Математическое моделирование в научных исследованиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

южно-казахстанский государственный университет им. м.ауЭзова

Кафедра «Вычислительная техника и программное обеспечение»

Оспанова А.О.

Курс лекций

для магистрантов специальности

6М070400 - «Вычислительная техника и программное обеспечение»

Математическое моделирование в научных исследованиях

Шымкент - 2014 г

УДК

Составитель: Оспанова А.О. Математическое моделирование в научных исследованиях. Курс лекций для магистрантов

Специальности 6М070400 - «Вычислительная техника и программное обеспечение». - Шымкент: ЮКГУ им. М.Ауэзова, 20144. - 42 с.

Рецензент:

Каланов С.М. - к.т.н., руководитель филиала №89 НЦТ МОН РК

Рассмотрено и рекомендовано к печати заседанием кафедры «ВТиПО» (протокол № _1_ от «_27_» __08___ 2014 г.) и

методической комиссией факультета «Информационных технологий» (протокол № _1__от «_31_» __08___2014 г.)

© Южно-Казахстанский государственный университет им. М.Ауезова, 2014 г.

Ответственный за выпуск Оспанова А.О.

Содержание

Введение

Лекция 1. Системный анализ - совокупность научных методов и практических приемов решения сложных научных проблем

1.1 Индуктивный и системный подходы. Принципы системного подхода. Основные понятия компьютерного моделирования

Лекция 2. Классификация видов моделирования

2.1 Аналитические и имитационные модели. Этапы компьютерного моделирования

2.2 Принципы построения моделирующих алгоритмов. Общая структура моделирующих алгоритмов

Лекция 3. Оптимизация систем

3.1 Оптимизация, этапы оптимизации

3.2 Математическое моделирование линейных систем, разработка методов оценивания параметров математической модели

Лекция 4. Моделирование в НИ

4.1 Составление моделей в научных исследованиях. Основные методы системного анализа - морфологического анализа, дерева целей, экспертных оценок

4.2 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа

Лекция 5.

5.1 Модели динамических характеристик систем, связь между ними

Лекция 6.

6.1 Моделирование простых событий. Моделирование полной группы событий

6.2 Моделирование сложных событий. Математические модели и графики характеристик систем. Оценка характеристик с помощью математических программных пакетов

Лекция 7. Моделирование случайных процессов

7.1 Статистическое моделирование. Статистические оценки параметров случайных величин. Свойства оценок

7.2 Классификация методов моделирования непрерывных случайных величин. Математические модели статистических характеристик. Исследования и анализ статистических характеристик систем программными пакетами

Лекция 8. Идентификация систем моделирования

8.1 Основные способы идентификации систем управления. Способы получения статистических оценок

8.2 Основные законы распределения - нормальный (одномерный и многомерный), Пирсона, Стьюдента, Фишера

Лекция 9. Методы моментов и максимального правдоподобия (ММП). Неравенство Крамера-Рао

Лекция 10.

10.1 Метод наименьших квадратов (МНК)

10.2 Теорема Гаусса-Маркова. Примеры идентификации реальных систем управления с помощью математического пакета MATLAB

Лекция 11. Способы оценки адекватности математических моделей систем управления. Дисперсионные методы оценки. Основы методики проверки статистических гипотез

Лекция 12. Статистический критерий. Критерий Стьюдента. Ошибки 1 и 2 рода. Построение оптимальной критической области

Лекция 13. Регрессионный анализ. Связь метода наименьших квадратов МНК и метода максимального правдоподобия ММП. Методы проверки характеристик уравнений регрессии - эффективности, адекватности, значимости коэффициентов

Лекция 14. Основы планирования эксперимента. Полный факторный эксперимент, Квадратичные модели

Лекция 15. Многокритериальные оптимизационные задачи, понятие конфликта. Подходы к решению многокритериальных оптимизационных задач - метод главного критерия, человеко-машинные процедуры, мажоритарные схемы

Заключение

Список литературы

Введение

Целью дисциплины является освоение теории, методов и технологии компьютерного моделирования при исследовании, проектировании и применении компьютерных систем обработки информации и управления при проведении научных исследований. Основным инструментом исследования и расчета при решении задач моделирования является математический программный комплекс МАТЛАБ и его приложение Simulink.

Дисциплина связана с предшествующими дисциплинами: программирование на алгоритмических языках, теоретические основы компьютерных систем, информационные технологии и последующими специальными дисциплинами.

В результате изучения дисциплины рассматриваются типовые классы моделей и методы моделирования сложных систем, принципы построения моделей процессов функционирования сложных систем, методы формализации и алгоритмизации, системный подход при исследовании и моделировании систем.

Для успешного освоения дисциплины необходимо иметь навыки разработки имитационных моделей типовых процессов и систем обработки информации и управления

Лекция 1. Системный анализ - совокупность научных методов и практических приемов решения сложных научных проблем

1.1 Индуктивный и системный подходы. Принципы системного подхода. Основные понятия компьютерного моделирования

Системный анализ - изучение объекта исследования как совокупности элементов, образующих систему. В научных исследованиях он предусматривает оценку поведения объекта как системы со всеми факторами, влияющими на его функционирование.

Этот метод широко применяется в экономических исследованиях при комплексном изучении деятельности производственных объединений и отрасли в целом, определении пропорций развития народного хозяйства и т.п.

Ценность системного подхода состоит в том, что рассмотрение категорий системного анализа создает основу для логического и последовательного подхода к проблеме принятия решений. Эффективность решения проблем с помощью системного анализа определяется структурой решаемых проблем.

Согласно классификации, все проблемы подразделяются на три класса:

· хорошо структурированные (well-structured), или количественно сформулированные проблемы, в которых существенные зависимости выяснены очень хорошо;

· неструктурированные (unstructured), или качественно выраженные проблемы, содержащие лишь описание важнейших ресурсов, признаков и характеристик, количественные зависимости между которыми совершенно неизвестны;

· слабо структурированные (ill-structured), или смешанные проблемы, которые содержат как качественные элементы, так и малоизвестные, неопределенные стороны, которые имеют тенденцию доминировать.

Для решения хорошо структурированных количественно выражаемых проблем используется известная методология исследования операций, которая состоит в построении адекватной математической модели (например, задачи линейного, нелинейного, динамического программирования, задачи теории массового обслуживания, теории игр и др.) и применении методов для отыскания оптимальной стратегии управления целенаправленными действиями.

Под математическим моделированием будем понимать исследование процессов как математических моделей.

Математическая модель должна воспроизводить исследуемый процесс с сохранением его физической природы (физика-наука о природе).

Математическое моделирование обладает широкими возможностями аналитического обобщения различных процессов (механических, тепловых, электрических и др.), описывая их одинаковыми математическими соотношениями.

При математическом моделировании необходима информация не только о параметрах системы, но и о начальных и граничных состояниях, необходимых для решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих процесс.

Математическая модель реального процесса это математический объект, поставленный в соответствие реальному динамическому объекту.

Математическая модель это совокупность формул, уравнений, неравенств, логических условий и т.д..

Компьютерное моделирование - это в определенной степени, то же самое, описанное выше моделирование, но реализуемое с помощью компьютерной техники.

Для компьютерного моделирования важно наличие определенного программного обеспечения.

При этом программное обеспечение, средствами которого может осуществляться компьютерное моделирование, может быть как достаточно универсальным (например, обычные текстовые и графические процессоры), так и весьма специализированными, предназначенными лишь для определенного вида моделирования.

Очень часто компьютеры используются для математического моделирования. Здесь их роль неоценима в выполнении численных операций, в то время как анализ задачи обычно ложится на плечи человека.

Обычно в компьютерном моделировании различные виды моделирования дополняют друг друга. Так, если математическая формула очень сложна, что не дает явного представления об описываемых ею процессах, то на помощь приходят графические и имитационные модели. Компьютерная визуализация может быть намного дешевле реального создания натуральных моделей.

С появлением мощных компьютеров распространилось графическое моделирование на основе инженерных систем для создания чертежей, схем, графиков.

Если система сложна, а требуется проследить за каждым ее элементом, то на помощь могут придти компьютерные имитационные модели. На компьютере можно воспроизвести последовательность временных событий, а потом обработать большой объем информации.

Построение математической модели как сложного процесса в целом, так и для составляющих его элементарных актов в конечном счете сводится к получению соотношений, описывающих зависимость характеристик процесса от соответствующих параметров.

1.2 Сложные системы. Характеристики сложных систем. Задачи компьютерного моделирования сложных систем

Современным производственным процессам свойственна частичная или полная синхронизация последовательно выполняющихся операций. Интервалы времени, характеризующие синхронность, часто являются случайными. Это приводит к нарушению синхронности процесса в целом, когда операции или перегружаются, или недовыполняются.; возникает или очередь или простой. Процесс флуктуируется во времени, создается своеобразный динамический режим занятости производственного оборудования и машин.

Системы массового обслуживания.

Надежность комплексов ( отказы, за критические параметры, износ деталей машин и т.д.).

Содержательное описание сложных систем.

Эргодический процесс: позволяет моделирование большого количества реализаций заменить одной достаточно длинной реализацией, так что результаты моделирования по нескольким реализациям статистически равнозначны результатам моделирования по одной реализации (достатачно длинной). При моделировании эргодических процессов обеспечение заданной точности (при заданной достоверности) достигается достаточно большой длинной реализации (точность зависит от длительности реализаций).

Показатели эффективности сложного процесса, как показатели свойства самого процесса, показатели количественной меры свойства производственных процессов.

Этапы математического моделирования:

- формулирование законов, связывающих основные объекты модели,

- исследование математических задач, к которым приводят математические модели, это прямая задача, т.е. получение исходных данных результатов для сопоставления с получаемыми результатами,

- адекватность принятой модели, обратная задача,

- развитие модели.

Лекция 2. Классификация видов моделирования

2.1 Аналитические и имитационные модели. Этапы компьютерного моделирования

Управляемый процесс можно рассматривать как абстрактное понятие, с помощью которого можно представлять многие аспекты человеческой деятельности. Процессы могут быть как детерминированными, так и стохастическими. Поскольку многоступенчатый управляемый процесс представляет собой совокупность определенного числа ступеней, его природа определяется типом ступеней, которые его образуют, и способами их соединения.

Каждая ступень может представлять собой реальный или абстрактный объект (технологические операции, периоды времени, экономическая деятельность и т.д.), в котором происходят определенные изменения.

Переменные, которые претерпевают изменения на каждой ступени, называются переменными состояния.

Желаемые изменения с переменными состояния достигаются путем манипуляции с управляющими переменными.

Изменения, происходящие в каждой ступени , полностью определяются системой уравнений преобразования.

Ступень может иметь несколько входов и выходов, по которым в неё поступают или выводятся значения переменных состояния. По числу входов и выходов ступени классифицируются:

- ступень с одним входом и выходом называется связующей,

- ступень с несколькими входами и одним выходом - смесительная;

- ступень с одним входом и несколькими выходами - разделительная,

- ступень с несколькими входами и выходами - сложная.

Процессы разделяются на стационарные (гомогенные) и нестационарные (гетерогенные).

2.2 Принципы построения моделирующих алгоритмов. Общая структура моделирующих алгоритмов

В задачах оптимизации многоступенчатых управляемых процессах целевая функция, подлежащая максимизации или минимизации, представлена как функция переменных состояния на выходе последней ступени, зависящая от условий сопряжения всех ступеней процесса.

В распоряжении имеется определенное количество ресурса (сырье, капитал, технологии и т.п.). Он может быть использован различным образом, каждому из которого соответствует определенный результат. Целевая функция - результирующий доход.

Регрессионный анализ. Регрессионные зависимости являются одними из самых распространённых видов моделей, описывающих зависимость одной случайной величины от других случайных или не случайных величин. Регрессионная зависимость, или регрессия, записывается в виде функции, линейной или нелинейной, которая описывает зависимость «в среднем», т.е. приближенно с различной степенью приближения.

Слово «регрессия» введено ученым-естественником Гальтоном.

В инженерной практике приходится решать задачу зависимости наблюдаемой случайной величины У от одной или нескольких случайных (неслучайных) величин Х1, Х2, Х3 ,… . Величина У называется откликом, Х - факторами, влияющими на отклик, а (У,Х) - выборкой. Для определения зависимости отклика от факторов вводится между ними функциональная связь

У = f (Х).

Общая постановка задачи регрессионного анализа: по выборке (У,Х) наблюдаемых (экспериментальных) данных о значениях факторов и отклика

Ук = f (Хк ) + ок, к = 1, 2, 3,…,

где о - случайная величина, называемая ошибкой регрессионной модели, требуется построить оценку функциональной зависимости У = f(Х) , как закономерной зависимости при наличии случайной составляющей.

Гауссовая модель. Метод наименьших квадратов: минимизация суммы квадратов откликов.

Корреляционный анализ. Раздел математической статистики, исследующий зависимость между случайными величинами на основе различных выборочных оценок коэффициентов корреляции.

Применение методов корреляционного анализа позволяет произвести отбор среди факторов с целью выявления наиболее информативных из них, наиболее существенно влияющих на отклик.

Коэффициент корреляции Пирсона

r = [n-1Уxy - ([xy)cp ] / [(n-1Уx2 - x2cp)(n-1Уy2 - y2cp)]1/2 .

Выборочный множественный коэффициент корреляции

ryz = [n-1У(y - ycp)(z - zcp)] / [(n-1(У(y - ycp)2 x2cp)(У(z - zcp)2]1/2 ,

z = b0 + b1x1 + b2x2 +……+ bkxk.

Многомерный статистический анализ. Раздел математической статистики, который исследует многомерные наблюдения: наблюдение представляется не одним числом, а целым набором чисел, которые определяют ортогональную систему координат пространства наблюдений.

Дискриминантный анализ Совокупность объектов разбита на группы.Представление группы.

Кластерный анализ. Разбиение «схожих» групп.

Лекция 3. Оптимизация систем

3.1 Оптимизация, этапы оптимизации

Оптимизация представляет собой математическую задачу максимизации или минимизации некоторой функции нескольких переменных при наличии ограничений.

Процессу оптимизации соответствуют этапы:

1. Определение цели, возможностей системы, независимых переменных,, ограничений и внешних воздействий.

2. Анализ и упрощение: исключение второстепенных переменных и несущественных процессов, представление процесса в виде ступеней.

3. Моделирование или математическая запись целевой функции и уравнений преобразования. Решение.

4. Проверка: соответствие теоретических уравнений реальной системе (адекватность).

5. Оптимизация: определение экстремума функций.

Прямой метод вычислений. Если известна функциональная связь между целевой функцией и управляющей переменной, то можно непосредственно вычислить значение целевой функции для некоторого фиксированного значения управляющей переменной.

Эффективен при наличии одной управляющей переменной или нескольких в небольшом диапазоне изменения.

Классический метод дифференциального исчисления. Целевая функция f(х1, х2,…, хп) обладает непрерывными частными производными по своим аргументам, тогда положив частные производные от f по х равными нулю и решая совместно n уравнений

(?f/?xi) = 0 , i =1, 2,…, n ,

найдем значения x , дающие стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных.

Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум целевой функции

f(х1, х2,…, хп) при ограничениях

gj (x1, x2, …, xn) = 0, j = 1, 2, …, m, m < n

Вводятся m неопределенных коэффициентов (множителей) лj и выстраивается вспомогательная функция

F = f + л1g1 + л2g2 +

После чего решается система n + m уравнений

?F/?x = 0 , gj = 0

Найденная совокупность значений х определяет стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных

Вариационное исчисление. Требуется найти функцию у = у(х), доставляющую экстремум интегральному функционалу

Р = ? F[x, y(x), dy/dx]dx,

При граничных условиях y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; функция y(x) определяется из решения уравнения Эйлера

?F/?y - d(?F/?y,)/dx = 0 , y, = dy/dx.

Пример. Минимальному значению работы

W = ? N dt = ? Svdt ,

(здесь N - мощность, S - сила, скорость движения v = dx/dt , x - прямолинейная координата) соответствует решение уравнения Эйлера

dS/dt = 0 , S = 0 , const ;

это означает, что движение должно быть равномерным или с постоянным ускорением.

Линейное программирование (ЛП) является одним из востребованных методов решения оптимизационных задач, как в научных исследованиях, так и в практической деятельности: распределение ресурсов между работами машин, оборудования, бригадами, предприятиями, оптимизация технологических операций, экономических задач и др. В задачах, решаемых этим методом, целевая функция и область ограничения задаются линейными функциями.

В стандартной форме задачи ЛП формулируются в виде:

- найти экстремум целевой функции ( min или max)

F = с1х1 + с2х2 + …+ спхп > min (max) ,

- при заданной системе ограничений

а11х1 + а12х2 +…+ а1п xn = С1 ,

а21х1 + а22х2 +…+а2п xn = С2 ,

ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

х ? 0 , с ? 0.

Это задача поиска экстремума линейного функционала на линейных ограничениях.

Геометрическое представление этих задач: область ограничения С представляет собой выпуклый многоугольник, образованный пересечением плоскостей ограничений, построенных в n-мерной прямоугольной системе координат, n-мерной плоскостью так же является целевая функция F.

Здесь целевая функция достигает минимум (максимум) как касание n-плоскостью границы области ограничений, и методы дифференциального исчисления для его определения становятся не пригодными.

3.2 Математическое моделирование линейных систем, разработка методов оценивания параметров математической модели

Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, основанный на итеративной процедуре.

В том случае, когда область ограничения задается одним линейным уравнением, задача не имеет решения для всех х > 0.

Квадратичное программирование. Представлению задач линейного программирования n-мерными плоскостями и гипервыпуклыми многоугольниками поставим в соответствие n-мерными векторами в n-мерной ортогональной системе координат:

- целевая функция n- мерный вектор

V = e1с1х1 + e2с2х2 + …+ enспхп ,

- ограничения n-мерные вектора

е1а11х1 + е2а12х2 +…+ еп а1п xn = В1 ,

е1а21х1 + е2а22х2 +…+ еп а2п xn = В2 ,

е1ак1х1 + е2ак2х2 + …+ епакпхп = Вк .

здесь еi - единичные базисные вектора, для которых выполняются условия ортогональности ei ej = 0 , e2i = 1 , i, j = 1, 2, …

Векторным представлениям построим в соответствие квадратичные формы как квадраты длин векторов для целевой функции

V2 = (e1с1х1 + e2с2х2 + …+ enспхп )2 = с21х21 + с22х22 +…+ с2пх2п ,

и ограничений в виде произведения единичного вектора и векторов ограничений

(е1 + е2 +…+ еп ) (е1а11х1 + е2а12х2 +…+ еп а1п xn ) =

= а11х 1 + а12х2 +…+ а1п x n = С1 ,

(е1 + е2 +…+ еп) (е1а21х1 + е2а22х2 +…+ еп а2п xn) =

= а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn = С2 ,

(е1 + е2 + …+ ел) (е1ак1х1 + е2ак2х2 + …+ епакпхп) =

= ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

Таким образом, линейное программирование на линейных формах отображается на программирование квадратичных форм как квадратов длин векторов целевой функции при ограничениях на линейных формах, и становится возможным сделать переход от методов не дифференциального исчисления линейного программирования к дифференциальным.

На квадратичных формах целевой функции и линейных форм ограничений стандартная задача оптимизации ставится следующим образом:

- найти минимум целевой функции как минимальной длины вектор (минимальный квадратичный функционал)

Ф =V2 = с21х21 + с22х22 +…+ с2пх2п > min ,

при ограничениях

а11х1 + а12х 2 +…+ а1п x n = С 1 ,

а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn = С2 ,

ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

Здесь целевая функция Ф обладает непрерывными частными производными первого и второго порядка по своим аргументам.

В рассматриваемых условиях задачу оптимизации, как минимизации целевой функции, можно решать известным методом множителей Лагранжа. Метод заключается в введении множителей л1 , л2 , …, лк и построении вспомогательной функции

Т = с21х21 + с22х22 +…+ с2пх2п + л1(а11х 1 + а12х 2 +…+ а1п xn -

С1) + л2(а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn - С2) + лк(ак1х1 + ак2х2 + …+

акпхп - Сk).

Минимизация целевой функции обеспечивается условием ?2Ф/?х2 > 0.

Стационарное значение целевой функции Ф находится путем решения системы ( n + k ) уравнений, получаемых из условий

?Т / ?хi = 0 , i = 1, 2, …, n ,и ?Т / ?лj = 0 , j = 1, 2, …, k ,

2с21 х1 + ?аj1 лj = 0 ,

2с22 x2 + ?aj2 лj = 0 ,

2с2п xn + ?ajk лk + 0 ,

а11х1 + а12х2 +…+ а1п xn = С1,

а21х1 + а22х2 +…+ а2п xn = С2

ак1х1 + ак2х2 + …+ акпхп = Ск .

Размерность пространства решения задачи равна ( n + k ).

Система уравнений является линейной и замкнутой по числу неизвестных x и , поэтому её решение находится по формуле Крамера

Xi = di / d ,

где d - определитель основной матрицы системы уравнений , di - определитель матрицы, получающейся из определителя основной матрицы путем замены i-того столбца столбцом из свободных членов.

Таким образом, решением задачи становится пересечение гиперплоскостей, представленных системой уравнений.

Квадратичный функционал связан с линейным условием

V2 = F2 n .

В качестве иллюстрации представления предлагаемого метода оптимизации запишем решения линейной, плоской и 4-х мерной задач.

Линейная задача:

Найти минимальный квадратичный функционал

с21 х21 + с22 х2 2 > min ,

при линейном ограничении

х1 + х2 = С1 ,

решение имеет вид

х1 = с22 С1(с21 + с22) . х2 = с21 С1 / (с21 + с22) .

Плоская задача:

Найти минимальный квадратичный функционал

с21 х21 + с22 х2 2 + с23 х23 > min ,

при линейном ограничении

х1 + х2 + х3 = С1 ,

решение имеет вид

х1 = с22 с23 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,

х2 = с21 с23 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,

х3 = с21 с22 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,

4-х мерная задача:

Найти минимальный квадратичный функционал

с21 х21 + с22 х2 2 + с23 х23 + с24 х24 > min ,

при линейном ограничении

х1 + х2 + х3 + х4 = С1 ,

решение имеет вид

х1 = с22 с23 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

х2 = с21 с23 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

х3 = с21 с22 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

х4 = с21 с22 с23 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,

Решения позволяют выстраивать оптимальную организацию

общего лесозаготовительного процесса при наличии нескольких технологий, имеющих различную себестоимость единицы лесопродукции. В этом случае с - стоимость 1м3 лесопродукции для отдельной технологии, х - объем лесопродукции, производимой отдельной технологией, а С - общий объем заготовки леса.

В том случае, когда имеется информация о часовой или сменной производительности каждой технологии, можно найти технологическое время для каждой технологии, обеспечивающее минимальные затраты выполнения всего комплекса работ:

ti = xi / ni ,

здесь ni - производительность огдельной технологии в комплексе.

Задачи на максимум выстраиваются как двойственная минимуму

Н - Ф > mах ,

Где Н - постоянная, и условием - ?2Ф/?х2 < 0.

Представленное построение показывает, что решение задачи оптимизации данным методом квадратичного программирования возможно при минимальном числе условий ограничения (к = 1), что в принципе не возможно при линейном программировании.

В тоже время множество задач линейного программирования можно решать представленным методом квадратичного программирования.

Нелинейное программирование. Задача представлена нелинейными формами.

Динамическое программирование. Метод основан на принципе оптимальности, сформулированным Беллманом: оптимальная политика обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса, последующие управления должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса.

Пример. Процесс состоит из ступеней: n, n-1, n-2,.., 1. Преобразование и доход определяются функциями T(x,D) и P(x,D) соответственно (x- переменная состояния, D - управляющая переменная)

Целевая функция fn(x) и управление Dn на n-й ступени удовлетворяют функциональному уравнению

fn(x) = ext (Dn) {fn-1[T(x,Dn)] + Pn(x,Dn)},

Принцип максимума. (принцип быстродействия) Состояние процесса задается числами х1, х2, …,хп , называемыми координатами фазового пространства процесса, движение объекта управляется параметрами u1, u2,…, ur; координаты фазового пространства и управляющие переменные зависят от времени, управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений

dxi/dt = fi (x1,…, xn , u1, …, ur) , i = 1, 2, .., n.

или в векторной форме

dx/dt = f [x(t), u(t)] ,

интегральный функционал

J = ?f(x1, x2,.., xn, u1, u2,…,ur)dt ,

на отрезке времени принимает определенное значение; переход из одного состояния процесса в другое должен происходить при минимальном значении интегрального функционала.

Лекция 4. Моделирование в НИ

4.1 Составление моделей в научных исследованиях. Основные методы системного анализа - морфологического анализа, дерева целей, экспертных оценок

При решении конкретных задач с учетом неопределенностей приходится сталкиваться с тремя типами6

- неопределенность целей,

- неопределенность информации,

- неопределенность действий партнера или противника.

Неопределенность не следует путать со случайностью. Неопределенность подразумевает недостаточность знаний (понимания) проблемы и неясность взаимодействия различных факторов.

Математические методы можно разделить на три взаимосвязанных класса:

1. детерминированные модели,

2. модели оптимизации,

3. вероятностные модели.

Связь между ними можно представить в виде треугольника.

Проблема может не иметь математического представления по следующим причинам:

1. структура очень сложна,

2. структура ясна, но включает неопределенность, вероятности не могут быть определенными,

3. орошо понимаемо эмпирически, но теоретическая структура неясна,

4. структура понятна, но нерешаеаа даже приближенными методами,

Неопределенность надо учитывать по отношению к случайности.:

Размещено на http://www.allbest.ru/

-стохастическая неопределенность при статистической устойчивости,

- нестохастическая неопределенность, когда не существует никаких предположений.

Возникает риск принятия решений.

Принятие решений в условиях риска основывается на критериях:

- ожидаемого значения,

- комбинация ожидаемого значения и дисперсии,

- известного предельного уровня,

- наиболее вероятного события в будущем.

Если неопределенные факторы заданы законом распределения:

- случайные факторы заменяются математическим ожиданием и

производится оптимизация в среднем.

Стохастическое программирование:

Оптимизация математического ожидания целевой функции

W= М (Уcixi) > ext,

W= М (Уcixi) = Уcicxi > ext,

Теоретической основой нахождения решения в условиях неопределенности и конфликтных ситуаций является теория игр.

Теория игр как раздел оптимизации. исследующий методы разрешения конфликтов, в которых сталкиваются интересы нескольких сторон, и непосредственноне затрагивающие максимизацию или минимизацию.

Основу оптимизации с позиции теории игр составляет теория полезности. Оптимизация как предпочтение полезности. Предпочтение альтернатив. Функция полезности на множестве альтернатив. Предпочтение не числовая характеристика, а упорядочение. Поиск лучшей альтернативы.

Теория игр, исследующая интересы не одной стороны, а нескольких сторон, это другой путь оптимизации принятия решений.

Решение, полезность, предпочтение.

Решить - сделать выбор среди альтернатив. Для выбора надо знать порядок предпочтений.

Когда функция полезности определена и известны ограниченияна применение предпочтений, тогда выбирается методика оптимизации в смысле предпочтения среди альтернатив.

Упорядоченная полезность - порядковая полезность. Числовая полезность Эвристические критерии полезности:

1. Сопоставимость: для двух альтернатив либо предпочтение,

либо сопоставимость.

2. Транзитивность: если а > в и в> с, то а > с.

3. Недополнительность: если а > в, р - вероятность а, (1-р) - вероятность в, то а > ра + (1-р)в,

и др..

Метод Парето: сохранение множества возможных вариантов и выделение области, из которой необходимо выбрать наиболее предпочтительные.

4.2 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа

Дано дифференциальное уравнение:



при ненулевых начальных условиях:

Пусть Х(t) и Y(t) преобразуемы по Лапласу, т.е. непрерывны или кусочно-непрерывны, имеющие однозначные производные на всей оси.

Преобразуем по Лапласу выражения:

Зададимся функцией , тогда .

Преобразуем по Лапласу все уравнение:

Приведем выражение к более удобному виду:



Выделим выходную переменную в левую часть:

Решением заданного уравнения является:

Для того чтобы воспользоваться таблицей преобразований Лапласа (Табл.2-1), разложим полученное дробное выражение на сумму элементарных дробей, для чего найдем характеристическое уравнение:

корни характеристического уравнения, .

где С0, С1, С2, . . . , Сn - постоянные коэффициенты.

Выполним обратное преобразование Лапласа:



Решение заданного уравнения:

Полученное уравнение является уравнением кривой разгона, т.к. в качестве входного сигнала взята единичная скачкообразная функция. Сложность в решении такого рода задач в обратном преобразовании Лапласа.

Лекция 5.

5.1 Модели динамических характеристик систем, связь между ними

Одной из основных динамических характеристик систем управления является передаточная функция.

Рассмотрим общее дифференциальное уравнение линейной системы:

Преобразуя по Лапласу данное выражение, принимая нулевыми начальные условия, можно записать:

Если взять отношение выхода ко входу, то получится:

Эта дробно-рациональная функция и представляет собой передаточную функцию.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта Y(р) к преобразованному по Лапласу входу X(р).

Передаточная функция характеризует динамику объекта по определенному каналу. Если в объекте несколько входов, то по каждому каналу связи «вход-выход» будет своя передаточная функция.

Преобразуем по Лапласу эту функцию:

Передаточная функция в этом случае:

Если на вход системы подан сигнал в виде дельта-функции, то сигнал на выходе будет импульсно-переходной функцией k(t).

Передаточная функция является преобразованием по Лапласу импульсно-переходной функции.

Амплитудно-фазовой характеристикой W(iщ) называется отношение преобразованного по Фурье выходного сигнала к преобразованному по Фурье входному сигналу.

Если на вход линейной системы подать гармонический сигнал, то на выходе также будет гармонический сигнал с той же частотой, что у входного сигнала, но с другой амплитудой и сдвинутый по фазе.

Если входной и выходной сигналы преобразуем по Фурье и возьмем отношение выходного сигнала к входному, то получим амплитудно-фазовую характеристику W(iщ).

Амплитудно-фазовая характеристика, как любое комплексное выражение, может быть записана в виде:

Где: - амплитудно-частотная характеристика, - фазо-частотная характеристика.

Амплитудно-частотная характеристика M(щ) представляет собой отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты щ.



Зависимость, показывающая, как изменяется с частотой фаза колебаний на выходе по сравнению с фазой входного сигнала, называется фазо-частотной характеристикой ц(щ).

Амплитудно-фазовая характеристика может быть записана в алгебраической форме:

Амплитудно-частотная характеристика M(щ) или модуль и действительная Re(щ) и мнимая Im(щ) части связаны между собой соотношением:

Фазо-частотная характеристика ц(щ):

Действительная Re(щ) и мнимая Im(щ) части связаны с модулем выражениями:



Все рассмотренные динамические характеристики: временные, частотные, передаточная функция связаны между собой. Имея какую-либо одну характеристику, можно, зная связи между ними, получить все остальные. системный моделирование статистический

1. Допустим, задано дифференциальное уравнение системы. Необходимо найти другие динамические характеристики.

Передаточная функция может быть найдена прямым преобразованием по Лапласу правой и левой частей уравнения (3-17):

При нулевых начальных условиях:

Амплитудно-фазовая характеристика может быть получена из передаточной функции (3-18) путем подстановки р=iщ:



Кривая разгона y(t) может быть получена из дифференциального уравнения системы (3-17) решением его при x(t)=1(t).

Импульсно-переходная функция h(t) также может быть получена решением дифференциального уравнения (3-17) при x(t)=д(t).

Лекция 6.

6.1 Моделирование простых событий. Моделирование полной группы событий

Методы моделирования простых событий - это те приемы и средства, с помощью которых ученые получают достоверные сведения, используемые далее для построения научных теорий и выработки практических рекомендаций.

Различают следующие методы научного познания: общенаучные и конретно-научные (частные).

Общенаучные методы используются в теоретических и эмпирических исследованиях. Они включают в себя анализ, синтез, индукцию и дедукцию, аналогию и моделирование, абстрагирование и конкретизацию, системный анализ и формализацию, гипотетический и аксиоматический методы, создание теории, наблюдение и эксперимент, лабораторные и полевые исследования.

Анализ - это метод исследования, который включает в себя изучение предмета путем мысленного или практического расчленения его на составные элементы (части объекта, его признаки, свойства, отношения, характеристики, параметры и т.д.). Каждая из выделенных частей анализируется раздельно в пределах единого целого. Например, анализ производительности труда рабочих производится по каждому цеху и по предприятию в целом.

Синтез - метод изучения объекта в его целостности, в единстве и взаимной связи его частей.

В процессе научных исследований синтез связан с анализом, поскольку он позволяет соединить части предмета, расчлененного в процессе анализа, установить их связь и познать предмет как единое целое (например производительность труда по производственному объединению в целом).

Индукция - метод исследования, при котором общий вывод о признаках множества элементов делается на основе изучения этих признаков у части элементов этого множества.

Так, например, изучаются факторы, отрицательно влияющие на производительность труда, по каждому отдельному предприятию, а затем данные обобщаются в целом по производственному объединению, в состав которого входят все эти предприятия как производственные единицы.

Применительно к предыдущему примеру сначала анализируется производительность труда в целом по объединению и далее по его производственным единицам.

Аналогия - метод научного умозаключения, посредством которого достигается познание одних предметов и явлений на основании их сходства с другими. Он основывается на сходстве некоторых сторон различных предметов и явлений, например, производительность труда в объединении может исследоваться не по каждому предприятию, а лишь по выбранным в качестве аналога, выпускающим однородную с другими предприятиями товарную продукцию и имеющим одинаковые условия для производственной деятельности.

При использовании этого метода полученные результаты распространяются на все аналогичные предприятия. Затраты на такой метод конечно меньше, а вот достоверность полученных выводов оказывается несколько ниже.

Сравнение - метод научного изучения, посредством которого устанавливаются сходство и различие предметов и явлений действительности.

Измерение - метод научного исследования процесса определения численного значения некоторой величины посредством определенной заранее единицы измерения.

Логический подход - метод научного умозаключения, посредством которого достигается воспроизведение в мышлении сложного динамического явления в форме исторической теории с отвлечением от случайностей и отдельных несущественных фактов.

6.2 Моделирование сложных событий. Математические модели и графики характеристик систем. Оценка характеристик с помощью математических программных пакетов

Моделирование - метод научного познания, основанный на замене изучаемого предмета, явления на его аналог (модель), содержащий существенные черты характеристики оригинала. В экономических исследованиях широко применяется экономико-математическое моделирование, когда модель и ее оригинал описываются тождественными уравнениями и исследуются с помощью ЭВМ (например транспортные маршруты при автомобильных перевозках грузов).

Абстрагирование - (от лат. - отвлекать) - метод отвлечения, позволяющий переходить от конкретных предметов к общим понятиям и законам развития.

Он применяется в экономических исследованиях для перспективного планирования, когда на основании изучения работы предприятий за прошедший период времени прогнозируется развитие отрасли или региона на будущий период.

Конкретизация - метод исследования предметов во всей их разносторонности, в качественном многообразии реального существования во времени и пространстве в отличие от абстрактного, отвлеченного изучения предметов. При этом исследуется состояние предметов в связи с определенными условиями их существования и исторического развития.

Так, например, перспективы развития отрасли определяются на основании конкретных расчетов эффективности применения новой техники и технологии, сбалансированности трудовых и материальных ресурсов и др.

Целевой функцией ФСА является достижение оптимального соотношения между потребительской стоимостью объекта и совокупными затратами на его разработку, снижение себестоимости выпускаемой товарной продукции и повышение ее качества, роста производительности труда.

Формализация - метод исследования объектов путем представления их элементов в виде специальной символики, например, представление себестоимости продукции специальной формулой (математической зависимостью), в которой при помощи символов изображены статьи затрат.

Гипотетический метод (от греч. - основанный на гипотезе) - основан на научном предположении, выдвигаемом для объяснения какого-либо явления и требующем проверки на опыте и теоретического обоснования, чтобы стать достоверно научной теорией. Он применяется при исследовании новых экономических явлений, не имеющих аналогов (изучение эффективности новых машин и оборудования, телекоммуникационных и мобильных средств связи, себестоимости новых видов товарной продукции и т.п.).

Аксиматический метод предусматривает использование аксиом, являющихся доказанными научными знаниями, которые применяются в научных исследованиях в качестве исходных положений для обоснования новой теории.

Прежде всего, это относится к использованию экономических законов, трудов классиков, научных исследований, являющихся аксиоматическими знаниями научной теории, используемой для дальнейшего развития науки.

Создание теории - это метод обобщения результатов исследования, нахождения общих закономерностей в поведении изучаемых объектов, а также распространения результатов исследования на другие объекты и явления, что способствует повышению надежности проведенного экспериментального исследования.

В эмпирических исследованиях применяются наряду с общенаучными также специфические методы формирования эмпирического знания прикладного характера. Это преимущественно чувственные методы человека - ощущения, восприятия и представления.

Однако эмпирические знания не всегда часто чувствительные. Простая констатация результатов наблюдения таких как, например, «превышение издержек производства против запланированных на столько-то», еще не есть научное знание.

Оно становится научным тогда, когда определена их причинная связь наблюдением и экспериментом, т.е. выявлены и изучены факторы, вызвавшие превышение издержек, и намечены мероприятия по устранению недостатков.

Наблюдение - метод изучения предмета путем его количественного измерения и качественной характеристики. Применяется при изучении трудоемкости изделий путем хронометражных наблюдений, при контрольном раскрое сырья, расхода материалов, выполнения технологических операций и т.п.

Эксперимент - научно поставленный опыт в соответствии с целью исследования для проверки результатов теоретических исследований. Виды экспериментов представлены в Приложении 6.

Проводится в точно учитываемых условиях, позволяющих следить за ходом явлений и воссоздавать его повторно в заданных условиях, например проведение эксперимента в ряде отраслей народного хозяйства по применению новых систем планирования, управления и стимулирования.

Экспериментальные исследования могут проводиться в научной лаборатории с использованием специальной лабораторной установки или без нее, на предприятиях на действующих образцах продукции с использованием опытно промышленной установки или без нее, в полевых условиях с использованием определенного набора научных средств, специальных научных приборов и оборудования.

Конкретно-научные (частные) методы научного познания представляют собой специфические методы конкретных наук, например экономических.

Эти методы формируются в зависимости от целевой функции данной науки и характеризуются взаимным проникновением в однородные отрасли наук.

Так, например, методы экономического анализа развились на базе бухгалтерского учета и статистики, они характеризуются взаимопроникновением, выходом за пределы области знания, в рамках которой они сформировались. Методы экономического анализа применяются в научных исследованиях других экономических наук.

Следовательно, общенаучные методы исследования применяются во взаимной связи и обусловленности в теоретических и эмпирических исследованиях.

Лекция 7. Моделирование случайных процессов

7.1 Статистическое моделирование. Статистические оценки параметров случайных величин. Свойства оценок

Методами статистического моделирования называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности. Речь идет о таких закономерностях статистического характера, которые существуют между изучаемыми в эксперименте переменными величинами.

1. Методы первичной статистической обработки результатов эксперимента

Все методы математико-статистического анализа условно делятся на первичные и вторичные. Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, непосредственно отражающие результаты производимых в эксперименте измерений. Соответственно под первичными статистическими показателями имеются в виду те, которые применяются в самих психодиагностических методиках и являются итогом начальной статистической обработки результатов психодиагностики. Вторичными называются методы статистической обработки, с помощью которых на базе первичных данных выявляют скрытые в них статистические закономерности.

К первичным методам статистической обработки относят, например, определение выборочной средней величины, выборочной дисперсии, выборочной моды и выборочной медианы. В число вторичных методов обычно включают корреляционный анализ, регрессионный анализ, методы сравнения первичных статистик у двух или нескольких выборок.

Стационарные процессы могут быть оценены с помощью таких моментов распределения вероятностей, как дисперсия, корреляционные функции, спектральные плотности.

Множество выборочных функций (N - конечное число) называется ансамблем.

Оценка математического ожидания:

или

Эта оценка представляет собой статическую составляющую процесса.

Дисперсия

или

Если и являются функциями времени, т.е. зависят от времени, то процесс стационарный, если и зависят от времени, то процесс нестационарный.

Эргодичность - свойство стационарных процессов, когда и по ансамблю равны и по выборке.

Плотность распределения - вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале.

где - суммарная продолжительность нахождения процесса в интервале за время N.

Эта основная характеристика случайного процесса, закон, устанавливающий соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появлений. Это есть плотность распределения Р(х).

У регулярной величины Р(х) - д-функция:

У случайных величин Р(х) - какая-то выпуклая кривая.

Законы распределения случайных величин могут быть разными. Наиболее распространенным с точки зрения прикладной статистки является нормальный закон распределения - распределение Гаусса.

Часто случайная величина представляет собой сумму большого количества различных случайных величин. Существует так называемая центральная предельная теорема, согласно которой такая сумма имеет нормальный закон распределения, хотя законы распределения отдельных слагаемых могут отличаться от нормального. Чем больше слагаемых, тем закон ближе к нормальному. Плотность вероятности нормального закона описывается формулой:

где ух=vDx, у - среднеквадратичное отклонение СКО.

Кривая нормального закона распределения целиком определяется значениями математического ожидания Мх и СКО ух. В технической литературе часто встречается такое понятие, как «белый шум». Последовательность случайных величин, характеризующихся нормальным распределением с нулевым средним (т.е. Мх=0) и фиксированной дисперсией Dx, называется «белым шумом».

Существует теория оценивания, занимающаяся оценками. Как правило, она занимается оцениванием состояния объектов в прошлом, настоящем и в будущем. Для решения задач управления интерес представляют оценки параметров состояния объектов в настоящем и в будущем.

Оценивание состояния объекта в настоящем называется фильтрацией.

Оценивания состояния объекта в будущем называется прогнозированием.

В зависимости от свойств объектов (линейность, стационарность) различают методы фильтрации и прогнозирования на базе различных алгоритмов, т.е. различные способы получения оценок параметров объектов. Полученные оценки обладают различными свойствами, по которым судят об их качестве.

Основными свойствами оценки являются:

Несмещенность, т.е.

Состоятельность:

т.е. оценка сходится по вероятности (или стохастически) к истинному значению А при n?

Эффективность: min D.

Разница - ошибка оценки. Точность оценки определяется:

q - доверительная вероятность;

(А-е), (А+е) - доверительный интервал.

Путем статистической проверки гипотез, где выдвигают гипотезу о законе распределения ошибки д, определяют доверительный интервал и достоверность оценки. Для этого используют критерии Фишера, Стьюдента и т.д.

7.2 Классификация методов моделирования непрерывных случайных величин. Математические модели статистических характеристик. Исследования и анализ статистических характеристик систем программными пакетами

Получение математической модели процесса - один из основных и трудоемких этапов создания системы управления

Математическая модель, полученная на основе физических законов, дает возможность вычислить почти точное значение параметров процесса в любой момент времени. Такая модель называется детерминированной. Но на практике не существует целиком детерминированных моделей, так как всегда существует ряд неизвестных и независимых факторов, влияющих ход процесса. Для таких объектов детерминированная модель не может быть использована для управления процессами, где необходимо прогнозировать поведение процессов в будущем.

Существуют математические модели, позволяющие вычислить вероятность того, что некоторые будущие значения параметров будут лежать в определенном интервале. Такая модель называется вероятностной или стохастической. Большинство статистических методов имеет дело с моделями, в которых наблюдения предполагаются независимыми, т.е. зависимость между наблюдениями рассматривается как помеха, в планируемых экспериментах вводится рандомизация эксперимента.