Теория массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более серьезных методов анализа ее теоретических и практических проблем. В последние десятилетия значительный вес в экономических исследованиях приобрели математические методы. Математическое моделирование все более и более становится одним из основных и наиболее плодотворных методов изучения экономических процессов и объектов. Математический анализ экономических задач органично превращается в часть экономики. Положительная оценка этого подтверждается и тем, что начиная с 1969 г. Нобелевские премии в области экономики присуждаются, как правило, за экономико-математические исследования.

Одним из важных разделов экономико-математического моделирования является теория массового обслуживания, представляющая собой теоретические основы эффективного конструирования и эксплуатации систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания (СМО) встречаются во многих областях экономики (производство, техника-военная область, быт и др.) и предназначены для многократного использования при выполнении однотипных задач.

В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств. Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей.

Основоположником теории массового обслуживания считается датский ученый А. К. Эрланг. Являясь сотрудником Копенгагенской телефонной компании, он опубликовал в 1909 году работу «Теория вероятностей и телефонные переговоры», в которой решил ряд задач по теории систем массового обслуживания с отказами. Значительный вклад в создание и разработку общей теории массового обслуживания внес выдающийся советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1984 - 1959), который предложил сам термин теория массового обслуживания. В зарубежной литературе чаще используется название теория очередей.

2. Теоретическая часть

Предмет, цель и задачи теории массового обслуживания

Во многих областях производства, бытового обслуживания, экономики и финансов важную роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Подобные системы называют системами массового обслуживания (СМО). В качестве примеров СМО в финансово экономической сфере можно привести системы, представляющие собой банки, страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы. В сфере производства и обслуживания примерами СМО могут служить: различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, магазины, парикмахерские, билетные кассы, пункты обмена валюты, ремонтные мастерские, больницы и т.д. Такие системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, транспортные системы, автоматизированные производственные участки и, в военной области, системы противовоздушной или противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные СМО. Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств (единиц, приборов, линий), которые называют каналами обслуживания. Роль каналов могут играть лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы, парикмахеры и т.д.), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (или требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в общем случае, также длится не постоянное, заранее известное, а случайное время. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными), в другие же периоды при свободных каналах на входе СМО заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию каналов.

Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:

1) входящий поток заявок;

2) очередь;

3) каналы обслуживания;

4) выходящий поток обслуженных заявок.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок, числа каналов обслуживания и их производительности, а также от правил организации работы, обладает определенной эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Предметом изучения теории массового обслуживания являются СМО.

Цель теории массового обслуживания - выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от ее организации (параметров): характера потока заявок, числа каналов и их производительности и правил работы СМО.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

1.1. Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени.

1.2. Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же время заявок.

1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.

1.4. Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого

СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.

2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.

2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

2.4. Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО - клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый

СМО в единицу времени, и т.п.

Случайный характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс.

Определение. Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае - моменту из промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае - состояние СМО). массовое обслуживание

Поэтому для решения задач теории массового обслуживания необходимо изучить случайный процесс, протекающий в СМО, т.е. необходимо построить и проанализировать его математическую модель. Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если этот случайный процесс удовлетворяет определенным условиям, которые будут рассмотрены ниже.

Классификация систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные (когда имеется один канал обслуживания) и многоканальные, точнее n -канальные (когда количество каналов n ? 2).Здесь и далее будем полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку и, если не оговорено специально, каждая находящаяся под обслуживанием заявка обслуживается только одним каналом. Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически время обслуживания каналом одной заявки T_об является непрерывной случайной величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной (T_об =const ).

По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на три класса:

1. СМО с отказами, в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз (заявка поступает на вход как новая).

2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов, будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).

3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е. максимально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта. Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным, при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом, когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь. По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые.

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то СМО является замкнутой, в противном случае - открытой. Классическим примером замкнутой СМО служит работа бригады наладчиков в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики - каналы обслуживания. После проведения ремонтных работ вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание. В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО - зависят.

Так, в рассмотренном выше примере интенсивность потока «заявок» со стороны станков (т.е. количество заявок в единицу времени) зависит от того, сколько их неисправно и ждет наладки.

По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные системы. Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной. Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.)

Простейший поток событий и его свойства

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей, поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение и т.п.). Поток характеризуется интенсивностью л - частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок. В этом пункте мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: л (t) =л . Это отнюдь не значит, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно, - нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины может попасть больше, на другой - меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени ф₁ и ф₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий попавших на другой. По сути, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А вот поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени Дt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.

Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов -неординарен.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простейший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание. Между прочим, самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны жесткой, функциональной зависимостью. Без специальных усилий по поддержанию его регулярности такой поток обычно не создается. Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточного большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям i

л (i =1,2,...,n) ) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью л, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.



Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении 1 - 3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.

Показатели эффективности СМО

Рассмотрим сначала СМО с отказами.

Важнейшими показателями эффективности СМО с отказами являются следующие параметры:

1. Абсолютная пропускная способность системы;

2. Относительная пропускная способность системы.

Абсолютной пропускной способностью СМО называется среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительной пропускной способностью СМО называется средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т.е. отношение среднего числа заявок, которое может обслужить система за единицу времени, к среднему числу заявок, поступивших в систему за это время.

В некоторых практических задачах используются и другие показатели эффективности СМО с отказами, например, среднее число занятых каналов, среднее относительное время простоя системы, среднее относительное время простоя отдельного канала и т.п.

Перейдем теперь к СМО с ожиданием.

В качестве показателей эффективности СМО с неограниченным ожиданием применяются следующие параметры:

1. Среднее число заявок в очереди;

2. Среднее число обслуживаемых заявок;

3. Среднее время ожидания заявки в очереди;

4. Среднее время обслуживания заявки.

Поскольку в СМО с неограниченным ожиданием каждая заявка, в конце концов, обслуживается, то для таких систем абсолютная пропускная способность совпадает с интенсивностью входящего потока заявок.

У СМО с ограниченным ожиданием в качестве показателей эффективности используются как показатели эффективности СМО с отказами, так и показатели эффективности СМО с неограниченным ожиданием.

При исследовании многоканальных систем в дополнение к перечисленным выше показателям эффективности используются параметры, описывающие каждый из каналов.

Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с отказами

Список используемых терминов и обозначений

№	Термин	Обозначение
1	Интенсивность входящего потока заявок
2	Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок
3	Приведенная интенсивность потока заявок
4	Среднее время обслуживания заявки
5	Относительная пропускная способность СМО
6	Абсолютная пропускная способность СМО
7	Вероятность того, что заявка будет обслужена
8	Вероятность того, что заявка получит отказ

Постановка задачи

Параметры и известны.

Требуется найти:

Формулы для расчетов

В теории массового обслуживания доказывается, что показатели эффективности одноканальной СМО с отказами вычисляются по следующим формулам:



Расчет показателей эффективности многоканальной СМО с отказами

Список используемых терминов и обозначений

№	Термин	Обозначение
1	Число каналов обслуживания
2	Интенсивность входящего потока заявок
3	Интенсивность потока обслуженных заявок, выходящего из одного канала
4	Приведенная интенсивность потока заявок
5	Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов, соответственно
6	Относительная пропускная способность СМО
7	Абсолютная пропускная способность СМО
8	Вероятность того, что заявка будет обслужена
9	Вероятность того, что заявка получит отказ
10	Среднее число занятых каналов

Постановка задачи

Параметры , и известны.

Требуется найти

Формулы для расчетов

Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется по формуле

Вероятности p₀, p₁,..., p_n вычисляются по формулам Эрланга:



Поскольку заявка получает отказ, если все каналы обслуживания заняты, то

Кроме того,

Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с ограниченной очередью

Список используемых терминов и обозначений

№	Термин	Обозначение
1	Длина очереди
2	Интенсивность входящего потока заявок
3	Интенсивность потока обслуженных заявок, выходящего из одного канала
4	Приведенная интенсивность потока заявок
5	Вероятность того, что СМО свободна и может обслужить заявку
6	Вероятность того, что СМО занята, а в очереди нет заявок
7	Вероятности того, что СМО занята, а в очереди находятся 1,2,...,m заявок, соответственно
8	Относительная пропускная способность СМО
9	Абсолютная пропускная способность СМО
10	Вероятность того, что заявка будет обслужена
11	Вероятность того, что заявка получит отказ
12	Среднее число заявок, стоящих в очереди
13	Среднее число заявок в СМО (обслуживаемых и стоящих в очереди)
14	Среднее время ожидания заявки в очереди	ож
15	Среднее время пребывания заявки в СМО	смо

Постановка задачи

Параметры и известны.

Требуется найти _ож , _смо

Формулы для расчетов

Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется по формуле

Вероятности вычисляются по следующим формулам:

Поскольку заявка получает отказ, если СМО занята, а в очереди находятся m заявок, то



Далее получаем

Кроме того, справедливы формулы

_ож

_смо

Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с неограниченной очередью

Список используемых терминов и обозначений

	Термин	Обозначение
1	Длина очереди
2	Интенсивность входящего потока заявок
3	Интенсивность потока обслуженных заявок, выходящего из одного канала
4	Приведенная интенсивность потока заявок
5	Вероятность того, что СМО свободна и может обслужить заявку
6	Вероятность того, что СМО занята, а в очереди нет заявок
7	Вероятности того, что СМО занята, а в очереди находятся 1,2,...,m заявок, соответственно
8	Относительная пропускная способность СМО
9	Абсолютная пропускная способность СМО
10	Вероятность того, что заявка будет обслужена
11	Вероятность того, что заявка получит отказ
12	Среднее число заявок, стоящих в очереди
13	Среднее число заявок в СМО (обслуживаемых и стоящих в очереди)
14	Среднее время ожидания заявки в очереди	ож
15	Среднее время пребывания заявки в СМО	смо

Постановка задачи

Параметры и известны.

Требуется найти _ож , _смо

Формулы для расчетов

Приведенная интенсивность потока заявок вычисляется по формуле

Если в формулах в предыдущих формулах перейти к пределу при , то мы получим следующие формулы:

В случае очереди бесконечной длины каждая заявка, в конце концов, будет обслужена. Следовательно,

Кроме того, справедливы формулы:



_ож

_смо

3. Практическая часть. Задачи и их решения

Задача. На станцию технического обслуживания (СТО) автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограничена. Машина получает отказ, если СТО занята. Среднее время обслуживания одной машины 2 часа. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики станции технического обслуживания автомобилей.

Решение:

заявок/час

=2 часа

Определим параметр м потока обслуживаний:

заявок/час

Приведенная интенсивность потока заявок

Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов



^-1-1

Относительная пропускная способность СМО

Вероятность того, что заявка будет обслужена

Вероятность того, что заявка получит отказ

0,368

Задача. В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет л=10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты.Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания (ВЦ).

Решение.заявок/мин

=12 мин

Определим параметр м потока обслуживаний:

заявок/час

Приведенная интенсивность потока заявок

Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов

n=5^-1-1

Вероятность отказа в обслуживании заявки

=0.036

Относительная пропускная способность АЗС

Вероятность того, что заявка будет обслужена

=

Задача. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка -- автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, -- получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей л 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания -- t_об=1,8 часа. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способности А; вероятности отказа Р_отк; Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение Определим интенсивность потока обслуживания: заявок/час Вычислим относительную пропускную способность: q = Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей. Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=л?q=1?0,356=0,356. Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час. Вероятность отказа: Р_отк=1-q=1-0,356=0,644. Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании. Определим номинальную пропускную способность системы:

А_ном= (автомобилей в час). Оказывается, что А_ном в раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Задача. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший поток заявок с л=3 (вызова в минуту). Вызов поступивший в момент, когда её линии заняты, получает отказ. Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа; б)среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена.

Решение.

заявок/час

=2

n=4

Определим параметр м потока обслуживаний:

заявок/час

Приведенная интенсивность потока заявок

Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов

^-1-1

Вероятность того, что заявка получит отказ

0,003

_ож==-3,048



Заключение

В данном курсовом проекте представлена тема "Теория массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренных задачах. СМО разделяются на большое количество типов. Первые задачи ТМО (Теории Массового Обслуживания) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом, в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Имеется телефонный узел (обслуживающий прибор), на котором телефонистки время от времени соединяют отдельные номера телефонов друг с другом. Системы массового обслуживания (СМО) могут быть двух видов: с ожиданием и без ожидания (то есть с потерями). В первом случае вызов (требование, заявка), пришедший на станцию в момент, когда занята нужная линия, остается ждать момента соединения. Во втором случае он «покидает систему» и не требует забот СМО.



Список литературы

1. Д.Кениг, Д.Штойян. Методы теории массового обслуживания: Пер. с нем. /Под. ред. Г.П.Климова. М., 1981.

2. Г.И.Ивченко, В.А.Каштанов, И.Н.Коваленко. Теория массового обслуживания. М., 1982.

3. Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.

4. Т.Л.Саати. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. /Под. ред. И.Н. Коваленко, изд-ие 2. М., 1971.

Размещено на Allbest.ru