Применение частных производных при вычислении ошибок бомбометания

Размещено на http://allbest.ru

Челябинское Высшее Военное Авиационное Краснознаменное Училище Штурманов

РЕФЕРАТ

по дисциплине «математика» на тему:

«Применение частных производных при вычислении ошибок бомбометания»

Выполнил: к-т Лобачев Ю.В.

Проверила: Ахкамова Ю.А.

Челябинск, 2015



Содержание

1. Ошибки бомбометания

2. Эллипс рассеивания и его свойства

3. Бомбардировочный расчет. Основные понятия вероятности попадания

4. Средний процент попадания и расчет вероятности попадания «не менее» одной бомбы или нескольких бомб

Литература



1. Ошибки бомбометания

По методам, которыми можно бороться с ошибками, последние можно разделить на две категории: ошибки случайные и ошибки постоянные для данной операции бомбометания.

Ошибками случайными будем называть -- проистекающие от причин, меняющихся с каждым сбрасыванием по законам, нам неизвестным. Предсказать заранее, а, значит, и учесть подобные ошибки для каждого последующего сбрасывания--невозможно.

Постоянными ошибками будем называть - такие, которые в данной операции метания будут повторяться при каждом сбрасывании.

рис. 1. Приближение величины ошибок

бомбометание вероятность попадание поправка

Измерив эти ошибки, мы можем их принять в расчет и избежать повторения их в последующем метании, прибегая к соответствующему изменению установок прицельных приборов.

Методы теории вероятностей позволяют найти наивероятнейшую ошибку или поправку в установке предельных приборов путем обработки результатов наблюдения многих метаний, что и составляет обычную артиллерийскую пристрелку.

В авиации, вследствие скоротечности операции бомбометания, а иногда -- малого запаса бомб, не удается проводить пристрелку нормальным путем. Обычно полную ошибку метания, вмещающую и случайные, и постоянные ошибки считают, как бы постоянной и, беря ее в целом, вводят соответственные поправки в установку приборов.

Сравнительно небольшие величины случайных ошибок в сравнении с постоянными оправдывают указанное приближение.

В дальнейшем будем искать величину ошибок в их предельном, наибольшем значении.

2. Эллипс рассеивания и его свойства

Различают четыре вида рассеивания:

1. Баллистическое, являющееся следствием допусков при изготовлении бомб (вес, форма, центровка): бомбы, сбрасываемые в совершенно одинаковых условиях (залп), рассеиваются на некоторой площади.

2. Техническое, получающееся в результате не одинаковой подвески бомб.

Первый и второй виды рассеивания на практике объединяют под общим термином «техническое рассеивание сброшенного залпа бомб».

3. Полигонное рассеивание относительно средней точки попадания (центра рассеивания). Это рассеивание характеризует кучность бомбометания. Оно включает в себя ошибки технического рассеивания и ошибки в однообразии подходов и прицеливания.

4. Полное, или боевое, рассеивание относительно точки прицеливания. Это рассеивание включает все ошибки экипажа и приборов и характеризует меткость бомбометания.

Все виды рассеивания необходимо знать при изучении и оценке инструкций бомб, прицелов, сбрасывателей и других приборов.

Для правильной оценки качества подготовки экипажей, выполняющих бомбометание при помощи определенной аппаратуры, важно знать полное, или боевое, рассеивание.

В дальнейшем изложении имеется в виду только полное, или боевое, рассеивание.

Из опыта сбрасывания большого количества бомб в одинаковых условиях (высота, скорость, прицел) выведена следующая закономерность в распределении точек попадания на поверхности земли.

1. Площадь рассеивания бомб ограничена и может быть заключена в эллипс или круг.

2. Бомбы располагаются относительно осей эллипса симметрично. При неограниченном числе сбрасываний каждой бомбе на определенном расстоянии от оси эллипса противолежит бомба с другой стороны оси на том же расстоянии.

3. Точки попадания располагаются у центра гуще, а по мере удаления от центра - реже.

На рис 2. показано распределение попаданий на площади. В зависимости от высоты бомбометания, конструкции самолета, прицельных приборов, скорости при бомбометании и подготовленности экипажей большая ось эллипса располагается в направлении боевого пути или перпендикулярно к нему.

Из практики бомбометания с малых высот известно, что большая ось эллипса располагается в направлении боевого пути.

При высотном бомбометании (с 1000и и выше) эллипс рассеивания имеет приблизительно равные оси. Поэтому с допустимой на практике погрешностью эллипс рассеивания иногда принимают за круг.

Эллипс рассеивания с неравными полуосями если у каждой оси эллипса рассеивания разделить пополам полосу, вмещающую 50% наиболее крупных попаданий, то вся площадь уложится приблизительно в четыре таких полосы. Половина ширины полосы, вмещающей 50% наиболее кучных попаданий, называется вероятным отклонением (ВО).

Вероятное отклонение по направлению боевого пути называется вероятным отклонением по дальности (В_д). вероятное отклонение по направлению, перпендикулярному к боевому пути, называется боковым вероятным отклонением (В_б).

Величины вероятных отклонений периодически определяются на практике. Для полученных значений вероятных отклонений подбирается эмпирическая формула, по которой легко рассчитать их величину, не запоминая отдельных цифр.

Пример. Экипажи в результате выполнения нескольких упражнений имели следующие вероятные отклонения:

Высота полета, м	Вд, м	Вб, м
1000 2000 3000	50 76 100	51 75 102

По величине вероятных отклонений можно заметить, что В_д ?В_б, т.е. эллипс рассеивания близок к кругу.

На основании практических данных можно применить следующую формулу:

В_д=В_б=25Н+25,

где Н - высота в км.

Эта формула будет достаточно точна для любой из взятых высот, и по ней легко вычислить вероятное отклонение для промежуточных высот.

Так, для Н = 2400м В_д=В_б=25·2,4+25= 85м.(числа взяты произвольные. Они могут соответствоватьсамой начальной стадии подготовки экипажа).

Вычисление вероятных отклонений по результатам опытных бомбометаний можно делать при помощи формул. Для этого надо измерить все отклонения по дальности и боковые и разделить суммы их на число отклонений.

Это даст среднее арифметическое отклонение бомб по дальности и боковое. Пользуясь математическими выводами, можно вычислить, что В_д?0,85 среднего арифметического отклонения по дальности. Соответственно в боковом направлении В_б?0,85 среднего арифметического бокового отклонения.

Для измерения отклонений надо нанести на лист миллиметровой бумаги все точки попадания бомб относительно цели и через цель провести линию боевого пути и линию, перпендикулярную к ней. Отклонения точек попаданий от линии боевого пути будут отклонениями боковыми; отклонения от линии, перпендикулярной к боевому пути , будут отклонениями по дальности.

Чем больше число учтенных попаданий, тем точнее получаемое значение вероятного отклонения. Сложить все значения отклонений по дальности (без учета знаков) и сумму разделить на число отклонений:

(среднее арифметическое отклонение по дальности).

1) То же, для боковых отклонений:

(среднее арифметическое отклонение боковое).

2) В_д = 0,85 · 16,6 = 14м; В_б = 0,85 · 9,9 = 8,5м.

Примечание. Если попадания получены при разных направлениях боевого пути, то отклонения следует определять отдельно для каждого направления.

Надо иметь в виду, что вероятное отклонение, вычисленное на основании десяти попаданий, не может быть принято как достоверное.

Более точно можно определять ВО не по среднему арифметическому отклонению, как это показано на примере, а по среднему квадратическому отклонению. Для этого надо значения отклонений точек попадания от цели (по дальности и боковые) возвести в квадрат; сложить квадраты отклонений (отдельно по дальности и боковые); суммы квадратов отклонений (по дальности и боковые) разделить на число учтенных отклонений или на число отклонений без одного; извлечь квадратный корень из полученных цифр. В результате будет получено среднее квадратическое отклонение (или ошибка) - по дальности и боковое.

Пользуясь выводами из теории вероятностей, можно вычислить:

В_д = 0,67 среднего квадратического отклонения по дальности;

В_б = 0,67 среднего квадратического отклонения бокового.

Пример. Нанести точки попадания бомб и измерить отклонения.

Таблица вычислений.

№ точки попадания	Измерены отклонения	Вычислены квадраты отклонений	Окончательный результат
	по дальности	Боковые	по дальности	боковые
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	25 15 30 34 14 6 6 22 6 8	10 12 15 18 10 4 5 16 6 3	625 225 900 1156 196 36 36 484 36 64	100 144 225 324 100 16 25 256 36 9	Вд?0,67 ?0,67 Вб ? 0,67?8м
	Сумма квадратов:
	3758	1235



Если в результате вычисления по данным опытного бомбометания получено В_д ? В_б, то можно пользоваться некоторыми другими определениями и зависимостями.

Вероятным радиальным отклонением В_рад называется радиус круга, вмещающего 50% наиболее кучных попаданий.

Все отклонения (около 100%) вмещаются в круг радиусом, равным примерно 2,4 В_рад.

При вычислении вероятного радиального отклонения можно измерять отклонения попаданий по радиусу от точки прицеливания (без учета направления боевого пути).

Измерив все отклонения попаданий по радиусу, полученную сумму разделить на число отклонений.

Частное от деления даст среднее арифметическое радиальное отклонение В_ср.

Пользуясь выводами теории вероятностей, можно вычислить

В_рад = 0,94В_ср.

Для расчета В_д и В_б по величине В_рад или В_ср приводится их зависимость:

В_рад = 1,76 В_д = 1,76В_б;

В_д=В_б= В_ср

Зная, что В_д = В_б, можно определить их значения по В_ср. Для получения значения В_д = В_б сумму всех отклонений по радиусу нужно разделить на число их и полученный результат помножить на коэфициент 0,535. Например, при сбрасывании большого количества бомб с Н=1000м получено среднее арифметическое радиальное отклонение В_ср=94м.

В_д = В_б=0,535 В_ср=0,535·94м?50м.

Очевидно, по среднему арифметическому радиальному отклонению, можно вычислить вероятное отклонение. Следовательно, если известно вероятное отклонение, то можно требовать от экипажей такой меткости, при которой среднее арифметическое радиальное отклонение не превосходило бы указанного.

Можно вычислить вероятное отклонение по среднему квадратическому радиальному отклонению. Для этого надо отклонения бомб от центра цели по радиусу возвести в квадрат, сумму квадратов разделить на число отклонений без одного и извлечь квадратный корень. Среднее квадратическое радиальное отклонение умножить на коэффициент 0,83.

Считая оси эллипса рассеивания в восьми вероятных отклонениях, можно принять последние в четверть предельной ошибки.

Эллипс рассеивания

Величины ошибок будем давать в угловой отвлеченной мере -- в сотках (0,01) или в метрах для боевой высоты полета І7=3000 м.

А) Рассеивание бомб, происходящее от погрешностей в однообразии их изготовления -- весьма мало, около трети, т.е. для А = 300 -- около 10 м.



Рис 3. Ошибки бомбометания

а) Ошибка в моменте сбрасывания от личной погрешности и--вследствие запаздывания в работе механизмов в %--3/4 сек. Для Т = 45 м/сек., составит Ю--35 метров.

б) Ошибки от неточной наводки, связанные непосредственно с конструкцией прибора, сводятся к следующему.

В приборах с неподвижной вертикалью в самолете появляется ошибка от изменения положения вертикали при качке.

Принимается, что летчик не реагирует на колебания в пределах 2°. Для Е = 3000 м, это составит около 100 м ошибки в продольном направлении; в боковом направлении эту ошибку можно считать на половину меньше, ибо представляется возможным улавливать некоторое среднее положение. В приборах с обеспеченной вертикалью до настоящего времени полная устойчивость вертикали не достигнута.

Ошибку можно считать около одной сотки в продольном направлении и около полсотки-- в боковом. Для Я=3000 л, это составит 30 м и 15 м.

В приборах с визирами не оптическими погрешность в наводке получается, вследствие толщины нити. При толщине в 0,5 мм и расстоянии целика и мушки в 15 ем ошибка достигает х/9 сотки, что составит при П = 3000 м, около 10 м.

в) Ошибка в измерении земной скорости.

При непосредственном измерении ошибка земной скорости происходит от ошибки в высоте и ошибки визирования А ((п. п. Б и В).

А по совокупности ошибок и при этом в двух пунктах визирования для средних данных

1) для приборов с неподвижной вертикалью

Д у = у 2~ (0,5 ?₀ y + (0,035 Н)2;

2) для приборов с обеспеченной вертикалью

A г = уТу (0,5 ГоУ + (0,01 НУ)

И имеет источником: ошибки механизма прибора на давление, температуру и опоздание, ошибку, происходящую от изменения как градиента температур, так и их величины у земли и, наконец, ошибку на конфигурацию поверхности земли. При наличии учета последних явлений Дя достигает величины около 5°/от высоты.

Соответственная ошибка базы в %%-ах

равна Дя где -- величина базы. Беря

базу, равную высоте Я получим ошибку 0,05 Я.

Общая ошибка в определении базы при определении скорости представится в виде:

1) для прибора с неподвижной вертикалью

(Дя)3 + (Дг)

2) для прибора с обеспеченной вертикалью

У 0,5 Vо* + 0,0027 Н*

Ошибка земной скорости выразится:

Л = 3UUO л, (Уо = 41) м/сек.,

ошибка скорости -- около 7%; для приборов с неподвижной вертикалью и с обеспеченной вертикалью--около 5%.

Вообще говоря, ошибка в определении земной скорости относится к постоянным ошибкам и исправляется пристрелочными поправками, но в методе метания, по времени при повторном определении скорости остается в виде случайной ошибки часть общей, а именно Дк, равная для тех же условий 5% и 2°/0.

При определении земной скорости из Д- ка скоростей ошибка составится из ошибки в 7 и в W, которые относятся к постоянным ошибкам, а потому подлежат корректуре путем пристрелки.

д) Ошибка от неучтенного сноса.

При определении сноса и успешной корректуре его непосредственным измерением на протяжении ошибки сноса, где можно принимать: в приборах с неподвижной вертикалью -- до двух, в приборах с обеспеченной вертикалью -- до одной сотки, что дает ошибку метания в виде произведения.

Дс а, где Дс -- ошибка в отвлеченной угловой мере; а -- горизонтальная проекция траектории бомбы.

Для Л -- 3000 м угла сбрасывания 20° (я -- 1000 л»), боковая ошибка метания -- 10 м и 34 м.

Ввиду ограниченности времени для наводки, возможны случаи более грубых, весьма значительных ошибок. При определении угла сноса по Д ку скоростей ошибка зависит от неправильных исходных данных построения и относится к числу постоянных ошибок

Общая случайная ошибка ищется, как

1/2ДЛ

где Д - отдельная из независимых ошибок.

Подсчитывая общую ошибку для случая Н-- 3000 м, ?о7=АО м/сек., угла сбрасывания 20°, 7 = 48 м/сек. бомба с (=0,35, получим:

1) для прибора с неподвижной вертикалью: продольная ошибка

ю3-|-203 + 1002-f- 242=104ле;

боковая ошибка

j/502 +1°2 + =62 м;

2) для прибора с обеспеченной вертикалью:



продольная ошибка

10а-)-20г + 30: + 24* = 41 м

боковая ошибка

15 --j--102-(- 102 = 21 лг.

Вероятная ошибка равна четверти предельной.

Интересуясь прямоугольником со сторонами величиною по два вероятных отклонения в каждую сторону от центра, а всего с 67о/0 попадания, получим его размеры соответственно 104 м на 62 м и 41 м на 21 м.

Ошибка ?0 Для хороших индикаторов определяется в 1°/0 (трубка Пито при скольжении до 5°) и дает ошибку сбрасывания в направлении оси самолета.

Для t = ВО сек. и ?о = 60 м/сек. ошибка имеет величину 18 м.

Б) Ошибка в высоте Дя до о°/о (см- „Случайные ошибки “) приводит к ошибке сбрасывания в направлении оси самолета, где 0 -- угол сбрасывания.

Для Н = 3000 м и /9 = 30°, ошибка метания--около 90 м.

В) Ошибка скорости ветра.

При определении шарами -- пилотами ошибка F0скорости ветра доходит до 3 м/сек. по величине и--до А? = 15° по направлению.

Пределы ошибки можно выразить геометрически кругом радиуса:

A W = V W* + (Wtg А?)

что для W= 10 м, даст AW ок. 4 м; для W = 20 м,-- АЧ ок. 6 м/сек для безветрия -- 3 м/сек.

При определении в полете ошибка скорости ветра зависит от ошибки А и Ау в определении земной скорости и угла бноса; соответственно она будет представлять собой геометрически вектор, начало которого--- в центре, а конец -- в пределах круга с радиусом, равным: A W =AY определяется в 7% и 5% , Ау -- в 2° и одну ось .

Для V == 60 м/сек. и ? = 20 при следующих измерениях.

По ветру прибор с неподвижной вертикалью -- ? = 6 м/сек.

По ветру прибор с обеспеченной вертикалью -- AW = 4 м/сек.

Против ветра прибор с неподвижной вертикалью -- dW = 3 м/сек.

Против ветра прибор с обеспеченной вертикалью -- AW = 2 м/сек.

В безветрие прибор с неподвижной вертикалью -- AW == 4,5 м/сек.

В безветрие прибор с обеспеченной вертикалью -- А? = 3 м/сек.

Ошибка ветра AW дает ошибку сбрасывания, равную AWt, где t -- время падения; для t -- 30 сек., ошибка сбрасывания колеблется от 60 м до 180 м.

Ошибка от ветра при изменении курса самолета сохраняет свою величину и направление относительно меридиана.

Ошибка промежуточных ветров происходит, вследствие изменения ветра в промежуточных слоях атмосферы. Эта ошибка может достигать значительных величин-- До 100 м и более.

Ошибка сохраняет приблизительно постоянную величину и направление, независимые от курса самолета.

Постоянные ошибки значительно превосходят величиной случайные, но зато легко исправляются путем пристрелки.

Все пристрелочные поправки сохраняют свое значение при повторном метании на прежнем курсе; при перемене же курса самолета ошибки от ветра на высоте полета и промежуточных ветров сохраняют компасное направление, ошибки же высоты и ?0 (мала) остаются направленными по оси самолета.

Ввиду этого, желательно возможно точнее определять высоту, а затем при перемене курса общую пристрелочную поправку, как сохраняющую в главной своей части компасное направление, перепроектировать на новые направления.

3. Бомбардировочный расчет

В некоторых случаях бомбометания бывает необходимо заранее (до полета) определить возможность попадания в определенную цель с намеченной высоты. Если известны размеры цели и величина вероятного отклонения, то возможность попадания легко определить с любой степенью уверенности при помощи вычислений.

В простейшем случае, когда размеры цели превосходят эллипс рассеивания, можно ожидать, что в цель попадут все сбрасываемые одиночные бомбы.

Пример. Дано Н=2000м; В_а=В_б=25Н+25=25·2+25=75м; цель размерами 600Ч600 м. Сбрасывается одна бомба.

На рис. видно, что все бомбы (100%) должны попасть в пределах круга рассеивания диаметром 600м. При совпадении центра рассеивания с центром цели (квадрат 600Ч600м) вероятность попадания равна 100%. Сбрасывание одной бомбы дает полную уверенность в попадании.

Если взять цель размером 150Ч600м (отмечена пунктиром на рис), то можно заметить, что из всех бомб, попадающих в круг рассеивания, в цель попадут только 50%.

Следовательно, сбрасывая некоторое количество бомб, можно предполагать, что в данную цель попадут только 50% из них.

Например, сбрасывая 100 бомб, можно ожидать, что 50% из них, т.е. 50 бомб, попадут в цель; сбрасывая 4 бомбы, можно ожидать, что 2 попадут в цель.

Это рассуждение приводит к понятию о вероятности попадания, определение которого в общем случае дано в теории вероятностей. Можно отметить, что ожидаемый процент попадания в цель равен отношению числа ожидаемых попаданий к числу предполагаемых сбрасываний (бомб), т.е.:

В соответствии с указанным примером определим вероятность попадания при бомбометании.

Для квадрата размерами 600Ч600м вероятность р=100%, а для прямоугольника 150Ч600м вероятность р=50%.

Вероятность попадания в цель размерами 150Ч150м выразится в 25%, т.к. вероятность попадания в полосу размерами 150Ч600м равна 50%, а в среднюю часть этой полосы, ограниченную протяжением в 150м, из числа попавших бомб (50% из всех сбрасываемых) в свою очередь попадут только 50% (от числа попавших в полосу размерами 150Ч600м). этот результат можно получить умножением вероятности попадания во всю полосу (50%) на вероятность попадания в часть ее (50%):

50%Ч50%==25%

Расчет вероятности попадания при одиночном бомбометании производится в следующем порядке.

1. Определяются размеры цели. Для удобства площадь цели принимается за прямоугольник, приблизительно равновеликий площади цели.

2. Намечается линия боевого пути так, чтобы она составляла с наибольшей осью цели некоторый угол захода (УЗ). Угол захода при одиночном бомбометании выгодно выбирать так, чтобы большая ось эллипса совпадала с наибольшей осью цели. При эллипсе рассеивания, близком к кругу, вероятность попадания не изменяется от изменения угла захода. Расчет ведется для угла захода 0⁰ или 90⁰.

3. Рассчитывается величина вероятных отклонений.

4. Размеры цели выражаются в вероятных отклонениях:

К_д=; К_б= ,

где Г - глубина цели (размер по направлению боевого пути);

Б - ширина цели (размер по перпендикулярному направлению к боевому пути);

К_д и К_б - размеры цели в вероятных отклонениях.

По таблице вероятности попадания, находится значение вероятности по дальности (по К_д) и боковое (по К_б).

5. Произведение этих вероятностей дает вероятность попадания в цель:

Р%=р_д ·р_б.



4. Средний процент попадания и расчет вероятности попадания «не менее» одной бомбы или нескольких бомб

Вероятность попадания меньше 80-90% не дает твердой уверенности, что цель будет поражена при сбрасывании одной бомбы. Так, если при расчете получено, что вероятность попадания равна 50%, то при сбрасывании одной бомбы можно ожидать или попадания, или промаха с равной уверенностью. Сбросив две бомбы за два захода (прицеливания), можно ожидать в среднем одного попадания. Это можно видеть из определения вероятности, которая измеряется отношением числа ожидаемых попаданий к числу прицельных сбрасываний. Так как вероятность равна 50%, т.е. Ѕ, то, следовательно, можно ожидать попадания половины бомб (50%) из числа всех сбрасываемых.

Среднее ожидаемое число попадающих бомб из числа сбрасываемых можно получить умножением числа сбрасываемых бомб на вероятность попадания; полученный результат будет средним ожидаемым количеством попаданий. Так, сбросив две бомбы при вероятности попадания, равной 50%, получим среднее ожидаемое число попаданий:

2·50%=

а при четырех сбрасываниях:

4·50%=

Среднее ожидаемое число попаданий называется математическим ожиданием числа попаданий (МО).

Очевидно, что вероятность попадания есть средний процент попадания при одиночном бомбометании. Вероятность попадания и средний процент попадания при одиночном бомбометании называются математическим ожиданием в процентах (МО%).



Литература

1. «Бомбометание», М. Д. Тихонов, Г. И. Игнациус, И.Е. Смольянинов. Воениздат, 1939.

2. Якобсон Р.Т., Сборник заданий по бомбометанию, ч. 1, 1932

3. Вавилов Н.В., Краткий курс бомбардирования для летчиков-разведчиков и истребителей

Размещено на Allbest.ru