Дослідження міцності та коливань елементів турбомашин з використанням методу граничних інтегральних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А.М.ПІДГОРНОГО

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

ДОСЛІДЖЕННЯ МІЦНОСТІ ТА КОЛИВАНЬ ЕЛЕМЕНТІВ ТУРБОМАШИН З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

СТРЕЛЬНІКОВА ОЛЕНА ОЛЕКСАНДРІВНА

Харків 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного Національної академії наук України.

Науковий консультант - доктор технічних наук, професор Кантор Борис Якович, Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, завідувач відділу міцності тонкостінних конструкцій

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем математики і механіки ім. Я.С. Підстригача НАН України, провідний науковий співробітник

доктор технічних наук, професор Синєкоп Микола Сергійович, Харківський державний університет харчування та торгівлі Міносвіти та науки України, завідувач кафедри вищої математики,

доктор технічних наук, професор Фомичов Петро Олександрович, Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського ”Харківський авіаційний інститут”, завідувач кафедри міцності літальних апаратів

Провідна установа - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, відділ термопружності, Київ

Захист відбудеться “_27_” листопада 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.180.01 при Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, за адресою: 61046, м.Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічній бібліотеці ІПМаш ім. А.М.Підгорного НАН України, за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм.Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “24”жовтня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради к. т. н., с. н. с. Б.П. Зайцев

АНОТАЦІЯ

Стрельнікова О.О. Дослідження міцності та коливань елементів турбомашин з використанням методу граничних інтегральних рівнянь.-Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.02.04- “Механіка деформівного твердого тіла”.- Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2003.

Вирішено науковотехнічну проблему, яка полягає у розробці і обґрунтуванні методів розрахунку частот і форм коливань складних просторових конструкцій, що взаємодіють із середовищем або мають тріщини. Результати, що отримані в дисертації, є теоретичною основою інженерних розрахунків частот і форм гідропружних коливань лопатей, робочих коліс та кришок поворотнолопатевих і радіальноосьових гідротурбін. На основі методів теорії потенціалу та граничних (сингулярних та гіперсингулярних) інтегральних рівнянь побудовано математичні моделі і методи дослідження вільних коливань елементів турбомашин з рідиною або газом а також напруженодеформівного стану у тілах з тріщинами в пружнопластичному формулюванні.

Побудовані методи застосовано до розв'язування таких інженерних задач.

У просторовому повітряному потоці визначено аеродинамічні навантаження, що діють на лопаті повітряної турбіни; досліджено напруженодеформівний стан та прогини лопаті; сформульовано і розв'язано задачу оптимізації лопаті повітряної турбіни з обмеженнями, пов'язаними з міцнісними та геометричними параметрами, флатером та частотами власних коливань. Розроблено ефективний метод розрахунку власних коливань конструкцій, що взаємодіють з рідиною, який поєднує метод скінченних елементів для визначення власних коливань конструкцій у вакуумі та метод граничних інтегральних рівнянь для обчислення тиску рідини. За його допомогою визначено частоти і форми власних коливань лопатей поворотнолопатевих і робочих коліс радіальноосьових гідротурбін та кришок гідротурбін у воді.

Метод граничних інтегральних рівнянь розвинуто для дослідження елементів конструкцій з тріщинами в пружнопластичному формулюванні

Проведено теоретичне дослідження, яке дозволило коректно обчислювати Jінтеграли при використанні методу гіперсингулярних інтегральних рівнянь у задачі розтягу пластини з тріщиною. Ці результати стали основою для дослідження довговічності елементів турбомашин з тріщинами при циклічному навантажені.

Ключові слова: вільні гідропружні коливання, гіперсингулярні інтегральні рівняння, метод граничних елементів, лопаті, робочі колеса і кришки гідротурбін, оптимізація, тріщина, пластичність.

ABSTRACT

Strelnikova E.A. Investigation of strength and vibrations of turbomachine elements with usage of boundary integral equation method.Manuscript.

The thesis presented for a Doctor Degree in Technical Sciences by speciality 01.02.04 - “Mechanics of Deformable Solids” - A.M.Pidgorny Institute for Problems in Machinery, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv,2003.

The scientific and technical problem is solved that consists in elaboration and theoretical validation of computational methods to define frequencies and free vibration modes of spatial configuration structures with cracks or interacting with a medium. The outcomes, obtained in a thesis, become a theoretical basis for engineering calculations of elastic vibration frequencies and modes of water wheels and covers of Kaplan and Francis hydraulic turbines. On the basis of potential theory and boundary (singular and hypersingular) integral equation methods the mathematical models and methods for free vibrations estimation of turbomachine elements at interaction with a fluid or gas and also for examination of a stress concentration in bodies with cracks elastoplastic statement were elaborated.

The methods and models elaborated were applied to solve the following engineering problems.

The aerodynamic loading acting on a winddriven powerplant blade in a spatial airflow was defined; the deflected mode of a blade under aerodynamic and inertia loads was investigated. The problem of weight optimisation of a winddriven powerplant blade with constraints on strength and geometrical parameters, flutter and bandlimitation was resolved. The theoretical substantiation was given and the boundaries of applicability of RelayLamb method were explored concerned with an approximate estimation of the first free frequency of plates in water. The effective computational method to define free vibrations of structures interacting with a fluid was elaborated. It integrates a finite element method to define structure free vibrations in vacuum and boundary integral equation method for definition of fluid pressure. On the basis of this method the frequencies of water wheels and covers of Kaplan and Francis hydraulic turbines were determined.

The boundary integral equation method was evolved to investigate problems for structure elements with cracks and openings in elastoplastic statement.

The theoretical study was carried out for the purpose of Jintegral correct calculation with application of hypersingular integral equation methods. These results become a basis for investigation of longevity of structure devices with cracks under cyclical loading.

Key words: free hydroelastic vibrations, hypersingular integral equations, boundary element method, blades, water turbine wheels and covers, optimisation, crack, stress concentration.

АННОТАЦИЯ

Стрельникова Е.А. Исследование прочности и колебаний элементов турбомашин с использованием метода граничных интегральных уравнений.-Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.02.04. -“Механика деформируемого твердого тела”.- Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков 2003.

Решена научно техническая проблема, которая состоит в разработке и теоретическом обосновании методов расчета частот и форм свободных колебаний сложных пространственных конструкций, взаимодействующих со средой. Полученные в диссертации результаты стали теоретической основой инженерных расчетов частот и форм гидроупругих колебаний рабочих колес и крышек поворотнолопастных и радиальноосевых гидротурбин.

На основе методов теории потенциала и граничных интегральных уравнений построены математические модели для исследования свободных колебаний элементов турбомашин при взаимодействии с жидкостью или газом и для исследования напряжений в телах с трещинами в упругопластической постановке. Указанные задачи сведены к гиперсингулярным и сингулярным интегральным уравнениям.

Проведены исследования, ставшие основой для корректного вычисления конечной части по Адамару гиперсингулярных интегралов в плоских и пространственных задачах. Доказано, что предельное значение нормальной производной потенциала двойного слоя равно конечной части по Адамару прямого значения этой производной. С точки зрения теории обобщенных функций это утверждение является следствием того факта, что каждая обобщенная функция является слабым пределом своих регуляризаций. Получены формулы для вычисления конечной части по Адамару в виде суммы некоторых конечных величин и интегралов типа Коши (или интегралов со слабыми особенностями). Установлено, что предельное значение интегрального оператора в форме нормальной производной потенциала двойного слоя по поверхности существует тогда и только тогда, когда существует предельное значение соответствующего оператора по элементу касательной плоскости. Исследованы погрешности численного определения сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Проанализирована сходимость численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся рассматриваемые плоские и пространственные задачи. Развиты новые варианты метода граничных элементов в соединении с проекционным методом. Дано обоснование выбора классов решения при использовании метода дискретных вихрей. Построены аналитические решения некоторых гиперсингулярных уравнений. К ним относятся решения этих уравнений в задаче о периодической системе трещин у упругой плоскости, задаче определения стационарного температурного поля в пластине с трещиной под действием источники тепла.

Достоверность полученных результатов подтверждается их сходимостью, сопоставлением с известными в литературе численными и аналитическими решениями, а также с экспериментальными данными.

Построенные методы и модели применены к решению следующих инженерных задач.

Определены аэродинамические нагрузки, действующие на лопасти ветроэнергетической установки в пространственном воздушном потоке, исследовано напряженно деформируемое состояние и прогибы лопасти под действием аэродинамических и инерционных нагрузок. Решена задача весовой оптимизации лопасти ветроэнергетической установки с ограничениями, связанными с прочностными и геометрическими параметрами, флаттером и частотами свободных колебаний. Дано теоретическое обоснование и исследованы границы применимости метода РелеяЛемба приближенной оценки первой частоты свободных колебаний пластин в воде.

Разработан эффективный метод расчета свободных колебаний конструкций, взаимодействующих с жидкостью, который объединяет метод конечных элементов для определения свободных колебаний конструкций в вакууме и метод граничных интегральных уравнений для определения давления жидкости. На основе этого метода определены частоты и формы свободных колебаний лопастей поворотнолопастных и рабочих колес радиальноосевых гидротурбин, а также крышек гидротурбин в воде. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, что дает возможность отказаться при проектировании от проведения дорогостоящих экспериментов, а проводить лишь компьютерный анализ.

Метод граничных интегральных уравнений применен к решению задач исследования напряженно деформированного состояния в телах с трещинами и отверстиями в упругопластической формулировке. Проведено теоретическое исследование, позволившее корректно вычислять Jинтегралы при использовании граничных интегральных уравнений. Эти результаты стали основой для изучения долговечности элементов конструкций с трещинами при циклическом нагружении.

Ключевые слова: свободные гидроупругие колебания, гиперсингулярные интегральные уравнения, лопасти, рабочие колеса и крышки гидротурбин, оптимизация, трещина, пластичность.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В різних сферах інженерної практики, таких як турбіно-, двигунобудування, енергетичне машинобудування широко застосовуються елементи тонкостінних конструкцій, що функціонують в умовах підвищених технологічних навантажень. Проектування таких машин та споруд при достатньому рівні надійності вимагає аналізу (у тому числі і в припущенні наявності тріщин) напружень та деформацій, частот та форм власних коливань. Це дозволяє оцінити границю міцності конструкції та відстроїтись від небажаних резонансних частот. Оскільки конструкції, що розглядаються, часто взаємодіють з повітряним або вод-ним середовищем, для обчислення означених характеристик необхідно вирішувати задачі гідро-аеропружності, тобто визначати напруження, деформації та частоти коливань, виходячи з того, що на пружне тіло діють сили з боку рідини (газу).

Тому стає актуальною побудова уточнених моделей та методів розрахунку таких конструкцій, що враховують складну геометрію, вплив потоку рідини на напружено -деформівний стан (НДС), частоти та форми власних коливань. На стадії проектування виникає також необхідність оптимізації, яка пов'язана з проблемою зниження матеріалоємності при урахуванні вимог нормального функціонування елементів машин та споруд. Особливу важливість ця проблема має для елементів конструкцій, що виготовляються з дорогих матеріалів або серійно, коли ефект від зниження маси виявляється найбільш відчутно (наприклад, для лопатей габаритних повітряних турбін).

Означені задачі описуються з математичної точки зору системами диференці-альних рівнянь в областях з розрізами; для їх вирішення доцільно застосовувати методи теорії потенціалу. Цей підхід призводить до граничних інтегральних рівнянь. У деяких випадках ці рівняння належать до класу так званих “гіперсингулярних” (інтеграли у цих рівняннях не існують навіть у сенсі Коші). Мають місце великі труднощі, пов'язані з чисельним розв'язком таких рівнянь. В зв'язку з цим багато авторів обмежуються розв'язанням простих модельних задач. Такі дослідження важливі з точки зору розвитку теорії, а вирішені задачі мають бути використані як тестові для чисельних методів інженерного розрахунку. Разом із тим, існує клас важливих з точки зору практики задач, які можуть бути вирішені при певному розвитку теорії та методів чисельного розв'язку граничних сингулярних інтегральних рівнянь. Це такі, на перший погляд, різні задачі, як пружна взаємодія робочих органів гідроаеротурбін з оточуючим середовищем та задачі, пов'язані з дослідженням тріщиностійкості та довговічності пружних матеріалів і елементів конструкцій. Але ж вони є подібними з математичної точки зору: лопать у рідині та тріщина в пружному тілі є розривами суцільності середовища. Це дозволяє зводити задачі з різних областей до практично однакових диференціальних, а потім і граничних інтегральних рівнянь та розв'язувати їх загальними методами. Сучасні можливості обчислювальної техніки дозволяють зробити рішучий крок до застосування цього складного апарату математичної фізики для вирішення актуальних інженерних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисерта-ційної роботи та її основні задачі були сформульовані і вирішені здобувачем як провідним виконавцем та виконавцем комплексних тем науково-технічних дослід-жень у галузі механіки деформівного твердого тіла, а саме: теми № 193 державного фонду фундаментальних досліджень “Дослідження сингулярних інтегральних рів-нянь стосовно до аналізу гідропружної взаємодії тонких поверхонь з нестаціонар-ним потоком і крайових задач просторової теорії тріщин” (1994 - 1995 рр., № ДР0195U0006283); теми № 93 “Розвиток теоретичних і експериментальних методів дослідження міцності машинобудівних конструкцій на базі сучасних досягнень механіки суцільного середовища” (1986-1990 рр., № ДР 01860049701), що є частиною цільової науково-технічної програми “Матеріалоємність” (РН. Ц. 003, РН. 82.04. Ц, п. 03.01); теми № 119 “Розробка теоретичних моделей та обчислювальних засобів щодо аналізу динамічної та тривалої міцності енергетичних машин” (1991- 1995 рр., № ДР 01910026712); теми № 125 “Розробка і аналіз ефективних методів вирішення задач механіки деформівних тіл малої жорсткості” (1992 р., № ДР 01910017870); теми № 207 “Розробка фундаментальних основ і комплексу прикладних програм забезпечення статичної і динамічної міцності, оптимального проектування та діагностики залишкового ресурсу енергомашин з урахуванням початкових та набутих дефектів” (1996- 1999 рр., №ДР 1974012285); теми № 11 “Створення методів та програмних засобів дослідження НДС та оптимізації елементів енергетичних машин та обладнання з урахуванням пошкоджень у процесі експлуатації з метою продовження ресурсу” (2000 - 2004 рр., № ДР 0100U004811).

Тема дисертації пов'язана з Координаційним планом досліджень НАН України за проблемою “Механіка деформівного твердого тіла” (шифр 1.10.2) та Державною програмою “Наукові основи перспективних технологій” державного фонду фундаментальних досліджень.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є вирішення науково-технічної проблеми, що полягає в розробці та обґрунтуванні ефективного методу розв'язування класу задач механіки деформівного твердого тіла, які зводяться до граничних інтегральних рівнянь в областях складної форми, та застосуванні цього методу до розв'язку актуальних інженерних задач.

Для досягнення означеної мети у дисертації були поставлені та вирішені такі основні науково-технічні завдання:

розробити розрахункові моделі для оцінки міцності та власних коливань тонкостінних елементів конструкцій, що взаємодіють із повітряним або водним середовищем;

побудувати математичні моделі для дослідження напружень та деформацій у тілах з тріщинами або отворами у пружнопластичному стані, прийнятні для проведення розрахунків із використанням різних теорій пластичності;

звести задачі, що розглядаються, до граничних інтегральних рівнянь (ГІР) та обґрунтувати принципово важливі математичні аспекти їх чисельного розв'язку, а саме: наближені засоби обчислення розбіжних інтегралів; проблеми коректної апроксимації поверхонь і контурів тіла; введення елементів підвищеної точності; оцінка порядку збіжності, похибки апроксимації та інші;

розробити ефективний метод чисельного розв'язку гіперсингулярних та сингулярних інтегральних рівнянь;

здійснити перевірку розроблених розрахункових моделей і методів, використовуючи відомі аналітичні та чисельні розв'язки та результати експериментальних досліджень;

застосувати побудовані моделі та методи до розв'язування таких інженерних задач:

-дослідити аеродинамічні навантаження, що діють на лопаті повітряної турбіни у просторовому повітряному потоці; визначити напружено-деформівний стан та прогини лопаті під дією аеродинамічних, вагових та інерційних навантажень, можливість виникнення флатера;

-розв'язати задачу оптимізації лопаті повітряної турбіни з обмеженнями, пов'язаними з міцнісними та геометричними характеристиками та флатером;

-визначити частоти і форми власних коливань робочих коліс та лопатей поворотно-лопатевих та радіально-осьових гідротурбін, а також кришок гідротурбін у воді з метою відстроювання від резонансів;

-дослідити довговічність елементів конструкцій, що мають тріщини, за допомогою розв'язку задач у пружнопластичному формулюванні та дати практичні рекомендації стосовно їх подальшої експлуатації.

Об'єкт дослідження - пружні елементи конструкцій, що взаємодіють із водним (повітряним) середовищем або мають тріщини.

Предмет дослідження - міцність та коливання пружних елементів конструкцій, що взаємодіють із середовищем або мають тріщини, і як , наслідок, - розрахункові моделі і чисельні методи розв'язку плоских і просторових задач гідропружності; розрахункові моделі для визначення напружень у тілах із тріщинами у пружнопластичному стані; чисельні методи визначення сингулярних та гіперсингулярних інтегралів та розв'язку граничних інтегральних рівнянь.

Методи дослідження. Для розв'язання сформульованих задач застосовано метод потенціалу, що дозволило звести їх до граничних інтегральних рівнянь. Для чисельного розв'язку цих рівнянь застосовані різні модифікації методу граничних елементів та проекційних методів. Для розв'язання задачі про гідропружні коливання лопатей як допоміжний використано метод скінченних елементів. Задачу вагової оптимізації вирішено за допомогою ефективного гібридного адаптивного пошукового методу оригінальної розробки.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані такі нові наукові результати:

розвинуто теорію сингулярних і гіперсингулярних інтегральних рівнянь, удосконалено методи чисельного розв'язку цих рівнянь; доведено, що комбінація методу граничних елементів та проекційного приводить до найбільш ефективних та стійких чисельних алгоритмів; вперше досліджено умови, за якими гіперсингулярний інтеграл по частині поверхні може бути замінений на відповідний інтеграл по дотичній площині, оцінено похибку такої заміни та здобуті аналітичні формули для обчислення гіперсингулярних інтегралів з різними апроксимаціями густини по плоскому багатокутнику, довільно орієнтованому у просторі;

вперше у тривимірному формулюванні досліджено аеродинамічні навантаження, що діють на лопаті повітряної турбіни та визначено НДС лопаті під дією аеродинамічних та відцентрових навантажень;

здійснено вагову оптимізацію лопаті повітряної турбіни при виконанні низки обмежень на геометричні та механічні характеристики;

на основі розвинутих теорії та методу чисельного аналізу гідропружної взаємодії деформівних поверхонь з рідиною, який поєднує метод скінченних елементів та метод граничних елементів, вперше в тривимірному формулюванні досліджено частоти і форми коливань у воді таких елементів турбомашин, як кришки, робочі колеса радіально-осьових та лопаті поворотно-лопатевих гідротурбін;

розвинуто метод ГІР щодо вирішення задач міцності елементів конструкцій з тріщинами у пружнопластичному формулюванні; проведено теоретичний аналіз, який дозволив дослідити J-інтеграли, що обчислені з використанням різних теорій пластичності.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані у дисертації результати складають теоретичну основу інженерних методів розрахунку міцності та коливань елементів конструкцій, що взаємодіють з середовищем.

Результати досліджень застосовуються в енергомашинобудуванні.

Методику обчислення частот і форм власних коливань елементів конструкцій у рідині застосовано до розрахунків власних коливань у воді лопатей робочих коліс Іовської і Нижньо-Туломської ГЕС. Ці розрахунки виконувалися для ВАТ “Турбо-атом” за госпдоговором № 26-86 “Розробка методики і програми розрахунку частот та форм власних коливань лопатей поворотно-лопатевих гідротурбін у воді” в 1986-1989 рр. Дослідження НДС лопаті повітряної турбіни і вирішення задачі пошуку оп-тимальних параметрів лопаті виконувалося за госпдоговором № 572-93 “Методика розрахунку міцнісних і динамічних характеристик елементів вітроустановок” для КБ “Південне” у 1993-1996 рр. Дослідження власних коливань циліндричних пане-лей та консольних пластин у воді проводилися згідно з договором про науково-технічне співробітництво з Ленінградським металевим заводом у 1991-1995 рр. Результати розрахунків довговічності елементів конструкцій з тріщинами були використані на ВАТ “Турбоатом” при оцінці залишкового ресурсу камери робочого колеса і конуса відсмоктувальної труби гідротурбіни. Ці дослідження проводилися згідно з госпдоговором № 131-98 “Розробка методики розрахунку на втомну міцність закладних частин гідротурбін” для ВАТ “Турбоатом” у 1998-1999 рр. Результати розрахунку власних коливань робочих коліс радіально-осьових гідротурбін отримані при виконанні госпдоговору № 162-20 “Розробка теорії, методів і програм визначення частот і форм власних гідропружних коливань робочих коліс радіально-осьових гідротурбін” з ВАТ “Турбоатом” у 2001-2002 рр. За цими госпдоговорами отримано акти впровадження.

Особистий внесок здобувача. Дисертація є результатом тривалих досліджень автора у області теорії і методів чисельного розв'язку сингулярних і гіперсингуляр-них інтегральних рівнянь та застосування розроблених методів для вирішення задач механіки деформівного твердого тіла.

У роботах, написаних у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає у наступному. В [1,2] автору належать формулювання задачі, метод визначення гідродинамічного навантаження, обґрунтування методу зведення гіперсингулярного рівняння до системи алгебраїчних рівнянь, чисельний метод розв'язання граничного інтегрального рівняння. В роботі [4] автором досліджено можливість апроксимації поверхні інтегрування плоскими елементами при чисельному розв'язку сингулярних інтегральних рівнянь типу Адамара, в [6] - отримано аналітичні формули для обчислення скінченної частини інтеграла за Адамаром, прийнятні для чисельного розв'язку. В [9-11,27,30] автору належать формулювання задачі, метод зведення її до системи граничних інтегральних рівнянь, метод обчислення J-інтегралів за різними теоріями пластичності, в [10,27] - автору також належать алгоритми чисельного аналізу та оптимізації. В [12] автором розроблено метод визначення аеродинамічних навантажень, що діють на лопаті повітряної турбіни, у просторовому повітряному потоці, в [13] - методи визначення гідродинамічного навантаження на пластину і розв'язання граничного інтегрального рівняння. В [14] автором досліджено задачі розрахунку частот і форм власних коливань у воді для елементів конструкцій у вигляді консольних пластин та циліндричних оболонок; в [15,16] проаналізовано довговічність елементів конструкцій, що мають тріщини, з урахуванням пружно-пластичних деформацій; та надано практичні рекомендації стосовно подальшої експлуатації цих конструкцій. В [17,18,20,32] автору належить метод розрахунку власних коливань конструкцій, що взаємодіють з рідиною, який поєднує метод скінченних елементів для визначення власних коливань конструкцій у вакуумі та метод граничних інтегральних рівнянь для обчислення тиску рідини; в [18,32] автором досліджені частоти і форми власних коливань у воді елементів конструкцій у вигляді циліндричних оболонок. В [21] автору належить метод зведення задачі про визначення тиску рідини на деформівні поверхні до системи гіперсингулярних інтегральних рівнянь, розрахунок частот і форм власних коливань робочого колеса у воді, в [22] - метод зведення задачі про визначення тиску рідини на крилах скінченного розмаху до гіперсингулярного інтегрального рівняння та метод чисельного розв'язання цього рівняння. В [23] автором розроблено наближені засоби обчислення розбіжних інтегралів; вирішено проблеми апроксимації контурів тіла; досліджено елементи підвищеної точності; отримано оцінку порядку збіжності. В [24] автору належить метод зведення задачі визначення температурного поля до гіперсингулярного інтегрального рівняння та метод чисельного розв'язання. В [25,26] автором досліджено задачу про визначення тиску рідини та відповідне гіперсингулярне інтегральне рівняння, обчислено частоти і форми власних коливань робочих коліс та кришок гідротурбін у воді. В [28] автору належить метод зведення задачі про визначення тиску рідини на поверхню до гіперсингулярного інтегрального рівняння, розрахунок частот і форм власних коливань лопатей поворотно-лопатевої гідротурбіни у воді.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідалися та були схвалені на наукових конференціях, симпозіумах і семінарах, а саме: III Всесоюзній науковій конференції “Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела” (Харків, 1985); III Всесоюзному симпозіумі “Метод дискретных особенностей в задачах математической физики и его роль в развитии численного эксперимента на ЭВМ” (Харків, 1987); XI Всесоюзній конференції з аеропружності турбомашин (Ужгород, 1987); II Республіканській науково - технічній конференції (Набережні Човни, 1987); III Всесоюзній науковій конференції “Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов” (Казань, 1988); VII Всесоюзній школі “Надежность больших систем” (Ташкент, 1988); III Всесоюзній нараді - семінарі молодих вчених “Актуальные проблемы механики оболочек” (Казань, 1988); Всесоюзній науковій конференції “Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики” (Владивосток, 1990); Республіканській науково- технічній конференції “Математическое моделирование и вычислительный эксперимент для совершенствования энергетических и транспортных установок” (Зміїв, 1991); Міжнародній науковій конференції “Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции” (Самара, 1992); VI Міжнародному симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (Харків, 1993); International Scientific conference “Hydroturbo-93” (Brno, Czechia, 1993); Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 1993); XVII Міжнародній конференції з теорії пластин та оболонок (Казань, 1995); 19^th World Conference on the Boundary Element Method “BEM 19” (Rome, Italy, 1997); VIII Міжнароднім симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (Харків-Крим, 1999); 21^th World Conference on the Boundary Element Method “BEM 21” (Southampton, United Kingdom, 1999); IX Міждународнім симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (МЗОДФ-2000), присвяченим 80-річчю зі дня народження професора С.М. Білоцерковського (Орел, 2000); Міжнародній конференції “Актуальные проблемы механики оболочек”, (Казань, 2000); X Міжнароднім симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (МЗОДФ-2001), присвяченим пам'яті професора С.М. Білоцерковського (Херсон, 2001); Міжнародній конференції з математичного моделювання, присвяченій 200-річчю зі дня народження М.В.Остроградського (Херсон, 2001); Х Міжнародній конференції “Гидроаэроупругость в инженерной практике” (Харків 2001); XI Міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (Київ, 2002); Х Міжнародній науково - практичній конференції “Информационные технологии: наука, техника, технология, образование, здоровье (MicroCAD-2002)” (Харків, 2002); Міжнародній науковій конференції “Актуальные проблемы механики сплошных сред” (Донецьк, 2002); Міжнародній конференції з математичного моделювання, (Херсон, 2002). У повному обсязі дисертація доповідалася на семінарі кафедри прикладної математики та механіки Сумського державного університету під керівництвом професора Л.А.Фільштинського, Республіканському семінарі з математичного моделювання у Харківському національному університеті під керівництвом професора Ю.В.Ганделя, семінарі Інституту прикладних проблем математики та механіки ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України Г.С. Кіта.

Публікації. Матеріали дисертації загалом викладено в 32 наукових роботах: 25 публікацій у фахових вітчизняних наукових журналах і збірниках, 2 публікації в іноземних виданнях та 5 - у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, вісьмох розділів, списку використаних літературних джерел (420 найменувань на 37 стор.) висновків і додатків. Робота містить у собі 327 сторінок основного тексту, 35 таблиць і 70 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми досліджень, сформульовані мета та основні задачі роботи, розглянуті шляхи їх вирішення, викладені основні одержані результати, з'ясована їх наукова новизна, практична цінність та апробація.

У першому розділі проаналізовано чисельні методи розв'язку задач механіки деформівного твердого тіла для елементів конструкцій, послаблених тріщинами, та задач гідропружності.

Проблемами визначення НДС та коефіцієнтів інтенсивності напружень при наявності тріщин в ізотропних та анізотропних тілах займалися О.Я.Александров, В.М.Александров, С.О.Амбарцумян, О.Є.Андрейків, Л.Т.Бережницький, Р.В.Гольдштейн, Я.М.Григоренко, Д.В.Грилицький, В.Т.Грінченко, О.М.Гузь, В.С.Гудрамович, О.П.Дацишин, М.В.Делявський, С.А.Калоєров, А.О.Камінський, Б.Я. Кантор, Г.С.Кіт, О.С.Космодаміанський, А.Я.Красовський, С.Г.Лехницький, Т.Л.Мартинович, В.В.Михаськів, В.І.Моссаковський, Н.Ф.Морозов, Н.І.Мусхе-лішвілі, В.А.Осадчук, В.В.Панасюк, В.З.Партон, Я.С.Підстригач, В.Г.Піскунов, Б.Ю.Победря, В.Г.Попов, Г.Я.Попов, О.О.Рассказов, В.Л.Рвачов, Г.М.Савін, М.П.Саврук, М.М.Стаднік, Г.Т.Сулім, А.Ф.Улітко, Л.А.Фільштинський, М.Л.Фільштинський, М.В.Хай, Г.П.Черепанов, В.П.Шевченко, С.Я.Ярема, К.Аткінсон (C.Atkinson), Г.Лібовиц (H.Libowitz), Ф.Ердоган (F.Erdogan), Дж.Р.Ірвін (G.R.Irwin), Д.Л.Клементс (D.L.Clements), П.Періс (P.Paris), Г.Сі (G.C.Sih) та інші.

Багато методів розв'язку граничних задач механіки ґрунтується на аналітичних засадах. Але у практичних задачах, що виникають в інженерній практиці і прикладних науках, неможливо розраховувати на отримання точних аналітичних розв'язків, навіть якщо визначальні диференціальні рівняння лінійні. З появою обчислювальної техніки почали інтенсивно розвиватися методи чисельного розв'язку цих задач.

Одним з ефективних методів вирішення задач механіки деформівного твердого тіла є метод зведення їх до граничних сингулярних інтегральних рівнянь. Але, незважаючи на велику привабливість, пов'язану з пониженням вимірності задачі, цей метод до останнього часу не був популярним серед механіків-дослідників, оскільки отримання граничних рівнянь та їх чисельна реалізація вимагають застосування складного математичного апарату та сучасних потужних ЕОМ. Теоретичну основу для створення чисельних алгоритмів закладено у роботах Б.Г.Габдулахаєва, Р.В.Гольдштейна, А.І.Каландія, В.В.Михаськіва, Н.І.Мус-хелішвілі, Г.Я.Попова, В.В.Панасюка, М.П.Саврука, О.П.Дацишин, В.З.Партона, П.І.Перліна, А.Г.Угодчикова, Л.А.Фільштинського, Н.М.Хуторянського, І.Ю.Чуді-новича, Є.Г.Янютіна, К.Бреббія (C.Brebbia), С.Крауча (S.Crouch), А.Старфілда (A.Starfield), І.Мультоппа (Y.Multopp) та інших. В останні роки інтенсивно розвиваються методи вирішення особливого класу інтегральних рівнянь, так званих гіперсингулярних, зокрема, метод дискретних вихорів (особливостей). Невідомі густини потенціалу тут мають ясну фізичну природу, що надає велику привабливість цьому підходу. Ці методи дістали розвитку в роботах С.М.Білоцерковського, І.В.Бойкова, Ю.В.Ганделя, О.М.Гузя, І.Ф.Добриніної, В.В.Зозулі, О.М.Лінькова, С.Г.Могилевської, І.К.Ліфанова, О.В.Меньшікова, М.В.Меньшікової, В.О.Щербіни, Н.І.Іоакімідіса (N.I.Ioakimidis), П.С.Теокаріса (P.S.Theocaris).

Завдяки цим надбанням стало можливим застосовування чисельних методів розв'язку ГІР до вирішення складних технічних задач, зокрема проблеми взаємодії елементів конструкцій з повітряним або водним середовищем. Умовно останні задачі можна поділити на дві групи. До першої належать задачі про рух або коливання тіл з порожнинами, що частково або повністю заповнені рідиною. У випадку ідеальної нестисливої рідини такі задачі зводяться до розв'язку внутрішньої (або зовнішньої) граничної задачі Неймана. До другої групи належать задачі про взаємодію так званих “несучих” жорстких або деформівних елементів конструкцій (типа лопаті, крила) з оточуючим їх середовищем. Ці задачі зводяться до граничних задач Неймана для середовищ з розрізами. В обох випадках застосування методів теорії потенціалу призводить до сингулярних або гіперсингулярних інтегральних рівнянь.

Великий внесок у вивчення проблеми взаємодії пружних конструкцій з ріди-ною зробили такі відомі вчені: А.З.Авербух, В.Н.Антонов, Р.І.Вейцман, М.Д.Генкін, Л.І.Балабух, В.В.Болотін, В.Н.Буйвол, О.С.Вольмір, Ш.У.Галієв, М.С.Галкін, Е.І.Григолюк, А.Г.Горшков, О.М.Гузь, В.Д.Кубенко, М.А.Ільгамов, Б.Я.Кантор, Р.Є.Лампер, І.А.Луковський, Г.Н.Мікішов, Є.Н.Мнев, А.К.Перцев, Б.В.Рабінович, І.М.Рапопорт, К.В.Фролов, Ф.Н.Шклярчук, В.П.Шмаков та інші. Більшість робіт присвячена вирішенню задач першої групи: в них вивчається поведінка замкнених пружних оболонок, наповнених рідиною. В задачах другої групи (оболонка типа лопаті) найбільш складним є розв'язання гідродинамічної частини задачі. Тут необхідно розглядати гіперсингулярні інтегральні рівняння. Чисельні методи розв'язування таких рівнянь, як свідчить літературний пошук, недостатньо розвинуті, що призводить до значних труднощів при комп'ютерному моделюванні не тільки в загальних задачах аеропружності, а і в більш простих, наприклад, визначенні аеродинамічних похідних або коливань жорстких тіл з урахуванням приєднаних мас. Це, зокрема, не давало можливості прогнозувати частоти власних коливань у воді таких конструкцій як робочі органи гідротурбін різних типів.

В дисертації проаналізована також нагальність уточненого розв'язку низки інших інженерних задач, які можуть бути зведені з математичної точки зору до сингулярних і гіперсингулярних інтегральних рівнянь. На основі аналізу літературних джерел обґрунтовано актуальність теми дисертації та необхідність проведення досліджень, які здійснено у подальших розділах роботи.

У другому розділі наведені математичні формулювання у вигляді систем ди-ференціальних рівнянь тих інженерних задач, аналізу та розв'язку яких присвячена дисертація. Це задачі про визначення концентрації напружень у околі тріщини у двовимірних і тривимірних тілах та розподіл температури в них; про взаємодію неоднорідного потоку нестисливої рідини з пружним тілом, що добре обтікається.

З точки зору математики та механіки деформівного твердого тіла, ці задачі мають багато спільного, а саме - подібні рівняння, та як наслідок - подібні методи розв'язку. В дисертації вони далі зводяться до інтегральних рівнянь (або систем таких рівнянь), що повинні виконуватися на межах тіла. Шукані функції задаються як потенціали простого або подвійного шару з невідомими густинами, які визначаються на поверхнях розриву суцільного середовища (тріщина, лопать) та на границях цього середовища (якщо вони враховуються). При такому підході потенціали автоматично задовольняють необхідним диференціальним рівнянням, що описують фізичне явище. Намагаючись задовольнити граничним умовам, одержуємо деякі інтегральні рівняння на границях тіла. Розв'язок цих рівнянь фактично і вирішує початкову задачу. Зауважимо, що оскільки невідомі функції визначені і розшукуються на границях тіла, тому у двовимірних задачах вони залежать від однієї просторової координати, в тривимірних - від двох. Ця обставина - зниження розмірності задачі - стає особливо привабливою на етапі чисельної реалізації. Зауважимо тут, що отримані інтеграли завжди є сингулярними (особливими), бо в області інтегрування існують точки, де підінтегральна функція прямує до нескінченності. Вони називаються гіперсингулярними, коли ступінь сингулярності є високим, та інтеграли розбігаються навіть у сенсі Коші.

Розглянемо тут для прикладу, як найбільш компактну та просту, задачу про визначення гідродинамічних навантажень, що виникають на лопаті, яка знаходиться у неоднорідному потоці нестисливої рідини (останнє є коректним, коли швидкості середовища суттєво менші за швидкість звуку). Система диференціальних рівнянь, що описує таку задачу

Аеродинамічні сили, що виникають на лопаті, знаходяться після визначення потенціалу (x, t) за допомогою інтеграла Коші-Лагранжа. Задача є допоміжною при розв'язанні задач флатеру, коливань з аеродемпфуванням та коливань із приєднаними масами. В останньому випадку вважається, що V₀=0, тобто вихрова завіса не збігає з лопаті, і поверхня S_s (разом з відповідними граничними умовами) відсутня. У цьому випадку амплітуда потенціалу (x, t) розшукується у вигляді

Потенціал усюди поза S задовольняє рівнянню Лапласа, на нескінченності - умові спадання збурень; він потерпає розрив, перетинаючи поверхню S (це забезпечує можливість адекватно описувати перепад тиску на несучій поверхні), і має там неперервну нормальну похідну, що дає можливість коректно виконати умову непротікання. Таким чином, якщо інтегральне подання розв'язку задачі обрати потенціалом подвійного шару, то для її розв'язання при заданому w залишається тільки задовольнити співвідношенню, а це приводить до гіперсингулярного інтегрального рівняння

Інтеграл в є розбіжним як в звичайному сенсі, так і в сенсі Коші. Він обчислюється лише у сенсі Адамара, тобто при відкиданні розбіжної частини. Фізичний зміст такого відкидання пояснено у дисертації.

Зауважимо, що граничне рівняння не містить позаінтегрального члена, тобто належить до інтегральних рівнянь ІІ роду, які вважаються важкими для чисельної реалізації, призводять до так званих некоректних задач, потребують регуляризації. Але, як показує наш досвід та досвід інших дослідників, саме високий ступень сингулярності приводить до природної регуляризації та стійких чисельних схем в гіперсингулярних інтегральних рівняннях типу.

До подібних рівнянь (систем рівнянь) зводяться й інші задачі, що розглянуті у дисертації. Задачі теплопровідності та теорії пружності для обмежених тіл з тріщинами у роботі зведено до гіперсингулярних інтегральних рівнянь, які є аналогічними інтегродиференціальним рівнянням, що отримані у фундаментальній монографії Г.С.Кіта та М.В.Хая.

Сформульовано також мішану граничну задачу для пружно-пластичного тіла з розрізами. З використанням узагальненого ньютонівського потенціалу її зведено до системи гіперсингулярних інтегральних рівнянь, права частина якої уточнюється у процесі ітерацій.

У третьому розділі розвинуто методи чисельного розв'язку сингулярних і гіперсингулярних рівнянь. Показано, що поняття про збіжність за Адамаром природно випливає з властивостей потенціалів, що застосовуються, а саме, потрібно розглядати не пряме значення (6), а його границю, коли точка спостереження x “сідає” на поверхню S. У цьому розділі започатковано також дослідження інших властивостей сингулярних інтегралів у двовимірному випадку з подальшою метою їх коректного та ефективного обчислення на етапі чисельної реалізації. Досліджено інтеграли за Адамаром для функцій, що задані на незамкненій кривій. Обґрунтовано коректність з математичної точки зору заміни криволінійного контуру багатокутником (ламаною) з січних або дотичних. Здобуті аналітичні формули для обчислення необхідних інтегралів з різними сингулярними ядрами для густини у вигляді сталих, лінійних та квадратичних функцій. Це дає можливість будувати методи граничних елементів різного ступеня апроксимації, порівнювати їх, давати вірогідні рекомендації відносно їх ефективності, а також будувати надійні чисельні алгоритми для розв'язання задач в областях довільної форми. Наведені також дослідження, які стали підґрунтям для коректного обчислення інтегралів у сенсі Адамара у просторових задачах. Знайдено умови, за якими інтеграл по частині поверхні S може бути замінений на відповідний інтеграл по дотичній площині та оцінено похибку такої заміни, здобуті аналітичні формули для обчислення гіперсингулярних інтегралів у просторовому випадку, зокрема, отримано аналітичну формулу для гіперсингулярного інтеграла зі сталою густиною по плоскому багатокутнику, що є довільно орієнтованим у просторі. Побудовані аналітичні формули для обчислення сингулярних і гіперсингулярних інтегралів із густиною, що змінюється. Проаналізовано точність різних квадратурних формул для обчислення інтегралів з слабкими особливостями. Отримано аналітичні формули для обчислення інтегралів типу Коші по плоскому багатокутнику. Проаналізовано точність квадратурних формул, що застосовуються для обчислення інтегралів з особливостями різних типів. Запропоновані спеціальні засоби, що сприяють підвищенню точності обчислення цих інтегралів та зменшенню обчислювальних витрат. Ці дослідження стали підґрунтям для розвитку чисельних методів у дисертації.

Більшість методів розв'язку інтегральних рівнянь можна віднести до однієї з двох великих груп. У тривимірних задачах або шукана функція розкладається у подвійний ряд за ортогональними функціями на усій області S, або застосовується розбиття області S на малі підобласті стандартної (чотирикутної або трикутної) форми, після чого на кожній з підобластей функція () розшукується у вигляді сталої, лінійної або квадратичної функцій. В обох типах методів при цьому вимагають, щоб рівняння (6) виконувалося не скрізь на S, а тільки у деяких точках (так званих контрольних, або точках колокації). Останній метод, за формою аналогічний методу скінченних елементів, зветься методом граничних елементів (МГЕ). У цьому розділі розвинені обидва вказані підходи.

У першому з них у нашій реалізації невідома густина (₁,₂) розшукується у вигляді подвійного ряду за поліномами Чебишова II роду

з невідомими коефіцієнтами C_ml. При цьому автоматично функції (₁,₂) нав'язується необхідна асимптотична поведінка в околі краю області, що є корисним для підвищення точності. Обчислюючи гіперсингулярний інтеграл із такою густиною та, вимагаючи виконання рівняння (6) у точках колокації, одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно C_ml. Елементи матриці цієї системи обчислюються за формулами, наведеними у дисертації. Такий метод є досить ефективним, коли область виконання рівняння (6) є прямокутником у деякій, наприклад, косокутній або полярній системах координат. Для цього підходу запроваджено також проекційний варіант (типу методу Гальоркіна), при цьому матриця СЛАР утворюється при подвійному інтегруванні по області S (тобто інтеграли в матриці СЛАР є чотирикратними). Подано ефективний метод обчислення таких інтегралів.

З'ясуємо зміст другого методу (МГЕ), знов таки, на прикладі рівняння (6) у випадку, коли апроксимується сталими. Нехай область інтегрування в (6) апроксимована плоскими трикутними або чотирикутними елементами (або відріз-ками січних - у плоскому випадку) S_k. Нехай =_k, коли S_k , (_k - невідомі сталі). У середині області S_k оберемо точки колокації x_0k. СЛАР, що розв'язує дискретний аналог рівняння (6), фактично є умовою виконання (6) у точках x_0k.

У дисертації спочатку проаналізовані різні типи елементів, що застосовуються для розв'язання ГІР у двовимірних задачах. Для кожного типу з єдиних позицій проведено аналіз щодо такого вибору точок колокації, аби відповідні чисельні реалізації МГЕ були стійкими до похибок. Виявився цікавий факт: для деяких типів елементів таких точок немає зовсім, тобто на простих і зовні привабливих елементах неможливо побудувати стійкі до похибок чисельні схеми. Для інших - такі точки існують, і їх рівно стільки, скільки необхідно для побудови СЛАР. Проведені у дисертації чисельні та аналітичні дослідження дозволили зробити висновок, що для сталої густини у просторовому випадку такі точки співпадають із центрами ваги граничних елементів.

Усі ці дослідження підтверджені чисельним експериментом. Практично досліджено швидкість збіжності методу граничних елементів при використанні різних типів апроксимації густини. Аналіз чисельних результатів показав, що лінійні елементи вже при їх малій кількості дають непогану точність; але вона повільно збільшується при зростанні їх числа. Швидкість збіжності при використанні квадратичних елементів змінюється за квадратичним законом, кубічних - за кубічним. Проаналізовані методи граничних елементів для розв'язання інтегральних рівнянь із ядром Адамара у двовимірних задачах у вигляді:

Розглянуті стала, лінійна, квадратична та кубічна апроксимації густини. Застосовано 25 елементів зі сталою апроксимацією густини, кінцеві елементи враховують асимптотику поведінки розв'язку. Чисельний та аналітичний розв'язки практично співпадають скрізь, у тому числі в околі кінців відрізка інтегрування; ця обставина дуже важлива при вирішенні задач про концентрацію напружень в тілах з тріщинами. Проведено також чисельне дослідження двовимірного гіпер-сингулярного рівняння з сингулярною на одному з країв правою частиною, ці результати дозволили обґрунтувати вибір класу розв'язків при використанні методу дискретних вихорів, що широко застосовується у аеродинаміці. Комбінація МГЕ з проекційним методом породила дуже ефективні та стійки чисельні алгоритми. У цьому ж розділі розглянуті деякі питання щодо чисельної реалізації цих методів у тривимірному випадку.

Для порівняння ефективності методів чисельного розв'язку розглянуто задачу визначення невідомої густини гіперсингулярного інтегрального рівняння (6), якщо S - квадрат. На рис.3 зображені значення густини, що обчислені на середній лінії, для правої частини f(x₁,x₂)=1. Цифрами 1 і 2 позначені розв'язки, що отримані проекційним методом і методом колокацій, 3 -МГЕ.

Отримані результати дозволяють зробити практичні висновки про збіжність та її специфіку для методу граничних елементів зі сталою апроксимацією густини.

У четвертому розділі досліджені плоскі і просторові задачі, що зводяться до граничних інтегральних рівнянь, для яких або відомі аналітичні розв'язки, або опубліковано експериментальні дані. Матеріали цього розділу дозволяють обґрунтувати вірогідність отриманих у дисертації результатів.

Розглянуто інтегральне рівняння на дузі кола

Ю.В. Ганделем досліджені гіперсингулярні рівняння у вигляді (8), якщо =0, =2. Скориставшись цими результатами, можна встановити, що, наприклад, аналітичним розв'язком з правою частиною є функція .