Кривые 3-го порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Общие свойства алгебраических кривых третьего порядка

1.1 Краткие сведения из истории развития учения о кривых

1.2 Алгебраические кривые

1.3 Алгебраические кривые третьего порядка

1.4 Классификация Ньютона алгебраических кривых третьего порядка

Глава 2. Некоторые замечательные кривые третьего порядка

2.1 Декартов лист

2.2 Циссоида Диоклеса

Заключение

Литература



Введение

Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекли внимание людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых.

Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые. Так же и сегодня, все что нас окружает, состоит из множества черт, которые, в свою очередь, складываются из различных кривых.

Но что же такое алгебраическая кривая? Это - множество точек аффинной плоскости удовлетворяющих уравнению f(x,y)=0, где f(x,y) - многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля k.

Замечательные кривые обладают целым рядом геометрических и механических свойств. С ними связываются в истории математики ряд важных теоретических открытий. Поэтому знакомство с отдельными кривыми и их свойствами вызывает особый интерес, развивает математическое мышление, устанавливает связь математической теории с практикой. Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.

Данная курсовая работа посвящена общим теориям алгебраических кривых третьего порядка: описанию свойств и особенностей формы отдельных замечательных кривых.

Цель данной работы: изучить свойства алгебраических кривых третьего порядка.

Задачи:

1) провести обзор специальной литературы, посвященной истории развития математики и теории плоских кривых;

2) описать некоторые факты из истории развития теории плоских кривых;

3) рассмотреть некоторые общие свойства алгебраических кривых 3-его порядка;

4) описать классификацию Ньютона кривых 3-его порядка;

5) изучить свойства некоторых замечательных кривых 3-его порядка.



Глава 1. Общие свойства алгебраических кривых третьего порядка

1.1 Краткие сведения из истории развития учения о кривых

кривая алгебраический порядок декартов

Приведем краткие сведения из истории теории кривых. Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия линии. Однако потребовался большой исторический период, прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенах пещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь, свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Все это, однако, было еще далеко от того абстрактного понимания линии, которыми располагает математика, и от сознательного исследования ее свойств.

Исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известной ступени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий, и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми или окружностью. Как видно, например, из древнейшего памятника математической культуры -«папируса Ринда», египтяне за 17-20 веков до начала нашей эры занимались квадратурой круга и получили довольно хорошее приближение для числа , равное ()², или 3, 1064. Но лишь с возникновением математики как науки стало развиваться и учение о линиях, достигшие в трудах греческих математиков высокого совершенства.

Греческие ученые создали теорию конических сечений-линий, имеющих особенно большое значение в науке и технике. Открытие их приписывается Менехму (4 век до н. э.), ученику Евдокса Книдского и, как полагают учителю Александра Македонского. Менехм определял эти кривые как сечения конуса плоскостью, перпендикулярной к его образующей. В зависимости от того, был ли угол при вершине конуса острым, прямым или тупым, получаемая линия представляла собой эллипс, параболу или гиперболу.

Что послужило поводом к этому открытию? Может быть, поиски решения знаменитой делосской задачи об удвоении куба, может быть, практический вопрос о том, на сколько должен быть вытянут овал, находящийся в качестве архитектурного украшения на фронтоне, что бы с известного места перед зданием он казался кругом.

Есть данные полагать, что Менехм знал свойства параболы и гиперболы, выражаемые в наши дни равенствами

y²=2px и xy=c

и использовал эти свойства для решения делосской задачи удвоения куба. К сожалению, эта первое сочинение по теории конических сечений было утеряно. Так же не дошла до нас работа греческого геометра Аристея, написавшего 5 книг «О пространственных местах», из которых много заимствовал Евклид (так же утерянной) работа о конических сечениях.

Архимед решил задачу о квадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанная в эллипс и в окружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил и площадь эллипса.

Однако все это было еще разрозненные сведения о конических сечениях. Первая методическая обработка теории конических сечений принадлежит Аполлонию Пергскому( 3-2 век до н. э.), трактат которого «О конических сечениях» является классическим сочинением греческой математики. В превосходном изложении Аполлоний систематизировал все, что было известно до него о конических сечениях, сам открыл ряд важных свойств этих кривых и установил их названия, употребляемые доныне.

Но не только конические сечение открыты греками. Ряд математиков в поисках решения великих проблем древности-задачи о трисекции угла , об удвоении куба и о квадратуре круга- использовал для образования кривых идею движения. Так возникли спираль Архимеда, циклоида , квадратриса Динострата. В тоже время первоначальный метод -образование кривых путем рассечения поверхности плоскостью- был использован для образования кривых Персея как сечений тора.

К кривым математическая наука обратилась только в ХVII в., в связи с созданием Аналитической геометрии. 1637 год -одна из великих дат в истории математики- год появления книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого метода для исследования кривых было фактом первостепенного значения. Метод координат не только создал общий , единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ее уравнения, он давал также неограниченную возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждое произвольно записанное уравнение, связывающие между собой две переменные величину, представляло теперь , вообще говоря новую кривую.

Открытие метода координат подготовило в свою очередь открытие могущественного метода науки - исчисление бесконечно малых. Метод координат в соединение с анализом бесконечно малых позволил от частных способов и оригинальных приемов или гениальных догадок при исследовании кривых перейти к их исследованию общим методом.

Многочисленные проблемы механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в ХVII-ХVIII веках, стимулировали глубокий интерес к исследованию инфинитезимальных свойств тех линий, которые были известны еще древним. Эти проблемы привели также к открытию новых линий, при рассмотрении чисто практических вопросов и в теоретических исследованиях. Крупнейшие математики эпохи- Декарт, Гюйгенс, братья Бернулли- с необыкновенным вдохновением занимались изучением кривых , открывая все новые и новые виды и их свойства.

В это время наряду с многочисленными предложениями о проведении касательных к кривым, об определении площадей , ограничиваемых кривыми, длин дуг, объемов тел вращения и т. д., устанавливаются органические связи одних кривых с другими . Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определенным образом и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает это предложение на алгебраические спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически. К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Ториччели , спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньяно в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложил основы теории эллиптических функций.



Наряду с исследованием геометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенс открывает изохронность циклоиды. И.Бернулли показывает, что циклоида является брахистохроной в пустом пространстве. Исследуя механические свойства параболы Нейпя , цепной линии, овалов Кассини, овалов Декарта и ряда других теперь хорошо известных кривых.

О том, насколько актуальной была задача исследования кривых в ту пору, свидетельствует само название первого учебника по анализу -«Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий» Лопиталя.

Не только практические потребности века -запросы промышленности, конструирование машин и механизмов, постройки плотин и шлюзов- поддерживали постоянный и глубокий интерес к исследованию кривых у этих ученых, но и та «радость созерцания формы», которая, по словам Клейна, характеризует истинного геометра.

Увлечение аналитическим методом исследования кривых, особенно характерна для ХVII в., с течение времени вызвало реакцию со стороны некоторых ученых. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующие ей уравнение.

Изложенные нами исторические сведения о развитии методов исследования кривых носят самый общий характер и имеют целью определить лишь основные вехи в этом развитии.

Однако, прежде чем исследовать кривую, необходимо рассмотреть способы образования кривых.

1. Кривая определяется как линия пересечения данной поверхности плоскостью, положение которой определено.

В истории развития учения о кривых этот способ является первым. Греки определяли кривые второго порядка как сечения кругового конуса. Таково же происхождение кривых Персея, получаемых в результате сечений плоскостью поверхности тора. Эвольвента круга может быть определена как линия пересечения поверхности касательных к винтовой линии, перпендикулярной к её оси и т.д.

2. Кривая определяется как геометрическое место точек, обладающих данным свойством.

Этот способ особенно употребителен. Он широко практиковался ещё греческими математиками; так Евклид рассматривал конические сечения как геометрические места точек, сохраняющих постоянное отношение расстояний от данной точки и от данной прямой. Как геометрическое место точек была определена Диоклесом его циссоида. Таким же способом определяет Никомед конхоиду. Такие линии, как овалы Декарта, овалы Кассини, улитка Паскаля, строфоида, верзиера и целый ряд других кривых, определяются обычно как геометрические места.

3. Кривая определяется как траектория точки, характер движения которой обусловлен тем или иным образом.

Кинематический способ образования линий был также хорошо известен греческим учёным. Как траекторию точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается по прямой, а другое - по окружности, определил Архимед свою спираль. Все циклоидальные кривые являются траекториями точки, жёстко связанной с кругом, который катится без скольжения по окружности другого круга. Кинематическим путём определяется квадратриса Динострата как траектория точки пересечения вращающегося радиуса окружности с хордой, двигающейся параллельно самой себе. Лемниската Бернулли может быть определена как траектория середины большого звена шарнирного антипараллелограмма, противоположное звено которого закреплено. Кинематически определяются розы, кривые скольжения и многие другие линии. Кинематический способ задания кривой полагался Декартом в основу определения кривых методом координат.

4. Образование линий по способу сопряжения проективно соответствующих элементов.

Этот способ сравнительно недавнего происхождения и во всей полноте рассматривается в курсах проективной геометрии. В основу его полагается идея соответствия двух проективных рядов точек или двух проективных пучков.

1.2 Алгебраические кривые

Общие теоремы

Общий теорема об алгебраических кривых из числа общих теорем связано с понятием порядка алгебраической кривой, остановимся на следующих:

Теорема 1. Порядок алгебраической кривой не зависит от положения этой кривой относительно системы координат.

Доказательство. Известно что, общие преобразования координат точками плоскости осуществляется по формулам

(3)

где x и y -старые координаты, а x₁ и y₁ -новые. Так как правые части этих формул являются линейными функциями, то, будучи поставлены в уравнение кривой, они не могут увеличить его степень. Но они не могут и понизить ее, так как в противном случае при обратном переходе степень уравнения должна была бы повыситься, что невозможно.

Теорема 2. Две неприводимые алгебраические кривые, одна из которых имеет порядок m, а другая - порядок n, пересекаются не более чем в mn точках.

Доказательство. Справедливость этой теоремы вытекает из известной теоремы о числе корней системы двух алгебраических уравнений, одно из которых степени m, а другое - степени n.

Если уравнение данных кривых неполные, например, если высшая степень y уравнение первой кривой равна m- p, а в уравнение второй кривой n- q , то степень уравнения полученного после включения y, будет не выше mn-pq и, следовательно, кривые будут пересекаться в этом случае не более чем mn-pq точках.

Теорема 3. Алгебраическая кривая n-го порядка определяется точками.

Доказательство. Действительно, в уравнении кривой n-го порядка имеется

коэффициентов, для определения которых потребуется такое же количество уравнений, связывающих эти коэффициенты.

Однако, имеется возможность разделить все коэффициенты в уравнение кривой на один из них. Тогда число подлежащих определению коэффициентов уменьшится на единицу и будет равно

Отсюда следует, что, задавая точек кривой, мы получим систему уравнений, решая которую найдем коэффициенты уравнения заданной кривой.

Возможно, что некоторые коэффициенты не будут существовать или окажутся неопределенными. Это произойдет, если коэффициент, на который были разделены все члены уравнения искомой не распадающийся кривой, является нулем. Следовательно, что данных точек будет недостаточно для определения, и может иметь место в том случае, когда заданные точек расположены так, что всякая кривая n-го порядка, проходя через некоторые из них, непременно пройдет через все остальные.

Так, например, кривая 3-го порядка, проходящей через 8 точек, расположенных известным образом, обязательно пройдет через некоторую девятую точку и, следовательно, такими девятью точками кривая 3-го порядка не может быть определена. Подобным образом, кривая 2-го порядка, состоящая из двух пересекающихся прямых не может быть определена пятью точками, если эти точки заданы так, что 4 из них лежат на одной прямой.

В общем случае можно утверждать следующее.

Теорема 4. Каждая кривая n-го порядка, проходящей через точку, проходят также еще через определенных точек плоскости, положение которых зависит от положения заданных точек.

Доказательство. Действительно, пусть f₁(x, y)=0 и f₂ (x, y)=0 - уравнения двух каких-либо кривых n-ого порядка, каждый из которых проходит через заданных точек. Тогда всякую иную кривую n-го порядка, проходящую через эти заданные точки, можно выразить уравнением

f₁(x, y)- kf₂ (x, y)=0, так как постоянный множитель k в этом уравнении можно определить для конкретной кривой из равенства f₁(a,b)- kf₂ (a, b)=0 , где a и b-координаты точки этой кривой, которая вместе с заданными точками ее определяет. Но, с другой стороны, эта кривая проходит через точки пересечения кривых f₁(x, y)=0 и f₂ (x, y)=0 и, следовательно, имеет с ними n² общих точек. Таким образом, эта кривая, проходя через

заданных точек, пройдет еще через

n²- точек плоскости, определенных заданными точками.

1.3 Алгебраические кривые третьего порядка

Рассмотрим алгебраические кривые третьего порядка, используя общие теоремы об алгебраических кривых n - ого порядка, получим некоторые теоремы, описывающие свойства кривых 3-его порядка.

Пусть некоторая прямая, уравнение которой можно записать краткое в виде U=0 , пересекает данную кривую 3-го порядков в точках A, A₁, A₂.

Другая прямая н=0 пересекает ее в точках B, B₁, B₂. Проведем прямые AB, A₁B₁, A₂B_2, уравнения которых p=0, q=0 и r=0.

Так как мы знаем лишь две точки пересечения каждой из этих прямых с данной кривой, то каждой из них пересечет эту кривую еще в третьей точке; назовем эти точки C, C_1, C_2, а уравнение прямой CC₁ выразим равенством щ=0

Уравнения pqr=0 и уравнение uнщ =0 являются уравнение 3-ей степени и, значит, их можно рассматривать как уравнения кривых 3-го порядка (выродившихся). Таким образом, мы имеем три кривых третьего порядка - данную кривую и кривые pqr=0 и uнщ =0.



Эти три прямые проходят через восемь точек A₁ A₂ B₁ B₂ C C₁ один, но так как две кривые 3-го порядка должны иметь в общем случае девять общих точек, то они имеют 9 общую точку. Эта 9-я точка будет точкой C₂, так как она, находясь на кривой uнщ =0, не может принадлежать прямой u=o и прямой н=0 и, следовательно, находится на прямой щ=0, то есть на прямой CC₁.

Теорема 1.(Теорема Маклорена.) Если в трех точках пересечения кривой третьего порядка некоторой прямой провести к этой кривой касательные, то точки их пересечения с кривой лежат также на одной прямой.

Доказательство. Действительно, обращаясь к проделанному выше построению, предложим, что прямая н=0 неограниченно приближается к прямой u=0. Точки В В₁ и В₂ будут также неограниченно приближается к точкам А А₁ А₂ и следовательно, прямые АВ, А₁Б₁ и А₂В₂ в пределе обратятся в касательные к кривой, а точки С, С₁ и С₂ их пересечения с кривой по-прежнему будут находиться на одной прямой.

Теорема 2. Если прямая проходит через две точки перегиба кривой третьего порядка, то она обязательно пройдет и через третью точку перегиба этой кривой.

Доказательство. Действительно, если точки А и А₁ прямой u=0 являются точками перегиба кривой, то касательные в этих точках и в точке А₂, согласно предыдущей теореме, будут пересекает кривую в трех точках, лежащих на одной прямой; но так как в каждой точке перегиба кривая имеет с касательной три общие, совпавшие друг с другом точки, то точки С и С₁ совпадут с точками А и А₁. Очевидно, при этом и точка С₂ должна совпасть с точками А и А₁. Очевидно, при этом и точка С₂ должна совпасть с точкой А₂. В точке А₂ совпадут, таким образом; три общие точки прямой u=0 и кривой; следовательно эта точка будет третьей точкой перегиба заданной кривой 3-го порядка.

Теорема 3. Если через четыре точки кривой 3-го порядка проведена кривая второго порядка, пересекающая заданную кривую еще в двух точках, то прямая, проведенная через эти две точки, пересекает кривую 3-го порядка в определенной точки, общей для всех кривых второго порядка, проходящих через четыре заданные точки.

Доказательство. Действительно, представим себе, что через заданные четыре точки проведена кривая второго порядка, пересекающая кривую третьего порядка еще в точках М и М₁. Проведем через эти же четыре точки еще какую-либо кривую второго порядка, и пусть она пересекает кривую третьего порядка еще в точках N и N₁. Первая кривая второго порядка вместе с прямой NN₁ образует некоторую линию 3-го порядка (распадающуюся), проходящую через восемь точек, а именно, через 6 точек пересечения кривой 2-го порядка с данной кривой 3-го порядка и через две точки пересечения прямой NN₁ с этой кривой. Вторая кривая 2-го порядка вместе с прямой MM₁ также представляет собой линию 3-го порядка, проходящую через те же восемь точек. Таким образом, заданная кривая и две образованные нами распадающиеся линии 3-го порядка имеют восемь общих точек. На основании проделанного в начале этого раздела построения заключаем, что все эти линии 3-го порядка прямой MM₁ и одновременно прямой NN₁ пройдут через девятую точку. Эта точк4а принадлежит заданной кривой. Следовательно, эти прямые пересекают заданную кривую в одной и той же точке. Эта точка уже определяется заданием первой кривой 2-го порядка, то утверждение доказано.

Приведем еще некоторые свойства алгебраических кривых 3-го порядка:

1) У каждой кривой 3-го порядка, не имеющей двойной точки, есть по меньшей мере одна точка перегиба. Действительно, всех пар значений x и y, определяющих точки пересечения кривой 3-го порядка и ее гессианы, должно быть девять, но так как мнимые значения всегда попарно сопряжены, то хотя бы одна из этих точек будет действительно ( эта действительная точка может быть и бесконечно удалённой).

2) Кривая 3-го порядка не может иметь более одной двойной точки. Действительно, предполагает противное, мы получили бы, что прямая, соединяющая две её двойные точки, имеет с кривой четыре общие, попарно совпадающие между собой точки, что невозможно. Такие же соображения убеждают нас в том, что кривые 3-го порядка не могут иметь тройных точек.

3) Кривые третьего порядка, имеющие двойную точку, являются рациональными кривыми.

Действительно помещая начало кардинальных двойное точку, мы будем иметь уравнение кривой в виде

Если положить y=tx, то получим параметрические уравнения нашей кривой:

правые части которых рациональны.

4) Можно показать также, что рациональное кривая 3-го порядка с узловой точкой или точка возврата имеет одну действительную точку перегиба, а с изолированной точкой- три действительные точки перегиба.

1.4 Классификация Ньютона алгебраических кривых третьего порядка

Первая классификация кривых 3-его порядка была выполнена Ньютоном, который и положил тем самым начало систематическому исследованию этих кривых.

Среди различных принципов, которые были положены в основу классификации кривых 3-го порядка, наиболее удобным является разделение их на группы в зависимости от количества и характера бесконечных ветвей.

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать в виде:

(1)

Следовательно, для кривой (1) угловой коэффициент асимптоты определяется равенством

(2).

Второй параметр асимптоты- ее начальная ордината b- определится равенством

(3).

Где k находится из уравнения (2).

Количество бесконечных ветвей кривой(1) зависит от числа действительных корней уравнения (2); характер ветвей определиться равенством (3).

Очевидно, параметр b не определяется уравнением (3), если одновременно

4)

(5), или

(6)

(7)

В первом случае b не существует, во втором- остается неопределенным. Рассмотрим, когда эти случаи возможны.

1.Если все три корня уравнения (2) действительны и среди них нет кратных, то левая часть равенства(4), являющаяся производной от левой части уравнения(2), не может равняться нулю и следовательно, соответственно трем значениям k будут определены три значения для b; кривая имеет три асимптоты трех гиперболических ветвей.

2.Если уравнение (2) имеет один действительный корень и два комплексных, то уравнение (4) так же не будет удовлетворяться и соответствующее значение для b выразится определенным числом- кривая будет иметь одну асимптоту.

3.Если уравнение (2) имеет действительный двукратный корень, то производная левой части уравнения (2) обратится в нуль и, следовательно, значение двукратного корня удовлетворит равенству (4). Если оно при этом удовлетворит также неравенству (5), то b не существует и, следовательно, кратное значение корня соответствует параболической ветви кривой, а третьему, однократному значению корня будет соответствовать гиперболическая ветвь.

4.Если двукратный действительный корень уравнения (2), обязательно удовлетворяя равенству (6), удовлетворяет и равенству (7), то значение b оказывается неопределенным, так как уравнение (3) обращается в тождество. При отыскании асимптот алгебраической кривой в подобном случае приравнивается нулю коэффициент следующего старшего члена равенства, которое получается, если в уравнение (1) подставить вместо y выражение kx+b. В нашем случае это будет коэффициент при x; уравнение, которым должно определиться значение b, окажется квадратным:

(8)

Обратимся теперь к рассматриваемому нами случаю. Так как мы предполагали корень уравнения (2) двукратным, то

и, значит, уравнение (8) дает нам два значения для b, которые могут быть действительными различными, равными или комплексными. Поэтому двукратному корню уравнения (2) соответствуют две параллельные асимптоты, которые могут совпасть в одну, а могут быть мнимыми.

5.Положим теперь, что уравнение (2) имеет трехкратный корень. При этом значении корня обращается в нуль не только первая, но и вторая производная от левой части уравнения (2), т. е. имеют место равенства

и

Здесь возможны следующие подслучаи:

а)Если выполняется равенство (5), то b не существует и кривая не имеет асимптот; значение трехкратного корня соответствует в этом случае параболической ветви кривой;

б)Если, а , то уравнение (3) для определения b уже не годиться и замениться уравнением (8), которое станет линейным, та как , и доставит только одно значение b; следовательно, кривая будет иметь только одну асимптоту;

в)Если и, но при этом , то b не существует и, следовательно, асимптот у кривой нет (заметим, что если и , то кривая распадается на три параллельные прямые).

На основе проведенных исследований можно, в зависимости от вида корней уравнения(2), разделить все кривые 3-го порядка на семь групп, которые приведены, и далее с сохранением названия каждой группы, данное Ньютоном, и указанием характерной формы кривых каждой группы.

1-ая группа: все три корня уравнения(2) действительные и различные;

кривая имеет три асимптоты и три гиперболические ветви.

Кривые этой группы носят название hyperbolae redundantes (раскинутые гиперболы);

уравнение их могут быть приведены к виду

Основные формы кривых этой группы определяются видом корней вспомогательного уравнения

(9)

при этом различаются три случая.

1) Все корни уравнения (9) комплексные или все действительные различные;

кривая состоит из трех типов гиперболических ветвей и овала или из двух гиперболических ветвей и одной прямолинейной ветви. (рис. а)

2) Два корня уравнения (9) действительных и различные, а два других- комплексные;

кривая состоит из трех гиперболических ветвей.(рис. б)

3) Два корня уравнения (9) равны между собой, а остальные корни или комплексные, или одновременно больше или меньше разных корней;

кривая состоит из трех гиперболических ветвей, две из которых пересекаются между собой, или из трех типов гиперболических ветвей, одна из которых имеет узловую точку.(рис. в)

4) Все корни уравнения (9) действительно, причем два средних по величине равны между собой;

кривая состоит из трех гиперболических ветвей и имеет изолированную точку.(рис. г)

5) Три корня уравнения (9) равных между собой;

кривая состоит из трех гиперболических ветвей, одна из которых имеет точку возврата.(рис. д)

2-ая группа: уравнение (2) имеет один действительный корень;

кривая имеет одну асимптоту и одну бесконечную ветвь прямолинейного типа.

Кривые этой группы называются hyperbolae defectivae (дефективные гиперболы); уравнения их имеют вид



1) Все корни уравнения (9) действительные и различные;

кривая состоит из одной прямолинейной ветви и овала.(рис. а и б)

2) Два корня уравнения (9) действительны и различны, два других- комплексные; (рис. в)

кривая состоит из одной бесконечной ветви прямолинейного характера.

3) Среди четырех действительных корней уравнения (9) два средних по величине равны между собой;

кривая представляет бесконечную прямолинейную ветвь, имеющую узел. (рис. г и д)

4) Среди четырех действительных корней уравнения (9) два больших или два меньших равны между собой;

кривая состоит из изолированной точки и бесконечной прямолинейной ветви. (рис. в)

5) Уравнение (9) имеет трехкратный корень;

кривая представляет собой бесконечную прямолинейную ветвь, имеющую точку возврата.(рис. ж)

3-я группа: два корня уравнения (2) равны между собой, но не удовлетворяют равенству ;

кривые имеют две бесконечные ветви смешанного характера, но только одну асимптоту.

Кривые этой группы называются hyperbolae parabolicae ( параболические гиперболы); уравнения их могут быть приведены к виду

Основные формы кривых определяются видом корней уравнения

(10)

Различают следующие случаи:

1) Корни уравнения (10) действительны и различны;

Если знаки корней одинаковые, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей, одна из которых прямолинейная, если же корни имеют разные знаки, то кривая состоит из двух бесконечных ветвей и овала. (рис. а и б)

2) Уравнение (10) имеет один действительный корень;

кривая состоит из двух бесконечных ветвей смешанного типа. (рис. в)

3) Два больших корня уравнения (10) равных между собой по модулю;

кривая состоит из двух пересекающихся ветвей, если корни имеют разные знаки, и из двух бесконечных ветвей, одно из которых узел, если корни имеют одинаковые знаки. (рис. г и д)

4) Два меньших корня уравнения (10) равны между собой;

кривая имеет изолированную точку и состоит из двух бесконечных ветвей. (рис. в)

5) Уравнение (10) имеет трехкратный корень;

кривая состоит из двух бесконечных ветвей, одно из которых точка возврата.(рис. ж)

4-я группа: два корня уравнения (2) равны между собой и удовлетворяют равенству E+2Fk+Gk²=0; кривая имеет одну, две или три асимптоты, причем две из эти трех асимптот параллельны между собой и могут быть различными, совпадающими и мнимыми.

Кривые этой группы называются huperbolismi sectionum conicarum ( гиперболизмы конических сечений); их уравнения приводятся к виду



Основные формы кривых определяются знаком и знаком коэффициента с.Здесь различают следующие случаи:

1) При положительном c кривая имеет две параллельные асимптоты и бесконечно удаленную узловую точку, причем если , то кривая состоит из трех гиперболических ветвей, у одной из которых параллельные асимптоты,

а если , то кривая состоит из трех гиперболических ветвей на одной из которых есть точка перегиба. (рис. а и б)

2) При отрицательном с кривая представляет собой бесконечную ветвь прямолинейного характера, имеющую бесконечно удаленную изолированную точку. (рис. в)

3) если , то кривая состоит из двух бесконечных ветвей с общими асимптотами и имеет бесконечно удаленную точку возврата. (рис. г)

5-я группа: все три корня уравнения (2) равны между собой, но не удовлетворяют уравнению ;

кривая имеет бесконечную ветвь параболического типа; асимптот нет.

Кривые этой группы называются parabola divergentes (расходящиеся параболы); их уравнение приводятся к виду

Основные формы кривых этой группы определяются видом корней вспомогательного уравнения

(11)



Различают случаи:

1) Если уравнение (11) имеет один действительный корень, то кривая состоит из одной бесконечной ветви параболического типа. (рис. а)

2) Если корни уравнения (11) действительны и различны, то кривая состоит из параболической ветви и овала. (рис. б)

3) Если все корни уравнения (11) действительные и среди них два больших корня равны между собой, то кривая состоит из параболической ветви, имеющие узловую точку. (рис. в)

4) Если все корни уравнения (11) действительный и среди них два меньших корня равны между собой, то кривая состоит из параболической ветви, имеющий изолированную точку. (рис. г)

5) Если все корни уравнения (11) равны между собой, то кривая представляет собой параболическую ветвь, имеющую точку возврата. (рис. д)

6-я группа: все три корня уравнения (2) равны между собой и удовлетворяют равенству

, но не удовлетворяет равенству; кривая имеет две бесконечные ветви и только одну асимптоту;

называется она tridents (трезубец) и имеет уравнение

7-я группа: все корни уравнения (2) равны между собой и удовлетворяют уравнениям

и;

кривая представляет собой параболическую ветвь, называется parabola cubica (кубическая парабола) и имеет уравнение (рис. б)



Глава 2. Некоторые замечательные кривые третьего порядка

2.1 Декартов лист

Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа. Пусть параметр определяется равенством Рассмотрим систему уравнений:

Преобразуем эту систему:

Получим систему относительно х и у:

tR, 

Следует, что декартов лист является рациональной кривой.

Учитывая связь полярных и декартовых координат точки M на плоскости, определенных системой

Найдем уравнение декартова листа в полярных координатах. Приведем полярное уравнение декартова листа к виду

(3)

Свойства декартова листа.

Исследуем свойства декартова листа:

1) Кривая симметрична относительно биссектрисы

первого и третьего координатных углов.

Доказательство: Рассмотрим любую точку M(x,y) плоскости. Тогда точка M' симметричная точке M относительно биссектрисы имеет координаты M'(x,y). Следовательно, координаты точки M' удовлетворяют уравнению декартова листа и значит точка M' лежит на этой кривой.

2) Координаты x и y входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда имеем .

Доказательство: Найдем следовательно только точка O(0,0) является особой точкой декартова листа. Найдем и получим в точке O отрицательна эта разность поэтому в точке O данная кривая сама себя пересекает.

3) Начало координат является узловой точкой декартова листа.

Доказательство: Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З , откуда получим и - искомые уравнения касательных в узловой точке.

Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом.

4) (а) В первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке

N.

Доказательство: Найдем точки пересечения кривой с прямой у = х, тогда

Следовательнои значит прямая пересекает декартов лист в 2-х точках O и N.00

4) (b) Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты

M₁ и M₂ (cм. рис. 1)

Доказательство: Уравнение касательной в точке M₀(x₀,y₀) имеет вид

(

следовательно, касательная ? параллельна оси OX, если x₀²-ay₀=0 и, значит, в силу (2) получаем, что для t₀=v2 и t₀=0, то есть в точках M₁(a³v2,a³v4) и O(0,0) касательная параллельна оси OX. Аналогично устанавливается, что в точках M₂(a³v2,a³v4) и O(0,0)касательная параллельна OY.

5) Декартов лист имеет асимптоту

Доказательство: Найдем асимптоту . Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими

степенями х. Получим и , откуда и . Таким образом, декартов лист имеет асимптоту следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность.

Рис. 1

6) Известно, что если в трех точках алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии.

Докажем эту теорему для листа. Выведем предварительно условие принадлежности трех точек декартова листа, соответствующих значениям t ₁ , t ₂ и t ₃параметра, на одной прямой.

Если уравнение прямой имеет вид , то значения параметра, соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе



Система эта приводит к уравнению

корни которого и будут искомыми значениями t ₁ , t ₂ и t ₃ параметра, откуда следует, что

(4)

Это равенство и является условием принадлежности трех точек M₁ ( t₁ ), M₂ ( t₂ ), М₃ (t₃ ) декартова листа одной прямой.

Используя это, докажем справедливость утверждения для декартова листа. Действительно, касательную в точке M₁ ( t₁ ) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t₂ = t₁ , и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T₁ .

Условие (4) примет вид t₁ ² T₁ = - 1.

Для касательных в точках М₂ и M₃ получим аналогичные соотношения t₂ ² T₂ = -1 и t₃ ² T₃ = -1 .

Перемножая эти три равенства, будем иметь

(t₁ t₂ t₃ )² T₁ T₂ T₃ = -1 .

Откуда на основании (4) заключаем, что и T₁ T₂ T₃ = -1, т. е. точки N₁ ( T₁ ), N₂ (T₂ ) и N₃ (T₃ ) лежат на одной прямой.

7) Площадь, ограниченная петлей декартова листа, равна

Доказательство: Воспользуемся известным правилом нахождения кл-ди фигуры, ограниченной кривой y=f(x). И получим

Если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение

его примет вид

(5)

Пусть дана окружность с радиусом r и центром в точке

M(,0)

и прямая .

Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN ,перпендикулярную к оси абсцисс (рис. 2).

Из точки пересечения R прямой QA с прямой проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q ₁ с прямой QN.

Таким образом, точке Q на окружности будет поставлена в соответствие точка Q₁ .

Геометрическое место точек Q₁ представляет собой декартов лист.



Рис 2.

Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде

угол, составляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс.

В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде

Полагая в этом уравнении х= - h , находим ординату

точки R . Отсюда следует, что уравнение прямой RQ ₁ запишется в виде

В то же время уравнение прямой Q ₁ N имеет вид

Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w , находим уравнение геометрического места точек Q₁ в виде

Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геометрическое место точек является декартовым листом.

Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осуществляемое при таком его построении, называется преобразованием Маклорена.

Историческая справка:

Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе.

Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось.

Полная форма кривой с наличием асимптоты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли.

Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.



2.2 Циссоида Диоклеса

Особенности формы

Среди многих способов образования циссоиды-- кривой, открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба, мы остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким образом точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).

Если точку О принять за полюс, то но

откуда получаем полярное уравнение циссоиды

Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем уравнение циссоиды в прямоугольной системе:

Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая x=ty, тогда, на основании уравнения (2), придем к системе

Рис. 3

Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка, а из уравнений (3) следует, что она является рациональной кривой.

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс, имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности, т. е. прямая , служит для нее асимптотой; начало координат является точкой возврата 1-го рода.

Свойства циссоиды.

1) Циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольника АВС, передвигающегося в плоскости чертежа так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)

Доказательство: Обозначив середину отрезка ОЕ через D , замечаем, что поскольку ВС=ЕО, ? ВСЕ= ? ВЕО, откуда ? ВЕО = ?СВЕ, и, следовательно, ? NBE -- равнобедренный, а так как , то отрезок DM параллелен отрезку BE . Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM прямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет, очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между собой. Из равенства их следует, что DF = MK , а значит, и DM = FK .Последнее равенство и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.

2) Циссоида является подэрой параболы относительно ее вершины.

Доказательство: Пусть - уравнение данной параболы. Уравнение касательной в произвольной точке М (x, h) этой параболы можно записать в виде

уравнение перпендикуляра, опущенного из

Рис. 4.

начала координат на эту касательную, будет координаты точки N пересечения его с касательной определятся по формулам

(4)

Исключая из этих равенств параметр , мы получим уравнение



выражающее циссоиду.

Заметим далее, что координаты точки, симметричной началу координат относительно касательной к параболе

у² = 2рх, получатся, если правые части формул (4) удвоить, и, следовательно, они определяется формулами

Исключая из этих равенств параметр, мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует, что циссоида является геометрическим местом точек, симметричных вершине параболы относительно ее касательных.

Следует заметить, что геометрическое место точек, симметричных началу координат относительно касательной к параболе, можно рассматривать как траекторию вершины другой параболы, одинаковой с данной, которая катится по данной параболе. Таким образом, возникает новый способ кинематического образования циссоиды как траектории вершины параболы, которая без скольжения катится по другой такой же параболе.

Остановимся на метрических свойствах циссоиды; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде

3) Площадь, ограниченная циссоидой и ее асимптотой, равняется утроенной площади производящего круга;



Рис. 5.

Доказательство: Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис.5), найдем, интегрируя в границах от ц=0 до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу, то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна

Выражение, стоящее в правой части, определяет утроенную площадь криволинейного треугольника CLANC. Итак, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом.

4) Объем тела, образованного вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат определится по формуле

Если учесть, что объем тора, получаемого от вращения производящего круга вокруг оси ординат, равняется, то из полученного результата следует, что объем тела, получаемого вращением части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой, вокруг оси ординат, в пять раз больше объема тора, полученного от вращения производящего круга вокруг той же оси. Это соотношение было получено также Гюйгенсом.

Пусть теперь х_с -- абсцисса центра тяжести части плоскости, ограниченной циссоидой и ее асимптотой; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U * 2pх_с , где V и U--соответственно объем и площадь, которые были определены выше. Подставляя их значения

в соотношение Гюльдена, получим

Таким образом, центр тяжести части плоскости, ограничиваемой циссоидой и ее асимптотой, делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части, отношение которых равно 5.

Это соотношение позволяет в свою очередь определить объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты. По теореме Гюльдена будем иметь

Этот результат можно истолковать также как объем тора, полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты. Таким образом, объем тела, полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты, равен объему тора, полученного от вращения производящего круга. Это соотношение установлено впервые Слюзом.

Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле



Применение циссоиды к решению делосской задачи.

Циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба. История возникновения этой задачи, согласно легенде, передаваемой Эратосфеном, такова: на острове Делосе жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. Что касается самого повода постановки задачи, то справедливо полагать, что «пифия находилась скорее под внушением математиков, нежели вдохновлялась самим богом» (Цейтен), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство планиметрической задачи о построении квадрата с площадью, в два раза большей площади данного квадрата, и, следовательно, могла скорее возникнуть в сознании математика, нежели в сознании оракула.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи приписывается Диоклесу, жившему в 3 веке до нашей эры. Возможность найти графическим путем ребро куба с объемом, в два раза большим объема данного куба, усматривается из следующих соображений. Пусть b - ребро данного куба, а В - ребро искомого; тогда и, следовательно, Отсюда ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению

Перепишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее, что прямая отсекает от касательной отрезок (рис. 6)

(5)



и пересекает циссоиду в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнению

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через точку А (2а, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок

(6)

Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной, то, как это следует из формул (5) и (6), отрезок AD и будет равен

Древние рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, откуда проистекает название кривой. Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и независимо от него Слюзом. Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольника приписывается Ньютону, который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем, но и графическим.

Заключение

В первой главе данной работы на основе обзора специальной литературы и использования электронных материалов (или источников) описаны способы образования кривых, классификация алгебраических кривых 3-го порядка, рассмотрены некоторые теоремы о свойствах алгебраических кривых. Показано, что:

1) Если в трех точках пересечения кривой третьего порядка некоторой прямой провести к этой кривой касательные, то точки их пересечения с кривой лежат также на одной прямой.

2) Если прямая проходит через две точки перегиба кривой третьего порядка, то она обязательно пройдет и через третью точку перегиба этой кривой.

3) Если через четыре точки кривой 3-го порядка проведена кривая второго порядка, пересекающая заданную кривую еще в двух точках, то прямая, проведенная через эти две точки, пересекает кривую 3-го порядка в определенной точки, общей для всех кривых второго порядка, проходящих через четыре заданные точки.

Так же в первой главе исследуем классификацию Ньютона которая содержит семь групп:

1-ая группа: все три корня уравнения действительные и различные;

кривая имеет три асимптоты и три гиперболические ветви.

Кривые этой группы носят название hyperbolae redundantes (раскинутые гиперболы);

уравнение их могут быть приведены к виду

Основные формы кривых этой группы определяются видом корней вспомогательного уравнения

2-ая группа: уравнение имеет один действительный корень;