2

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ 2
• ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ОЗНАКОМЛЕНИЮ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ С ЗАДАЧАМИ НА ДВИЖЕНИЕ 4
• 1.2. Подготовительная работа 7
• 1.3. Решение простых задач на движение в одном направлении 9
• 1.4. Решение составных задач на встречное и 12
• противоположное движение 12
• 1.5. Решение задач на зависимость величин разными способами 20
• 1.6. Трудности при решении задач на движение 22
• ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА И АПРОБАЦИЯ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ В 3 КЛАССЕ 27
• 2.1. Методические рекомендации по теме 27
• 2.2. Планы-конспекты уроков 32
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 42

ВВЕДЕНИЕ

Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения.

С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию младших школьников.

Как обучать детей нахождению способа решения задачи на движение? Этот вопрос - центральный в методике обучению решения задач. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

К сожалению, в настоящее время из-за желания учителей включить в урок различные виды работы, несколько ослаблено внимание к выработке у учащихся навыков и умений решения задач. А ведь регулярное включение в работу с классом задач развивающего характера, повышенной трудности способствуют развитию интереса и интеллектуальных способностей детей, активизируют их познавательную деятельность. Так же для повышения интереса к решению задач на движение следует использовать разнообразные чертежи и схемы. Они позволяют наглядно представить ситуацию, способствуют осознанному приобретению знаний, умений и навыков, развивать память, речь, мышление. Учитель начальных классов должен выработать навык решения как простых, так и составных задач на движение, на основании которого они смогут решать более сложные задачи по алгебре и физике в старших классах.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определенной, приспособленной к их пониманию системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в доступном для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает математическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Объектом исследования является обучение решению задач на движение на уроках математики в 3 классе.

Предметом исследования является процесс решения задач на движение младшими школьниками.

Цель - исследовать методику работы над задачей, выявить новые подходы к решению задач на движение.

Задачи:

анализ литературы по данной проблеме;

выявить роль задач на движение в процессе обучения;

изучить методику работы над задачей;

анализ нетрадиционных подходов в методике работы над задачей на движение;

выявить возможность задачи на движение для диагностики уровня развития мышления младших школьников;

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ОЗНАКОМЛЕНИЮ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ С ЗАДАЧАМИ НА ДВИЖЕНИЕ

1.1. Развитие младших школьников на уроках математики

Развитие младшего школьника -- важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал -- одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов[3].

В развитии познавательной деятельности младшего школьника особую роль играет мышление. П.П. Блонский подчеркивал: "Мышление - та функция, интенсивнейшее развитие которой является одной из самых характерных особенностей школьного возраста. Ни в ощущении, ни мнемических способностях нет такой огромной разницы между ребенком 6 - 7 лет и юношей 17 - 18 лет, какая существует в их мышлении", [2].

В тесной связи с мышлением развиваются все познавательные процессы. Именно с развитием мышления складываются такие важные новообразования школьного возраста, как внутренний план действий (действий "в уме") и рефлексия (умение рассматривать и оценивать свои собственные действия).[22]

Математика даёт реальные предпосылки для развития мышления, задача учителя -- полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде: анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны.

Ф. Энгельс отменяет, что "...мышление состоит столько же в разложении предметов создания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза", [21].

Анализ и синтез, взаимно связанные операции мышления, находят постоянное применение, как при изучении элементов арифметической теории, так и при решении примеров и задач.

Уже на первых шагах обучения при изучении чисел первого десятка учащиеся пользуются наглядно-действенным анализом (разложением) предметных множеств на составляющие их элементы и наглядно-действенным синтезом (соединением), группируя элементы во множества.

Наглядный анализ и синтез сменяется затем анализом и синтезом по представлению: ребёнок может выполнить разложение чисел или их соединение, оперируя со зрительными образами, которые сохраняются в его памяти и могут быть воспроизведены в его сознании.

Более высокой ступенью является умственный анализ и синтез, выполняемый мысленно при помощи внутренней речи.

При обучении любому разделу математики приходится опираться на анализ и синтез.

Анализ и синтез, как взаимосвязанные мыслительные операции находят своё применение при решении текстовых задач.

Ученик под руководством учителя, прежде всего, анализирует содержание задачи, расчленяя его на числовые данные, условия и вопрос.

При решении составных арифметических задач требуется применить более сложный и более тонкий анализ и синтез. Анализ содержания составной задачи, так же как и простой, сводится к расчленению его на числовые данные, условия и вопрос. Однако сами данные, условие и искомое должны подвергнуться дополнительно анализу, расчленению на составляющие их элементы.

В процессе начального обучения математике находит своё применение приём сравнения, то есть выделение сходных и различных признаков у рассматриваемых чисел, арифметических примеров, арифметических задач[13].

После решения задач учащиеся сравнивают, каким действием решается та или другая задача: одна сложением, другая умножением, а затем сопоставляют способы решения с различиями в условиях задач. Такое сопоставление помогает учащимся лучше осознать смысл выражений "больше на несколько единиц" и "больше в несколько раз" и прочнее установить связь между условием каждой задачи и способом её решения.

Сравнение основано на анализе и синтезе: необходимо расчленить каждую задачу на составляющие её элементы, а затем мысленно соединить сходные элементы, выделив при этом существенные различия.

При объяснении учащимся новой для них по способам решения задачи с многозначными числами часто используется приём аналогии: учитель предлагает решить аналогичную задачу с небольшими числами, вычисления над которыми можно выполнить устно.

Используя в начальном обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации мышления учащихся, и тем самым способствовали его развитию.

1.2. Подготовительная работа

В 3 классе продолжается работа по формированию у учащихся умения решать как простые, так и составные текстовые задачи различных видов[17].

За предшествующие годы обучения дети научились решать простые задачи разных видов, а также составные задачи в 2-3 действия. Для закрепления умения решать эти задачи, их надо предлагать в течение года для самостоятельного решения устно или с записью. При этом для развития учащихся весьма полезны упражнения творческого характера:

составление задач учащимися и их решение;

преобразование данных задач и их решение;

сравнение задач и их решение;

сравнение решений задач.

Включая такие упражнения, важно соблюдать дифференцированный подход, учитывая разную степень готовности учащихся к их выполнению. Вводятся новые виды простых и составных задач. В методике работы по решению каждого их них предусматриваются определенные этапы. Сначала идет подготовка к введению задач нового вида, которая сводится к выполнению специальных упражнений, предусмотренных в учебнике или составленных учителем. Далее идет ознакомление с решением задач нового вида. В дальнейшем ведется работа по совершенствованию умения решать задачи рассмотренного вида. Как правило, на этом этапе ученики решают задачи самостоятельно устно или с записью решения, при этом используют различные формы записи: отдельными действиями с пояснением в утвердительной форме или вопросительной форме, а также без пояснений, в виде выражения.

Также эффективны различные упражнения творческого характера. Очень важно научить детей выполнять проверку решения задач новых видов[6].

К новым видам простых задач относятся задачи на увеличение (уменьшение) данного числа или значения величины на несколько единиц или в несколько раз, сформулированные в косвенной форме, задачи на вычисление времени; задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скорость, время, расстояние.

Задачи, связанные с движением или задачи с величинами: скорость, время, расстояние, рассматриваются в 3 классе.

Подготовительная работа к решению задач предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной "скорость", раскрытие связей между величинами: скоростью, временем, расстоянием.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдения в условиях класса, где движения будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело может двигаться быстрее, медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут в противоположных, либо приближаясь одно к другому. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком, место (пункт отправления, встречи, прибытия) обозначают либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо черточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелками.

Встречное движение двух тел указывается, изображается так:

А.______________________________________. В

Здесь отрезок обозначает расстояние, которое должны пройти 2 тела до встречи, - место встречи, точки А, В - пункты выхода тел, стрелки - направления движения.

1.3. Решение простых задач на движение в одном направлении

Определяя правильную методику изучения вопроса программы "Примеры зависимости между величинами", учитель должен помнить, что материал необходимо распределить равномерно, а не преподавать его в течение одного-двух уроков. В связи с изучением темы "Умножение и деление многозначных чисел" появляется возможность установить некоторые постоянные для рассматриваемых величин закономерности.

Важным результатом ознакомления учащихся 3 класса с этим вопросом является усвоение простейших формул, связывающих такие величины, как скорость, время и расстояние (V, t, S).

Рассмотрим основные пути усвоения зависимости между этими величинами, характеризующими равномерное движение.

На рассмотрение связи между скоростью, временем и расстоянием выделяется 4-5 уроков в начале изучения умножения и деления многозначных чисел. Полученные сведения систематически используются в дальнейшем при решении задач "на движение" в течение всего учебного года[11].

В результате рассмотрения этих вопросов ученик должен получить представление о новой величине - скорости, которая характеризуется расстоянием, проходимым в единицу времени. Подчеркивается, что речь идет о таком движении, при котором скорость не изменяется. Раскрывается связь между скоростью, расстоянием и временем (при равномерном движении) в виде формулы V= S: t, где S - пройденное расстояние, V - скорость движения, t - затраченное время. Дети учатся решать задачи, в которых по времени и скорости находится путь; по времени и пути находится скорость; по скорости и пути находится время.

В ходе решения этих задач у учащихся формируются представления о некоторых средних скоростях (пешехода, велосипедиста, автомобиля, теплохода, самолета), представления о встречном движении и о движении в одном и том же направлении. На этой основе дети должны уметь решать простые и несложные составные задачи.

На первом из уроков необходимо, опираясь на жизненный опыт и наблюдения учащихся обратить внимание детей на то, что некоторые предметы могут двигаться быстрее и медленнее. Например, велосипедист может обогнать пешехода, автомобиль - велосипедиста, самолет - автомобиль и т.д. Предметы могут двигаться равномерно. Так, например, пешеход может проходить за каждый час по 3 км; автомобиль может проезжать за каждый час по 100 км; бегун может пробегать за каждую секунду по 8 м и т.д. В этом случае говорят, что скорость (соответственно) пешехода - 3 км в час (записывают 3км/ч), автомобиля 100 км/ч, бегуна - 8 м/с.

Таким образом, скорость движения - это расстояние, которое проходит движущийся предмет за единицу времени. Затем рассматриваются простые задачи, на основании которых делается вывод, что для того, чтобы найти скорость движения предмета, нужно расстояние, которое прошел предмет, разделить на затраченное для этого время. Коротко этот вывод можно сформулировать так: скорость равна расстоянию, деленному на время. Если скорость обозначить буквой V, путь S, а время буквой t, то можно записать этот вывод в виде формулы: V= S: t.

На последующих уроках с помощью соответствующих простых задач устанавливается, что расстояние равно скорости, умноженной на время: S =V*t.

На основе задачи №366[7].

Пассажир проехал в автобусе 90 км. Скорость автобуса 45 км/ч. Сколько времени ехал пассажир?

устанавливается, что время равно расстоянию, деленному на скорость. Можно обратить внимание учащихся на связь между этими тремя формулами (например, последняя формула может быть выведена из первой: t= S: V) на основе правила нахождения неизвестного делителя V, когда известно частное t и делимое S.

На этих 4-5 уроках до понимания учащихся должен быть доведен тот факт, что 5 м в минуту и скорость 5 км в час - не одно и то же. Необходимо рассмотреть, например, в связи с решением задачи № 374: что скорость черепахи (5 м/мин) соответствует 3 м/час, а скорость пешехода (5 км/ч) соответствует 5000 м/ч: 500300, поэтому 5 км/ч 5 м/мин. Только на этой основе всегда с решением задач в дальнейшем устанавливается, что при равномерном движении за одно и то же время тело пройдет тем большее расстояние, чем больше будет скорость (если скорость увеличится в несколько раз, то и расстояние увеличится во столько же раз), при одной и той же скорости расстояние уменьшается во столько же раз, во сколько увеличится время движения, и т.д.

Вопросы эти ставятся только в связи с решением задач, обобщенных словесных формулировок этого вида не требуется.

Основной методический аппарат, с помощью которого происходит ознакомление учащихся с взаимосвязью между величинами, представляет собой подбор задач и примеров, которые их раскрывают. Для определения соответствующей методики следует также иметь в виду указания, что "первоначальное ознакомление детей с разного рода зависимостями очень важно для установления причинной связи между явлениями окружающей действительности и имеет большое значение для подведения детей к идее функциональной зависимости". Заметим, что в этом случае речь идет о зависимости между двумя (а не тремя) величинами, например, между путем, пройденным телом, и временем, затраченным на прохождение этого пути (здесь скорость - величина постоянная). В этом случае мы имеем дело с тремя множествами: 1) множество значений такой величины, как время движения; 2) множеством значений длины (пути, пройденного за различные промежутки времени) и 3) множеством пар, в которых на первом месте стоит значение времени, а на втором соответствующее одно значение пути. В таком случае, действительно, формируются определенные функциональные представления. Причем эта функция может быть задана, например, таблицей:

Время в секундах	1	2	3	4	5	6
Расстояние в метрах	6	7	11	12	12	18

Из этой таблицы можно сделать вывод, что тело двигалось неравномерно, что, в частности, в течение одной секунды (пятой) оно было неподвижно, что формулой эту зависимость выразить нельзя. Иногда в более простых случаях зависимость между временем движения и пройденным за это время можно выразить и с помощью формулы.

Например, наблюдая изменения расстояния S в зависимости от времени t по таблице:

Время в часах	1	2	3	4	5
Расстояние в километрах	5	10	15	20	25

нетрудно заметить, что V= S: t.

На основании полученной закономерности можно, например, выяснить, какое расстояние S пройдет тело за 10ч (50 км), за какое время t тело пройдет расстояние в 100 км (20ч) и т.д.

Для ознакомления детей с примерами зависимости между величинами следует брать такие примеры, которые достаточно часто встречаются детьми в жизни, понятны им.

1.4. Решение составных задач на встречное и

противоположное движение

Методика обучения решения задач "на встречное движение" основывается на четких представлениях учащихся о скорости равномерного движения, которые уточняются и обобщаются на специально отведенных этому вопросу уроках[19]. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов "двигаться навстречу друг другу", "в противоположных направлениях", "выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…" и т.п.

После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач "в отрезках". Причем стараться соблюдать отношения их длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности "до встречи") расстояний. Если, например, скорость одного поезда была 60 км в час, а другого - 45 км/ч, то первая стрелка должна быть длиннее второй и т.п. Если в распоряжении учителя имеется диафильм "Задачи на движение", то его можно использовать на этом уроке. Только после такой подготовительной работы последовательно, под руководством учителя рассматривается задача №464 (или ей подобная). Прежде чем разбирать эту задачу на уроке, следует повторить и восстановить в памяти следующие сведения: связь между скоростью, расстоянием и временем (как одна из трех величин выражается через две другие?), ситуацию, при которой "два пешехода одновременно вышли навстречу…" Затем учащийся под руководством учителя и при его участии вчитывается в задачу №464 (1).

Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сел и встретились через 3 часа. Первый пешеход шел со скоростью 4 км/ч, второй - 5км/ч. Найди расстояние между селами.

По схеме, дублированной на доске, вызываемые учащиеся рассказывают содержание задачи. При этом выясняется: откуда начал движение каждый пешеход? С какой скоростью двигался каждый? Почему их место встречи на схеме обозначено ближе к месту выхода одного из пешеходов? Кого из них? Можно спросить при этом: "В каком случае флажок окажется точно на полпути? Что означает деление слева от флажка, справа от флажка? Почему они различны по длине? Что означают числа под стрелками?

Такое подробное рассмотрение учит детей "читать" схему. Затем учитель может спросить у класса: "Как решить задачу?"

Возможно, один из учеников приведет примерно такое рассуждение: "Один пешеход до встречи прошел 4*3=12 (км), а другой - 5*3=15 (км). Расстояние между селами будет 12+15=27 (км).

Если такого ученика не нашлось и предложения детей неполны или неверны, то учитель проводит, пользуясь наводящими вопросами, эту работу с классом, постепенно подводя его к составлению по задаче выражения:

4*3 + 5*3 (км)

Найдя значение этого выражения, получим ответ: расстояние между селами равно 27 км.

В связи с нашей задачей учитель должен провести специальную работу, на основе которой будет выявлен смысл понятия "скорость сближения".

Для этого по схеме выясняется, что за каждый час пешеходы сближаются на (4+5) км в час. "На сколько километров сблизятся пешеходы за 3ч?" Это дает нам второй путь решения задачи: (4+5)*3.

Затем, пользуясь схемами, подробно рассматривают задачу №464 (3).

Из двух сел, находящихся на расстоянии 27 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились через 3ч. Первый пешеход шел со скоростью 4 км/ч. С какой скоростью шел второй пешеход?

Задачу №464(3), как более сложную и опирающуюся на понятие "скорость сближения", можно рассмотреть в заключение урока, когда дети уже приобретут некоторый опыт решения подобных задач.

При рассмотрении задачи №464(3) можно пойти по пути составления уравнения. Если обозначить скорость второго пешехода буквой х, расстояние, которое пройдет первый пешеход до встречи, будет (4*3) км. Общее расстояние, пройденное пешеходами до встречи, будет (4*3 + 3*х) км, и оно равно 27 км. Получаем уравнение: 4*3 + 3*х=27

Эту же задачу можно решить по действиям:

4*3= 12 (км) прошел до встречи первый пешеход;

27-12=15 (км) прошел до встречи второй пешеход;

15:3=5 (км/ч) скорость, с которой шел второй пешеход, и только теперь целесообразно составить выражение к этой задаче:

(27- 4*3): 3

В дальнейшем при решении подобных задач можно использовать как запись отдельных действий, так и составление уравнения или выражения.

На следующих уроках продолжается работа по формированию и совершенствованию навыков решения задач "на встречное движение".

Эти задачи получают некоторое развитие для случая, когда предметы начинают движение из одной точки и в противоположных направлениях (№541, 544 и т.д.). Перед решением таких задач следует проиллюстрировать на схеме и в инсценировке, что "встречное движение" - тоже движение в "противоположных направлениях", что после встречи, если скорости тел не изменились, они будут "удаляться" друг от друга с той же скоростью, с какой "сближались". Поэтому скорость удаления тоже равна сумме скоростей движущихся тел.

При рассмотрении первой из подобных задач не следует сразу опираться на "скорость удаления", а решить ее различными способами аналогично тому, как рассматривалась задача №464.

В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие связи: если известны расстояния и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известна скорость и время движения, можно узнать расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, можно найти время движения действием деления.

Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям с величинами S, t, V.

При работе с этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче.

Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовать задачу на нахождение четвертого пропорционального, в задачу на пропорциональное деление, и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения.

Прежде чем ввести задачи на встречное движение очень важно сформировать правильные понятия об одновременном движении двух тел. Важно, чтобы дети уяснили, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние.

Чтобы дети осознали это, следует включать задачи-вопросы, аналогичные следующим.

Из двух городов одновременно отплыли навстречу друг другу два теплохода и встретились через 3 часа. Сколько времени был в пути каждый теплоход?

Из деревни в город вышел пешеход и в это же время из города навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 40 минут. Сколько времени был в пути до встречи пешеход?

Теперь можно ознакомить детей с решением задач на встречное движение. Целесообразно на одном уроке ввести все 3 вида, получая новые задачи путем преобразования данных в обратные. Такой прием позволяет детям самостоятельно найти решение, поскольку задача нового вида будет получена из задачи, уже решенной детьми.

Итак, учитель читает задачу.

Из двух поселков одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй - 18 км/ч. Найти расстояние между поселками.

Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать?

Пусть это будет поселок, из которого вышел 1 велосипедист (Учитель выставляет в наборное полотно карточку с римской цифрой "I"). А это поселок из которого выехал 2 велосипедист (Выставляет карточку "II"). Двое из вас будут велосипедистами. (Выходят два ученика). С какой скоростью ехал 1 велосипедист? (15 км/ч). Это твоя скорость. (Учитель дает карточку, на которой написано число 15). Это твоя скорость. (Дает второму ученику карточку с числом 18). Сколько времени они будут двигаться до встречи? (" часа). Начинайте двигаться. Прошел час (Дети вставляют одновременно свои карточки в наборное полотно). Прошел второй час. (Дети вставляют карточки). Встретились ли велосипедисты? (Встретились). Почему? (Шли до встречи 2 часа. Обозначим место встречи. (Вставляет ). Что надо узнать? (Все расстояние). Обозначу вопросительным знаком.

I 15151818 II
?

После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решение надо записать с пояснением сначала определенными действиями, а позднее можно записать выражением или уравнением.

1 способ

15*2=30 (км) проехал первый велосипедист

18*2=36 (км) проехал второй велосипедист

30 + 36=66 (км) расстояние между поселками

2 способ

15 + 18=33 (км) сблизились велосипедисты в 1 час

33*2 = 66 (км) расстояние между поселками

Если дети затрудняются в решении II способом, надо вновь проиллюстрировать движение: прошел час - сблизились на 33 км, то есть велосипедисты 2 раза проехали по 33 км. То есть по 33 взять сколько раз? (" раза).

Учитель на доске, а дети в тетрадях выполняют чертеж к решенной задаче.

15км/ч2 ч18 км/ч

I . ______________________________________. II

?

Выясняется, какой из велосипедистов прошел до встречи большее расстояние и почему.

Учитель изменяет условие задачи, используя тот же чертеж.

15км/ч?18 км/ч

I . ______________________________________. II

66 км

Дети составляют задачу по этому чертежу, затем коллективно разбирается, после чего записывается решение с пояснением. Условие задачи еще раз меняется.

? 2 ч 18 км/ч

I . ______________________________________. II

66 км

Ученики составляют задачу, после чего коллективно разбирают 2 способа решения.

1 способ.

18*2=36 (км) проехал до встречи II велосипедист

66-36=30 (км) проехал до встречи I велосипедист

30:2=15 (км/ч) скорость I велосипедиста

2 способ

66:2=33 (км) сближались велосипедисты в час

33-18=15 (км/ч) скорость I велосипедиста

На последующих уроках проводится работа по закреплению умения решать задачи рассмотренных видов.

Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: "Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т.п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой их них придет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др.?

Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т.д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При ознакомлении с решением задач этого вида тоже может на одном уроке решать три взаимообратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решений.

На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач.

Эффективны на этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.

Например, дается таблица:

Скорость	60 км/ч	75 км/ч
Время	4 ч	4 ч

Предлагается, используя данные таблицы, составить задачи, которые решаются так:

60*4

75*4

(60+75):4

(75-60)*4

По двум последним выражениям ученики могут составить задачи на встречное движение и на движение в противоположных направлениях. Естественно, в таблице могут быть даны и другие величины.

1.5. Решение задач на зависимость величин разными способами

Решение задачи разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение создает предпосылки для формирования у ученика способности находить свой "оригинальный" способ решения задачи, воспитывает стремление вести самостоятельно поиск решения новой задачи, той, которая раньше ему "не встречалась". Широкие возможности в этом плане дают задачи с пропорциональными величинами. Поиск разных путей решения таких задач способствует осознанию причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости величин, осуществлению подготовки учеников начальных классов к изучению функций в последующих классах[5].

Использование прямо и обратно пропорциональных зависимостей величин при решении задач (скорость, время, расстояние, позволяет находить отличные от традиционного способ решения. Поиск другого способа решения задач на основе применения указанной зависимости величин.

Поезд, отправившись со станции А, прошел до станции В за 3ч 210км, после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд шел от В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В. Определите расстояние АС.

Задача решается в пять действий:

210:3=70 (км/ч)

70-10=60 (км/ч)

3*2=6 (ч)

60*6=360 (км)

210+360=570 (км)

Полезно обсудить в классе, возможен ли следующий способ решения: 210*2=420 (км) - время в 2 раза больше, поэтому и расстояние ВС в 2 раза больше, чем АВ; 210+420=630 (км) - расстояние АС.

Выявив причину (скорость изменилась, не является постоянной величиной), по которой нельзя так решать эту задачу, нужно все-таки попытаться найти другой способ решения с использованием прямо пропорциональной зависимости расстояния от времени при постоянной скорости. Предположим, что скорость не изменилась. Тогда расстояние ВС в 2 раза больше, чем АВ, так как время движения от В к С в 2 раза больше (шел дальше). Расстояние ВС было бы рано 210*2=420 (км), но скорость изменилась. Каждый час поезд проходил на 10 км меньше. За 6 часов (3*2) он прошел на 60км меньше (по 10км 6 раз). Следовательно, расстояние ВС на самом деле равно 360км, потому что 420 км нужно уменьшить на 60 км. Остается найти сложением расстояние АС: 210+360=570 (км). Итак, хотя задача решена тоже пятью действиями, но поиск этого способа решения способствует осознанию детьми двух разных по характеру зависимостей величины и поиск новых способов решения задач, основанных на тех же зависимостях.

Возможны еще два способа решения задачи:

2-ой способ	3-ий способ
210*2=420 (км) 210+420= 630 (км) 3*2=6 (ч) 10*6= 60 (км) 630-60 = 570 (км)	10*3= 30 (км) 210-30= 180 (км) 180*2= 360 (км) 210+360= 570 (км)

Если ученики не смогут найти какой-либо из данных способов решения задачи, учителю следует записать их на доске и предложить детям объяснить, что найдено в каждом действии, проверить возможность решения задачи такими способами.

Полезно также упростить условие (пусть скорость не изменяется, остается постоянной), предложить решить задачу одним действием и указать "лишние" данные.

А__________________В______________________________С

При постоянной скорости расстояние ВС больше АВ в 2 раза. Весь путь АС в № раза больше, чем АВ (210 км). Решение 210*3=630 (км), а 3 часа лишнее данное.

1.6. Трудности при решении задач на движение

Анализ работы психологов позволил нам выделить уровни умения решать задачи младшими школьниками. Охарактеризуем их.

Низкий уровень. Восприятие задачи осуществляется учеником поверхностно, неполно. При этом ученик вычленяет разрозненные данные, зачастую несущественные элементы задачи. Ученик не может и не пытается предвидеть ход ее решения.

Средний уровень. Восприятие задачи сопровождается ее анализом. Ученик стремится понять задачу, выделить данные и искомое, но способен установить между ними лишь отдельные связи.

Высокий уровень. Ученик выделяет целостную систему взаимосвязей между данными и искомым. Ученик способен самостоятельно увидеть разные способы решения и выделить наиболее рациональный из возможных[11].

Для того чтобы организовать разноуровневую работу над задачей в одно и то же время, мы используем индивидуальные карточки-задания, которые готовим заранее в трех вариантах. Карточки содержат системы заданий, связанные с анализом и решением одной и той же задачи, но на разных уровнях. В размноженном виде они предлагаются учащимся в виде печатной основы. Ученики выполняют задание письменно в специально отведенном для этого месте. Предлагая ученику вариант оптимального для ученика уровня сложности, мы осуществляем дифференциацию поисковой деятельности при решении задач.

Приведем примеры таких карточек.

Задача (3кл.) От двух пристаней, расстояние между которыми 117км, отправились одновременно навстречу друг другу по реке два катера. Один шел со скоростью 17 км/ч, другой - 24 км/ч.

Какое расстояние будет между катерами через 2 ч после начала движения?

1-й уровень

Рассмотри чертеж к задаче и выполни задания:

_____________________________

_____________________________

а) обведи синим карандашом отрезок, обозначающий расстояние, пройденное первым катером за 2 часа. Вычисли это расстояние;

б) обведи красным карандашом отрезок, обозначающий расстояние, пройденное вторым катером за 2 часа. Вычисли это расстояние.

в) рассмотри отрезки, обозначающие расстояние, пройденное двумя катерами за это время. Вычисли это расстояние.

г) прочитай вопрос задачи и обозначь дугой на чертеже отрезок, соответствующий искомому. Вычисли это расстояние.

Если задача решена, то запиши ответ.

Ответ:

Рассмотри еще раз задание (1) и запиши план решения этой задачи (без вычислений).

Проверь себя! Ответ: 35 км.

У данной задачи есть более рациональный способ решения. Но он, как правило, более труден для слабых учащихся, так как предусматривает оперирование менее конкретным понятием "скорость сближения". Поэтому предлагаем рассмотреть этот способ решения и объяснить его. Это задание обозначим в карточке как дополнительное.

Дополнительное задание.

Рассмотри другой способ решения данной задачи. Запиши пояснения к каждому действию и вычисли ответ:

17+24=

…*2=…

117-…=…

Ответ:

2 уровень

Закончи чертеж к задаче. Обозначь на нем данные и искомое:

_____________________________

_____________________________

Рассмотри "дерево рассуждений" от данных к вопросу. Укажи на нем последовательность действий и арифметические знаки каждого действия.

17 км/ч 24 км/ч

?

скорость сближения2ч

?

расстояние, пройденное 117км

двумя катерами

?

расстояние между

двумя катерами

Пользуясь "деревом рассуждений", запиши план решения задачи.

Запиши решение задачи:

по действиям;

выражением.

Ответ:

Дополнительное задание:

Пользуясь чертежом, найди другой способ решения задачи и запиши его:

по действиям с пояснением;

выражением.

Ответ:

Проверь себя! Сопоставь ответы, полученные разными способами.

3 уровень

Выполни чертеж.

Пользуясь чертежом, найди более рациональный способ решения. Составь к этому способу "дерево рассуждений".

Запиши план решения задачи в соответствии с "деревом рассуждений".

Пользуясь планом, запиши решение задачи:

по действиям;

выражением.

Ответ.

Проверь себя! Ответ задачи 35 км.

Дополнительное задание.

Узнай, какое расстояние будет между катерами при той же скорости и направлении движения через 3ч? 4ч?

В задачах мы намеренно как бы изолируем план решения от вычислительных действий. Это сделано с целью формирования умения осуществлять целостное планирование решения задачи. Преимущество его перед "пошаговым" видим в том, что при этом внимание учащихся концентрируется на поиске обобщенного способа решения задачи вне зависимости от конкретных числовых данных, отвлекаясь от них.

Важным является вопрос об организации такой работы на уроке. Благодаря тому, что варианты заданий приспособлены к возможностям учащихся, а печатная форма предъявления задания снимает сложности, связанные с оформлением, на уроке может быть организована самостоятельная работа учащихся. Во время этой работы учитель имеет возможность оказать индивидуальную помощь отдельным учащимся.

Но возможны и другие варианты. Например, по мере надобности учитель может руководить работой учащихся одного из уровней, в то время как другие работают самостоятельно.

Может быть организована и групповая работа учащихся на уроке. При этом дети каждой группы обсуждают и выполняют задания совместно. Состав таких групп может быть как одноуровневым, так и разноуровневым, в зависимости от целей, которые ставит учитель в этой работе. В конце урока работы учащихся собираются учителем для проверки[9].

Работа над задачей на уроке с помощью описанных нами карточек-заданий органично вписывается в ход урока, удобна в организации, повышает самостоятельность учащихся, позволяет формировать у них умения решать текстовые математические задачи на доступном уровне сложности, - это совершенствует обучение решению задач учащихся начальных классов.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА И АПРОБАЦИЯ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ В 3 КЛАССЕ

2.1. Методические рекомендации по теме

"Простые задачи на движение"

При изучении темы "Простые задачи на движение" для организации коллективных занятий используются 6 типов доводящих карточек для ознакомления с различными видами движения, нахождения скорости, времени, расстояния.

К каждой доводящей карточке прилагается карточка-задание (ЗД), которая помогает закрепить навык решения задач доводящей карточки. Знания учеников проверяются через дополнительные карточки: "Проверь себя!", "Проверочная работа" и "Контрольная работа".

Как происходит запуск карточки ученику? Используя для образца доводящую карточку, учитель объясняет ученику, как решить первую задачу его карточки-задания, и записывает в его тетрадь подробные решения. Ученик самостоятельно по этому образцу решает вторую задачу. После того, как учитель проверил решение, карточка считается "запущенной". Для слабых учеников в начале занятия можно ввести дополнительное устное проговаривание вслух решения своей задачи.

Затем ученики работают в парах. Каждый по очереди исполняет роль учителя и объясняет напарнику задачу своей карточки (ЗД) по плану, изложенному в доводящей карточке. После этого выполняется работа по карточкам "Проверь себя!", "Проверочная работа" и "Контрольная работа", которые оцениваются учителем.

Все эти карточки могут быть использованы и в традиционной школе: доводящие - как методические рекомендации при объяснении темы "Простые задачи на движение", а все остальные - как задачи для работы на уроках.

Доводящая карточка №1

Читаю задачу: "По шоссе едет автомобиль. От Ульяновска до Инзы он прошел 170 км, от Инзы до Пензы 40 км, от Пензы до Шарыпова - 140 км. Какое расстояние прошел автомобиль?"

Что известно в задаче?

Эта задача на движение в одном направлении, т.е. автомобиль проходит расстояние между всеми городами, которые встречаются на пути.

Чтобы легче было выполнить задание, надо выполнить чертеж.

В этой задаче на чертеже отрезок обозначает расстояние од одного города до другого. И чем дальше едет автомобиль, тем большее расстояние он проходит.

К 170 км А 40 кмН140 км Ш

__________________________________________________________

?

Что требуется узнать в задаче?

По условию задачи известно, что расстояние от Ульяновска до Инзы 170 км, от Инзы до Пензы 40 км, от Пензы до Шарыпова 140 км. Значит, все расстояние будет равно сумме расстояний от Ульяновска через каждый город до Шарыпова, поэтому все расстояния нужно сложить.

Оформляем задачу так:

170 + 40 + 140 = 350 (км)

Ответ: 350 км прошел автомобиль.

Задание: Придумай подобную задачу, выполни чертеж к задаче и реши ее.

Доводящая карточка №2

Читаю задачу: "Из Ульяновска и Инзы навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один автомобиль проехал 80 км до встречи с другим. Сколько километров проехал второй автомобиль, если известно, что расстояние между городами 170 км?"

Что известно в задаче?

Эта задача на встречное движение, то есть автомобили одновременно выезжают навстречу друг другу и едут до встречи одинаковое время. При этом автомобили пройдут все расстояние между пунктами, из которых они выехали.

Чтобы решить задачу надо выполнить чертеж.

80 км ?

К_____________________________А

_____________________________

170 км

В этой задаче отрезок обозначает расстояние, которое должны пройти оба автомобиля до встречи; точки К, А - это пункты выхода автомобилей, флажок - место встречи, стрелки - направление движения.

Что требуется узнать в задаче? Что надо делать, чтобы ответить на вопрос задачи?

По условию расстояние от Ульяновска до Инзы равно 170 км, один автомобиль проехал 80 км. Находим расстояние, которое проехал второй автомобиль. Для этого мы должны от всего расстояния отнять известную часть пройденного пути, то есть 170-80=90 (км)

Оформляй задачу так: 170 - 80 = 90 (км)

Ответ: 90 км проехал второй автомобиль.

Задание: Придумай подобную задачу и реши ее.

Доводящая карточка №3

Читаю задачу: "Из Ульяновска одновременно отправились в противоположные стороны два автомобиля. Первый поехал в Инзу и проехал 170 км, второй - в Николаево и проехал 225 км. На каком расстоянии друг от друга оказались автомобили?"

Что известно в задаче?

Эта задача на движение в противоположных направлениях. Поэтому с увеличением времени движения расстояние между автомобилями будет увеличиваться.

Чтобы было легче решить задачу, выполним чертеж.

К225 км 170 км А

__________________________________________

__________________________________________

?

Что требуется узнать в задаче? Что надо знать, чтобы ответить на вопрос?

По условию задачи известно, что от Ульяновска до Инзы 170 км, а от Ульяновска до Канска 225 км. Значит, мы должны узнать расстояние от одной конечной точки до другой действием сложения. Все расстояние будет равно сумме расстояний от Ульяновска до каждого города, то есть 170+225.

Оформляй задачу так:

170 + 225 = 395 (км)

Ответ: на расстоянии 395 км оказались автомобили.

Задание: Придумай подобную задачу, выполни чертеж к задаче и реши ее.

Карточки-задания

Задание №1.

1. С работы мама шла в магазин, в аптеку, а потом пошла домой. Какое расстояние прошла мама, если от работы до магазина 500м, от магазина до аптеки 100м, а от аптеки до дома 350м?

2. Мальчик из школы прошел до дома 50 м, а потом пошел в библиотеку. Какое расстояние прошел мальчик от школы до библиотеки, если от дома мальчика до библиотеки 450м?

Задание №2.

1. Витя и Петя бежали навстречу друг другу по беговой дорожке, длина которой 100м. Сколько метров пробежал Витя, если Петя пробежал 60м?

2. Расстояние между городами 560 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Первый проехал до встречи 300 км. Какое расстояние до встречи проехал второй?

Задание №3

1. Из города одновременно вышли в противоположном направлении два пешехода. Первый пешеход прошел 10 км, а второй - 15км. На каком расстоянии друг от друга оказались пешеходы?

2. После уроков Ира и Вася пошли домой, но в разные стороны. Ира до дома шла 150м, а Вася - 200м. На каком расстоянии оказались Ира и Вася друг от друга?

Проверь себя

1. Теплоход плыл 2ч со скоростью 18 км/ч. Какое расстояние проплыл теплоход?

2. Поезд прошел 210 км за 3ч. С какой скоростью шел поезд?

3. Велосипедист проехал 54км со скоростью 18 км/ч. Сколько времени велосипедист был в пути?

4. Пешеход был в пути 3ч и прошел 15км. С какой скоростью шел пешеход?

5. Расстояние в 120 км мотоциклист проехал со скоростью 40 км/ч. За сколько часов мотоциклист проехал это расстояние?

Проверочная работа

Мальчик пробежал 100 м за 10с. С какой скоростью бежал мальчик?

Теплоход проплыл 48км со скоростью 16 км/ч. За какое время проплыл это расстояние теплоход?

Турист за 4 ч прошел 20 км. С какой скоростью шел турист?

Катер плыл 3ч со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние проплыл катер.

За сколько времени лыжник пройдет расстояние 18 км, если он будет идти со скоростью 6 км/ч.

Контрольная работа

1. Лыжник прошел с одинаковой скоростью 42км за 3ч. Найти скорость лыжника.

Всадник, двигаясь со скоростью 12 км/ч, проехал 36 км. Сколько времени затратил всадник на этот путь?

Автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч и проехал 240 км. Сколько времени был в пути автомобиль?

Туристы проехали 6 ч на лодке со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние они проплывут.

Расстояние в 360 км скорый поезд проехал за 4ч. С какой скоростью ехал поезд.

2.2. Планы-конспекты уроков

Конспект урока по теме "Знакомство с новой величиной - скоростью".

ТЕМА: Знакомство с новой величиной - скоростью.

ЦЕЛИ: 1. Познакомить учащихся со скоростью; научить решать

задачи на нахождение скорости; формировать вычислительные

навыки.

2. Развивать память, речь, мышление, воображение.

Воспитывать аккуратность, любовь и интерес к предмету.

Ход урока

Организационный момент. Сегодня к нам на урок пришел Кот в сапогах. Он гулял в лесу, и ему сорока сказала, что вы сегодня познакомитесь с новой величиной - скоростью. И он решил помочь вам.

Устный счет. Но для начала он предлагает выполнить его задания.

1 задание: Помоги мышке убежать от кота, а для этого нужно найти значение выражения.

60:6 80:20 84:2

15:3 36:6 36:3

Посмотрите на ответы, на какие две группы их можно разделить?

Какое число меньше?

Придумай пример на умножение с ответом 12, 36?

2 задание: Реши задачу.

Один спортсмен пробежал расстояние 800м за 1 мин 41с, а другой - за 104с. Чей результат лучше?

Основная часть

1 Изучение нового. Молодцы ребята, вы хорошо справились с заданиями кота. Но он приготовил еще одно интересное задание.

Кот предлагает поиграть. Нам нужно 3 желающих. Ваша задача пройти по классу обычным шагом. (Ученики идут, а кот засекает время). Стоп.

Итак, ребята, расстояние, которое прошли ученики за единицу времени (минуту, час), называется скоростью.

Назовите свою скорость?

А вот скорость кота в сапогах 15 м/мин.

Скорость легкового автомобиля 100 км/ч, грузового автомобиля - 60 км/ч, самолета - 850 км/ч.

А теперь кот предлагает решить задачу.

Велосипедист был в пути 3ч и проехал за это время 36 км. В течение каждого часа он проезжал одинаковое расстояние. Сколько км проезжал велосипедист в каждый час?

Расстояние, которое проехал велосипедист, обозначим отрезком. Сколько часов был в пути велосипедист? Что еще сказано о велосипедисте? Итак, он в каждый час проезжал одинаковое расстояние, а был в пути 3 часа. Значит, на сколько равных частей мы должны разделить отрезок? Почему на 3? А теперь внимательно посмотрите на чертеж и скажите: сколько же км проезжал велосипедист в каждый час? (12 км). Как узнали? Почему делением? Число 12 обозначает, что в каждый час велосипедист проезжал по 12 км. Это скорость. А теперь запишем решение задачи.

1ч 1ч 1ч

____________________________________________

36км

____________________________________________

36: 3 + 12 (км/ч)

12 км/ч - это скорость велосипедиста. Это сокращенно записывается так 12 км/ч. Как запишем ответ? Итак, что же обозначает скорость?

Молодцы, ребята. Вы хорошо справились с этой задачей, а вот и еще одна.

Мальчик был в пути 5 часов и прошел за это время 25 км. В течение каждого часа он проходил одинаковое расстояние. Сколько км проходил мальчик каждый час?

Чем обозначим расстояние, которое проходил мальчик? Сколько часов был в пути мальчик? Что еще сказано о мальчике? Итак, мальчик в каждый час проходил одинаковое расстояние, а был в пути 5 часов. Значит, на сколько равных частей мы должны разделить отрезок? Почему на 5? А теперь внимательно посмотрите на чертеж и скажите, сколько же км проходил мальчик в каждый час? Что обозначает число 5? А теперь запишем решение задачи и ответ.

Итак, что же обозначает скорость?

Внимательно посмотрите на решение и скажите, как можно найти скорость, если известны расстояние и время движения? (V = S: t)