Математическое моделирование в научных исследованиях

Сделаем замену с еi на yi в уравнении:

P(yo,…, yk (x) =

10.1 Метод наименьших квадратов (МНК)

Если ковариационная матрица шума неизвестна, или известно, что аддитивный шум нормально распределен по закону Гаусса, т. е.

M [еT е] = б 2I

где б 2 - дисперсия шума, I - единичная матрица, то марковские оценки приводят к широко используемому на практике методу наименьших квадратов (МНК).

Оценка параметров в этом случае выразится в виде:

В=[ХTХ]-1ХTY

При использовании метода наименьших квадратов в качестве критерия эквивалентности математической модели реальному объекту применяется некоторый выпуклый функционал, квадратичный относительно разности выходных сигналов системы и модели:

Одним из замечательных свойств метода наименьших квадратов МНК является его пригодность во многих практических ситуациях, т.к. он не требует никаких предположений о существовании конечных дисперсий.

Таким образом, было показано, что для линейных систем с гауссовскими помехами, для которых достаточную статистику составляют два параметра - их математическое ожидание и корреляционная функция - результаты, полученные по методу наименьших квадратов, совпадают с результатами, полученными методом байесовских оценок и методом максимального правдоподобия ММП.

Форма математического описания процесса может быть приведена к форме:

где: Аn - коэффициенты модели;

хn, уn - переменные процесса

Таким образом, можно представить комбинированную математическую модель, в основе которой лежит детерминированная модель процесса, с включением в нее аддитивной помехи, аккумулирующей все неучтенные факторы. Неучтенные факторы, являющиеся суммарным ненаблюдаемым шумом в объекте е, согласно предельной теореме подчиняются закону распределения Гаусса и представляют собой некоррелированные между собой и во времени случайные последовательности неконтролируемых возмущений с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

10.2 Теорема Гаусса-Маркова. Примеры идентификации реальных систем управления с помощью математического пакета MATLAB

При этом в математической модели, описывающей статику процесса, переменные Х, У и параметр А представляются в виде матриц, имеющих вид:

Из условия J(Вj)=minВjxj[k])2

(где N - длина реализации) оценки коэффициентов по методу наименьших квадратов рассчитываются по формуле:

; А=

;

Вj =

С помощью математического пакета MATLAB решаются задачи в области реализации численных методов:

· дифференциальные уравнения;

· вычисление одномерных и двумерных квадратур;

· поиск корней нелинейных алгебраических уравнений;

· оптимизация функций нескольких переменных;

· одномерная и многомерная интерполяция

Идентификации реальных систем управления с помощью математического пакета MATLAB это доступ к примерам пакета системного моделирования Simulink -- одного из самых мощных пакетов прикладных программ, расширяющих возможности системы MATLAB. Этот пакет создан для моделирования линейных и нелинейных динамических систем заданием их в виде системы функциональных блоков с автоматическим составлением и решением матричной системы дифференциальных уравнений состояния, описывающей работу созданной модели.

Приведен пример просмотра одного из простых примеров -- моделирования динамической системы второго порядка, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями Ван-дер-Поля. Сверху показана блок-схема моделируемого объекта, а снизу -- результат моделирования его работы. Для пуска моделирования в панели инструментов окна системы Simulink нажимается кнопка пуска с изображением треугольника.

Лекция 11. Способы оценки адекватности математических моделей систем управления. Дисперсионные методы оценки. Основы методики проверки статистических гипотез

Оценка адекватности - это отождествление модели объекту оригиналу. В зависимости от степени изученности объекта различают идентификацию в узком и широком смысле.

Пусть для одномерного объекта, характеристикой которого является оператор , могут быть измерены случайные функции входа и выхода. Задача идентификации сводится к определению оператора по результатам измерения входа и выхода. Точнее ставится задача определения не самого оператора, а его оценки . Ставится требование близости и в смысле некоторого критерия. Это то же самое, что и требование близости y(t) и .

Объект

x(t)

Размещено на http://www.allbest.ru/

y(t)

- выход модели, .

Для решения задачи идентификации вводится функция , называемая функцией потерь. На нее накладывается требование минимума математического ожидания функции потерь:

М - математическое ожидание.

Условием минимума математического ожидания функции потерь является:

В качестве функции потерь на практике часто используют

В частном случае, когда функции х(t) и у(t) являются стационарными, оптимальная оценка оператора находится из уравнения Винера-Хопфа:

, где t?0

Критерий - минимум среднеквадратичной ошибки СКО:

Лекция 12. Статистический критерий. Критерий Стьюдента. Ошибки 1 и 2 рода. Построение оптимальной критической области

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт Критерий Стьюдента использует класс методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на сравнении с распределением Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t критерия связаны с проверкой равенства Следующей задачей статистического анализа, решаемой после определения основных (выборочных) характеристик и анализа одной выборки, является совместный анализ нескольких выборок. Важнейшим вопросом, возникающем при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних.

Если вид распределения или функция распределения выборки нам заданы, то в этом случае задача оценки различий двух групп независимых наблюдений может решаться с использованием параметрических критериев статистики: либо критерия Стьюдента (t), если сравнение выборок ведется по средним значениям (X и У), либо с использованием критерия Фишера (F), если сравнение выборок ведется по их дисперсиям.

Использование параметрических критериев статистики без предварительной проверки вида распределения может привести к определенным ошибкам в ходе проверки рабочей гипотезы.

Для преодоления указанных трудностей в практике педагогических исследований следует использовать непараметрические критерии статистики, такие, как критерий знаков, двухвыборочный критерий Вилкоксона, критерий Ван дер Вардена, критерий Спирмена, выбор которых, хотя и не требует большого числа членов выборки и знаний, вида распределения, но все же зависит от целого ряда условий.

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о принадлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основываются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

Лекция 13. Регрессионный анализ. Связь метода наименьших квадратов МНК и метода максимального правдоподобия ММП. Методы проверки характеристик уравнений регрессии - эффективности, адекватности, значимости коэффициентов

Регрессиомнный (линейный) анализ -- статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные -- критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения. Одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Априорная информация об объекте, необходимой для их вычисления может быть задана следующим образом.

Известна плотность распределения некоторой аддитивной помехи e(t), наличие которой обуславливают несоответствие модели объекту. По этой плотности распределения помехи можно рассчитать плотность распределения измерений Y, которая зависит от параметров объекта A и обозначается P(Y/A).

В этом случае используются оценки методом максимального правдоподобия рассматриваются в случаях, когда априорная информация задана способом, указанным в пункте 1. Идея метода заключается в определении функции правдоподобия, обычно условной плотности распределения P(Y/A) которая связывает параметр A с выборочными наблюдениями (измерениями) Y.

После определения функции правдоподобия максимизируется плотность распределения относительно оценок параметров.

Рассмотрим этот метод на примере статической системы:

Yi=AiХ+еi

где еi - гауссовские последовательности, у которых:

M[еi]=0; M[еi,еiT]=Riдij

Матрица Ri - положительно определена.

Плотность вероятности еi имеет вид:

P(еi)=

P(еo,…, еk) =

Сделаем замену с еi на yi в уравнении

P(yo,…, yk (x) =

Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) -- комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента -- достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Методы планирования эксперимента позволяют минимизировать число необходимых испытаний, установить рациональный порядок и условия проведения исследований в зависимости от их вида и требуемой точности результатов. Если же по каким-либо причинам число испытаний уже ограничено, то методы дают оценку точности, с которой в этом случае будут получены результаты. Методы учитывают случайный характер рассеяния свойств испытываемых объектов и характеристик используемого оборудования. Они базируются на методах теории вероятности и математической статистики.

Планирование эксперимента включает ряд этапов.

1. Установление цели эксперимента (определение характеристик, свойств и т. п.) и его вида (определительные, контрольные, сравнительные, исследовательские).

2. Уточнение условий проведения эксперимента (имеющееся или доступное оборудование, сроки работ, финансовые ресурсы, численность и кадровый состав работников и т. п.). Выбор вида.

3. Выявление и выбор входных и выходных параметров на основе сбора и анализа предварительной (априорной) информации. Входные параметры (факторы) могут быть детерминированными, то есть регистрируемыми и управляемыми (зависимыми от наблюдателя), и случайными, то есть регистрируемыми, но неуправляемыми.

4. Установление потребной точности результатов измерений (выходных параметров), области возможного изменения входных параметров, уточнение видов воздействий. Выбирается вид образцов или исследуемых объектов, учитывая степень их соответствия реальному изделию по состоянию, устройству, форме, размерам и другим характеристикам.

Для ряда случаев (при небольшом числе факторов и известном законе их распределения) можно заранее рассчитать минимально необходимое число испытаний, проведение которых позволит получить результаты с требуемой точностью.

5. Составление плана и проведение эксперимента -- количество и порядок испытаний, способ сбора, хранения и документирования данных.

Порядок проведения испытаний важен, если входные параметры (факторы) при исследовании одного и того же объекта в течение одного опыта принимают разные значения. Например, при испытании на усталость при ступенчатом изменении уровня нагрузки предел выносливости зависит от последовательности нагружения, так как по-разному идет накопление повреждений, и, следовательно, будет разная величина предела выносливости.

6. Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик.

Необходимость обработки вызвана тем, что выборочный анализ отдельных данных, вне связи с остальными результатами, или же некорректная их обработка могут не только снизить ценность практических рекомендаций, но и привести к ошибочным выводам. Обработка результатов включает:

определение доверительного интервала среднего значения и дисперсии (или среднего квадратичного отклонения) величин выходных параметров (экспериментальных данных) для заданной статистической надежности;

проверка на отсутствие ошибочных значений (выбросов), с целью исключения сомнительных результатов из дальнейшего анализа. Проводится на соответствие одному из специальных критериев, выбор которого зависит от закона распределения случайной величины и вида выброса;

проверка соответствия опытных данных ранее априорно введенному закону распределения. В зависимости от этого подтверждаются выбранный план эксперимента и методы обработки результатов, уточняется выбор математической модели.

Лекция 15. Многокритериальные оптимизационные задачи, понятие конфликта. Подходы к решению многокритериальных оптимизационных задач - метод главного критерия, человеко-машинные процедуры, мажоритарные схемы

Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены.

Решение конкретной задачи управления предполагает:

Построение экономических и математических моделей для задач принятия решений в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

* Изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия. [1,с. 5]

Во всех задачах управления есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-либо управляемом мероприятии (операции), преследующем определенную цель. В каждой задаче заданы некоторые условия проведения этого мероприятия, в рамках которого следует принять решение - такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду. К числу таких условий могут быть отнесены финансовые средства, которыми предприятие располагает, время, оборудование, технологии и т.д.

Для применения количественных методов исследования требуется построить математическую модель операции. При построении модели операция, как правило, упрощается, схематизируется, и схема операции описывается с помощью того или иного математического аппарата. Модель операции - это достаточно точное описание операции с помощью математического аппарата (различного рода функций, уравнений, систем уравнений и неравенств и т.п.).

Эффективность операции - степень ее приспособленности к выполнению задачи - количественно выражается в виде критерия эффективности - целевой функции. Выбор критерия эффективности определяет практическую ценность исследования.

Технология построения моделей задач.

Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

- Постоянные факторы (условия проведения операции);

- Зависимые факторы (элементы решения).

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп.

Все математические модели могут быть классифицированы в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов.

Следует отметить, прежде всего, большой класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономическими системами. Оптимизационную задачу можно сформулировать в следующем виде: найти переменные, удовлетворяющие заданной системе неравенств (уравнений) и обращающих в максимум (или минимум) целевую функцию.

В тех случаях, когда целевая функция хотя бы дважды дифференцируема, можно применять классические методы оптимизации. Однако применение этих методов весьма ограничено, так как задача определения условного экстремума функции n переменных технически весьма трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким - тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или целевая функция задана таблично. В этих случаях для решения задач управления применяются методы математического программирования.

Если критерий эффективности представляет линейную функцию, а функции в системе ограничений также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно - через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Если целевая функция и (или) функции-ограничения зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования, если эти функции носят случайный характер, - задачу стохастического программирования. Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа вариантов решения, то прибегают к методам эвристического программирования, позволяющим существенно сократить просматриваемое число вариантов и найти если не оптимальное, то достаточно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, решение.

Из перечисленных методов математического программирования наиболее распространенным и разработанным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг оптимизационных задач.

По своей содержательной постановке множество других, типичных задач может быть разбито на ряд классов.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций и моментами начала всех операций комплекса. Эти задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и анализу систем обслуживания с очередями заявок или требований и состоят в определении показателей эффективности работы систем, их оптимальных характеристик, например, в определении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптимальных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на хранение, но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Задачи распределения ресурсов возникают при определенном наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ограниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные распределения ресурсов между операциями или состав операций.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с износом и старением оборудования и необходимостью его замены с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также моментов замены оборудования модернизированным.

Задачи составления расписания (календарного планирования) состоят в определении оптимальной очередности выполнения операций (например, обработки деталей) на различных видах оборудования.

Задачи планировки и размещения состоят в определении оптимального числа и места размещения новых объектов с учетом их взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных маршрутов.

Среди оптимизационных моделей особо выделяют модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях, изучаемые теорией игр. К конфликтным ситуациям, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики, права, военного дела и т.п. В задачах теории игр необходимо выработать рекомендации по разумному поведению участников конфликта, определить их оптимальные стратегии.

На практике в большинстве случаев успех операции оценивается не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из которых следует максимизировать, а другие - минимизировать. Математический аппарат может принести пользу и в случаях многокритериальных оптимизационных задач, по крайней мере, помочь отбросить заведомо неудачные варианты решения.

Основные этапы работы с оптимизационными задачами:

Постановка задачи, т.е. ее содержательная формулировка с точки зрения и заказчика, и разработчика.

* Построение математической модели, т.е. переход к формализованному представлению.

* Нахождение решения или решений.

* Проверка модели и полученного с ее помощью решения. Это - необходимый этап, так как модель лишь частично отображает действительность. Хорошая модель должна точно предсказывать влияние изменений в реальной системе на общую эффективность решений.

* Построение процедуры подстройки модели, поскольку в модели могут изменяться какие-либо неуправляемые переменные.

* Выбор вариантов, если есть несколько конкурирующих вариантов.

* Осуществление решения.

Как правило, перечисленные этапы перекрываются, идут параллельно или несколько раз циклически повторяются.

Заключение

Магистрант, решая задачи по ММвНИ, должен:

Ш Знать и использовать основные положения моделирования систем, основные методы моделирования динамических характеристик систем.

Ш Практически использовать программные пакеты для расчета систем, определения динамических характеристик в области комплексных переменных и в частотной области, построения их графиков.

Список литературы

1. Шукаев Д.Н. Компьютерное моделирование. Алматы, КазНТУ, 2001 г. 164 с.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. М., ВШ., 2001 г.

3. Шукаев Д.Н. Моделирование случайных закономерностей на ЭВМ. Китап, 1991

4. Оспанова А., Теория автоматического управления. Учебно-методическое пособие. - Алматы, 2002, 168с.

5. Борисов Б.М. Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами. Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2002. 63 с.

6. Математическое моделирование и оптимизация в научных исследованиях (Моделирование на GPSS): Конспект лекций / О.В. Стрельцов. - Одесса, ОНПУ, 2001. - 31с.

7. Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке МАТЛАБ. Учеб. Пособие под ред. проф. Фрадкова А.Л. - СПб: БГТУ. - 1994. - 190

8. Оспанова А. Методические указания для практических работ по основам теории управления. - Шымкент: ЮКГУ, 2007. 24с.

9. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 13. / Под редакцией Б.Г. Вагера. - СПб.: СПбГАСУ, 2007. - 208 с.

10. Попов А.М. «Вычислительные нанотехнологии»: учебное пособие. -- Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. -- 280 с.

11. Лебедев О.Н. Организация научных исследований и разработок телекоммуникационных систем. Конспект лекций. Киев: НТУУ "КПИ", кафедра средств телекоммуникаций. 1999

12. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие для студ. Втузов. (гриф УМО ). [Текст]. М.: Высш. шк. 2002.

13. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие для студ.вузов. 2000.

14. Дьяконов В. П. MATLAB 7.*/R2006/2007. Самоучитель -- Москва.: «ДМК-Пресс», 2008. -- С. 768.

15. Дьяконов В. П. SIMULINK 5/6/7. Самоучитель. -- Москва.: «ДМК-Пресс», 2008. -- С. 784

16. Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling -- 3-е изд. -- М.: «Вильямс», 2007

17. Дьяконов В. П., Круглов В. В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник -- СПб.: «Питер», 2002. -- С. 448.

18. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Библиотека профессионала. -- Москва.: «СОЛОН-Пресс», 2005.

Размещено на Allbest.ru