Эффективность банковских систем: стохастические граничные методы оценки и анализа

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Специальность:

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук

Эффективность банковских систем: стохастические граничные методы оценки и анализа

Шергин Владимир Владимирович

Иваново - 2010

Диссертационная работа выполнена в ГОУ ВПО «Ивановский государственный химико-технологический университет».

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Зайцев Виктор Александрович

Официальные оппоненты: доктор экономических наук, профессор

Глухов Владимир Викторович

доктор экономических наук,

доктор технических наук, профессор

Герасимов Борис Иванович

доктор экономических наук, доцент

Коровин Дмитрий Игоревич

Ведущая организация: ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский

государственный университет».

Защита состоится «13» марта 2010 г. в 9.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.063.04 при ГОУ ВПО «Ивановский государственный химико-технологический университет» по адресу: 153000, г. Иваново, пр. Ф. Энгельса, д. 7, главный корпус, аудитория Г101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Ивановский государственный химико-технологический университет» по адресу: г. Иваново, пр. Ф. Энгельса, д. 7.

Автореферат разослан «__»__________2010 г.

Ученый секретарь Н. В. Балабанова

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Эффективность деятельности предприятий, фирм является основой их жизнеспособности. Применительно к деятельности банков, банковских систем вопросы оценки и управления эффективностью имеют особое значение. В комплексе с задачей обеспечения устойчивости и надежности они составляют ключевой, определяющий, подлежащий постоянному мониторингу аспект функционирования отдельных банков и банковского сектора в целом, учитываются при разработке нормативов и осуществлении надзорной деятельности Центральным Банком. Сравнительная оценка эффективности и устойчивости отдельных банков представляет очевидный интерес и для их клиентов.

В силу ряда причин указанные вопросы в настоящее время привлекают повышенное внимание. Во-первых, несмотря на наличие определенных проблем, состояние банковского сектора государства, его роль в экономике качественно иные по сравнению с началом и серединой 90-х годов. Существенно возросший объем банковских операций значительно усиливает взаимовлияние процессов, происходящих в реальном и финансовом секторах экономики, потенциально увеличивает степень банковских рисков. С другой стороны, развитие процессов глобализации международного экономического пространства, трансграничного перемещения капитала поставило ряд новых вопросов, в том числе и не в последнюю очередь связанных с экономической безопасностью государства. Поэтому представляет интерес изучение мирового опыта по оценке эффективности банковской деятельности, в том числе и для возможности адекватного сопоставления характеристик деятельности отечественных и зарубежных банков.

Мировой финансовый кризис конца предыдущего столетия стимулировал интерес международных регулирующих органов (Базельский комитет по банковскому надзору, Международный валютный фонд) к работе по поиску макропруденциальных индикаторов, представляющих собой комплекс показателей (банковских и макроэкономических), связанных с устойчивостью банковских систем. Многие из положений известного документа Базель II есть прямое или косвенное признание необходимости усиления аналитических исследований банковской деятельности. Этот документ рекомендует разрабатывать и применять принципы оценки, в частности, рисков, ориентированные на максимально точную экономическую оценку рисков в каждом конкретном банке, уйти от административной шкалы (определения нормативов). Та же мысль, в другом аспекте выражена как необходимость дифференцированного подхода к установлению нормативов, в частности, достаточности капитала. Эти идеи нашли отражение и в рекомендациях Международных и Российских банковских конгрессов. В системе МФСО содержатся требования к банку раскрывать методы, используемые для анализа чувствительности к рискам, влияния на прибыль или расходы и капитал (разумных) изменений в релевантных факторах риска. Понятно, что банки, рассчитывающие на внимание инвесторов и клиентов, высокие международные рейтинги, необходимо должны обратиться к методам исследования мирового уровня. События 2007-2009 гг. свидетельствуют, в частности, и о том, что все эти идеи не нашли пока должного отражения в мировой и отечественной практике.

Степень научной разработанности проблемы. Теоретические основы банковской деятельности, проблемы структурно - системного развития банковского сектора, вопросы рисков и устойчивости банковской деятельности и методики ее анализа, в том числе посредством применения экономико-математических методов, нашли свое отражение в трудах Л. И. Абалкина, А. М. Смулова, А. М. Тавасиева, О. И. Лаврушина, В. А. Кромонова, Г. Г. Фетисова, В. Т. Севрук, Н. Н. Тренева, М. Ю. Матовникова, С. М. Ильясова, А. Д. Шеремета, И. А. Киселевой, П. Ф. Дракера, Ф. Найта, Дж. Синки и многих других. В работах Г. Б. Клейнера, В. Л. Макарова, М. Ю. Афанасьева, В. В. Глухова содержится анализ ряда проблем экономической теории и экономико-математического моделирования, в том числе вопросов построения эконометрических зависимостей и исследования их свойств. Значительное развитие вопросы оценки эффективности предприятий, отраслей и народного хозяйства в целом получили в работах Т. С. Хачатурова, Н. П. Федоренко, Д. С. Львова. Работы В. Е. Парфеновой, В. В. Вишнякова, В. Н. Соколова посвящены исследованию свойств систем показателей, характеризующих деятельность предприятий, в частности, банков. Идейной основой граничных методов оценивания эффективности послужили исследования Х. Лейбенстайна; отдельные теоретические и прикладные вопросы построения конкретных моделей в рамках этого подхода применительно, прежде всего, к деятельности банков, освещены в работах П. Бауэра, А. Бергера, Д. Фаррелла, В Грина, Е. Тсионаса и ряда других зарубежных ученых. В отечественной литературе данная тема представлена в работах М. Ю. Афанасьева, А. М. Карминского, А. А. Пересецкого, А. Б. Поманского, С. Р. Моисеева; в этих исследованиях рассматривались ,в том числе, вопросы моделирования банковских рейтингов и оптимизационные задачи для управляемых факторов эффективности. Основы современной теории вероятностей заложены в трудах академиков А. Н. Колмогорова, С. Н. Бернштейна, Ю. В. Прохорова. Исследованиям в области предельных теорем для независимых и слабо зависимых случайных величин, математической статистики, посвящены работы Ю. В. Линника, В. В. Петрова, И. А. Ибрагимова, В. Б. Невзорова, Я. Ю. Никитина, Ч. Стейна, А. А. Боровкова, С. Рао.

Вместе с тем отечественные исследования собственно эффективности банков недостаточно развиты. Они посвящены преимущественно анализу «внутренних» банковских проблем: ликвидности, адекватности капитала, методологии расчета и моделирования рыночного, кредитного и других видов рисков. В этой области известен ряд достаточно содержательных и глубоких результатов, полученных как посредством применения классических методов математической статистики, так и на базе современных методов системного анализа, дискретной математики, теории игр, нейросетевого моделирования. При оценке же эффективности в основном речь идет о расчете простейших финансовых коэффициентов. Принципиальной особенностью наиболее употребительных показателей эффективности, в частности, ROA и ROE, является то, что они рассчитываются по данным конкретного банка. По ним нельзя судить о том, насколько полно - фактически, эффективно - использует банк имеющиеся в его распоряжении ресурсы. В теоретических же исследованиях, проводимых в Европе и США, достаточно распространен подход к оценке эффективности банков и банковского сектора в целом, основанный на построении «границ эффективности» и определении отклонений от этих границ; многочисленные прикладные исследования подтверждают его практическую ценность. Методики, разработанные в рамках этого подхода, систематически применяются в теоретических и практических исследованиях банковской деятельности за рубежом и могут существенно дополнить информацию, доставляемую традиционно используемыми показателями. Вместе с тем следует отметить, что и упомянутые методики оценки эффективности, отдельные их практические реализации не свободны от определенных недостатков, в ряде случаев существенно ограничивающих области их применения; в особенности это относится к стохастическим методам построения оценок эффективности, необходимо требующим корректного применения аппарата теории вероятностей и математической статистики. Недостаточно исследован вопрос о сопоставлении значений относительной эффективности с другими оценочными показателями. Эти обстоятельство сдерживают развитие более широкого практического применения стохастических граничных методов.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является теоретическое обоснование и разработка способов практической реализации методов построения оценок эффективности деятельности банков, основанных на принципах «стохастического граничного подхода», отличающихся адекватным учетом индивидуальных особенностей банков и возможную взаимозависимость результатов их деятельности, а также разработка методов расчета ряда сопутствующих характеристик функционирования банков в рамках вновь создаваемых математических моделей. На основе данных методов предполагается реализация подцели исследования - оценить текущую эффективность деятельности банков Российской Федерации.

Для достижения поставленной цели исследования были поставлены следующие задачи:

1. Провести сравнительный анализ «традиционного» и «граничного» подходов к оценке эффективности деятельности предприятий (фирм), а также непараметрических и параметрических граничных методов.

2. Дать анализ исходных теоретических предпосылок параметрических граничных методов построения оценок эффективности и выявить корректные и практически значимые варианты модификации этих предпосылок с целью отображения в разрабатываемых на их базе конкретных моделей индивидуальных особенностей банков и их взаимодействия при обеспечении возможности .

3. Обосновать целесообразность и возможность применения в разрабатываемых моделях случайных величин, не обязательно подчиненных условию независимости, включая доказательство требуемых в контексте проводимого исследования свойств рассматриваемых случайных величин.

4. Дать теоретическое обоснование и разработать способы практической реализации методов оценки параметров функций, моделирующих границу эффективности», в предлагаемой обобщенной системе исходных предположений.

5. Провести расчет оценок эффективности и других, связанных с ними характеристик для банков Российской Федерации.

Объектом исследования является банковский сектор Российской Федерации.

Предметом исследования являются граничные методы оценки эффективности деятельности банков.

Информационная база исследования состоит из научных, методических, учебных изданий отечественных и зарубежных авторов, информационных, аналитических, статистических, справочных источников. В практических расчетах использованы данные открыто опубликованной бухгалтерской отчетности банков (формы 101 и 102).

Научная новина работы

1. Теоретически обоснована и подтверждена практическими расчетами необходимость принятия в стохастических граничных методах предположений о свойствах случайных величин, моделирующих «факторы неэффективности», существенно более широких, чем условие их теоретико-вероятностной независимости и / или равенстве параметров распределений этих случайных величин. Установлено, что в моделях поведения совокупностей одновременно функционирующих банков или иных экономических единиц мера потенциальной взаимозависимости каких-либо связанных с ними случайных величин не может быть связана с той или иной их индексацией (нумерацией).

2. Для применения в математических моделях оценивания эффективности при возможной взаимозависимости характеристик отдельных банков предложены конкретные типы слабо зависимых случайных величин, отличающиеся

определением меры зависимости, не опирающемся на какую-либо индексацию этих величин. Для предлагаемых к включению в разрабатываемые модели конечно зависимых случайных величин впервые установлены - при минимальных дополнительных предположениях и выраженные в универсальной форме - оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме, в отдельных случаях являющиеся оптимальными, неулучшаемыми. Полученные оценки, вместе с установленными оценками для моментов сумм рассматриваемых зависимых случайных величин, позволили обосновать состоятельность полученных по методу моментов оценок параметров разработанных моделей, и в ряде случаев - состоятельность и асимптотическую нормальность оценок, полученных по методу максимального правдоподобия.

3. Предложены конкретные варианты стохастических граничных методов оценки относительной эффективности, принципиально отличающиеся от ранее известных учетом возможной взаимозависимости эффективностей результатов деятельности отдельных банков и разработаны новые алгоритмы расчета оценок параметров моделей с не обязательно одинаково распределенными и впервые - со взаимозависимыми факторами эффективности.

4. Предложена базирующаяся на идеологии стохастических методов модель расчета «оптимальных» (граничных) показателей рентабельности затрат; в данной вновь разработанной модели возможна взаимозависимость факторов эффективности по прибыли и по затратам.

5. Для банков Российской Федерации впервые установлен ряд взаимозависимостей между относительной эффективностью, величиной эффекта «экономии на масштабе», рентабельностью, величиной суммы активов, капитала и некоторыми другими показателями.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты теоретического анализа системы предпосылок стохастических граничных методов, предложенные варианты их модификации и алгоритмической реализации позволяют существенно расширить область корректного применения параметрических методов оценки эффективности. Эти результаты могут быть применены в исследованиях различных экономических систем.

Установленные для слабо зависимых случайных величин результаты, а также методы их доказательства, могут быть использованы при разработке статистических методов оценки параметров и исследовании свойств экономико-математических моделей, включающих такие случайные величины. При этом форма представления результатов позволяет применять их при минимальных ограничениях на моменты рассматриваемых случайных величин.

Проведенные расчеты эффективности и других характеристик банков Российской Федерации позволяют проводить сопоставление отечественных и зарубежных банков, могут быть использованы для обоснованной корректировки нормативов Центрального банка и определения политики ЦБ по отношению к отдельным группам банков, а также для оценки степени банковских рисков, связанных со снижением эффективности отдельными банками или группами банков.

Апробация работы

Основные положения и выводы, изложенные в работе, докладывались на международных и региональных научных и научно-практических конференциях: 11-й Международной научно-практической конференции «Экономика, экология и общество России в 21 столетии» (2009 г., Санкт-Петербург), Региональной научно-практической конференции «Экономика регионов России в условиях глобального кризиса» (2009 г., Иваново), Международной конференции «Энергосберегающие технологии и оборудование, экологически безопасные производства» (2004 г., Иваново), V и II Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1977 и 1989 гг., Вильнюс). По теме диссертационного исследования опубликовано 29 работ общим объемом 22 печатных листа, в том числе авторских -18,9 печатных листа.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения с основными выводами. Она содержит 245 страниц машинописного текста, включая: 17 таблиц, 16 рисунков, список литературы из 297 наименований.

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе - « Оценка относительной эффективности: методология и методы исследования» рассматриваются следующие вопросы. Значимость эффективности, как фактора, определяющего собственно существование человеческого общества, нашла отражение, в том числе, в разнообразии частных понятий эффективности, подходов к измерению и объяснению уровня эффективности в многочисленных конкретных приложениях. Одним из основных таких подходов является следующий. Пусть 3 - экономические затраты предприятия, фирмы в течение некоторого периода времени, Э - порождаемый этими затратами экономический результат (эффект). Тогда экономическая эффективность А равна

(в отечественной экономической науке термин «коэффициент экономической эффективности» по-видимому, впервые, был предложен С.Г. Струмилиным в 1920 году, но до 50-х годов ХХ века он применялся мало; соотношения типа ( 1 ) систематически применял Т. С. Хачатуров). Исследование с экономической точки зрения возможности отклонения фактических значений А от гипотетически существующих оптимальных значений А* было впервые, по-видимому, проведено Х. Лейбенстайном. Как известно, в рамках неоклассической теории экономического равновесия оптимальные значения (здесь величин Э и З) определяются производственной функцией, и в идеале отклонения от оптимума отсутствуют, но значения показателя ( 1 ) могут быть улучшены за счет рационального выбора сочетания используемых ресурсов (аллокативная эффективность). Основная идея классической работы Х. Лейбенстайна «Х-эффективность» (рус. пер.: Теория фирмы. СПб., 1995. С. 497-504.) состоит в том, что « …экономическая теория фокусирует внимание на аллокативной эффективности, исключая другие типы эффективности, которые в действительности являются во многих случаях более важными». Х.Лейбенстайн на основе большого числа эмпирических данных установил, что реально мероприятия по оптимизации использования ресурсов дают весьма незначительный эффект, а изменения в затратах или прибыли, проистекающие вследствие иных причин, могут быть в десятки раз больше и назвал возможные причины этого - такие как мотивацию работников, компетенцию и мотивацию менеджмента, степень конкретизации производственной функции.

Альтернативой для оценки эффективности по способу ( 1 ) является отыскание оптимальных значений Э* и З*, определяемых сочетаниями конкретных значений х0, y0, z0 , … - параметров производственного процесса, выбираемых фирмой. При этом тот факт, что Э(х0, y0, z0,…) = Э* и З(х0, y0, z0,…) = З*, где 1, а 1, может толковаться и как неполнота набора рассматриваемых факторов, и как наличие необъяснимых или не поддающихся традиционному количественному учету факторов. Если ограничиться задачей отыскания и , то нет необходимости выявлять и моделировать посторонние факторы, а значения Э* и З* для всех фирм можно определить по нескольким реперным точкам. Эта идея реализована в непараметрических методах. В параметрических методах «посторонние» факторы должны быть включены в модель и, по-видимому, одним из логически приемлемых вариантов является представление их в модели случайными величинами - так формируются стохастические граничные методы. Проведенный сравнительный анализ показывает, что непараметрические и параметрические методы оценки относительной эффективности устанавливают, фактически, качественно различные характеристики отдельных фирм (банков) и поэтому их совместное практическое применение и обсуждение результатов является логически некорректным. В данной работе обсуждаются методы SFA.

Применительно к банкам в работе рассматриваются, прежде всего, эффективность по затратам (TC, Total Cost) и по прибыли (PBT, Profit before tax). Банк «j» характеризуется набором значений (TCj, PBTj, {Xkj}, k = 1, …, m), где = {Xk} - вектор переменных модели (их выбор уточнен в последующем изложении). Опираясь на некоторое заранее заданное аналитическое представление для границ эффективности: TCтеор = FТ () , PBTтеор = FP (), метод SFA моделирует отклонение от границы включением случайного множителя:

,

где uj -знакопостоянная (uj ? 0) случайная величина, среднеожидаемое значение которой и есть основа оценки относительной эффективности, а vj - возможная знакопеременная «ошибка наблюдения», «шум», j =1,…n, n - общее число банков. (За исключением одного параграфа главы 3, величины uj, относящиеся к прибыли и к затратам, в работе исследуются отдельно; в более подробной записи должно быть uj,ТС и uj,Р ). При этом предполагается, что

случайные величины vj независимы между собой;

случайные величины vj одинаково распределены по нормальному закону с нулевым средним и некоторой дисперсией дисперсией : vj ~ (0, v);

случайные величины uj независимы между собой

случайные величины uj одинаково распределены по некоторому заданному закону и параметры этого закона не зависят от Xkj

совокупности случайных величин uj и vj независимы

Далее назовем эти предположения «классическими». Вообще говоря, пункты ( i ) - ( v ) потенциально могут быть дополнены предположениями относительно совместного распределения случайных величин uj, относящихся к затратам и прибыли. В пункте ( iv ) часто предполагается, что распределение uj является усеченным нормальным распределением.

Одной из основных задач данного исследования является анализ этой системы предположений - в связи с тем, что

(а) непосредственным итогом практической реализации моделей такого вида являются оценки параметров функций FT , FP , случайных величин uj , vj, и эти оценки отыскиваются посредством статистических методов, базирующихся на собственную, достаточно жесткую систему предпосылок;

(б) потенциально возможное расширение теоретического и практического применения рассматриваемых моделей необходимым образом должно опираться на свойства совокупностей случайных величин uj , vj.

Рассмотрим предположение (iv). Требование одинаковой распределенности величин uj изначально представляется не вполне корректным, противоречащим вообще логике и способу включения этих переменных в модель. Очевидно, что крупные и малые банки, оперируя со значительно отличающимися по составу группами клиентов, могут иметь доступ к совершенно различным по количественному и качественному составу объемам информации, не говоря уже о квалификации персонала; не последнюю роль могут играть и особенности региона расположения банка. Различие в структуре собственности, уровень специализации банка создают, несомненно, оттенки в мотивации. Таким образом, представляется логичным допустить различие, по крайней мере, в некоторых параметрах случайных величин uj. При этом следует подчеркнуть, что с практической точки зрения, в частности, для более корректного оценивания степени рисков, возможность различия дисперсий не менее важна, чем возможность различия среднеожидаемых значений. Может быть подвергнуто сомнению и предположение о независимости параметров случайных величин uj от значений x1j ,…, xmj . Действительно, способности и мотивация менеджмента и персонала могут зависеть от конкретной ситуации, в которой находится банк и объемов применяемых (перерабатываемых) ресурсов. С другой стороны, сама постановка вопроса о возможности применения рассматриваемых моделей в обсуждении проблемы дифференцированного подхода к оцениванию и регулированию деятельности отдельных банков логически оправдана лишь при изначальном отображении в модели предположений о возможной неоднородности характеристик описываемых объектов. В заключение отметим, что учет потенциального различия параметров величин uj возможен лишь при внесении ряда изменений в применяемые методы оценки параметров.

Наиболее важным представляется анализ пункта (iii) - по двум причинам. Во-первых, весьма правдоподобно, что это предположение выполняется далеко не всегда. Действительно, опубликованные результаты многих исследований, проведенных в ряде отраслей экономики и различных странах, в том числе и в России, позволяют указать несколько групп причин, по которым воздействия возмущающих факторов неэффективности на результаты деятельности отдельных банков могут быть взаимозависимыми, например:

1) общие и/или взаимодействующие источники входных финансовых потоков (корпораций, фирм, размещающих средства и т.п.);

2) общие или взаимосвязанные клиенты;

3) сходный характер влияния факторов внешней среды: особенности регионального законодательства, традиции местного населения, развитость инфраструктуры региона, в том числе сетей передачи информации и доступность этих сетей и так далее.

Следует особо подчеркнуть, что речь идет не только и не столько о прямом воздействии одного или нескольких показателей на другой. Косвенные причины взаимозависимости эффективностей могут быть достаточно сложными, однако для построения адекватных математических моделей важен, прежде всего, принципиальный факт возможности существования таких причин и, как следствие, необходимости их учета в исходных предпосылках - и прежде всего потому, что последствия отказа от предположения о независимости достаточно серьезны - как об этом можно судить по приводимым в двух последующих главах результатам, относящимся к применяемому в SFA инструментарию теории вероятностей и математической статистики. Поскольку корреляция между эффективности подтверждается расчетами, принятие предположения о зависимости случайных величин uj становится значимо актуальным и требует соответствующего развития применяемого математического аппарата.

Наконец, логично предположить, что величины uj,ТС , uj,Р , относящиеся к затратам и прибыли как-то взаимосвязаны. Этот достаточно очевидный факт не обсуждался в литературе, по-видимому, просто потому, что не рассматривались модели, в которых одновременно присутствуют показатели прибыли и затрат.

В заключительной части первой главы обсуждаются вопросы сопоставления оценок эффективности с проблемами оценки рисков и устойчивости. В теоретических и прикладных исследованиях банковской деятельности вопросам оценки рисков и устойчивости уделяется, по понятным причинам, особое внимание. Однако следует признать, что на настоящий момент не существует единого общепризнанного методического подхода к оценке устойчивости банковского сектора. Мы предполагаем выяснить, какую роль могут сыграть оценки эффективности в оценке устойчивости банков. Можно рассмотреть два аспекта проблемы соотношения риск - эффективность: как (некоторым образом измеренная) степень риска в действиях банка влияет на эффективность и как можно оценить степень будущего риска по оценке эффективности в данный момент или ее динамике. Поскольку, по существу, все рассматриваемые здесь модели имеют вид эффективность = функция от некоторого набора переменных,

то решение первого вопроса сводится к выделению тех переменных моделей, которые можно назвать условно переменными риска и оценить их влияние на эффективность. Так, можно рассматривать кредиты разного уровня проблемности, учитывать состав портфеля ценных бумаг и т.д. С другой стороны, степень устойчивости банка обычно оценивается по совокупности некоторого набора фактов; как правило, среди них преобладают утверждения о том, что совокупность значений показателей, описывающих состояние банка, принадлежит некоторому выделенному множеству. Пусть контролируется вероятность вида P( П ПКР), где П - одна из таких случайных характеристик, возможно, векторная, и ПКР - критическая область для П. Если случайные величины uj включены в определение значений П, то законы распределения uj будут участвовать в определении закона распределения П и тем самым влиять на оценку устойчивости. Далее можно наметить два направления приложения оценок эффективности к оцениванию общесистемной устойчивости. Во-первых, зная законы распределений (случайных) эффективностей отдельных банков, можно прогнозировать поведение суммарного абсолютного отклонения от границы эффективности по всей системе или выделенной совокупности. Во-вторых, можно оценивать вероятность возникновения кризисной ситуации в нескольких банках одновременно и на этой основе оценить эффект распространения по системе негативной информации и соответствующей же реакции на нее; то же относится и к клиентам банка. Таким образом, в качестве характеристики П могут быть, в том числе, использованы конструкции вида , где J - некоторое исследуемое множество банков, а также выражения, сходные с и поэтому дальнейшее исследование необходимым образом будет опираться на применение так называемых предельных теорем для случайных величин uj, ТСj, PBTj.

В начале второй главы «Теоретические основы построения оценок параметров в модели SFA» приведены некоторые необходимые факты из теории вероятностей (выбор которых отражает логику исследования), в частности, формулы для моментов усеченного нормального распределения, некоторые факты по предельным теоремам теории вероятностей и далее рассмотрены следующие вопросы. Констатируя тот факт, что в математических моделях со случайными факторами оценки каких-либо параметров, определяемые по выборке, являются случайными величинами, подчеркивается, прежде всего, что роль и качество таких оценок должны квалифицироваться в теоретико-вероятностных терминах. Пусть и - параметр, иn* - его оценка по выборке {xi} объема n. Несколько огрубляя, можно сказать, что обсуждению подлежит, в первую очередь, взаимосвязь между е, г и n в соотношении

P( | иn* - и | < е) ? г ( или P( | иn* - и | > е) ? 1- г ) ( 3 )

где Р(…) - вероятность события, е > 0 - точность оценки, г - ее надежность. В целом иn* есть продукт применения некоторого статистического метода и теоретико-вероятностных утверждений, приводящих к ( 3 ). В этой связи мы отмечаем, что в моделях SFA, в том числе в «классической» постановке, практически всегда применяется метод максимального правдоподобия (ММП) в предположении, что случайные факторы в модели являются одинаково распределенными и независимыми случайными величинами. При этом доказательство того факта, что в ( 3 ) имеет место г>1 при n> при любом е > 0 (состоятельность оценки иn*) опирается, в том числе, на применение центральной предельной теоремы (ЦПТ) и закона больших чисел. Таким образом, актуальная проблема возможности отказа от упомянутых выше предположений (iii) и (iv) связана, прежде всего, с возможностью подходящей модификации ММП или применения другого метода оценки параметров, а также применения в этой ситуации ЦПТ или закона больших чисел. В качестве альтернативы ММП можно рассмотреть метод моментов, применимость которого также может быть обоснована посредством применения ЦПТ или закона больших чисел. В третьей главе работы показано, что оба метода допускают определенное ослабление требования одинаковой распределенности случайных факторов; однако для ММП требование независимости этих факторов вряд ли возможно исключить без существенных дополнительных исследований.

Пусть Xi - независимые случайные величины и Sn = X1 + ... Xn. Центральная предельная теорема устанавливает близость закона распределения случайной величины Sn к нормальному закону распределения . Отметим, что формулировки и доказательства утверждений, связанных с ЦПТ, по существу не используют факт упорядоченности нумерации величин Xi и остаются справедливыми и в следующей редакции. Пусть V - непустое не более чем счетное множество (например, произвольное подмножество множества натуральных чисел). Пусть i1, i2,…- произвольно выбранная последовательность элементов множества V. Определим множества: V1 = { i1}, V2 = { i1, i2},…,Vn = { i1, …,in}. Утверждения ЦПТ останутся верными, если в их формулировках и результатах заменить: суммирование по i от 1 до n - суммированием по множеству Vn и условие « верно для всех i = 1,…,n » - условием « верно для всех ikVn». Такого вида формулировки представляются полезными при моделировании объектов, сходных с совокупностями банков, поскольку в этом случае трудно предложить сколько-нибудь естественную упорядоченную нумерацию объектов.

С другой стороны, известен ряд содержательных результатов, сходных с ЦПТ, относящихся к так называемым слабо зависимым случайным величинам. Проведенный в работе обзор показывает, что практически все эти результаты предполагают, прежде всего, наличие некоторой нумерации рассматриваемых случайных величин, которая играет основную роль при определении меры «слабой зависимости». Кроме того, рассматриваемые случайные величины, как правило, подчинены дополнительным моментным ограничениям вида E|Xi|p?C при всех i и некотором р ? 2 и/или DSn ? d·n, d > 0. Таким образом, эти результаты фактически невозможно применять к совокупностям объектов, в которых нет естественной нумерации, а также в случае существенного различия в «размере» этих объектов. В связи с этим в работе приведен ряд результатов, полученных автором для так называемых конечно зависимых случайных величин (определение предложено Чэнем /Chen L. H. Y/ в 1970 году).

Определение 1. Случайные величины Xi, iI, где I - некоторое не более чем счетное множество индексов (например, подмножество множества натуральных чисел), называются конечно зависимыми, если существует конечное число K > 0, такое, что:

для любого конечного множества А I найдется конечное множество В(А) I со следующим свойством:

совокупности случайных величин с индексами из А: {Xi, iA} и с индексами, не принадлежащими В(А): {Xi, iI \ B(A)} являются независимыми и при этом ||B(A)|| K||A||;

здесь и далее ||C|| обозначает число элементов конечного множества С.

Независимые случайные величины удовлетворяют этому определению при К = 1; так называемые m-зависимые случайные величины и m-зависимые случайные поля на целочисленной решетке Zd - при К = 2m + 1 и K = (2m + 1)d.

В работе приведен ряд утверждений относительно конечно зависимых случайных величин. Приведем один из основных результатов.

Теорема 1. Пусть Xi, iI - конечно зависимые случайные величины, такие, что ЕXi =0, Е|Xi3|<, при всех i, V I - конечное множество,

n = || V ||, SV =iV Xi ,.

Тогда

,

где FV(x) = Р( SV <xBV), Дn(х) = | FV(x) - Ф(х) |, Ф(х) - стандартная нормальная функция распределения, А > 0 - постоянная, зависящие только от К. Оценки ( 4 ), как и некоторые другие приводимые в работе результаты, впервые полученные автором, являются неулучшаемыми в том смысле, что совпадают по порядку с аналогичными оценками для независимых случайных величин, оптимальность которых установлена в соответствующих разделах теории вероятностей. Отсутствие дополнительных моментных ограничений и способ представления оценки Дn - в терминах величин LV - обусловливают достаточно широкую применимость данного результата. Постоянная А имеет почти оптимальный порядок зависимости от К:, где С > 0 - абсолютная положительная постоянная (известное неулучшаемое по К соотношение имеет вид А СК2; в работе приведены возможные дополнительные условия, введение которых приближает оценку для А к оптимальной). Отметим, что условия Теоремы 1 налагают определенные ограничения на выбор возможного закона распределения для uj в пункте ( iv ) исходных предположений SFA. В работе приведен аналог Теоремы 1 при предположении о существовании у величин Xi только моментов второго порядка.

Менее ограничительным является следующее определение.

Определение 2. Случайные величины Xi, iI, где I - некоторое конечное или счетное множество индексов, назовем локально (K, H) конечно зависимыми, если существуют натуральное число H и положительное число K, такие, что для любого i I найдутся конечные множества Вh(i) I, h = 0,…, H, B0(i) = {i}, со следующим свойством: совокупность случайных величин с индексами из Вh(i) и совокупность случайных величин с индексами, не принадлежащими Вh+1(i), 0 h H - 1, являются независимыми и при этом ||Bh(i)|| Kh. Очевидно, случайные величины, удовлетворяющие этому определению, удовлетворяют и Определению 2; увеличение Н есть ужесточение требований к системе величин Xi.

Для локально (К, 1) конечно зависимых случайных величин Xi, в работе устанавливается справедливость неравенств:

, если при всех i ЕXi =0, Е|Xi3|<, где А > 0 и зависит только от K и

, если DXi < ,

из которых, в частности, следует, что условия «LV > 0 при n > » или «при n > » являются достаточными для состоятельности оценок, представленных суммой случайных слагаемых, удовлетворяющих Определению 3, в частности, для оценок по методу моментов. Далее в работе приведены оценки величин

,

р 0 (для р > 0 установлены автором), которые могут быть применены для оценки моментов сумм величин Хi .

Известно также следующее определение слабой зависимости (содержится в одной из работ Y. Rinott, V. Rotar).

Определение 3. Случайные величины Xi, iI, где I - некоторое не более чем счетное множество индексов, назовем величинами с обобщенным перемешиванием (в оригинале local dependency), если для каждого одноэлементного множества {i} определена система множеств В(i), В(В(i)) = B2 (i), …, такая, что если jВk (i), hBm(i), то коэффициент перемешивания (j,h) <Dexp(- |k-m|) и при этом ||BM(i)||<КM; А, К - положительные коэффициенты; коэффициент перемешивания - некоторая специальная мера зависимости между случайными величинами (точная формулировка приведена в работе). Исследованные Ю. В. Линником и И. А. Ибрагимовым стационарно-связанные случайные величины и поля удовлетворяют данному определению при подходящих сочетаниях значений параметров А, К, D, М и . Незначительное видоизменение формулировок позволяет установить, что, фактически, конечно зависимые случайные величины являются и величинами с обобщенным перемешиванием. Указанными авторами получен ряд достаточно общих результатов в ЦПТ для величин указанного типа с близкой к оптимальной по порядку оценкой скорости сходимости ( где постоянные А и зависят от D,K,d и ); однако наличие моментных ограничений может ограничить область их практического применения. В этой связи может оказаться полезной следующая теорема

Теорема 3. Пусть Xi, iI случайные величины с обобщенным перемешиванием. Тогда, в обозначениях теоремы 1,

,

где А > 0 и зависит только от D, K и .

В приведенных теоремах условие «LV > 0 при n>» является достаточным для выполнения соотношения «V > 0 при n>». Таким образом, если оценка иn* представлена как сумма случайных слагаемых, удовлетворяющих условиям одной из приведенных теорем и условию LV > 0, то будет выполнено P( | иn* - и | > е) > 0, то есть иn* будет состоятельной и асимптотически нормальной оценкой для и.

В целом можно констатировать, что совокупность известных на данный момент определений слабой зависимости, по-видимому, может позволить достаточно адекватно описывать системы взаимодействующих экономических объектов, а имеющиеся и вновь установленные для таких случайных величин результаты, в частности, оценки в ЦПТ - получать корректно обоснованные оценки параметров случайных величин, входящих в модель, а также устанавливать результаты, характеризующие совместное поведение этих объектов. Возможность достаточно широкого теоретического и практического применения этих результатов связана с формой их представления (в терминах LV) и минимальных предположениях о моментах рассматриваемых случайных величин.

В третьей главе «Методы оценки параметров в модели SFA» на основе ранее полученных результатов предложены конкретные методы оценки параметров рассматриваемой модели при различных конкретных вариантах системы исходных предположений о распределениях случайных факторов неэффективности. В частности, рассматривается возможность модификации метода максимального правдоподобия для случая, когда случайные неэффективности банков в той или иной степени «индивидуальны». Приведены соображения, позволяющие заключить, что предположение вида = (Z), где Z - некоторый набор переменных, не входящих в модель, не вполне корректно, наличие в этом случае у оценок, полученных по методу максимального правдоподобия требуемых свойств необходимо тщательно обосновывать. Напротив, установлено, что метод максимального правдоподобия может корректно применяться в том случае, когда среди независимых случайных величин uj имеется несколько групп, отличающихся параметрами своих распределений. Таким образом, можно практически устанавливать более точные оценки эффективности и других характеристик для выделенных групп банков (например, по величине суммы активов, организационно-правовой формы, региону деятельности и других) и, как следствие индивидуализировать политику Центрального Банка по отношению к этим группам.

Опираясь на проведенный ранее анализ причин, по которым случайные величины, моделирующие отклонение от границы эффективности для отдельных банков, целесообразно рассматривать как потенциально зависимые, мы делаем основной вывод о том, что логически допустимо и целесообразно считать эти величины слабо зависимыми. При этом меру этой зависимости не следует связывать с какой-либо заранее заданной индексацией этих величин. Одной из возможных реализаций данной идеи является применение конечно зависимых величин или величин с обобщенным перемешиванием.

Результаты главы 2 позволяют сформулировать основное положение работы: пункты (iii), (iv) «классической» системы предположений метода SFA могут быть модифицированы следующим образом:

(iii А) случайные величины uj удовлетворяют одному из Определений 1, 2 или 3;

(iv А) параметры закона распределения случайных величин uj общего для всех uj вида, но, возможно, различные при разных j, не зависят от xkj.

Если при этом

при n>, где С(n) = const в случае Определений 1,2 и С(n) A(ln n)B в случае Определения 3 (постоянные А и В зависят только от D, K и ), то выборочные моменты будут состоятельными оценками неизвестных «теоретических» моментов исследуемых распределений. Тем самым устанавливается возможность построения оценок относительной эффективности в условиях (iii A), (iv A). В ряде частных случаев представления функции правдоподобия, можно установить также состоятельность и асимптотическую нормальность оценок неизвестных параметров модели, полученных посредством применения метода максимального правдоподобия.

Результаты, полученные в главе 2, позволяют также в условиях (iii A), (iv A) оценивать вероятности событий, связанных с величинами вида, то есть использовать их в оценках степени риска, связанного с отклонением от границы эффективности. В частности, распределение суммарной неэффективности по затратам и по прибыли при достаточно общих предположениях будет приближенно нормальным; для зависимых uj этот факт устанавливается впервые. Вместе с тем оценки вероятностей вида для зависимых uj могут качественно отличаться от аналогичных, полученных при «классических» предположениях; таким образом, учет взаимозависимости uj может быть принципиально важным при оценивании степени рисков, связанных с потерей эффективности.

Разработка и реализация алгоритма расчетов по модели SFA в значительной степени зависят от простоты аналитического представления функции правдоподобия, фактически от предположения о виде распределения случайных величин uj, моделирующих отклонение от границы эффективности. В работе предложены модели с дискретным распределением для uj, приведены необходимые формулы, разработан алгоритм поиска максимума функции правдоподобия. Проведенные расчеты показали, что эффективности по затратам и прибыли, полученные в этой модели хорошо согласуются со значениями этих же показателей, полученных при классических предположениях для усеченного нормального закона. Вывод формул для функции правдоподобия для многих частных случаев задания законов распределения uj фактически содержат этап «дискретизации», таким образом, переход к дискретным распределениям уже для независимых эффективностей не является, по существу, ограничением. С другой стороны, конструктивное задание непрерывного совместного закона распределения слабо зависимых величин представляется весьма затруднительным, и естественно применить и в этом случае дискретные распределения. В частности, предлагается вариант построения совместного закона распределения зависимых случайных величин внесением «возмущений» в закон распределения, соответствующий независимым величинам. Для некоторых конкретных законов распределений такого вида, в частности, для дискретного аналога многомерного усеченного нормального распределения, предложен и реализован алгоритм построения оценок параметров модели по методу ММП. граничный случайный величина функция

По совокупности изложенных результатов можно сделать вывод о том, что предлагаемый новый подход в развитии стохастических граничных методов для систем экономических объектов с потенциально зависимыми показателями относительной эффективности, обеспечен теоретической базой, позволяющей разрабатывать конкретные реализации моделей посредством этих методов.

Далее в третьей главе обсуждается возможность совместного исследования показателей эффективности прибыли и затрат с целью построения моделей для построения оценок рентабельности. Приведены рассуждения, показывающие целесообразность и возможность с самого начала считать случайные величины uj,ТС и uj,Р зависимыми, приведены соответствующие аналитические исследования и алгоритмы вычислений, использующие дискретное задание совместного закона распределения случайных величин uj,ТС , uj,Р .

В связи с обсуждавшейся в отечественной литературе задачей оптимального управления факторами неэффективности, рассмотрен один частный случай постановки такого типа задач и установлено, что решение по существу опирается на информацию о совместном законе распределения эффективностей.

Четвертая глава «Показатели эффективности деятельности банков Российской Федерации» содержит результаты расчетов относительной эффективности и других характеристик деятельности отечественных банков по методу SFA и анализ этих результатов.

Метод SFA в данной работе рассматривался в трех вариантах:

(а) при предположениях, названных выше классическими;

(б) при разбиении совокупности банков на группы по некоторому признаку с заданием индивидуальных значений параметров случайных величин uj для каждой группы;

(в) при учете возможной зависимости случайных величин uj.

Исходные данные для вычислений получены автором обработкой информации из форм 101, 102, опубликованных на официальном сайте Центрального Банка России (www.cbr.ru). В модели использовались переменные:

Y1 - сумма предоставленных кредитов; Y2 - вложения в ценные бумаги;

Y3 - внебалансовые активы; A - чистые активы;

W1 - заработная плата; W2 - процентные расходы;

W3 - операционные расходы; ТС - общие расходы;

РВТ - прибыль до налогообложения; К - капитал.

По значениям переменных Wk, k = 1, 2, 3, были определены удельные показатели - «цены входа» как . Производственная функция применялась в «транслог»-форме, т.е. в виде

( 5 )

.

где yk = ln(Yk), k = 1, 2, 3; w1 = ln(1 ) - ln(3 ) = ln (W1 / W3);

w2 = ln(2 ) - ln(3 ) = ln (W2 / W3).

При отнесении к конкретному банку значения переменных снабжаются еще одним индексом («j»). Для «теоретического» значения прибыли использовалось представление, аналогичное ( 5 ). В соответствии с ( 2 ),

 ,

где - фактическое значение ln (TC* набл ) = ln( TC набл / (W3/A)),

- фактическое значение ln (РВТ* набл ) = ln( РВТ набл / (W3/A)).

Непосредственным результатом расчетов являются статистические оценки значений коэффициентов аk, k = 0,…, 20 в формуле ( 5 ), оценки (условные математические ожидания) эффективности по затратам и по прибыли:

Effj(ТС) = E(exp(- (uj | uj + vj))) и Effj(Р) = E(exp((-uj | -uj + vj))).

Далее, предложенную в главе 3 модель для оценки рентабельности затрат мы конкретизируем, базируясь на представлении

,

Dj - доход банка j. Пусть

.

Основываясь на формуле ( 6 ) и учитывая, что

, мы рассматриваем модель

,

где распределение величин uZ определяется как распределение разности двух знакопостоянных величин (аналогов uj,ТС , uj,Р), которые целесообразно - в контексте развиваемых в работе идей - считать потенциально взаимозависимыми. Исследование соотношений типа ( 7 ) позволяет устанавливать связь между показателями относительной эффективности и традиционными показателями рентабельности.

Эффективность. Совокупность значений относительной эффективности, фактически, характеризует степень однородности работы банков. Эти сведения представляют непосредственный интерес, но также оценивают и возможность применения в исследовании аналитических характеристик границы эффективности. Основным выводом теоретического исследования глав 1 - 3 является обоснование необходимости отказа от модели (а) в пользу моделей (б) и/или (в) и конкретизация возможных вариантов перехода к этим моделям. Вместе с тем представляется целесообразным обсудить результаты расчеты и по модели (а) с целью (i) сравнения с результатами аналогичных расчетов, представленных в зарубежных и отечественных публикациях; (ii) определения конкретных вариантов построения моделей типа (б), (в).

I. Оценки эффективности в модели (а).

1. Эффективность по затратам. В таблице 1 приведены данные о средней относительной эффективности (формула ( 7 ) по всей совокупности банков по затратам поквартально за период 2006-2007 годы:

Таблица 1. Изменение средней относительной эффективности по затратам для банков с суммой активов более 2 млрд. руб.

	01.04.06	01.07.06	01.10.06	01.01.07	01.04.06	01.07.07	01.10.07	01.01.08
Effсредн	0,58	0,60	0,60	0,62	0,67	0,66	0,71	0,69
s	0,21	0,20	0,21	0,18	0,18	0,19	0,16	0,17

(s - взвешенное среднеквадратичное отклонение).

Таким образом, формально отмечается рост средней относительной эффективности по затратам за указанный период. Однако значения Eff(TC) распределены достаточно неоднородно, что подтверждается и высокими значениями среднеквадратичного отклонения. Средняя относительная эффективность по группе банков, для которых Eff(TC) > 0,6 (более двух третьих общего числа банков) составляет 0,77 со средним квадратичным 0,07. Отметим, что около 20 банков постоянно присутствовали в числе 50 лучших по этому показателю, в том числе около 10 банков из 50 крупнейших. Эффективность по прибыли в рассматриваемый период составляла в среднем от 0,52 до 0,65 при среднеквадратичном отклонении от 0,15 до 0,2 с некоторым снижением в 2007 году. Распределение значений Eff(Р) также не может быть признано нормальным при «хорошем» уровне значимости. Вместе с тем зависимость Eff(Р) от размера банка имеет более выраженный характер, в частности, Eff(Р) в целом снижается с уменьшением размера банка и можно выделить группы банков (по величине СА) со значимым различием в величине Eff(Р)СРЕДН (таблица 2). Между эффективностью по прибыли и эффективностью по затратам в каждом из семи периодов в пяти случаях установлено наличие значимой отрицательной корреляции.