Теория и методика математического развития младших школьников в учебной деятельности

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора педагогических наук

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Москва - 2008

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Весь ХХ век был отмечен многочисленными попытками отойти от традиционного, технологического подхода в образовании, поисками альтернативы. Новая парадигма образования в РФ характеризуется личностной ориентацией, идеей развивающего обучения, созданием условий для самоорганизации и саморазвития личности, субъектностью образования и т.д. Иными словами, современная система образования нацелена на развитие личности ребенка, на конструирование содержания, форм и методов обучения и воспитания, обеспечивающих развитие каждого ученика, его познавательных способностей и личностных качеств.

В концепции школьного математического образования выделены основные цели обучения - обучение учащихся приемам мышления и методам познания, формирование у них качеств математического мышления, математических мыслительных способностей и умений. Важность исследований отмеченных проблем усиливается возрастающим значением применения математики в различных областях науки, экономики и производства.

Необходимость математического развития младшего школьника в учебной деятельности на современном этапе отмечается многими ведущими российскими учеными (Н.Ф. Виноградова, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, Л.Г. Петерсон, Н.Ф. Талызина и др.). Это обусловлено тем, что на протяжении дошкольного и младшего школьного периода у ребенка не только интенсивно развиваются все психические функции, но и происходит закладка общего фундамента познавательных способностей и интеллектуального потенциала личности. «Многочисленные факты свидетельствуют, что если соответствующие интеллектуальные или эмоциональные качества по тем или иным причинам не получают должного развития в раннем детстве, то впоследствии преодоление такого рода недостатков оказывается делом трудным, а подчас и невозможным» Гальперин П.Я., Запорожец А.В., Карпова С.Н. Актуальные проблемы возрастной психологии. - М., 1978..

Серьезной проблемой современной начальной школы остается ориентировка процесса обучения на уже сформировавшиеся у ребенка в дошкольный период психические процессы: восприятие и память (Репродуктивные методы). В основе сознательного акта учения лежит способность человека к продуктивному (творческому) воображению и мышлению. Более того, без высокого уровня развития этих процессов вообще невозможны ни успешное обучение, ни успешное самообучение.

Таким образом, новая парадигма образования, с одной стороны, предполагает максимально возможную индивидуализацию учебно-воспитательного процесса, а с другой стороны, требует разрешения проблемы создания образовательных технологий, обеспечивающих реализацию основных положений Концепции школьного математического образования. Необходимость разработки таких технологий является чрезвычайно актуальной для практики обучения и воспитания детей младшего школьного возраста.

В психологии «развитие» понимается как последовательные, прогрессирующие существенные изменения в психике и личности человека, проявляющиеся как определенные новообразования. Положение о возможности и целесообразности обучения, ориентированного на развитие ребенка, было обосновано еще в 1930-е годы выдающимся российским психологом Л.С. Выготским. Под влиянием обучения происходит перестройка всех его психических функций.

Одну из первых попыток практически реализовать идеи Л.С. Выготского в нашей стране предпринял Л.В. Занков - в 1950-60-е годы он разработал принципиально новую систему начального образования, которая нашла большое число последователей. В системе Л.В. Занкова для эффективного развития учащихся, в том числе и их познавательных способностей, реализуются следующие пять основных принципов: обучение на высоком уровне трудности; ведущая роль теоретических знаний; продвижение вперед быстрым темпом; сознательное участие школьников в учебном процессе; систематическая работа над развитием всех учащихся.

Теоретическое (а не традиционно эмпирическое) знание и мышление, учебную деятельность поставили во главу угла авторы другой теории развивающего обучения (учебной деятельности) - Д.Б. Эльконин и В.В.Давыдов. Они считают, что основной характеристикой развивающего обучения является изменение позиции ученика в процессе учения. В отличие от традиционного обучения, где ученик является объектом педагогических воздействий учителя, в развивающем обучении создаются условия, при которых ученик становится субъектом обучения. Сегодня эта теория учебной деятельности признается многими учеными в качестве одной из наиболее перспективных и последовательных в плане реализации известных положений Л.С. Выготского о развивающем и опережающем характере обучения.

Однако в практической реализации систем Л.В. Занкова и Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова в учебном процессе далеко не все обстоит гладко. В последние годы эти две системы были подвергнуты серьезной, но не во всем справедливой критике. Так, Ю.М. Колягин отмечает, что принципы Л.В. Занкова вызывают определенные возражения у опытного педагога, а обе эти системы обучения не привели, по его мнению, к убедительным позитивным результатам Колягин Ю.М. Отечественное образование: наша гордость и наша боль [о математическом образовании России] // Математика в школе №1 - М.: 2002. - с. 7-13. Сходный взгляд высказывает руководитель образовательного проекта «Новая Россия» проф. А.Кушнир: по его словам, самое фундаментальное по притязательности и истраченным средствам педагогическое сооружение - развивающее обучение - не сумело сколько-нибудь заметно оторваться от своего «традиционного» близнеца Кушнир А. Новая Россия подрастает // Народное образование, 1998. №6..

В отечественной педагогике, помимо этих двух систем, разработаны концепции развивающего обучения З.И. Калмыковой, Е.Н. Кабановой-Меллер, Г.А. Цукерман, С.А. Смирнова и др. Следует также отметить интересные психологические поиски П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной на основе созданной ими теории поэтапного формирования умственных действий. Однако, как отмечает В.А.Тестов, в большинстве из упомянутых педагогических систем развитие ученика является обязанностью учителя, а роль ученика сводится к следованию за развивающим воздействием учителя Тестов В.А. «Социокультурные истоки» в контексте развития новой образовательной парадигмы. Истоковедение. Том 7. - М., 2005. - 320 с..

В русле развивающего обучения появились различные программы и средства обучения по математике, как для начальных классов (учебники Э.Н. Александровой, И.И. Аргинской, Б.Д. Гельмана, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и др.), так и для средней школы (учебники Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича, С.М. Никольского, И.Ф. Шарыгина и др.). Авторы учебников по-разному понимают развитие личности в процессе изучения математики. Одни авторы делают акцент на развитие наблюдения, мышления и практических действий, другие на формирование определенных умственных действий, третьи - на создание условий, обеспечивающих становление учебной деятельности, развитие теоретического мышления.

Ясно, что проблема развития математического мышления в обучении математике в школе не может быть решена только за счет совершенствования содержания образования (даже при наличии хороших учебников). Реализация на практике разных уровней требует от учителя принципиально нового подхода к организации учебной деятельности учащихся на уроке, в домашней и внеклассной работе, позволяющей ему учитывать типологические и индивидуальные особенности обучаемых.

Известно, что младший школьный возраст сензитивен, наиболее благоприятен для развития познавательных психических процессов и интеллекта (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов). Развитие мышления учащихся - одна из основных задач начальной школы. Именно на этой психологической особенности мы сконцентрировали свои усилия, опираясь на психолого-педагогическую концепцию развития мышления Д.Б. Эльконина, положение В.В. Давыдова о переходе от эмпирического мышления к теоретическому в процессе специально организованной учебной деятельности, на работы Р. Атаханова, Л.К. Максимова, А.А. Столяра, П.-Х. Ван Хиле, связанные с выявлением уровней развития математического мышления и их психологических характеристик, а также особенностями их проявления на математическом материале.

Наиболее важными для нашего дальнейшего исследования являются работы В.А. Крутецкого, связывающего «математическое мышление» с понятием «способности», и И.Я. Каплуновича о модели структуры математического мышления, представляющей собой пересечение пяти основных подструктур: «топологической», «проективной», «порядковой», «метрической» и «композиционной» («алгебраической»). В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. В работе В.А. Крутецкого место доминирующей занимает одна или несколько способностей. Эти две модели структуры математического мышления мы назовем моделями «направленности ума».

Вместе с тем, на основе выделенных психологами закономерностей, вопросы развития мышления учащихся в процессе обучения исследовались дидактами (Ю.К. Бабанский, М.А. Данилов, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, М.Н. Шардаков и др.), учеными и математиками-методистами (Ж.Адамар, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Ю.М. Колягин, А.А. Маркушевич, Н.Х. Розов, В.А. Тестов, С.Л. Трегуб, А.Я. Хинчин, С.И. Шварцбурд, П.М.Эрдниев и др.). На разработку эффективных методов и приемов решения задач посвящены исследования В.Г. Болтянского, Н.Ф. Талызиной и др. В этих исследованиях отмечается, что современное состояние математической подготовки учащихся вызывает у них серьезные опасения. Наблюдается формализм математических знаний школьников, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления, тормозящие развитие. Знания и умения носят фрагментарный характер, представляют набор слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и закрепленных навыков выполнения стандартных алгоритмов вычислений, преобразований, решения типовых задач и т.д. Такие знания с трудом актуализируются школьниками на уроках математики_, бывают мало востребованы учеником, быстро забываются. При этом у учащихся не возникает представления о математике как о единой науке со своим предметом и своими методами.

Как указывает В.А. Крутецкий, самое главное при обучении математике - формировать у учащихся обобщенные математические отношения, развивать способности к обобщению. Существуют разные пути достижения этого в зависимости от индивидуально-типологических особенностей школьников. При обучении учителю следует руководствоваться теми особенностями мышления ученика, которые наиболее сильно у него выражены, и, отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления. На наш взгляд, модели «направленности ума» могут оказать помощь в поиске ответов на нелегкие вопросы, связанные с дифференцированным обучением в начальной школе, предложить ориентиры для дальнейшей работы в направлении развития математического мышления у учащихся.

Идея Л.С. Выготского о том, что обучение должно осуществляться в зоне ближайшего развития учащихся, а эффективность обучения определяется тем, какую зону (большую или маленькую) оно подготавливает, у всех на слуху. На теоретическом (концептуальном) уровне ее разделяют почти во всем мире. Проблема заключается в ее практической реализации: как определить (измерить) эту зону и какова должна быть технология обучения, чтобы процесс познания научных основ и овладения («присвоения») человеческой культуры проходил именно в ней, обеспечивал максимальный развивающий эффект?

Таким образом, психолого-педагогической наукой обоснована целесообразность математического развития младших школьников, но недостаточно разработаны механизмы ее реализации. Рассмотрение понятия «развитие» как результата обучения с методологических позиций показывает, что это целостный непрерывный процесс, движущей силой которого является разрешение противоречий, возникающих в процессе изменений. Психологи утверждают, что процесс преодоления противоречия создает условия для развития, в результате которого отдельные знания и умения перерастают в целостное новообразование, в новую способность. Поэтому проблема исследования определена противоречиями:

- между необходимостью высокого уровня математического развития для современного человека и не соответствующей этой задаче целостной системы процесса обучения математике в начальной школе;

- между дискретностью системы обучения и необходимостью создания в сознании ребенка целостной картины мира;

- между высоким уровнем абстракции в математике, необходимостью проводить обобщения и недостаточным уровнем развития математического мышления младшего школьника;

- между фундаментальным постулатом теории развивающего обучения (полагающим суть личности ребенка как складывающуюся в образовательном процессе «саморазвивающуюся систему», поддающуюся управляемым процессам формирования и развития, посредством применения технологий развивающего обучения) и отсутствием таковых технологий в младшем школьном математическом образовании;

- между потребностью в применении учителями математики, деятельностного подхода к обучению и их практической неготовностью к такому преподаванию, к продуманной совместной деятельности учителя и школьника в «зоне ближайшего развития».

В подходах к решению рассматриваемой проблемы выделяются четыре основных направления:

1. Изучение самого понятия «математическое мышление»; установление взаимосвязей между различными ее составляющими (компонентами) в области математики; разработка эффективных методов формирования и развития математического мышления младших школьников и соответствующей диагностики достижений учащихся.

2. Взаимосвязь понятий «учебная деятельность» и «развитие» младших школьников. Формирование и развитие математического мышления учащихся в условиях дифференцированного обучения математике.

3. Переходы ученика от актуального уровня развития у него математического мышления к ближайшему уровню математического мышления происходит по схеме: ближайший уровень 1 - актуальный уровень 1 - ближайший уровень 2 - актуальный уровень 2 и т.д. по разработанной соответствующей индивидуальной программой коррекции его мышления.

4. Исследование эффективности формирования и развития математического мышления учащихся, в частности, разработка измерителей, средств контроля и оценивания математического мышления учащихся на каждом уровне обучения, а также определение эффективности применяемых методов, выявление и устранение причин выявляемых недостатков.

Резюмируя вышеизложенное, можно констатировать актуальность предпринятого исследования проблем математического развития младших школьников. Эта проблема требует для своего решения расширения общих подходов, выхода за рамки «чистой дидактики», учета современных достижений не только психологии и физиологии, создания общей концепции формирования и развития математического мышления учащихся на более широкой теоретической основе, чем это принято в настоящее время.

Цель данного исследования состоит в построении концепции математического развития ребенка младшего школьного возраста на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника, позволяющей обеспечить осуществление непрерывности математического образования на дошкольной, начальной школьной ступени и 5-6 классов основной школы, его преемственности и повышение качества математической подготовки ребенка младшего школьного возраста, а также разработке и апробации ее прикладного аспекта в форме образовательной технологии (методы, средства, формы).

Объект исследования - процесс непрерывного математического развития младших школьников при обучении математики.

Предмет исследования - методическое обеспечение процесса непрерывного математического развития младших школьников.

Гипотеза исследования. Процесс математического развития младшего школьника в учебной деятельности окажется более эффективным, если система методов формирования и развития мышления младших школьников в обучении математике базируется на развитии у ребенка доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления, и, отталкиваясь от них постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления. Такое целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных показателей и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности позволит учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

Задачи исследования:

1. Обобщить имеющиеся представления о мышлении «вообще», о математическом мышлении, об уровнях и стадиях развития математического мышления, о взаимосвязи понятий «учебная деятельность» и «развитие» младших школьников.

2. На основе анализа философской, психологической, педагогической, методической литературы и опытно-экспериментальной работы определить стратегию совершенствования математического развития младших школьников при обучении математике.

3. На основе проведенного анализа современного состояния теории и практики школьного математического образования выявить и сформулировать теоретические и методические основания концепции математического развития ребенка на начальном школьном этапе.

4. Спроектировать на основе разработанной концепции модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

5. Проанализировать проблему преемственности начального математического образования. Выявить условия рационального использования интеллектуальных игр в установлении преемственных связей ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка. Разработать научно-практические и методические рекомендации по внедрению динамических игр преследования (ДИП) в систему подготовки детей к школе.

6. Выявить методические особенности организации непрерывного математического развития младших школьников в учебной деятельности. Разработать методическое обеспечение подготовки будущего учителя к осуществлению руководством математическим развитием ребенка младшего возраста.

7. Осуществить экспериментальную проверку степени реализуемости методики математического развития младших школьников в обучении с гарантированным положительным результатом.

Методологической основой исследования явились фундаментальные положения отечественных и зарубежных методологов, педагогов и психологов о диалектической сущности теории организации педагогической деятельности; теория познания; теория развития систем деятельности; теория развития личности в процессе учебной деятельности; теория гуманизации и гуманитаризации процесса обучения; акмеология педагогической деятельности и др. Теоретической базой исследования явились фундаментальные работы психологов (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, В.А. Крутецкий, Ж. Пиаже, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.), дидактов (Ш.А. Амонашвили, Н.Ф. Виноградова, А.М. Леушина, А.М. Пышкало, В.А. Тестов и др.), по методологии и методике преподавания математики (В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Л.С. Метлина, А.Г. Мордкович и др.), исследования посвященные проблемам совершенствования математического образования в начальной школе (А.В. Белошистая, Н.Б. Истомина, Л.Г. Петерсон, В.М. Туркина и др.).

Методы исследования основаны на теоретическом и практическом подходах: изучение философской и психолого-педагогической и научно-методической литературы; диссертаций, школьных программ, учебников, учебных пособий по математике для учащихся начальной школы; изучение массового и передового опыта; сравнение, обобщение, классификация, синтез психолого-педагогических концепций; педагогическое проектирование и моделирование педагогических систем; наблюдение деятельности учителя и учеников; анкетирование, тестирование, наблюдение, педагогический эксперимент, мониторинговые исследования и анализ их результатов и статистические методы обработки данных; метод экспертных оценок хода эксперимента; беседы с учителями, управленцами, учащимися, родителями; рефлексивный анализ результатов наблюдений и педагогического эксперимента.

На основе анализа научно-методической литературы и практики, а также собственного опыта педагогической деятельности была построена логика исследования, состоящая из четырех этапов, на каждом из которых рассматривалась одна из частных проблем в тесной связи с другими.

Первый этап (1992-1995 г.) Изучение философской, психолого-педагогической, научно-методической литературы, нормативно-программной и учебно-методической документации. Осмысление опыта работы, апробирование первых вариантов разработок по формированию и развитию математического мышления. Это позволило приблизиться к изучаемой проблеме и сформулировать её, определить объем и предмет исследования.

Второй этап (1996-1997 г.) Уточнение гипотезы, изучение многих аспектов проблемы, формирование теоретической модели динамических интеллектуальных игр преследования (ДИП) и методической системы, основанной на изучении задач с ориентацией на конструирование алгоритмических предписаний и построенной на основе логики развертывания понятия на каждом этапе его изучения с учетом возрастных особенностей. Защита кандидатской диссертации на тему «Педагогические условия развития математического мышления детей дошкольного и младшего школьного возраста средствами ДИП» в диссертационном совете при ЯГУ.

Третий этап (1998-2003 г.) Обобщение, изучение и анализ комплекса условий, в результате которых технология в процессе обучения математики приводит к гарантированному положительному результату, развитию математического мышления. Экспериментальная оценка комплекса организационных мер внедрения в практику работы образовательных учреждений концепции математического развития. Опытно-экспериментальная работа по реализации концепции математического развития в процессе обучения в детских садах, начальной школе и 5-6 классах основной школы.

Четвертый этап (2004-2007 г.) Адекватное изменение в концепции и методическом обеспечении математического развития младших школьников по результатам опытно-экспериментальной работы. Апробация результатов исследования. Проведение сравнительного эксперимента и статистическая обработка их результатов и определение их качества и эффективности.

Опытно-экспериментальной базой исследования явились образовательные учреждения Республики Саха (Якутия): на первых двух этапах -

на базе политехнической школы №2 г. Якутска, детских садов №10 «Туллукчаан», №26 «Кустук» г. Якутска, Сырдахского детского сада и детского сада «Кустук» с. Соттинцы Усть-Алданского улуса; начиная с третьего этапа на базе школ №7, №14, №8, №26, №31, частной начальной школе Т.И.Березиной, Национальной гимназии, Дворца детского творчества г. Якутска, школы с. Ой, с. Октемцы, Хангаласского улуса РС(Я) и др., в большинстве детских садов Республики Саха (Якутия).

Научная новизна и основные результаты исследования заключаются в выявлении, моделировании, систематизации и реализации теоретических основ математического развития младших школьников в учебной деятельности на базе разработанных автором концептуальных положений, в соответствии с которыми:

1. Установлена преемственная связь ведущих видов деятельности в дошкольном и младшем школьном периоде жизни ребенка средствами динамических игр преследования (ДИП), путем перехода от игры к решению задач ДИП.

2. На основе модели ДИП установлено соответствие между основными подструктурами математического мышления и его проявлениями на математическом материале: топологической, проективной, порядковой, метрической и алгебраической (композиционной), выявлены доминирующие индивидуально-типологических особенности мышления младших школьников, описанные моделях «направленности ума».

3. Разработаны теоретико-методологические основания концепции математического развития младшего школьника в учебной деятельности на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления школьника и отталкиваясь от них, постепенно преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.

4. На основе разработанной концепции предложена модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

5. Выявлены новые методические особенности организации процесса математического развития младших школьников, ориентированного на формирование самоопределяющейся и самореализующейся личности и основные этапы подготовки учителей к переходу на новую технологию обучения.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем:

· дана характеристика понятия математическое развитие младших школьников в учебной деятельности, которая представляет собой целенаправленное и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных основных показателей и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности;

· осуществлено научное решение проблемы математического развития в обучении на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития;

· в определении динамических игр преследования (ДИП) как средства математического развития младших школьников при переходе из игровой деятельности в учебную деятельность и выявления способных в области математики детей.

· создана системная диагностика решения учебно-воспитательных задач на основе ДИП, которая открывает путь к реализации педагогического мониторинга, обеспечивающего оценку и коррекцию формирования и развития математического мышления младших школьников.

Практическая значимость исследования заключается в его методической направленности, ориентированной на разработку методики математического развития в учебной деятельности, которая может быть использована для различных общеобразовательных учреждений.

Результаты исследования легли в основу разработки технологий обучения математических дисциплин для школ и детских садов, а также института повышения квалификации учителей Республики Саха (Якутия).

Адекватность системы средств и методов мотивационного обеспечения требованиям стимулирования и активизации учебной деятельности, и диалектический характер обучения с мотивационным обеспечением (возникновение и разрешение противоречий), позволяют превращать учебный процесс обучения математике в учебно-исследовательский, с постоянным элементом развития математического мышления и личностного потенциала обучаемых.

Разработанная методическая система математического развития младших школьников позволяет ставить и реализовывать в массовой практике учреждений начального образования задачу развивающего обучения математике преемственного характера в условиях образовательных альтернатив в начальной школе.

По результатам исследований подготовлены и изданы пособия и методические рекомендации для преподавателей вузов, профтехучилищ, техникумов, колледжей и лицеев по вопросам технологии обучения математике; монографии, научные труды, учебные и методические пособия, раскрывающие основные подходы, пути и средства математического развития в учебной деятельности.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Концепция математического развития ребенка младшего школьного возраста, основные положения которой формулируются следующим образом:

а) В качестве исходного понятия для математического развития младших школьников выделяется понятие учебно-математической деятельности, которая должна характеризоваться совокупностью взаимосвязанных основных компонентов и качеств математического мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности. В процессе всей учебно-математической деятельности в школе должны формироваться такие мыслительные действия, как анализ, планирование, рефлексия, которые обеспечивают овладение обобщенными способами решения математических задач.

г) Необходимо различать уровни мышления отдельно в области геометрии и отдельно в области алгебры (арифметики). Развитие учеников от одного уровня к другому включает следующие обязательные пять стадий изучения: математическая информация, управляемая ориентация, свободная ориентация, понимание, интеграция. Следование по уровням развития мышления и стадиям изучения позволяет преодолевать одну из причин, вызывающую трудности в освоении математики - несоответствие уровня представлений, которые используются в преподавании, и уровня представлений, на котором в данный момент находится ученик.

в) Процесс математического развития младшего школьника в учебной деятельности окажется более эффективным, если система методов формирования и развития мышления младших школьников в обучении математике будет базироваться на развитии у ребенка доминирующих индивидуально-типологических особенностей мышления, и, отталкиваясь от них, постепенно будет преодолевать специфически слабые черты его математического мышления.

г) Установление преемственных связей на основе единого концептуального подхода к построению методологии и содержания математического образования ребенка младшего возраста должна обеспечить непрерывность математического развития и саморазвития личности ученика в процессе деятельности.

2. Модель управления учебной деятельностью через методику формирования интеллектуальных способностей учащихся на основе доминирующих индивидуально-типологических особенностей математического мышления в условиях группового обучения, позволяющей учителю находится «за» детьми и создать им возможность для самостоятельного «присвоения» знаний и движения в индивидуальной для каждого зоне ближайшего развития.

Для успешной реализации данной модели первый акцент сделан на развитии сквозных математических умений: умение строить идеальные объекты, умение оперировать идеальными объектами, умение моделировать, умение обобщать, умение обосновывать, умение рассуждать и доказывать математические утверждения.

Второй акцент сделан на формирование общих умений: умение использовать свои знания в нестандартных ситуациях, самостоятельность и инициативность детей в выборе необходимых средств для решения учебной задачи; умение добывать знания, желание выполнять любую задачу творчески; умение осознавать свое незнание, находить причину сделанной ошибки, самостоятельность в оценке процесса и результата решения учебной задачи.

На основе этой модели теоретически доказана возможность целенаправленного математического развития младших школьников в учебном процессе.

3. Методическое обеспечение подготовки учителей начальных классов в педагогическом вузе к осуществлению математического развития ребенка младшего школьного возраста, представляющее собой целостную методическую систему обучения студентов, разработанную на уровне требований, предъявляемых к модели управления учебной деятельностью. Сохранение преемственности и непрерывности изучения математики в педагогическом вузе улучшает качество подготовки учителей начальных классов.

4. Методическое обеспечение повышения квалификации учителей начальных классов в отношении математического развития ребенка, что существенно повысит уровень их методической компетентности и сделает процесс математического развития школьников преемственным и более эффективным.

Достоверность и обоснованность результатов исследования достигнута логической структурой построения научно-исследовательской деятельности по построении концепции математического развития в учебной деятельности и диагностике процесса обучения математике; методологической обоснованностью теоретических положений, опорой на комплексно-системный, личностно-деятельностный и дифференциро-ванный подход, обеспечивающий программно-целевую направленность в реализации поставленных задач; пролонгированным характером проведенной работы, репрезентативностью объема выборок (более 2000 обучаемых), сочетанием рангового, факторного и дисперсионного анализов, возможностью репродукции опытно-экспериментальной работы и сопоставления данных исследований с массовым педагогическим опытом и результатами работ, имеющих другую целевую установку, а также многолетним личным опытом исследователя.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались автором на международных, всероссийских, республиканских, городских научно-практических конференциях, совещаниях, семинарах, организуемых Минобразованием РФ, РАО, ВУЗами в период с 1992 по 2007 гг. Вологда (2007), Воронеж (2003), Красноярск (2003), Москва (1997, 2005, 2007), В.Новгород (2007), Н.Новгород (2005), Новосибирск (1997), Париж (1996, 2007), С-Петербург (1992), Томск (2001), Улан-Удэ (2000, 2005), Якутск (1992-2007), Ярославль (2005) и др.

Авторская концепция математического развития младших школьников занимала призовые места в конкурсах методических разработок разного уровня. (Новосибирск - 1997, Золотая медаль «Сибирской Ярмарки»; Париж - 2001, Международная Федерация по развивающему обучению и игровой педагогике ФИДЖИП (FEDERATION INTERNATIONALE DU SYSTEME JIP); Якутск - 2003, 2007 Якутский государственный университет). Комплексная программа ДИП «Сонор» по формированию математического мышления рекомендована для внедрения с 1995 г. в практику работы дошкольных образовательных учреждений, школ и учреждений дополнительного образования Министерством образования Республики Саха (Якутия), а спецкурс «Педагогические основы обучения ДИП Сонор» включен в учебные планы (национально-региональный компонент) педагогических специальностей Якутского государственного университета, Саха государственной педагогической академии и Института повышения квалификации работников образования РС (Я), изданы специальные учебные пособия, методические указания и задачники для слушателей факультета.

Результаты исследования докладывались на научных семинарах Института математики и информатики Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова, Факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Факультета прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербурского государственного университета, на Колмогоровских и Ломоносовских чтениях.

Внедрение работы. Результаты исследования внедрены в систему подготовки специалистов Якутского государственного университета (с 1997), Саха государственной педагогической академии (с 2004) и в работу Института повышения квалификации работников образования РС (Я) (с 2003), Вилюйского педагогического лицея (2004), Дворца детства и детского творчества г. Якутска (с 1997), в ряде школ и в большинстве детских садов Республики Саха (Якутия) (с 1995).

Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка из 359 наименований. Объём диссертации составляет 356 страниц машинописного текста.

Основное содержание работы.

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы объект, предмет, научная проблема, основная цель и вытекающие из нее конкретные задачи и методы, представлены гипотеза исследования, его методологическая основа и научная новизна, определены теоретическая и практическая значимость, положения, которые выносятся на защиту, этапы опытно-экспериментальной работы и апробация исследования.

В первой главе «Теоретико-методологические основы развития математического мышления младших школьников» основываясь на анализе психолого-педагогической литературы по проблеме формирования и развития мышления детей, выделены принципиальные позиции, определившие подход к изучению темы и организации опытно-экспериментальной работы; дано определение математическому мышлению в аспекте конкретных целей обучения; адаптированы критерии развития математического мышления к выбранному направлению; определены показатели сформированности математического мышления и пути его формирования.

Сначала в параграфе 1.1. «Проблема формирования и развития мышления младших школьников в психолого-педагогической литературе» проанализированы философские, психолого-педагогические труды, рассматривающие вопросы формирования и развития мышления человека.

Мышление рассматривается как продукт исторического развития общественной практики, как особая теоретическая форма человеческой деятельности. Одной из первых теорий стало ассоциативное направление, представители которого основой мышления считали ассоциацию. Основоположниками этой теории были Д. Гартли, Д. Локк, П. Пристли. Выступая против ассоцианизма, представители Вюрцбургской школы (О. Кольпе, А. Майер, К. Бюлер и другие) подчеркивали качественное своеобразие процессов мышления, видели специфичность мыслительной деятельности в наличии несенсорных, неосознаваемых компонентов мышления, рассматривали процесс мышления как «чистый» акт. Вопросы, связанные с процессом мышления, получили своеобразное истолкование в теории бихевиоризма (Э. Торндайк, Д. Дьюи, Д. Берлайн и др.). Мышление у бихевиористов рассматривалось как система реакций организма на внешние стимулы.

Своеобразный взгляд на природу мышления представлен в работах гештальтпсихологов. Возникнув в ХХ веке, гештальтпсихология объединила в свои ряды психологов разных стран. Концепцию гештальтизма разделяли М. Вертгаймер, К. Дункер, Л. Секей и другие. В основу своей теории гештальтисты положили представления о целостных образованиях, формах (или гештальтах). Выдвинув принцип структуры в качестве основного механизма мыслительной деятельности, эта теория всю динамику процесса мышления свела к смене содержания мысли, т.е. содержание мышления подменялось изучением продуктов мыслительной деятельности.

В отечественной психологии предприняты многочисленные попытки рассмотрения внутренней мыслительной деятельности, приводящей к решению задач. Большой вклад в изучение закономерностей мышления внесли видные психологи П.П. Блонский, Д.Н. Богоявленский, А.В. Брушлинский, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер, З.И. Калмыкова, А.Н. Леонтьев, Н.А. Менчинская, Я.А. Пономарев, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Талызина и другие.

Значительный вклад в разработку теории обучения и умственного развития учащихся внесли П.П. Блонский и Л.С. Выготский. Выявленные Л.С. Выготским уровни умственного развития (уровень актуального развития и зона ближайшего развития) позволили выдвинуть очень важный тезис о том, что «правильно организованное обучение ведет за собой детское умственное развитие» Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. - М.: АПН РСФСР, 1956. - 519 с..

В параграфе 1.2. рассмотрены «Теоретические основы формирования и развития математического мышления младших школьников».

Исследования многих отечественных и зарубежных психологов показывают, что без целенаправленного развития математического мышления, являющегося одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности, невозможно достичь эффективных результатов в обучении, систематизации знаний, умений и навыков. К сожалению, единого мнения по вопросу определения понятия математического мышления в психолого-педагогической и методической литературе нет. При характеристике математического мышления возникают сложные вопросы о взаимосвязи этого понятия с понятиями «мышление вообще» и конкретными «видами мышления».

Одни исследователи считают, что математического мышления как такового, обладающего своими специфическими формами мыслительных действий, нет; своеобразие такого мышления связано, по их мнению, лишь с характером собственно математического материала. Таким образом, представители первого подхода отрицают специфику математического мышления (З.И. Слепкань, Л.С. Трегуб, Г. Фрейденталь и др.).

Второй подход представлен исследованиями Ж.Пиаже и его сторонников (мышление как «биологический процесс»). Согласно Ж.Пиаже, под математическим мышлением понимается собственно логико-математическое мышление, имеющее абстракции, так называемые «абстракции действия». Теория Пиаже включает в себя два основных компонента: учение о функциях интеллекта и учение о стадиях развития интеллекта. Развитие детского мышления понимается как смена соответствующих стадий и описывается Пиаже с помощью понятий логики и математики. Пиаже Ж. Речь и мышление ребенка / Пер. с франц. - М.; Л.: Уч-педгиз, 1932. - 410 с.

Третий подход представлен исследованиями Л.Б. Ительсона, И.Я. Каплуновича, Д. Нормана, В.А. Тестова, М.А. Холодной и др. о структуре мышления. В когнитивной психологии считается установленным фактом, что информация хранится в памяти преимущественно не в виде непосредственных слепков того, что было воспринято, а в виде более или менее обобщенных продуктов умственной переработки воспринятого - репрезентативных когнитивных структур или когнитивных схем. В процессе обучения структуры претерпевают изменения. В зависимости от характера этих изменений выделяются четыре различные формы научения: наращивание структур, создание структур, настройка структур (Д. Норман), перестройка структур (Л.Б. Ительсон, В.А. Тестов).

Несколько иная точка зрения о структуре мышления приводится в исследованиях психолога И.Я. Каплуновича. Согласно его модели, структура математического мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур: «топологической», «порядковой», «метрической», «композиционной» («алгебраической») и «проективной» кластеров. Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека существуют не автономно, не изолированно, не равнозначны и не рядоположны, а пересекаются и находятся в определенной зависимости, иерархии по степени значимости и представительности в интеллекте. В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита. Эту модель структуры мышления мы назовем «направленностью ума».

Сторонники четвертого (самого распространенного) подхода (Ж. Адамар, А.Я. Хинчин, С.И. Шварцбурд, А. Пуанкаре и др.) математическое мышление характеризуют как абстрактное, логическое, обладающее способностью к формализации, обобщению, пространственным представлениям и др., т.е. наделяют качествами, которые фактически определяют характеристику мышления не только в математической, но и в любой другой предметной области. Среди характерных черт математического мышления выделяют абстрактность, широту, глубину, гибкость и другие качества.

Представители пятого подхода связывают «математическое мышление» с понятиями «способности» и «обобщения» (Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, В.А. Крутецкий и др.). В исследовании В.А. Крутецкого были обнаружены два способа обобщения: постепенное обобщение, когда учащийся приходит к обобщению в результате длительного решения однотипных задач, а также обобщение «с места», когда учащийся обобщает способ решения на основе анализа решения одной задачи, «…не испытывая затруднений, без помощи экспериментатора, без специальной тренировки в решении однотипных задач». Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 431с.

Сторонники шестого подхода считают, что математическое мышление является мышлением теоретическим и имеет такую же последовательность становления от эмпирического к аналитическому, к планирующему, рефлексирующему мышлению (Р. Атаханов, В.В. Давыдов, Ле Тхи Кхань Кхо, Л.К. Максимов и др.). Л.К. Максимовым были разработаны методики, позволяющие выявить особенности проявления на математическом материале таких мыслительных действий, как анализ, рефлексия, планирование. Р. Атаханов выделил следующие уровни развития математического мышления: эмпирический уровень; уровень анализа; уровень планирования; уровень рефлексии. (Данный уровень и является теоретическим, собственно математическим мышлением) Атаханов Р. Уровни развития математического мышления / Под ред. В.В.Давыдова. - Душанбе, 1993. - 174 с..

Таким образом, мышление как процесс, характеризующий активность личности, получает свое наибольшее развитие в деятельности. При изучении математики такой деятельностью является процесс решения учебных задач, т.е. процесс непрерывного взаимодействия познающего субъекта с познаваемым объектом.

Под математическим мышлением мы будем понимать процесс опосредованного отражения в человеческом сознании количественных отношений и пространственных форм действительного мира; познавательную деятельность личности, характеризующуюся обобщенным и опосредованным отражением действительности. Математическое мышление связывает теорию и практику, конвергентный и дивергентный типы мышления, и характеризуется оригинальностью и изобретательностью.

Математическое мышление является составной частью мышления вообще. Тем не менее, оно обладает некоторыми особенностями, прежде всего связанными с особенностями отражения математикой реальной действительности. Математика, абстрагируясь от конкретного, обладает высокой степенью общности за счет построения многоступенчатых абстракций. Формирование этих абстрактных конструкций оказывает решающее влияние на развитие мышления учащихся, так называемого «абстрактного мышления». Это та категория мышления, без учета которой невозможно научить учащихся приложениям математики. Следующей особенностью математического мышления является строго детерминированное построение его логического аппарата, при этом методы рассуждения (аналогия, индукция и т.д.), т.е. так называемые эвристические методы, являются в математике лишь вспомогательными средствами. В математике тот или иной факт либо доказывается с исчерпывающей обоснованностью, либо беспощадно отбрасывается. Такие жесткие требования в некоторых случаях путают детей, и сложность состоит в постоянном приучении их к полноте и обоснованности аргументации.

Для создания модели, на основе которой обучение и математическое развитие может быть организовано заведомо эффективно, необходимо решить следующие задачи:

1) дать определение математического мышления в аспекте отдельных конкретных целей обучения;

2) адаптировать критерии развития математического развития;

3) определить показатель сформированности математического мышления;

4) Разработать модель развития математического мышления в обучении.

Эти задачи рассматриваются в параграфе 1.3 «Критерии и уровни развития математического мышления младших школьников».

Анализ психолого-педагогической литературы свидетельствует о том, что в процессе обучения школьники не только усваивают определенные знания, но и совершенствуют свои умственные способности. Однако из этого правильного положения выдвигаются далеко не одинаковые критерии развития мышления. Одни исследователи называют лишь один-два критерия в качестве ведущих, другие приводят серию критериев, но не выделяют из них наиболее важные, третьи вместо критериев формулируют требования к развитию мышления и т.п. Например, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий и др. критериями развития математического мышления учащихся считают следующие компоненты математического мышления: глубина; гибкость; обобщенность; самостоятельность; критичность; рациональность; пространственное воображение; логическое рассуждение.

В процессе учебной деятельности должны формироваться такие мыслительные действия, как анализ, планирование, рефлексия, которые обеспечивают овладение обобщенными способами решения задач. Выделяются соответственно следующие уровни развития математического мышления у детей младшего школьного возраста в соответствии со степенью овладения указанными выше мыслительными действиями: репродуктивный, продуктивный, творческий. Р.А. Атахановым установлено, что уровни развития математического мышления не могут предварять уровни развития мышления «вообще». Самый высокий уровень математического мышления ограничивается уже сформировавшимся уровнем развития мышления «вообще».

Отметим, что математическое мышление может развиваться не только в деятельности учащихся - а основной возможностью для математической деятельности учащихся является решение задач - но и в процессе общения (М.М. Бахтин, В.С. Библер), в результате широкого использования в обучении математической речи (Л.М. Фридман).

В области геометрии, следуя модели П.-Х. Ван Хиле, выделяют пять уровней мышления: визуальный; аналитический; неформальная дедукция; формальная дедукция; строгость. В области алгебры (арифметики) также различают пять уровней мышления. Первые два уровня характерны для учащихся младших классов, третий уровень - для учащихся средних классов и четвертый - для учащихся старших классов. Современной науке соответствует пятый уровень.