116

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

Киров, 2008

Содержание

• Содержание
• Введение
• Глава 1. Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы
• 1.1 Особенности обучения математике в рамках профильной школы
• 1.1.1 Профильная школа как составляющая модернизации российского образования
• 1.1.2 Роль и место математики в профилях различных направлений
• 1.2 Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»
• 1.2.1 Анализ содержания учебных пособий для средней школы по линии «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»
• 1.2.2 Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в профилях различных направлений
• Глава 2. Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы
• 2.1 Особенности преподавания в классах различных профилей
• 2.2 Методика обучения школьников основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в профильных классах
• 2.3 Опытное преподавание
• Заключение
• Библиографический список
• Приложение
• Введение
• На ушедший XX век пришлось бурное развитие и внедрение теории вероятностей, математической статистики и их приложений в различные области научной и практической деятельности человека, которое продолжается и в настоящее время. Оказалось, что вероятностно-статистические представления, методы, с точки зрения современной науки, являются наиболее эффективными средствами познания и моделирования природных и социальных явлений, процессов, объектов и их характеристик. Современное естествознание исходит из представлений, согласно которым все явления природы носят статистический характер, а ее законы могут получить достаточно полную и точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Астрономия использует эти идеи в исследовании распределения материи в пространстве, потоков космических частиц, распределения во времени и на поверхности Солнца пятен и т.д. Биология привлекает вероятностные идеи для изучения передачи возбуждения, устройства памяти, передачи наследственных свойств, расселения животных на территории, взаимоотношений хищника и жертвы и т.д. Статистические методы успешно используются в исторических исследованиях, в археологии, для расшифровки надписей на древних языках.
• Содержание школьного математического образования, как известно, отражает содержание и уровень развития современной математической науки и выражает общественную потребность в подготовке подрастающего поколения на необходимом математическом уровне.
• Мысль о введении элементов теории вероятностей в школьное образование была высказана еще ее основателем Пьером Лапласом. В 1814 году он писал, что «... нет науки более достойной наших размышлений, и было бы полезно ввести ее в систему народного образования».
• Необходимость введения вероятностно-статистического содержания в отечественное школьное образование обусловлена их образовательной и мировоззренческой ценностью, что неоднократно подчеркивалось отечественными учеными и педагогами. Академик Б. В. Гнеденко, подчеркивая значимость теории вероятностей и математической статистики, обращал внимание на то, что «важно в детстве или ранней юности знакомить будущих граждан со статистическими концепциями, как с большим разделом науки, позволяющим шире подходить к разысканию закономерностей в явлениях природы».
• Но внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.
• Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.
• В соответствии с основными направлениями модернизации российского образования в содержание школьного математического образования внесены изменения - впервые введены в курс основной и средней школы элементы теории вероятностей и статистики. Изучение данного курса определяется Государственным стандартом математического образования и является обязательным.
• С 2003-2004 учебного года началось повсеместное преподавание в основной школе общеобразовательных учреждений элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Изучение данного курса осуществляется в соответствии с письмом Министерства образования Российской Федерации от 23.09.2003 г. «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы». Введение в практику обучения этого нового материала требует нескольких лет и нуждается в накоплении методического опыта.
• Таким образом, актуальность темы данной работы обусловлена:
• · необходимостью повышения интереса учащихся к математике, развития вероятностной интуиции и статистического мышления;
• · недостаточной разработанностью методики обучения элементам комбинаторики, теории вероятности и математической статистики.
• Цель работы: изучить особенности профильной дифференциации, разработать методику проведения элективного курса по теме «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в рамках профильной школы и апробировать ее на учащихся одного из профилей.
• Объект исследования - процесс обучения математике в рамках профильной школы.
• Предмет исследования - изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики на занятиях элективного курса в рамках профильной школы.
• При исследовании исходим из гипотезы, что изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в рамках профильной школы будет способствовать повышению познавательного интереса учащихся к математике, формированию вероятностно-статистических представлений.
• Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы можно выделить следующие задачи:
• · Рассмотреть модели профильной дифференциации в обучении математике.
• · Выявить психолого-педагогические особенности учащихся различных профилей.
• · Определить содержание и структуру материала по теме «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики» в школьном курсе математики.
• Для реализации данных задач используются следующие методы:
• · Изучение стандарта образования по данной теме.
• · Изучение психолого-педагогической и методической литературы по данной теме.
• · Анализ школьных учебников, выявление преимущества тех или иных учебных пособий.
• · Опытное преподавание.

Глава 1. Теоретические аспекты обучения основам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в рамках профильной школы

1.1 Особенности обучения математике в рамках профильной школы

1.1.1 Профильная школа как составляющая модернизации российского образования

Профильное обучение и предшествующая ему предпрофильная подготовка - это две главных части одной системы - подготовки школьников к осознанному выбору своего профессионального пути. Они становятся главными, поскольку определяют конкретику выбора. Остановившись на том или ином варианте обучения, старшеклассник направляет основные образовательные усилия на освоение тех дисциплин, которые определяются как профильные. Но для того, чтобы «остановиться» на каком-то профиле в старшей ступени, необходимо «самоопределиться» гораздо раньше - перед окончанием основной ступени, то есть в 9-м классе.

Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более плотно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

Нормативная база по организации профильного обучения в школе:

· Приказ Министерства образования РФ «Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» № 2783 от 18.0702;

· Приказ Министерства образования РФ № 3506 от 09.09.03;

· Постановление Правительства РФ «О проведении эксперимента по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях, реализующих программы среднего (полного) общего образования» № 334 от 09.06.03;

· Приказ Министерства образования РФ «Об утверждении плана-графика мероприятий по подготовке и введению профильного обучения на старшей ступени общего образования…» № 2757 от 26.06.03;

· Письмо (с приложением) Министерства образования РФ № 03-51-157 ин/13-03 от 20.08.03.

В Постановлении Правительства РФ № 334 от 09.06.03 указано: «1. Принять предложение Министерства образования Российской Федерации, согласованное с заинтересованными федеральными округами исполнительной власти и органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации, о проведении в 2003/04, 2004/05 и 2005/06 учебных годах эксперимента по введению профильного обучения учащихся в общеобразовательных учреждениях, реализующих программы среднего (полного) общего образования (далее именуется - эксперимент), для создания системы специализированной подготовки (профильного обучения) учащихся в старших классах общеобразовательной школы, апробации нового содержания и форм организации учебного процесса с учетом потребностей рынка труда и обеспечения сознательного выбора учащимися будущей профессии».

Попытки такой организации образования принимались в России и раньше - по крайней мере, с середины XIX века.

Функционально наиболее удачным оказался самый простой и самый первый проект, в ходе которого в 1864 году произошло дифференцирование среднего образования. Именно тогда появляется классическая гимназия и реальная школа. Первая целенаправленно готовила к поступлению в университет, вторая - ориентировала на практическую деятельность и поступление в специализированные учебные заведения. Специализация учащихся начиналась очень рано - в первом классе, что было со временем признано ошибочным, так как по данным социологических опросов, проведенных Центром социологических исследований Минобразования России, профессиональное самоопределение в основном складывается в 9 классе.

Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки реформы образования в 1915-1916 гг., осуществлявшейся под руководством министра просвещения П.Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4-7 классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную. Однако в связи с отставкой министра реформа не была проведена.

В 1918 году советским правительством было принято «Положение о единой трудовой школе», среди прочего предусматривающие профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. Были выделены три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое. После долгих педагогических экспериментов, не оправдавших возлагаемых на них надежд, было решено вернуться к общеобразовательной школе и классно-урочной системе занятий.

В 1958 году на заседании Академии педагогических наук с докладом «О введении фуркации в старших классах средней школы» выступил профессор Н. К. Гончаров. Он отметил недостатки сложившейся системы обучения и предложил организовать дифференцированное обучение старшеклассников. Предполагалось создание следующих четырех отделений: физико-технического, химико-технического, естественно-агрономического и гуманитарного. Однако проект осуществлен не был.

В 1966 году были введены две формы дифференциации содержания образования по интересам школьников: факультативные занятия 8-10-х классах и школы (классы) с углубленным изучением отдельных предметов. Факультативные занятия на какое-то время прижились в школе, хотя их введение сопровождалось определенными трудностями.

В конце 1980-х - в начале 1990-х годов в стране появились новые виды общеобразовательных учреждений (лицеи и гимназии), ориентированные на углубленное обучение школьников по избираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе. Также многие годы успешно существовали и развивались специализированные (профильные) художественные, спортивные, музыкальные и другие школы.

Таким образом, отечественная школа имеет некоторый опыт массового дифференцированного обучения, а также весьма богатые традиции «элитарного» профильного обучения - ориентированного на небольшую по численности группу способных учащихся.

Переход к профильному обучению преследует следующие основные цели:

· обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

· создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и глубокими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

· способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

· расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

При реализации профильного обучения перед большинством руководителей встают вопросы: «Что должно измениться в структуре образовательного процесса? Какие изменения должны произойти в его содержании? Как организовать учебный процесс, чтобы учесть интересы, склонности и способности учащихся? Какие условия дополнительно к имеющимся следует создавать, а от каких - отказываться? Из каких оснований (критериев) следует исходить, собирая учеников по тем или иным профилям? Что должна содержать структура предпрофильной подготовки? Как оценивать учебные достижения школьников в условиях предпрофильной и профильной подготовки? Как строить учебный план в условиях перехода к профильной подготовке?»

В рекомендациях Министерства образования директорам школ, руководителям региональных и муниципальных управлений образованием, участвующих в эксперименте по предпрофильной подготовке (2003/04 уч. г.) отмечается, что «узловые сроки процесса перехода определяются следующим. В соответствии с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» и Распоряжением Минобразования России «Об утверждении плана-графика введения профильного обучения на старшей ступени общего образования», переход на профильное обучение должен начаться с 2005/06 учебного года, чему будет предшествовать, с 2004/05 учебного года - введение в школах предпрофильной подготовки в 9-х классах».

Органам управлениям образованием субъектов Российской Федерации Министерство образования РФ предложило разработать и принять собственные региональные программы введения профильного обучения, учитывающие специфику региона - на основе примерной («модельной») программы, предложенной федеральным министерством в 1-м полугодии 2003г. В этих региональных программах получили отражение конкретные количественные показатели самого процесса перехода (доли профильных и непрофильных «универсальных» школ и классов, функционирующих в регионе в ближайшей и среднесрочной перспективе, структура мероприятий по повышению квалификации учителей региона, пути реструктурирования муниципальной образовательной сети и т.д.).

Решение о введении в той или иной школе профильного обучения (создание тех или иных профильных классов, равно как и решение о превращении всей школы старшей ступени в профильную, - однопрофильную или многопрофильную) должен принимать учредитель по представлению от администрации и органа самоуправления конкретной школы.

Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система включает в себя курсы следующих типов: базовые общеобразовательные, профильные общеобразовательные и элективные курсы [3].

Базовые общеобразовательные курсы - курсы федерального и регионального компонента, обязательные для всех учащихся во всех профилях обучения. Набор этих курсов должен быть функционально полным (с точки зрения реализации задач общего образования), но минимальным. Безусловно, набор базовых общеобразовательных курсов, обеспечивающих минимальный уровень общего образования для каждого старшеклассника должен отражать наиболее значимые цели, задачи, функции общего образования.

В «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» [1] предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных курсов (образовательных областей): математика, русский язык и литература, иностранный язык, история, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания для естественно-математического, технологического профилей, естествознания - для гуманитарного, филологического, социально-экономического профилей.

При определении содержания базовых общеобразовательных курсов должно в равной мере учитываться мнение специалистов по этому учебному предмету и мнение специалистов по другим предметам (межпредметные связи, оценка общеобразовательной значимости учебного материала с позиций содержания образования в целом, а не только потребностей, внутренней логики построения каждого отдельного учебного предмета).

Профильные общеобразовательные курсы - курсы повышенного уровня (фактически углубленные курсы для старшей ступени школы), определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология - профильные курсы в естественнонаучном профиле; литература, русский и иностранные языки - в филологическом профиле; право, экономика и другие - в социально-экономическом профиле и т.д.

Имеются две важные характеристики профильных курсов. Во-первых, в их состав входят курсы, углубляющие содержание базовых общеобразовательных предметов. Во-вторых, на профильном уровне базовые предметы (образовательные области) могут быть представлены совокупностью отдельных профильных курсов. Например, образовательная область «Естествознание» на профильном уровне может быть представлена совокупностью естественнонаучных курсов - физики, химии, биологии, физической географии. Обществознание - курсами экономики, права, социологии, культурологии и так далее.

Содержание каждого из базовых и профильных курсов должно определяться стандартом, а их недельный объем - федеральным базисным учебным планом.

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов удовлетворения разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Эта роль элективных курсов в системе профильного обучения определяет широкий спектр их функций и задач.

По назначению можно выделить несколько типов элективных курсов.

Элективы первого типа могут являться «надстройкой» профильных курсов и обеспечить для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения того или иного учебного предмета.

Элективные курсы второго типа должны обеспечить межпредметные связи и дать возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне. Примером таких элективных курсов могут служить курсы: «Основы теории вероятностей и математической статистики» для школьников, выбравших экономический профиль, «Компьютерная графика» для индустриально-технологического профиля или «Геометрия архитектурной гармонии» для гуманитарного профиля.

Третий тип элективных курсов поможет школьнику, обучающемуся в профильном классе, где один из учебных предметов изучается на базовом уровне, подготовить к сдаче ЕГЭ по этому предмету на повышенном уровне.

Четвертый тип элективных курсов может быть ориентирован на приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда, например: «Делопроизводство», курсы по подготовке к работе в сфере обслуживания и т.п. В свою очередь, познавательные интересы у многих старшеклассников часто могут выходить за рамки традиционных школьных предметов, распространяться на области деятельности человека вне круга выбранного ими профиля обучения. Это определяет появление в старших классах элективных курсов, носящих «внепредметный» или «надпредметный» характер. Примером подобных курсов могут служить такие элективные курсы, как «Основы правильного питания», «Начальные курсы автолюбителя» и т.п.

Число элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно превышать количество таких курсов, которые обязан выбрать учащийся.

В «Концепции профильного обучения» было заложено примерное соотношение объемов базовых, профильных и элективных курсов: 50% - 30% - 20%.

К настоящему времени уже сложились четыре основные модели организации профильного обучения.

1) В рамках одного общеобразовательного учреждения действуют несколько профильных классов. Эта модель начала складываться еще в 1990-е гг.

2) Организация однопрофильных школ старшей ступени, то есть учащиеся 10-11-х классов готовятся по одному и единому для всех профилю. Постепенно формируются новые типы образовательных учреждений - школы третей ступени.

3) Профильное обучение на основе индивидуальных учебных планов учащихся. На старшей ступени учащимся предлагается несколько учебных курсов независимо от того, связаны ли они общей направленностью. Можно выбрать и математику, и литературу одновременно, что позволяет под одно определение подвести название профиля для такого ученика. Эти школы работают по сложному расписанию.

4) Сетевое взаимодействие школ. Этот вариант наиболее характерен для сельских образовательных учреждений. Учащимся предлагается выбрать учебный курс не только в школе, но и за ее пределами. Иными словами, ученик получает образование фактически в нескольких учебных заведениях, а часть курсов осваивает дистанционно.

Таким образом, можно судить, что профильное обучение не есть синоним просто стихийного количественного роста вариативности и степени его дифференциации в старших классах. В действительности, профильное обучение будет по преимуществу развертываться в определенных структурных формах - в отношении конфигурации содержания образования такой ведущей структурой, «матрицей» становится профиль, а в отношении институциональной организации обучения - профильная школа и профильный класс.

Общеобразовательное учреждение может стать однопрофильным (реализовывать только один избранный профиль) и многопрофильным (организовывать несколько профилей обучения). В Концепции предполагается и сохранение непрофильных старших школ и классов.

1.1.2 Роль и место математики в профилях различных направлений

Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих школьников. В тоже время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

В преподавании математики накоплен определенный опыт дифференцированного обучения. Он относится в основном к обучению сильных школьников. Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций интересующихся математикой учащихся и по отношении лишь к старшему звену школы. Ориентация на личность ученика требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала потребности всех школьников - не только сильных, но и тех, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы лежат в других областях.

Дифференциация затрагивает все компоненты методической системы обучения и все ступени школы. Она может проявляться в двух основных видах: уровневая и профильная дифференциация. Первый выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Второй вид дифференциации - это дифференциация по содержанию. Она предлагает обучение разных групп школьников по программам, отличающимся глубиной изложения материала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Основная школа является обязательной, старшая школа - профильной.

В последнее время привлекает внимание методистов и учителей идея становления отечественной профильной школы. Профильная школа не является профессиональной, ее задача - дать общее среднее образование с ориентацией на некоторую сферу деятельности, к которой данные группы учащихся имеют большую склонность.

Теоретические и экспериментальные исследования позволили сформулировать общие требования к формированию содержания математического образования и построению учебно-методического комплекса, реализующего профильную дифференциацию обучения математике в общеобразовательной школе:

· изучение математики является обязательным для профильной средней школы любого направления;

· в программу по математике должны включаться дополнительные разделы, полезные для применения в будущей профессии;

· содержание математики имеет некоторое общее ядро;

· все виды пособий по математике для учащихся различных направлений должны иметь качественные различия по методическим подходам, языку, системам упражнений.

В 10-11-х классах дифференциация образования приобретает систематический характер. Математика входит в число обязательных учебных предметов, однако она может иметь разный удельный вес в общеобразовательной подготовке ученика по времени, отводимого на ее изучение, а также по глубине и охвату рассматриваемого материала. В соответствии с общими целями обучения математике выделяются разделы, общие для всех профилей обучения: числа, уравнения, функции и их графики, геометрические величины и их измерения, начало теорий вероятностей и статистики.

В зависимости от той роли, которую математика может играть в образовании человека, выделяют два типа школьных курсов для завершающей ступени школы: курс общекультурной ориентации (курс А), рассчитанный на учащихся, склонных рассматривать математику только как элемент общего образования и не предполагающих использовать ее непосредственно в своей будущей профессиональной деятельности, и курсы повышенного типа, обеспечивающие дальнейшее изучение математике и ее применение в качестве элемента профессиональной подготовки.

Целесообразно выделить два основных курса повышенного типа. Первый из них (курс В) предназначен для учащихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, специфического средства для изучения закономерности окружающего мира. Второй (курс С) ориентирован на тех учащихся, для которых математика является одной из основных целей познаний.

Таким образом, для старшей ступени школы целесообразно наличие трех основных математических курсов - А, В, С, которые призваны предоставить каждому ученику возможность изучать математику на уровне, соответствующем его интересам, способностям, склонностям. Этих трех курсов достаточно для преподавания математики по профилю любого направления.

Курс А может быть выбран теми учащимися, которых интересует, например, языки, искусство, художественное творчество, спорт или предметно-практическая деятельность, то есть работа парикмахера, повара, косметолога. Они рассматривают математику как элемент общего образования и не предполагают использовать ее непосредственно в своей деятельности. Специфической особенностью курса А должна быть явно выраженная гуманитарная направленность, то есть специальная ориентация на умственное развитие человека, на знакомство с математикой как с областью человеческой деятельности, на формирование тех знаний и умений, которые необходимы для свободной ориентации в современном мире.

Однако при этом курс А не должен сводиться к «прогулкам по саду математики». Преподавание по курсу А должно опираться на традиционные для школьного курса разделы. Обязательные требования по усвоению курса А фактически должны совпадать с базовым уровнем математической подготовки выпускников средней школы.

Нельзя согласиться с той точкой зрения, согласно которой преподаванию математики в нематематических классах отводится лишь второстепенная роль. Наоборот, значение математического образования в этих класса должно быть не только не меньше, но даже и больше, чем в классах математических. Ведь учащиеся гуманитарных классов завершают в средней школе свое математическое образование. Они не смогут в будущем осознать философию математики, увидеть ее историю, как это сделает другая часть молодежи, изучая математику в вузах. В программах по математике для гуманитарных классов больше места должны занимать вопросы мировоззренческого характера, факты из истории математики, описания ее приложений в различных областях ее деятельности. Ведь математика по своей сути является гуманитарным предметом, призванным всесторонне развивать личность ученика, отшлифовывать логику его рассуждений и научить правильно ориентироваться в окружающей обстановке. Использование гуманитарного потенциала математики, ее межпредметных связей с профильными предметами позволит школьникам глубже уяснить содержание последних, а тем самым превратить ее из второстепенного в существенно важный и полезный предмет.

Курс В ориентирован на учащихся с научным стилем мышления, выбравших для себя профили естественно-научных и научно-гуманитарных направлений: химический, биологический, географический, исторический, социологический, экономический и другие. Заметим, что математизация соответствующих наук касается лишь отдельных их областей, в основном наиболее современных, тогда как другие области практически не используют математических знаний. Поэтому курс В должен быть построен с учетом того, что математика для учащихся указанной категории является хотя бы необходимым, но и не самым важным предметом. Этот курс должен обеспечивать овладение конкретными математическими знаниями, позволяющими, в частности, выработать представления о применении в математике в профилирующей науке и достаточными для изучения математики в вузе соответствующего направления.

Заметим, что можно было бы ставить вопрос о разделении курса В на два в соответствии с особенностями процесса математизации в естественно-научных и научно-гуманитарных областях знаний. Сущностью математизации естественных и гуманитарных наук является математическое моделирование. В естественных науках главную роль играют в настоящее время количественные описания реальных процессов и соответствующие количественные модели, для исследования которых необходимы традиционные разделы математики, наряду с началами математического анализа и элементами теории вероятностей и математической статистики. В гуманитарных науках значение имеют структурные модели, построение и исследование которых требует привлечение разделов математики, более современных и весьма далеких от нынешнего курса математики, и, прежде всего, дискретной математики (например, создание информационных систем в приложениях различных гуманитарных наук).

Во всяком случае, в настоящее время выделение научно-гуманитарного направления нецелесообразно и математические потребности в конкретной профилирующей науке должны удовлетворяться в основном в рамках внеклассной работы. Решать одновременно две задачи - освоение и традиционных, и специализированных разделов математики - вряд ли возможно.

Курс С - наиболее строгий и полный курс математики - ориентирован на учащихся, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой, и какой-то профиль из группы профилей «математического направления». В эту группу вместе с математическим профилем объединяются такие профили, как физический и компьютерный. Дело в том, что процесс математизации знаний исторически начался с математизации физики, а современное развитие и состояние физики, как и всего физического цикла наук, неразрывно связано с математическим аппаратом и математическим мышлением. Современная наука информатика, обязанная своим происхождением вычислительной математике и математической логике, целиком основана на математическом стиле мышления, в том числе и в разделах, которые содержательно с математикой не связаны. Эти особенности физики и информатики и позволяют объединить их в одну группу с математическим профилем с точки зрения обучения математике.

Основой учебно-методического обеспечения по математике этой группы профилей и должен быть курс С, ориентированный на овладение учащимися необходимых объемов конкретных математических знаний и формирование в этом процессе интеллектуальной культуры личности. Практика углубленного изучения математики и физики показывает, что гуманитарное воздействие математики проявляется автоматически, что вытекает из самой природы математической деятельности.

Особенности конкретного профиля могут потребовать включения в соответствующий курс материала, расширяющего основной курс и углубляющего его. Например, для развития абстрактного и логического мышления учащихся какого либо профиля научно-гуманитарного направления целесообразно повышенное внимание к аксиоматическому методу, для нужд технического и архитектурного профилей, может быть, следует усилить внимание к стереометрии или даже предусмотреть знакомство с элементами начертательной геометрии.

Если изучение математики в профиле чисто математическом является фактически самоцелью, то в профиле физическом изучение математики проводится прежде всего, с целью создания необходимого для физики аппарата, а в профиле с уклоном в информатику математика формируется как основа решения специфических задач этой области знаний. Поэтому, например, изучение основ теории вероятностей и математической статистики, составляя специфическую область математических знаний, представляется обязательным в физическом профиле. Аналогично основы математической логики, не являясь столь существенной частью математической науки, чтобы ее изучение в школе могло считаться обязательным, естественно рассматривать как необходимые в профиле с уклоном в информатику.

Курс общекультурной ориентации (курс А) рассчитан на 4-6 уроков в неделю, преподается в рамках единого курса математики и не ставит задачу подготовки учащихся к поступлению в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке. Курс повышенного типа рассчитан на 5-6 уроков математики в неделю для социально-экономического, естественного, технического направлений профилей и семь уроков для физико-математического. Основными задачами этого курса являются подготовка к поступлению и продолжению образования вуза, где математика является одним из базовых предметов. [3]

1.2 Структура и содержание элективного курса «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»

Изучение вероятностно-статистического материала продиктовано самой жизнью. Современной России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека, и курс должен формировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся как общей вероятностной интуицией, так и конкретными способами оценки данных. Дети должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать разнообразную, порой противоречивую информацию, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами, оценивать степень риска и шансы на успех. Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена и тем, что вероятностные закономерности универсальны: современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, весь комплекс социально-экономических наук развивается на базе вероятностно-статистической математики.

Вероятностно-статистический материал обладает огромным воспитывающим потенциалом, его изучение влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект курса математики, способствует развитию интереса к предмету.

Введение элементов статистики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышается.

Основными целями изучения курса являются следующие.

- Способствовать формированию и развитию умений решения комбинаторных задач, позволяющих ученикам разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определённому правилу.

- Способствовать формированию и развитию вероятностного мышления, вероятностной интуиции.

- Способствовать развитию творческих способностей и дарований.

- Создать условия для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания.

- Создать условия для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.

1.2.1 Анализ содержания учебных пособий для средней школы по линии «Основы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики»

1. Государственный стандарт образования [3]

Образовательная программа включает следующее содержание:

Множества и комбинаторика. Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Содержание курса «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» включается в образовательные программы старшей ступени общеобразовательной школы в 10-11-х классах на базовом уровне и на профильном уровне.

Программа включает следующее содержание.

Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.

Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Однако достаточно ли такого объема содержания?

Если одной из важнейших целей образования является развитие личности, то образовательный стандарт никак не может сводиться к списку минимальных требований к подготовке учащегося. Особенно опасен минималистский подход. При таком подходе невозможно развитие математической культуры (из нескольких щепочек костер не получится).

Также нельзя хорошо освоить математику, развить математическую культуру при перегруженной программе. Чрезмерное обилие изучаемых тем приведет к тому, что каждая из них будет изучаться формально и поверхностно. Что касается связи между процессом и результатом обучения, то очевидным является утверждение, что для необходимого результата процесс обучения должен вестись на более высоком уровне, чем тот, который мы хотим видеть в итоге, хотя, конечно, мы не должны его завышать и создавать разрыв между стандартами для процесса и для результата.

Таким образом, элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики должны быть включены в школьный курс математики. Но поскольку в стандарте определен лишь самый минимум, тема может быть изучена факультативно.

2. Анализ научной и методической литературы

Шихова А.П. «Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе» [42]

В данном методическом пособии сделан обзор основных комбинаторных методов современной математики, выявлено их место в обучении и роль в развитии учащихся, изложена методика обучения бесформульной и формульной комбинаторике.

С целью формирования навыков прикладного характера рассмотрены некоторые приложения комбинаторики: бином Ньютона, геометрические комбинаторные задачи, простейшие применения комбинаторики в решении вероятностных задач, применение комбинаторных методов в молекулярной биологии и к изучению некоторых вопросов физики.

Виленкин Н.Я. «Индукция. Комбинаторика».[33]

Данная книга адресована учителям математики старших классов и посвящена двум разделам школьного курса, в том числе и комбинаторике. Материал излагается на более высоком научном уровне и в большем объеме, чем это предусмотрено школьной программой, что будет способствовать вооружению учителя достаточно глубоким знанием преподаваемых вопросов.

Изложение комбинаторики ведется на теоретико-множественной основе. Автор данного пособия использует понятие кортежа и на его основе вводит основные понятия комбинаторики. Рассмотрены также основные приложения комбинаторики: бином Ньютона, задачи геометрического содержания, применение комбинаторики к вычислению вероятностей.

Райзер Г.Дж. «Комбинаторная математика».[28]

Автор ставит своей целью систематическое изложение основ комбинаторной математики, которая занимается изучением расположений элементов в множествах.

В первой главе рассматриваются элементарные свойства множеств и определяются понятия перестановок, сочетаний и биномиальных коэффициентов. Автор использует в своей книге понятие выборки.

Савельев Л.Я. «Комбинаторика и вероятность». [29]

Книга посвящена элементарной комбинаторике, теории вероятностей и их приложениям. Используется теоретико-множественный язык. Абстрактность этого языка компенсируется большим количеством подробно разобранных примеров. Задачи собраны в отдельные части, которые можно читать независимо. В пособии рассматриваются простые модели, связанные с приложениями комбинаторики и теории вероятностей. Книга предназначена для научных работников и инженеров, а также для студентов и преподавателей.

Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей (для IX-XI кл.). [35]

В данном учебном пособии вначале представлены сведения из прошлого теории вероятностей, затем достаточно подробно и систематично рассматриваются вопросы комбинаторики, вероятности события, операций над вероятностями, независимые повторные испытания (формулы Бернулли, Муавра-Лапласа, Пуассона и Лапласа), дискретные и непрерывные случайные величины, а также рассмотрены различные интересные задачи (например, задача Бюффона, парадокс Бертрана и т.д.). Эта книга интересна как с методической, так и с познавательной точек зрения. Она может быть одинаково доступна как учителю, так и ученику, так как написана простым, понятным языком, в ней дано много таблиц, диаграмм, все главы находятся во взаимосвязи. Материал систематичен и постепенно усложняется.

Маркова В.И. Формирование опыта творческой деятельности учащихся при изучении комбинаторики, статистики и теории вероятностей. [36]

Данное учебно-методическое пособие содержит различные подходы к введению в курс математики основной школы элементов стохастики. Подобранные задачи и упражнения могут облегчить подготовку учителей к уроку. В пособии рассмотрены варианты тематического планирования этого содержания и его реализации в учебно-воспитательном процессе. Даны некоторые разработки тем занятий по теории вероятностей. Представлен новый способ организации деятельности учащихся - мастерские, важным признаком которых является необходимость выбора учеником пути исследования, средств достижения цели, темпа работы и т.д.

Шилова З.В., Шилов О.И. «Теория вероятностей и математическая статистика». [41]

Учебное пособие содержит основные теоретические вопросы по теории вероятностей и математической статистике, задачи и рекомендации по их решению. Так как работа составлена для студентов специальностей биология, экология, природопользование, подобранные задачи непосредственно осуществляют межпредметные связи математики и данных направлений.

Таким образом, после анализа учебно-методической литературы можно сделать следующие выводы. Литературы, посвященной комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике много, причем в большинстве случаев эта литература выпущена достаточно недавно. Часто, как теоретический материал, так и упражнения необходимо адаптировать для преподавания в школе. Поэтому имеющиеся пособия желательно использовать в комплексе.

3. Анализ учебной литературы

В настоящее время в учебной и учебно-методической литературе существует много разных подходов для реализации этого нового содержания в образовательном процессе. В действующих учебниках стохастическая линия представлена по-разному. В одних учебниках элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей включены в основное содержание отдельными параграфами. Авторы же других учебников представляют новое содержание в форме вкладышей - дополнительных глав к своим учебным пособиям.

Построение полноправной вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики основной школы выполнено в рамках учебных комплектов «Математика, 5», «Математика, 6» под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина [5], [6], «Математика» для 7, 8, 9-х классов под редакцией Г.В. Дорофеева. В 5-9-х классах последовательно вводится новая для нашей школы содержательно-методическая линия «Анализ данных», включающая комбинаторику, элементы теории вероятностей и статистику, которая ограниченно сочетается с традиционными вопросами курса и существенно усиливает его практическое и прикладное значение. Учебники, рабочие тетради, дидактические материалы и методические рекомендации написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и жизненный опыт учащихся. Широко используется диалог и обращение к ученику, привлекаются современные сюжеты при изложении теории и в задачном материале. В них предусмотрена разнообразная практическая деятельность учащихся и работа учителя. Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. Вводится ряд базовых понятий теории вероятностей. Рассматриваются случайные, достоверные, невозможные, более вероятные события. Новые термины связываются с известными словами - часто, редко, всегда, никогда, это очень возможно, это обязательно произойдет, это мало вероятно, это никогда не случится и другими, определяющими частоту наступления случайных событий.

В учебных комплектах для 5-6-х классов содержатся вопросы анализа данных и статистики. Это чтение и составление таблиц. Столбчатые и круговые диаграммы. В разделе «Комбинаторика» рассматривается решение комбинаторных задач, применение правила умножения в комбинаторике. В учебно-методическом комплекте «Математика» для 7, 8, 9-х классов рассматриваются темы: «Частота и вероятность», «Статистические исследования». Методические указания к теме «Статистические исследования», которая изучается в 9-м классе, дают Бунимович Е.А., Суворова С.Б. [43]

В учебниках «Математика» для 5-6 классов (авторы И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович [7], [8]) содержится стохастическая линия, которая включает изучение достоверных, невозможных и случайных событий, правило умножения для комбинаторных задач, решение комбинаторных задач. Осуществляется первое знакомство с понятием «вероятность», с подсчетом вероятности.

Продолжение развертывания вероятностно-статистической линии осуществляется в дополнительных материалах к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений «События. Вероятность. Статистическая обработка данных» (авторы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов [11]).

Пособие предназначено для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистики. На большом количестве примеров изложены начальные понятия, идеи и методы комбинаторики, теории вероятностей и статистики. Методические особенности заключаются в максимально прямом переходе от простейших комбинаторных задач к практическому знакомству с нормальным законом распределения и явлением статистической устойчивости. Учебный материал образует своего рода фундамент, опираясь на который можно в дальнейшем выстраивать всю содержательную линию в преподавании математики в школе, дополнять его в различных учебных направлениях и расширять в старших классах профильной школы. Авторы предлагают еще один вариант - изложить эти материалы в 9 классе - вместо главы «Элементы теории тригонометрических функций», завершающей учебник А.Г. Мордковича «Алгебра, 9».