Модели деформирования железобетона в приращениях и методы расчета конструкций

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Автореферат

на соискание ученой степени доктора технических наук

Модели деформирования железобетона в приращениях и методы расчёта конструкций

Общая характеристика работы

Актуальность

В современном строительстве всё чаще проявляются тенденции усложнения конструктивных решений зданий и сооружений, особенно из монолитного железобетона. Среди таких решений - пространственные каркасы зданий с нерегулярной сеткой несущих колонн и стен, монолитно связанных с плитами перекрытий, переходными плитами, конструктивно неоднородными фундаментными плитами, каркасы высотных зданий с сильно нагруженными массивными колоннами, стенами, ядрами жесткости, фундаментными плитами и их соединениями.

Все эти конструкции, как, собственно, и конструкции обычных зданий, работают в условиях сложных неоднородных напряженных состояний, что существенно влияет на характер физической нелинейности железобетона, без учета которой снижается точность и надежность проектных решений.

В связи с этим построение методов расчёта конструкций зданий и сооружений при сложных напряженных состояниях с учетом различных факторов физической нелинейности, включая трещинообразование и приобретаемую при этом анизотропию, является актуальной проблемой современного проектирования.

Основной недостаток существующих моделей и методов решения физически нелинейных задач железобетона заключается в том, что они сводят решение к многоитерационным процедурам, что для сложных пространственных систем, даже при наличии современной вычислительной техники, становится трудно решаемой проблемой. Выполненные в работе исследования показали, что указанных трудностей можно в значительной степени избежать, построив систему физических соотношений не в традиционной (для железобетона) форме - в виде связей между напряжениями и деформациями, а в виде связей между приращениями напряжений и деформаций (в инкрементальной форме). Такие новые связи построены для одноосного и плоского напряженных состояний железобетона, как анизотропного тела с учётом изменяющейся в процессе деформирования и трещинообразования анизотропии.

Новые системы физических соотношений позволяют значительно снизить количество итераций, или избежать их вовсе, заменив шагово-итерационные процедуры шаговыми.

При этом решена задача перестройки нелинейных физических состояний, записанных в виде связей между напряжениями и деформациями, в связи между их приращениями на шагах нагрузки за счет пошаговой линеаризации.

Второй важной задачей при сложных напряженных состояниях является стыковка деформационных моделей железобетона в приращениях с более совершенными критериями прочности.

К ним относятся критерии прочности железобетонных элементов по наклонным трещинам разрушения при совместном действии моментов и поперечных сил, а также критерии прочности элементов пластин и пологих оболочек при совместном действии всех шести компонентов усилий - изгибающих и крутящих моментов, нормальных и касательных сил. Кроме оценки прочности актуальна и обратная задача - рационального армирования, удовлетворяющего критериям прочности. Представлено решение всех указанных критериальных задач.

Третьей важной задачей является проблема развития пространственных конечно-элементных расчетных моделей современных зданий. Как известно МКЭ является основным современным методом при расчете зданий. Однако при этом возникает ряд задач, связанных со снижением размерности систем разрешающих уравнений и учётом различных факторов конструктивной неоднородности. Соответствующие подходы были выработаны автором при расчёте высотных зданий. Важным вопросом в указанных построениях оставалось моделирование узлов сопряжения стен и колонн с перекрытиями и фундаментной плитой, а также моделирование при помощи МКЭ других элементов конструктивной неоднородности, например, схем соединения металлических закладных деталей с железобетонной конструкцией, которые важны при реконструкции и восстановлении. Сделанные предложения были апробированы при реконструкции и проектировании ряда объектов, в том числе Останкинской телевизионной башни после пожара.

Цель работы - построение инкрементальной модели деформирования железобетона и методов расчета железобетонных конструкций при сложных напряженных состояниях с учетом физической нелинейности, анизотропии и конструктивной неоднородности: построение новой системы физических соотношений в конечных приращениях с учетом различных факторов физической нелинейности и анизотропии, малоитерационных методов расчета на их основе, критериев прочности, совершенствование самих конечно-элементных моделей современных зданий и сооружений с учетом сложной системы конструктивных элементов и узлов их соединений.

Автор защищает:

· построение расчетной модели деформирования железобетона при различных напряженных состояниях в инкрементальной форме с учетом физической нелинейности компонент железобетона, трещинообразования и приобретаемой в результате трещинообразования неоднородности и анизотропии и малоитерационных методов расчета на ее основе, включая:

ь построение диаграмм деформирования бетона, арматуры и арматуры в элементах с трещинами применительно к расчёту конструкций в приращениях;

ь построение расчетной модели в конечных приращениях стержневых конструкций произвольного поперечного сечения при косом изгибе и косом внецентренном сжатии;

ь построение в полярных координатах модели элементов кольцевого сечения в приращениях при совместном действии моментов и нормальных сил;

ь построение многоточечного (в виде координат узлов ломаной линии) вида диаграмм деформирования материала любой сложности и их касательных модулей при помощи массива данных;

ь преобразования физических соотношений между напряжениями и деформациями в соотношениях между конечными приращениями напряжений и деформаций для плоского напряженного состояния на основе пошаговой линеаризации;

ь построение многослойной модели расчёта железобетонных плит в форме конечных приращений и проверка теории на примере расчёта плит в приращениях МКЭ;

· построение новой системы критериев прочности для изгибаемых железобетонных элементов при сложных напряженных состояниях, включая:

ь критерии прочности железобетонных стержневых элементов по наклонным трещинам при действии моментов и поперечных сил;

ь критерии прочности железобетонных плоских элементов при совместном действии изгибающих и крутящих моментов, нормальных и касательных сил с учетом влияния на прочность касательных (нагельных) напряжений в арматуре в трещинах излома;

ь вывод новых значений экстремальных углов наклона трещин разрушения, приводящих к минимуму арматуры, и соответствующих зависимостей для подбора арматуры, удовлетворяющих критериям прочности;

· построение пространственных конечно-элементных моделей высотных зданий из монолитного железобетона, включая:

ь метод послойной детализации, позволяющий получать детальное напряженное состояние конструкций условного «слоя» без существенного увеличения размерности всей задачи;

ь расчетную схему моделирования узлов сопряжения колонн и стен с перекрытиями и фундаментной плитой при помощи слоев объёмных конечных элементов;

ь оценку влияния физической нелинейности на прогибы железобетонных перекрытий;

· построение способов моделирования сложных узлов сопряжения различных конструктивных элементов, включая:

ь конечно-элементные модели соединения стальных анкеров с массивной железобетонной плитой;

ь диаграммную методику оценки прочности соединений арматуры при помощи муфт на резьбе;

ь конечно-элементную модель усиления железобетонных плит металлическими листовыми накладками с учетом сложных локальных напряжений и податливости в местах болтовых соединений слоев.

Научную новизну составляют:

· Уравнения связи между приращениями напряжений и деформаций (инкрементальные соотношения) для железобетона как физически нелинейного материала с приобретаемой в результате деформаций и трещинообразования анизотропией при различных напряженных состояниях и общие методы построения физических соотношений в приращениях, включая:

ь связи между приращениями напряжений и деформаций на основе различных диаграмм деформирования бетона и арматуры;

ь особенности построения в инкрементальной форме физических соотношений для железобетонных элементов с трещинами с учётом скачка напряжений в арматуре и бетоне в момент трещинообразования;

ь общий метод преобразования систем физических соотношений между напряжениями и деформациями в соотношения между их конечными приращениями на основе пошаговой линеаризации;

ь точечное задание диаграмм связи напряжений и деформаций и их характеристик при помощи массивов данных и построение на их основе физических соотношений в приращениях.

· Обобщенная инкрементальная модель железобетонных стержневых конструкций в общем случае косого изгиба и косого внецентренного сжатия или растяжения, включая:

ь построение симметричной матрицы жесткости обобщенного стержня в приращениях с шестью независимыми коэффициентами жесткости (тремя - главными и тремя - побочными);

ь определение положения главных центральных осей в сечении, в которых отдельные или все побочные коэффициенты становятся равными нулю;

ь инкрементальная модель элементов сплошного и кольцевого сечений в полярных координатах с программной реализацией многоточечного задания диаграмм деформирования арматуры и бетона и их касательных характеристик при помощи массивов данных.

· Обобщенные системы физических соотношений в инкрементальной форме для плоского напряженного состояния и для элементов плит при совместном действии изгибающих и крутящих моментов, а также результаты проверки инкрементальной модели на примере расчета опытных плит методом конечных элементов.

· Новая двухпараметрическая модель разрушения железобетонных балок по наклонным трещинам от действия поперечных сил и моментов, включая:

ь зависимости по определению углов наклона трещин разрушения, приводящих к минимальным значениям предельной поперечной силы;

ь зависимость предельных касательных напряжений, воспринимаемых бетоном в наклонных трещинах, от двух переменных параметров: от значений углов наклона трещин и относительных моментов, действующих на наклонную трещину;

ь способы учета в модели двух дополнительных факторов: касательных напряжений сдвига в остаточных бетонных связях по берегам трещины и касательных напряжений в растянутой арматуре в трещинах;

ь устранение двух противоречий существующей модели:

ь допуск нереальных напряжений в условной сжатой зоне бетона над наклонной трещиной (главные растягивающие напряжения могут доходить до 6 и главные сжимающие - до ); несоответствие (в большом диапазоне) опытных и теоретических углов наклона трещин разрушения.

· Более совершенная запись критериев прочности железобетонных элементов плит и пологих оболочек с трещинами при совместном действии изгибающих и крутящих моментов () и сил (), включая:

ь новые члены в критериях прочности, учитывающие влияние нагельных сил в арматуре в трещинах на повышение прочности;

ь новое определение значений углов наклона трещин излома, приводящих к минимуму арматуры, и соответствующие формулы по подбору арматуры.

· Элементы построения более совершенных пространственных конечно-элементных моделей современных зданий (в том числе высотных) и их узлов сопряжения, включая:

ь методику послойной детализации, позволяющую не снижая точности проектирования, значительно снижать общую размерность задачи;

ь моделирование сопряжений колонн с перекрытиями и стен с перекрытиями при помощи комбинаций стержневых элементов с объёмными или плоских элементов с объемными, позволяющее избежать нереальной концентрации напряжений в местах сопряжения;

ь элементы детализированных конечно-элементных и диаграммных моделей сложных узлов сопряжения разнотипных конструктивных элементов для определения их несущей способности.

Практическая значимость работы. Разработанные методы расчета железобетонных конструкций, позволяют заменить многоитерационые подходы к решению физически нелинейных задач и перейти от практически возможного расчета отдельных конструкций к расчету сложных пространственных конструктивных систем с учетом различных факторов физической нелинейности и анизотропии и тем самым существенно повысить надежность проектных решений; разработанные критерии прочности позволяют устранить ряд погрешностей существующих методов определения прочности; предложенный способ послойной детализации конечно-элементной схемы приводит к значительному снижению обшей размерности задачи без снижения точности решений; предложенный способ сопряжения КЭ в узлах соединения колонн и стен с перекрытиями с использованием соединительных слоев объемных КЭ, позволяет избежать нереальных перенапряжений в узлах соединений. Всё это позволяет повысить точность проектирования сложных конструктивных решений современных зданий и сооружений.

Достоверность работы основана на: соответствии разработанных физических соотношений фундаментальному закону симметрии физических соотношений анизотропных материалов в общем случае анизотропии, использовании в теоретических построениях проверенных гипотез нелинейной теории железобетона и современных технологий разработки программных продуктов с их развитием на расчет сложных несущих конструкций зданий и сооружений с учетом физической нелинейности и конструктивной неоднородности и согласовании соотношений с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты отражены в 27 научных статьях включая 13 работ в ведущих научный журналах и изданиях, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата технических наук и докладывались на многих научно-технических конференциях, в частности: 1-й всероссийской конференции «Бетон на рубеже третьего тысячелетия» (М., 2001 г.); 2-й всероссийской конференции «Бетон и железобетон - пути развития» (М., 2005 г.); Строительная физика в XXI веке (М., 2006); научной сессии «Компьютерное моделирование и проектирование пространственных конструкций (М., 2001); научной сессии «Новые конструктивные решения пространственных покрытий и перекрытий зданий и сооружений» (М., 2005 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Строительство, реконструкция и инженерное обеспечение, устройство развития городов Поволжья (Тольятти, 1999 г., 2004 г.); Вторых академических чтениях «Новые энергосберегающие архитектурно-конструктивные решения жилых и гражданских зданий» (Орел, 2003 г.); симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», (Пермь, 2008 г.); Академических чтениях «Актуальные вопросы строительной физики», посвященные памяти академика РААСН Г.Л. Осипова, 2009 г. и др.

Внедрение. Разработанные методов применены при расчете здания «Федерация» ММДЦ «Москва-Сити», а также расчете более 10 объектов в г. Москве. Выполнен расчет узла соединения железобетонного ствола Останкинской телевизионной башни с металлической частью с учетом повреждений, полученных в результате пожара, и даны рекомендации, которые использованы при её восстановлении. Предложенные модели и методы приняты для включения в разрабатываемую новую редакцию «Свода правил по расчёту статически неопределимых железобетонных конструкций», а также включены в виде раздела в «Инструкцию по расчету и проектированию конструкций из высокопрочных тяжелых бетонов классов В60-В90 и мелкозернистых бетонов классов от В50 до В90» высотного здания «Башня» Общественно делового центра «Охта» в г. Санкт-Петербурге

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 5-ти глав, выводов, списка литературы из 270 наименований. Работа изложена на 375 страницах компьютерного текста, включая 87 рисунков и 13 таблиц.

Основное содержание работы

здание анизотропия приращение железобетон

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулирована цель и задачи исследований, приведены основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость работы.

Первая глава посвящена построению диаграмм деформирования бетона, арматуры и арматуры в железобетонных элементах с трещинами применительно к развиваемой модели железобетона в инкрементальной форме.

Рассматривается три типа диаграмм:

ь в аналитическом виде,

ь в виде кусочной линеаризации аналитических зависимостей диаграмм в процессе шагового нагружения,

ь в виде многозвенной ломаной линии (путём многоточечного задания напряжений и относительных деформаций ).

Отдельно выделяется диаграмма деформирования арматуры в элементах с трещинами.

Аналитические зависимости задания диаграмм деформирования бетона и арматуры получили развитие в работах многих исследователей: В.М. Бондаренко, С.В. Бондаренко, В.Н. Байкова, В.Я. Бачинского, Е.А. Гузеева, А.Б. Голышева, Ю.П. Гущи, П.Ф. Дроздова, Н.И. Карпенко, В.И. Колчунова, В.М. Круглова, С.Ф. Клованича, С.А. Мадатяна, Л.Р. Маиляна, С.И. Меркулова, В.М. Митасова, Г.ВМурашкин, Я.М. Немировского, В.Г. Назаренко, Л.Л. Паньшина, А.Н. Петрова, А.Б. Пирадова, Б.С. Расторгуева, Р.С. Санжаровского, В.И. Травуша, В.С. Федорова, В.П. Чайки, Е.Н. Щербакова и др. Среди зарубежных исследователей можно указать на работы: L. Saennz, EKБ, B. Sinha, P. Desayi, S. Krisnuan, K. Gerstle, L. Tulin, Kabeila и мн. др.

Используются два способа задания диаграмм: непосредственно в виде кривых «», или в виде аналогичных кривых, задаваемых через секущие модули. В основном развивался первый способ. Этот способ нашел применение в работах Т.А. Балана, С.Ф. Клованича для построения модели бетона в инкрементальном виде на основе диаграммы EKБ. Секущие модели использовались в построениях Н.И. Карпенко, Т.А. Мухамедиева, А.Н. Петрова и др. При этом модули выражались через уровни напряжений. В данных построениях используется второй подход (рис. 1.а) в виде связей секущих и касательных модулей с уровнями деформаций. При этом

, (1)

где коэффициенты изменения соответственно секущего () и касательного () модулей, которые связаны зависимостью

(2)

В диаграммах арматуры в железобетонных элементах в момент трещинообразования возможны разрывы производных, что ограничивает применимость перехода (2) и требует специальных приёмов, которые усложняют расчёт. Этого недостатка лишен второй тип построения связей между приращениями напряжений и деформаций путём кусочной линеаризации диаграмм применительно к шаговому нагружению.



Рисунок 1. Типы диаграмм для построения связей между приращениями напряжений и деформаций

В этом случае переход от точки в точку (рис. 1.б) на диаграмме осуществляется по хорде

, (3)

где - угол наклона хорды к оси ; при этом условный коэффициент касательного модуля выражается через коэффициент секущего модуля в начале (точке ) и конце (точке ) шага нагружения по зависимости:

(4)

Приращения и в (3) относятся к конечным, а сама методика - к методике конечных приращений.

Идея перехода (3) - (4), как показано ниже, фактически позволяет любую систему физических соотношений, записанных в секущих модулях, преобразовать в систему между конечными приращениями напряжений и деформаций (к условно инкрементальному виду).

Третий тип задания диаграмм является наиболее универсальным. В связи с быстрым развитием новых эффективных видов бетона и арматуры не всегда удается быстро описать аналитическими зависимостями диаграммы деформирования. В этих случаях можно принять многоточечную форму задания диаграмм с линейными отрезками между точками. При этом на некотором участке для произвольной точки (с известной координатой или ) секущие () и касательные () модули вычисляются по зависимостям (рис. 1в):

(5)

где или (в зависимости от того, какая величина считается известной) определяется из очевидного соотношения:

(6)

Следует отметить, что замены реальных диаграмм двумя-тремя отрезками ломаной линии производились во многих работах (А.А. Гвоздева, Н.И. Карпенко, О.А. Коковина, А.С. Залесова и др.). Предложение по использованию кусочно-линейных диаграмм общего вида для линеаризации систем нелинейных дифференциальных уравнений сделано в работе В.М. Бондаренко и С.В. Бондаренко. В наших построениях многоточечное задание диаграмм предложено использовать для расчета железобетона в секущих и касательных модулях. При этом узловые точки диаграммы задаются массивом данных, а операции с ними выполняются по простым зависимостям (5), (6).

Для определения касательных модулей по формулам (1), (4) необходимы зависимости, связывающие секущие модули с относительными деформациями (последнее обстоятельство особенно важно при использовании МКЭ в форме перемещений).

Предложены соответствующие зависимости, которые для бетона на восходящей ветви диаграммы записывается в виде:

(7) (8)

где - величины, зависящие от класса бетона и вида деформаций (растяжение, сжатие); уровень деформаций; деформации бетона (текущие и в вершине диаграммы бетона); - значения в вершине и начале диаграммы; - касательный модуль деформации бетона. Аналогичным образом представляются значения и на нисходящей ветви, при этом в (7), (8) меняются лишь значения параметров диаграммы. Составлена таблица их значений для различных классов бетона.

Зависимости типа (7), (8) составлены также для диаграмм арматуры. Применительно к арматуре выделяются два участка диаграммы; - линейный и нелинейный.

Для элементов с трещинами вводится диаграмма, связывающая средние деформации (линия 1 на рис. 1г), которые приравниваются к деформациям элемента (), с напряжениями арматуры () в трещинах. Диаграмма связи напряжений и деформаций арматуры в трещинах (линия 2 на рис. 1) совпадает с диаграммой свободной арматуры. В работе устанавливаются связи между приращениями напряжений и деформаций , которые ранее не рассматривались; в результате формулы (1) записываются в виде

(9)

где - коэффициент В.И. Мурашёва, учитывающий сдерживающее влияние бетона на деформации арматуры на участках между трещинами (, средние напряжения в арматуре на отрезках между трещинами), его касательный аналог, касательный модуль деформации арматуры. Отсюда следует, что

(10)

В упругой стадии деформирования арматуры в трещинах в (10) .

В разработанных ранее зависимостях коэффициент определялся в функции от усилий (моментов и сил), действующих на элемент, что значительно усложнило их использование в расчетах МКЭ. Показано, что большинство из этих зависимостей можно преобразовать к виду

(11)

где - уровень обратный уровню деформаций, ( деформации арматуры в момент трещинообразования), с, е - константы, коэффициент из СНиП 2.03.01.84, учитывающий влияние профиля арматуры на сцепление. Значения из СНиП 2.03.01.84 следуют из (1.11) при с = 1,25; е = 1; значения из СП 52-101-2003 - при с = 1; е = 0,8; .

Показано, что зависимости (11) требуют рассмотрения дополнительного участка диаграммы при построении зависимостей между приращениями напряжений и деформаций по первому типу диаграмм в начальный момент после трещинообразования, поскольку не учитывают скачка напряжений в арматуре в момент трещинообразования (отрезка FB на рис. 1г, фактически они описывают только отрезок ВР после образования трещины). При этом предложено два способа учета скачка - в виде прямого отрезка FB рис. 2 или замены формулы (11) на формулу (12), при выводе которой ломаная линия FBР заменяется на аппроксимирующую кривую. В первом способе учитывается, что при с = 1 в формуле (11) кривая «» (линия 1, рис. 2) становится параллельной диаграмме деформирования арматуры в трещинах «» (линия 2), которая совпадает с диаграммой деформирования отдельной арматуры. Это свойство предлагается использовать для перехода от диаграммы «» к диаграмме «» по схеме рис. 2 без непосредственного использования коэффициента . Во втором (более общем) способе

 (12)

где - значение в момент трещинообразования (), с = 1,25; е 1, p 0,005.

Рисунок 2. График перехода от диаграммы деформирования отдельной арматуры (линия 2) к ее диаграмме в элементе с трещинами (линия 1)

Во второй главе представлена разработка в приращениях общей расчетной модели обобщенного железобетонного стержня (стержня произвольной формы), подвергнутого действию моментов , и нормальной силы , то есть стержня, подвергнутого косому внецентренному сжатию или растяжению.

Рассматриваемый общий случай исследовался в малой степени. Можно выделить два направления исследований: 1) по определению прочности на основе модификаций метода предельного равновесия; 2) построение общей деформационной модели с выходом на разрушение. Первое направление развивалось - М.С. Торяником, П.Ф. Вахненко и Л.Ф. Фалеевым, Ю.П. Гущей, Е.А. Чистяковым. Прочность кольцевых сечений рассматривалась в работах С.А. Дмитриева, А.П. Кудзиса, А.И. Курносова, В.М. Баташева, В.В. Попова, Е.А. Чистякова. Второе направление развивали: В.М. Бондаренко, С.В. Бондаренко, А.В. Носарев, М.И. Додонов, Н.И. Карпенко, Т.А. Мухамедиев, Б.С. Расторгуев, Р.С. Санжаровский и др. В работах В.С. Федорова и В.Е. Левитского дано развитие модели А.В. Носарева на учёт температурных воздействий. Более общая модель Н.И. Карпенко и Т.А. Мухамедиева включена в СП 52-101-2003 «Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения». Детальная экспериментальная проверка этой модели выполнена М.А. Сапожниковым (1987 г.).

В работах автора также развивается модель с использованием секущих модулей бетона и арматуры: рассматривается модель деформирования стержня кольцевого сечения в полярных координатах, разработаны зависимости по определению секущих и касательных модулей в функции от уровня деформаций (ранее они определялись через уровни напряжений, что усложняло расчеты МКЭ), установлены закономерности изменения коэффициентов матрицы жесткости физических соотношений при переносе и повороте осей координат. Построения этих работ и обобщаются в главе 2.

Используется процедура численного суммирования (вместо интегрирования) напряжений по высоте сечения. При этом бетонное сечение разделяется на элементов (обычно прямоугольной или, на контуре, треугольной и трапециевидной формы). Каждый бетонный элемент сечения характеризуется площадью и расстоянием , от центра тяжести элемента до соответствующих осей и (точнее до плоскостей , рис. 3а), соответственно каждый арматурный стержень площадью и расстоянием ,. Обозначим: кривизны элемента в плоскостях и , - относительные деформации вдоль оси ; , их приращения, соответствующие приращениям Принимается, что деформации сечений стержня следуют гипотезе плоских сечений; после появления трещин эта гипотеза считается справедливой применительно к средним деформациям в трактовке В.И. Мурашева. Касательные модули арматуры () и бетона () определяются по методикам, представленным в главе 1. Полученная система физических соотношений сводится к виду:

, (13)

Рисунок 3. К выводу физических соотношений в приращениях для элементов в прямоугольных и цилиндрических координатах

где - коэффициенты симметричной касательной матрицы жесткости элемента,

(14)

Здесь, полагая нижние индексы и учитывая, что , приходим к выражениям для шести независимых значений коэффициентов жесткости, кроме этого в областях с трещинами , а касательный коэффициент арматуры заменяется на согласно (12).

Коэффициенты жесткости , располагающиеся на главной диагонали матрицы жесткости в (13) являются главными (имеют только положительные значения), остальные коэффициенты являются побочными (они могут быть положительными, отрицательными или равными нулю). Показано, что осуществляя параллельный перенос осей Х и Y в сечении на величины и в новый центр , можно добиться, что

(15)

. (16)

Величины , характеризуют положение мгновенного (на приращениях усилий) центра тяжести сечения, а новые оси являются центральными.

Поворачивая вокруг нового центра в положение можно добиться, что коэффициент типа (в повернутых осях он обозначен ) будет равен нулю. Эти оси будут главными центральными осями. Угол поворота , при котором коэффициент определяется из выражения:

(17)

В главных центральных осях все побочные коэффициенты в матрице жесткости становятся равными нулю,

 (18)

При этом показано, что одна из жесткостей , принимает максимальное значение (), а вторая - минимальное (),

(19)

Видно, что жесткости изменяются при повороте осей вокруг центра тяжести сечения как компоненты симметричного тензора второго ранга. Геометрические характеристики кольцевого сечения представлены на рис. 3б ( соответственно наружный и внутренний радиусы). По окружности сечение делится на n сегментных элементов с углом раскрытия . Одновременно каждый сегментный элемент сечения разделяется на с тонких полосок, толщиной и площадью . Положение каждой бетонной полоски характеризуется радиусом и углом между осью Х и радиусом . По ним определяются координаты . Продольное армирование задается в виде дискретно расположенных стержней. Положение центра тяжести каждого арматурного стержня определяется по формуле

где расстояние от центра арматурного стержня до оси Х, угол наклона радиуса к оси Х.

В отдельных областях по окружности могут быть отверстия. В них площади бетона и арматуры обнуляются

При построении соотношений (13) использованы кусочно-линеаризированные типы диаграмм, представленные на рис. 1б, в. Используя криволинейные диаграммы в чистом виде (рис. 1а), приходим к дифференциальной форме записи (13).

Для проверки методики была составлена программа по расчету конструкций кольцевого сечения. В программе использована кусочно-линейная диаграмма (рис. 1в), задаваемая в виде массива данных. Программа позволяла выполнять расчёты в секущих и касательных модулях.

Для проверки методики расчёта использованы опыты Кудзиса А.П. и Шаполоса К.П. на 8^ми сериях образцов кольцевого сечения (всего 21 образец), которые подвергались внецентренному сжатию силой N с различными эксцентриситетами. Исследовались образцы с различными значениями предельной нагрузки N и характеристиками сечений. Разрушающие значения силы N вычислялись по двум методикам - методике секущих модулей () и методике касательных модулей (). Соотношения опытных () и расчетных (, ) сил составили

= 0,95; = 0,95

что указывает на хорошее согласование теории и опыта.

В третьей главе представлены построения модели железобетона и методы расчета железобетонных конструкций при плоском напряженном состоянии в конечных приращениях.

Построение общих деформационных моделей железобетона рассматривалось в работах: О.Я. Берга, В.М. Бондаренко, С.В. Бондаренко, Т.А. Балана, А.А. Гвоздева, Г.А. Гениева, Ю.В. Зайцева, Н.И. Карпенко, В.И. Колчунова, В.М. Круглова, В.Н. Киссюка, С.Ф. Клованича, А.Н. Петрова, Б.С. Соколова, Г.А. Тюпина и др Методы расчета плит и оболочек на основе различных деформационных моделей рассматривались в работах: В.Н. Байкова, В.М. Бондаренко, В.Ф. Владимирова, Н.И. Карпенко, С.М. Крылова, С.Б. Крылова, Л.Д. Лифшица, И.Е. Милейновского, М.М. Онищенко, С.Н. Палювиной, И.Т. Тимко, Ю.В. Чиненкова, П.А. Шагина, В.В. Шугаева и др.

Наиболее общей представляется анизотропная модель деформирования плит с трещинами, прошедшая проверку в работах А.Л. Гуревича, М.И. Леви, А.Н. Петрова С.Н. Палювиной и др. Однако деформационные модели в приращениях оставались не разработанными. Отдельное исключение составляют работы: Г.А. Гениева, Т.А. Балана, Г.В. Василькова, А.Н. Донца, В.М. Круглова, С.Ф. Клованича, Л.Ю. Соловьева, Г.А. Тюпина, С.А. Тихомирова и др., основанные на развитии применительно к бетону теории пластического течения. Наиболее общими здесь являются разработки В.М. Круглова, Л.Ю. Соловьева, Г.В. Василькова для бетона, в которых учитывается несовпадение поверхности начала текучести с поверхностью пластического потенциала, эффект дилатации и некоторые другие особенности деформирования бетона. Однако это приводит к значительному усложнению расчетной модели.

В данной работе рассматривается построение в приращениях общей деформационной модели железобетона, как анизотропного тела с учётом различных факторов физической нелинейности и влияния образования трещин по различным схемам. Используется метод пошаговой линеаризации, представленный на рис. 1б. При этом рассмотрены два подхода.

В первом подходе из плоской железобетонной конструкции типа балки-стенки выделяется малый прямоугольный элемент с трещинами и рассматривается разность его деформаций на двух последовательных ступенях нагружения и ( напряжения в пластинке на ступени , напряжения на ступени ). Переход от ступени к вызывает приращения напряжений в арматуре в трещине, которые составляют:

(20)

где коэффициенты арматуры, расположенной соответственно вдоль осей х и у, ( погонные площади арматуры, расположенной соответственно вдоль осей х и у, толщина пластины); угол наклона трещин к оси х; коэффициенты, учитывающие влияние касательных напряжений в арматуре в трещинах на снижение нормальных напряжений. Приращения деформаций арматуры составят

(21)

где - касательные модули арматуры, соответственно расположенной вдоль осей х и у.

На деформации элемента влияют деформации полос бетона, расположенных вдоль трещин. Эти деформации вызываются напряжениями и , действующими в полосах на площадках, нормальных к трещинам.

Приращения деформаций полос составляют

(22)

где касательный модуль полос бетона между трещинами.

Общие деформации на приращениях складываются из деформаций (21) и (22), приведенных к осям х и у. В результате связь между приращениями деформаций и напряжений сводится к виду

(23)

где - касательные коэффициенты матрицы податливости, которые равны:

(24)

Рассмотренный вывод позволяет установить правила перехода от секущих коэффициентов жесткости к касательным на основе кусочно линейных диаграмм, представленных на рис. 1б, в.

Второй метод, сводится к пошаговой линеаризации окончательных жесткостей физических соотношений, вычисляемых в секущих параметрах, без предварительного вычисления касательных модулей бетона и арматуры.

Переход к конечным приращениям рассматривается на примере плоского и объемного напряженных состояний. В плоском варианте используются наиболее общие зависимости между относительными деформациями и напряжениями как анизотропного тела:

(25)

где коэффициенты матрицы податливости, которые являются функциями секущих модулей деформации бетона и арматуры, вычисляемых с учётом влияния плоского напряженного состоянии и углов наклона трещин.

Система (25) записывается для двух нагрузок и из второй системы (25) вычитается первая :

(26)

Первые разности в правой части (26) умножаются и одновременно делятся на , вторые - на , третьи - на .

Обозначим:

(27)

(усреднение побочных коэффициентов вводится, чтобы избежать влияния погрешностей в определении напряжений на шагах нагружения на нарушение симметрии матрицы податливости элемента на приращениях; при простом нагружении парность коэффициентов соблюдается без усреднения). С учетом (27) зависимости (26) преобразовываются к окончательным соотношениям (23).

При расчете МКЭ зависимости (23) преобразовываются к обратному виду:

(28)

Рассмотрена и обратная схема получения (28), в которой в начале преобразовывается к обратному виду исходная система (25), а затем выполняется переход к приращениям по типу (26) - (27). При этом в (27) следует формально заменить на «d», на «».

Физические соотношения в приращениях для железобетонных плит устанавливаются в общем случае совместного действия моментов () и нормальных сил (). При этом плита (рис. 4) условно разделяется по толщине h на несколько слоёв толщиной , в пределах которых напряжения по толщине усредняются. Это соответствует замене реальных криволинейных эпюр напряжений по толщине некоторыми многоступенчатыми эпюрами. Деформирование средин слоев по толщине плиты, которое следует физическим соотношениям в приращениях (23), объединяется гипотезой прямых нормалей.



Рисунок 4. К построению общей условно слоистой модели деформирования железобетонной плиты в приращениях

В результате приходим к общей системе физических соотношений в приращениях для расчета различных плит, стен, а также пологих оболочек:

3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(29)

где - приращения кривизн срединной поверхности, которые выражаются через приращения вторых частных производных от функции прогибов ; - приращения относительных деформаций на уровне срединной поверхности; в (29) 3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

- линии общей симметрии матрицы и её четырех подматриц (в силу симметрии независимыми являются три подматрицы: (), Причём отдельные жесткости матрицы в её подматрицах (), вычисляются по компактным формулам:



где коэффициенты матрицы жесткости слоёв , определяемые по формулам (23) ( = 11, 12, 13, 22, 23, 33).

Свойство симметрии удобно использовать при формировании общей матрицы.

В отдельных случаях соотношения (29) удобно использовать в обращенном виде

(30)

где - матрица податливости с коэффициентами . При равенстве нулю нормальных сил () система (30) разделяется на две не нулевые части, в расчетах можно использовать первую часть:

(31)

полагая, что плита нагружается вертикальной нагрузкой и имеет шарнирно-подвижные опоры, не препятствующие горизонтальным перемещениям кромок плиты на уровне срединной поверхности.

В случае двухслойной модели систему (30) можно получить непосредственно, минуя процедуру обращения общей матрицы . Такой подход удобен для моделирования деформаций плиты с трещинами. При этом небольшая зона над трещиной представляет сжатый слой, а нижняя растянутая сетка в области с трещинами - растянутый слой. Физические соотношения для такой модели установлены ранее в секущих модулях и имеют вид:

(32)

где - коэффициенты податливости, прогибы.

Поскольку коэффициенты системы (32) хорошо исследованы и прошли экспериментальную проверку, то система (32) использовалась в данной работе для проверки предлагаемого метода перехода к системе (31) в приращениях. Коэффициенты выражались через значения по формулам типа (27), где лишь формально «с» заменяется на «В», и «» на «М». Использовалась также обратная запись (32), которая сводилась к записи в приращениях по аналогии с записью (28).

Более общую модель необходимо применять при расчете плит с закрепленными от горизонтальных смещений торцевыми поверхностями (кромками). В этом случае могут возникать значительные силы распора, которые общая модель позволяет учитывать.

Таким образом, получена полная система физических соотношений в конечных приращениях для расчёта различных плоскостных пространственных железобетонных конструкций (плит, стен, ядер жесткости высотных зданий, и др.). При этом создается возможность заменить громоздкие шагово-итерационные процедуры счёта на шаговые или шаговые с небольшим количеством корректирующих итераций и упростить расчет конструкций с учётом физической нелинейности.

Проверка предлагаемого метода формирования физических соотношений в приращениях была выполнена на примере расчета изгибаемых железобетонных плит при равенстве нулю нормальных сил . Использовались физические соотношения (32) и их переход к (31) по типу (27). Проверка проводилась автором совместно с С.Н. Палювиной. В расчетной программе коэффициенты податливости и зависели от наличия или отсутствия трещин, их ориентации относительно стержней арматурной сетки, взаимного пересечения трещин, физической нелинейности сжатого бетона под трещинами и арматуры в зоне с трещинами. Расчеты выполнялись методом конечных элементов (МКЭ) с использованием двух типов прямоугольных конечных элементов: с 12 и 16 степенями свободы. В первом случае в качестве таковых принимались узловые прогибы и углы поворота и (соответственно вокруг осей Х и Y), а во втором к ним добавлялись смешанные производные .

Более гладкие поля моментов в плитах получались при использовании согласованного конечного элемента с 16 степенями свободы.

Разрешающие уравнения МКЭ, построенные с учётом различных физических соотношений типа (32) и (31), можно соответственно представить:

(33)

(34)

где общая матрица жесткости всей конструкции, нелинейность которой зависит от нелинейности физических соотношений материала (в рассматриваемом случае от соотношений (32)), а в итоге - от узловых перемещений аналогичная нелинейная матрица на приращениях (составляется с учётом соотношений (31)).

Проверка осуществлялась на основании расчета различных опытных плит. Нагружение плит, как и в опыте, осуществлялось малыми шагами , а решение систем (33) и (35) выполнялось методами последовательных приближений, которые применительно к системам (33) и (34) существенно различались. В первом случае использовался метод переменных параметров упругости И.А. Бергера в виде

(35)

где n - номер итерации для ступени нагрузки . Схематически этот метод приведен на рис. 5а.

Новая процедура, которая в принципе представляет процедуру последовательных приближений на приращениях, схематически показана на рис. 5.б. При решении системы (34) значение матрицы определяется через приращения перемещений на предыдущей итерации, отсчитываемой от точки - начала приращения нагрузки ,

(36)

где номер итерации на шаге нагружения ; при матрица равна матрице жесткости на предыдущем шаге по нагрузке . Для железобетона характерны диаграммы прогибов, приближающиеся к ломаной линии типа 0-1-2, представленной на рис. 5.в, где линия 0-1 относится к перемещениям конструкции до трещинообразования, а 1-2 - после трещинообразования. В этом случае предлагаемая процедура применительно к решению задач в приращениях оказываемая весьма эффективной, поскольку требует небольшого количества итераций или позволяет обойтись без итераций. Это подтвердили обсчёты опытов.



Рисунок 5. Процедура последовательных приближений на шаге нагружения : а) по методу И.А. Биргера при решении разрешающих уравнений МКЭ, построенных на основе секущих матриц жесткости материала; б) по предлагаемой модификации метода И.А. Биргера применительно к решению разрешающих уравнений МКЭ, построенных на основе физических соотношений в приращениях; в) пример безитерационной схемы

В качестве примера на рис. 6 представлены графики прогибов квадратной шарнирно опертой по контуру квадратной плиты из опытов Г. Баха и О. Графа, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (точнее нагрузкой в виде 16 грузов, равномерно распределенных по поверхности плиты), где: 1 - опытные прогибы, 2 - результаты расчёта по схеме (36) без итераций, 5 - результаты расчёта по схеме (35) без итераций, 3 - результаты расчёта по схеме (35) с итерациями при норме сходимости в 1%, 4 - результаты расчёта по схеме (36) с итерациями при норме сходимости 1%.



Рисунок 6. Сопоставление опытных и расчетных прогибов опытной плиты №825 из опытов Г. Баха и О. Графа (б) при различных методах решения (а - схема нагрузки, в-схема трещин)

Результаты расчета подтвердили эффективность метода приращений (36) как при расчёте с учётом итераций (их количество по сравнению с (35) снижалось в 2 и более раз), так и без итераций. Метод переменных параметров упругости без итераций, как и следовало ожидать, оказался не применимым.

Процедура (36) проверена на примере решения изгибаемых плит, однако она применима к расчёту любых конструкций с использованием более общих физических соотношений (29).

Рассмотрена и другая схема решения алгебраических уравнений МКЭ с переменными коэффициентами на основе процедуры корректирующих последовательных приближений. Эта процедура подобна процедуре Ньютона-Рафсона, однако здесь движение по касательным заменяется движением по хордам, что связано с особенностями записи физических соотношений в приращениях. Для определения невязок по нагрузкам предложен энергетический подход в виде равенства работ приращений реальной и фиктивной нагрузок на приращениях перемещений на шагах. Такой же подход можно использовать в рассмотренных модификациях метода И.А. Биргера, корректируя одновременные жесткости и шаги по нагрузке.

В главе 4 на основании развития принятых в предыдущей главе предпосылок рассматривается построение критериев прочности железобетонных элементов с трещинами, работающих при моментных напряженных состояниях. К таким критериям относятся критерии прочности железобетонных балок в областях действия моментов (М) и больших поперечных сил (), а также критерии прочности пластин и пологих оболочек при совместном действии изгибающих () и крутящих () моментов, нормальных () и касательных () сил, прилагаемых на уровне срединной поверхности. Отдельно оценивается прочность пластин в областях действия больших поперечных сил , .

Критерии прочности балок при действии M и Q. Основное развитие и применение в нашей стране нашел метод оценки прочности железобетонных балок от действия Q по наклонным трещинам разрушения, разработанный М.С. Боришанским под руководством А.А. Гвоздева в 1946 г.

В наклонной трещине разрушения поперечная сила Q воспринимается силой Q_b в бетоне сжатой зоны над наклонной трещиной и силой Q_x в хомутах. Влияние сил зацепления и нагельного эффекта в арматуре не учитывается. По мере накопления экспериментальных данных и их анализа авторы многих работ в нашей стране (А.А. Гвоздев, А.С. Залесов, О.Ф. Ильин, И.А. Титов, В.В. Тур), а также многие зарубежные исследователи (их работы обобщены в капитальной монографии В.В. Тура и А.А. Кондратчика) пришли к выводу о существенном влиянии этих факторов и необходимости их учета в расчетах. Однако предлагаемые модели по их учету приводили к значительному усложнению расчетов и не нашли применения и развития.

В работе предлагается теоретическая модель расчета на действие поперечной силы, позволяющая учитывать различные факторы без усложнения расчетов. Модель основана на рассмотрении условий равновесия сил в двух рядом (на расстоянии ) расположенных трещинах () и в вертикальных сечениях бетона над трещинами (рис. 7а), а также на анализе напряженного состояния наклонной полосы между трещинами (на рис. 7а, 7б,), где: средние по длинам трещин касательные силы зацепления, погонные усилия в хомутах, перенесенные на уровень анкеровки хомутов за продольную арматуру, нормальные и поперечные силы в продольной арматуре, аналогичные силы в бетоне сжатой зоны, приращения нормальных усилий в арматуре и бетоне в трещине и над трещиной (в трещине они равны нулю), и моменты, действующие на сечениях и , усилия в сжатой арматуре (величиной пренебрегаем), - расстояние между трещинами, угол наклона трещин.

Модель позволяет вычислить средние нормальные и касательные напряжения, действующие в полосе, а также поперечные силы в бетоне сжатой зоны под наклонной трещиной:

(37)

(38)

где - высота сжатой зоны, момент, передаваемый с полосы бетона на основание сжатой зоны (сечение на рис. 7б).



Рисунок 7. Расчетные схемы модели двух трещин

Особый интерес представляет анализ уравнений (38). Из первого уравнения (38) следует, что касательная сила , воспринимаема бетоном сжатой зоны, не может быть произвольной. Она в значительной степени зависит от способности бетона тонкой сжатой зоны воспринимать момент . Если момент равен нулю или является небольшим, что больше соответствует действительности, то при находим что на порядок и более меньше, чем учитывается в модели М.С. Боришанского. Согласно второму уравнению (38) момент может быть уменьшен и сведен к нулю за счёт действия усилий в хомутах , а также усилий зацепления и поперечных усилий в продольной арматуре (при этом величина выражается через указанные величины). В итоге

 (39)

а поперечная сила, воспринимаемая наклонным сечением, составляет

(40)

При построении представленных выше уравнений использовались некоторые упрощающие предпосылки: параллельность двух рядом расположенных трещин, одинаковые величины касательных напряжений в арматуре. В работе автора [19] дано построение уравнений без введения указанных предпосылок. Показано, что формула (38) при этом несколько уточняется за счёт замены на , где что незначительно влияет на точность расчетов.

Анализ экспериментальных данных показал, что значения предельных погонных сил сдвига зависят от двух переменных: традиционной переменной угла наклона трещин и новой переменной ,

(41)

где переменная, учитывающая влияние относительного момента в критической трещине на значение сил сдвига,

(42)

- коэффициенты, определенные на основании анализа экспериментов; - параметр, учитывающий вид эпюры моментов (однозначная, двухзначная) на участке проверки прочности (при однозначной эпюре моментов 1 при двухзначной 0.71). Параметр относительного момента удобен тем, что он не зависит от роста и в процессе пропорционального нагружения, а зависит только от положения сечения в расчетной схеме. Например, если балка нагружается двумя сосредоточенными силами с зоной чистого изгиба между ними, то на участке между опорой и силой с координатой Y: У силы (при Y = а) переменная затем скачкообразно уменьшается до нуля.

Следует отметить, что на влияние отношения обращено внимание в работах А.А. Гвоздева, А.С. Залесова и Х.А. Зиганшина при анализе экспериментальных данных, однако авторы не вносили этот параметр непосредственно в расчётную модель.

Для определения получена формула

(43)

Подстановка значений (41) и (43) в (40) приводит к окончательной записи условия по определению предельной поперечной силы и соответствующего критерия прочности

(44)

где анализ экспериментальных исследований различных авторов (А.А. Гвоздева, А.С. Залесова и Х.А. Зиганшина, А.И. Звездова, Е.Н. Панькова) показал, что:

для элементов без поперечной арматуры:

для элементов с поперечной арматуры:

При в связи с частым выкалыванием бетона под растянутой продольной арматурой рекомендуется влияние последнего члена формулы (44) не учитывать.

Изменяется методология поиска критического сечения и критического наклона трещины разрушения, которые приводят к минимуму значения . Критическое сечение в данном построении проходит через вершину наклонной трещины разрушения (по высоте сжатой зоны бетона над наклонной трещиной разрушения). В модели М.С. Боришанского такое сечение проходит через конец наклонной трещины разрушения. Кроме этого критерий (44) является функцией двух переменных: и . Для определения критических точек этой функции определяются её первые частные производные и анализируются условия равенства их нулю. Из условия следует