- = б ; в) ----- = --- .

б б b у(у - 3) у

4) Сократите дроби (если это возможно):

6х + 24у mІ - 10m + 25 бb - 3 bІ

а) ----- ; б) --------- ; в) ------ ;

18ху mІ - 25 бІ - 3 б b

бх -3 б х - 2у

г) ------- ; д) ----- .

6 бІ - 3 бх (2у - х)І

5) Выполните сложение (вычитание) следующих дробей:

5хІ - 2уІ 2уІ bІ + 25 10 b х - 3 3х + 1

а) ----- + --- ; б) ----- + ----- ; в) ----- + ----- ;

3х 3х 2b - 10 10 - 2 b 3х хІ

бІ + b 3 2 18

г) ----- - б ; д) ---- - ---- + ---- .

б с + 3 с - 3 сІ - 9

Если в ходе выполнения задания ваша группа не справляется с какой - либо его частью самостоятельно, поднимите красную карточку.

3. Итогами вашей работы должны стать:

1) письменный отчет учителю;

2) устный отчет около доски перед всем классом с примерами решений.

Если ваша группа готова к отчету, поднимите зеленую карточку.7

1.2 Влияние проблемного обучения математике на активизацию

самостоятельной работы учащихся

Э. В. Ильенков писал: «Надо организовать процесс усвоения знаний, процесс усвоения умственной культуры так, как организует его тысячи лет лучший учитель - жизнь. А именно: так, чтобы ребенок постоянно был вынужден тренировать не только (и даже не столько) память, сколько способность самостоятельно решать задачи, требующие мышления в собственном и точном смысле слова…

Решение задач - вовсе не привилегия математики. Все человеческое познание есть не что иное, как непрекращающийся процесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, проблем, трудностей. И само собой понятно, что лишь тот человек понимает научные формулы и положения, кто видит в них не просто фразы, которые ему надлежит зазубрить, а прежде всего - с трудом найденные ответы на вполне определенные вопросы. На вопросы, естественно вырастающие из гущи жизни и настоятельно требующие ответов...» 16

Организовать такой процесс обучения, при котором скучная, тягостная и кропотливая работа становится интересной и занятной, что само по себе повышает активность учащихся при изучении нового материала и побуждает их подходить к решению задач творчески, позволяет проблемное обучение.

Это такое обучение, которое протекает в виде снятия (разрешения) последовательно создаваемых в учебных целях проблемных ситуаций. Что же такое проблемная ситуация?

С психологической точки зрения проблемная ситуация представляет собой более или менее явно осознанное затруднение, порождаемое несоответствием, несогласованностью между имеющимися знаниями и теми, которые необходимы для решения возникшей или предложенной задачи.

Задача, создающая проблемную ситуацию, и называется проблемной задачей, или просто проблемой.

Сказанное относится и к науке, и к обучению, названному проблемным и имитирующему в какой-то мере процесс развития научных знаний путем разрешения проблемных ситуаций. Нередко задача, которая является проблемной при изучении школьного курса математики (учебной проблемой), когда-то возникала как научная проблема.

В качестве психологической основы проблемного обучения обычно называют сформулированный С. Л. Рубинштейном тезис: "Мышление начинается с проблемной ситуации". А если ребенок начинает мыслить, значит он принимает активное участие в учебном процессе.17

Осознание характера затруднения, недостаточности имеющихся знаний раскрывает пути его преодоления, состоящие в поиске новых знаний, новых способов действий, а поиск - компонент процесса творческого мышления. Без такого осознания не возникает потребности в поиске, а следовательно, нет и творческого мышления. Таким образом, не всякое затруднение вызывает проблемную ситуацию. Оно должно порождаться недостаточностью имеющихся знаний, и эта недостаточность должна быть осознана учащимися. Однако и не всякая проблемная ситуация порождает процесс мышления. Он не возникает, в частности, когда поиск путей разрешения проблемной ситуации непосилен для учащихся на данном этапе обучения в связи с их неподготовленностью к необходимой деятельности. Это чрезвычайно важно учесть, чтобы не включать в учебный процесс непосильных задач, способствующих не развитию самостоятельного мышления, а отвращению от него и ослаблению веры в свои силы.

Какую же задачу можно считать проблемной для учащихся определенного класса, каковы признаки проблемы?

Признаками проблемы являются:

1) порождение проблемной ситуации (в науке или в процессе обучения),

2) определенная готовность и определенный интерес решающего к поиску решения и

3) возможность неоднозначного пути решения, обусловливающая наличие различных направлений поиска.

Совершенно очевидно, что эти признаки носят прагматический характер, т. е. они отражают отношение между задачей и теми, кому она предложена. Не имеет смысла ставить вопрос, например: "Является ли задача "Решить уравнение х*x-5х-4=0" проблемной?" - безотносительно к тому, кому она предложена. Вопрос неопределенный, так как на него нельзя однозначно ответить. Если эта задача предложена учащимся до того, как они изучили теорию квадратных уравнений и знают формулу корней, она для них несомненно проблема, создает у них проблемную ситуацию, так как имеющиеся у них знания недостаточны для ее решения. Если же эта задача предложена учащимся, уже владеющим соответствующим алгоритмом, то, естественно, для них она не является проблемой.

В связи с проблемным обучением употребляют обычно два термина: "проблема" и "проблемная задача". Иногда они понимаются как синонимы, чаще же объекты, обозначаемые этими терминами, отличают по объему. Проблема распадается на последовательность (или разветвленную совокупность) проблемных задач. Таким образом, проблемную задачу можно рассматривать как простейший, частный случай проблемы, состоящей из одной задачи.

Например, можно поставить проблему изучения трапеции. Одна из проблемных задач, входящих в эту учебную проблему, состоит в открытии (а точнее, переоткрытии) свойства средней линии трапеции. Можно поставить проблему изучения некоторой новой функции. Одна из проблемных задач, входящих в состав этой проблемы, состоит в определении промежутков возрастания, убывания этой функции. Другая задача - выяснение наличия экстремумов и т. д. В осуществлении проблемного обучения естественно начинать с проблемных задач, подготавливая этим самым почву и для постановки учебных проблем.

Проблемное обучение ориентировано на формирование и развитие способности к творческой деятельности и потребности в ней, т. е. оно более интенсивно, чем не проблемное обучение, влияет на развитие творческого мышления учащихся. Но чтобы эта функция проблемного обучения наилучшим образом была реализована, недостаточно включить в процесс обучения случайную совокупность проблем. Система проблем должна охватывать основные типы проблем, свойственных данной области знаний, хотя может и не ограничиваться ими. Какие же типы проблем свойственны математике и могут быть включены (разумеется, на соответствующем уровне) в проблемное обучение математике? 17

Исследования в математике охватывают большое разнообразие типов проблем. Одни проблемы возникают внутри математики и связаны с дальнейшим развитием или внутренним строением математических теорий, другие же возникают вне математики и связаны с ее приложениями в различных областях знаний. Часто именно предъявляемые математике извне новые задачи обусловливают дальнейшее развитие математических теорий или создание новых теорий. Это обстоятельство является важнейшим при отборе основных типов проблем для обучения математике. Мы должны исходить из реальных ситуаций и задач, возникающих как в самой математике, так и вне математики, чтобы ими мотивировать необходимость дальнейшего развития математических знаний. В последнем случае подобные исследования часто начинаются с поиска математического языка для описания рассматриваемой ситуации, изучаемого объекта, построения его математической модели. Построенная модель подлежит затем исследованию с помощью соответствующей теории (если она уже построена). Или для этой цели необходимо дальнейшее развитие теоретических знаний, построение теории изучаемого объекта. И, наконец, построенная теория с помощью различных интерпретаций применяется к новым объектам.

Таким образом, можно выделить по крайней мере три основных типа учебных проблем, приближающих, уподобляющих процесс обучения математике процессу исследования в математике.

Это, во-первых, проблема математизации, математического описания, перевода на язык математики ситуаций и задач, возникающих вне математики (в различных областях знаний, техники, производства) или внутри математики (например, перевод геометрической ситуации на язык алгебры или обратно). В самом общем виде ее можно назвать проблемой построения математических моделей.

Второй основной тип проблем состоит в исследовании результата решения проблем первого типа, это проблема исследования различных классов моделей. Результатом решения проблем этого типа является дальнейшее развитие системы теоретических знаний путем включения в нее новых "маленьких теорий".

Третий основной тип проблем связан с применением новых теоретических знаний, полученных в результате решения проблем второго типа, в новых ситуациях, существенно отличающихся от тех, в которых приобретены эти знания. Результатом решения проблем этого типа является перенос математических знаний на изучение новых объектов. 17

Таким образом, три основных типа проблем выполняют различные функции: решение проблем первого типа дает новые знания; решение проблем второго типа приводит эти знания в систему; решение проблем третьего типа раскрывает новые возможности применения этой системы знаний.

Несмотря на совершенно явные достоинства проблемного обучения перед не проблемным, ни на каком этапе школьное обучение не может строиться целиком как проблемное. Для этого потребовалось бы много времени, намного больше, чем возможно выделить на обучение математике. Более того, переоткрытие всего программного содержания в процессе обучения привело бы к обеднению этого процесса (например, в выработке навыков самостоятельной работы с книгой, усвоения лекций и др.).

Поэтому возникает педагогическая проблема отбора фрагментов школьного курса математики (отдельных разделов, тем, пунктов) для осуществления проблемного обучения. Этот отбор требует проведения логикодидактического анализа учебного материала, выяснения возможности постановки основных или других типов проблем, их эффективности в достижении целей обучения. Во многом это зависит и от конкретных условий работы в том или ином классе.

Изложение учебного материала в школьных учебниках редко приспособлено для проблемного обучения. Но учебные тексты могут быть легко переработаны для осуществления такого обучения.

К методам проблемного обучения относятся: исследовательский метод, эвристический метод и метод проблемного изложения.

1.2.1 Исследовательский метод

Центральное место в проблемном обучении занимает исследовательский метод. Этот метод предполагает построение процесса обучения наподобие процесса научного исследования, осуществление основных этапов исследовательского процесса, разумеется, в упрощенной, доступной учащимся форме: выявление неизвестных (неясных) фактов, подлежащих исследованию (ядро проблемы); уточнение и формулировка проблемы; выдвижение гипотез; составление плана исследования; осуществление исследовательского плана, исследование неизвестных фактов и их связей с другими, проверка выдвинутых гипотез; формулировка результата; оценка значимости полученного нового знания, возможностей его применения.

Важная особенность исследовательского метода состоит в том, что в процессе решения одних проблем постоянно возникают новые.

Исследовательский метод в обучении, однако, лишь в какой-то мере имитирует процесс научного исследования. Учебное исследование отличается от научного некоторыми существенными особенностями.

Во-первых, учебная проблема, т. е. то, что исследуется в процессе проблемного обучения, и та истина, которую учащиеся открывают, для науки не являются новыми. Но они новы для учащихся, а открывая для себя то, что в науке давно открыто, учащиеся на этом этапе своей учебной деятельности мыслят как первооткрыватели. Поэтому применение исследовательского метода в обучении относят к дидактике "переоткрытия" (учащиеся приводятся к самостоятельному "переоткрытию" того, что в науке уже давно открыто). Не нужно, конечно, думать, что каждый ребенок здесь вынужден самостоятельно изобретать все те формулы, которые сотни, а может быть и тысячи лет назад, уже изобрели для него люди ушедших поколений. Но повторить логику пройденного пути он должен. Тогда сами формулы усваиваются им не как магические и абстрактные рецепты, а как реальные, совершенно конкретные общие принципы решения реальных же, конкретных задач.

Во-вторых, стимулы учащихся к проведению исследования отличны от стимулов, побуждающих ученого к исследованию. Учебное исследование ведется учащимися под руководством, с личным участием и с помощью учителя. Эта помощь должна быть такой, чтобы учащиеся считали, что они самостоятельно достигли цели.

Д. Пойа различает внутренние и внешние подсказки. Первые таковы, что они как будто извлекают у учащихся их собственные мысли, вторые (более грубые) подсказки оставляют учащимся лишь выполнение технической работы, снимая потребность поиска. Естественно, что руководство поиском учащихся требует хорошей методической подготовки, разработки для каждого планируемого учебного исследования соответствующей системы вопросов и указаний (подсказок), "подталкивающих" учащихся по направлению поиска.17

В-третьих, как и всякий другой метод обучения, исследовательский метод не является универсальным методом обучения. В младших и средних классах школы в деятельность учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований. Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой и сложной форме. Но и на этом этапе обучения этот метод может применяться лишь для изучения отдельных тем, вопросов. Для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, управляемых учителем, их самостоятельной познавательной деятельности, необходимо организовать эти поиски, развивать познавательную деятельность учащихся, что, несомненно, более сложно и требует методической подготовки более высокого уровня, чем объяснение изложенного в школьном учебнике материала и требование его заучивания учащимися.

Для того чтобы учитель мог организовать процесс обучения школьников, подобно процессу исследования, создавать педагогические ситуации, стимулирующие их открытия, управлять творческим поиском учащихся, он должен иметь некоторый собственный опыт исследовательской работы, хотя бы на уровне учебных исследований, иметь на своем собственном счету немало "открытий" (пусть и маленьких открытий для себя). Выражаясь словами Д. Пойа, учитель должен сам почувствовать "напряженность поиска и радость открытия", чтобы он мог вызвать их у своих учеников. Нельзя пренебречь в обучении этими эмоциональными факторами. Учащийся, испытавший радость открытия, смело идет на поиск решения новых задач. Он уже знает, что его ожидает, что напряженность поиска сменяется радостью открытия. Нетрудно заметить в этом большое воспитательное и развивающее значение исследовательского метода.