Надёжность подвижного состава

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Задание 1

В таблице 1 приведены значения наработок до отказа в находившейся

под контролем партии одинаковых устройств.

Таблица 1

Значения наработки устройства до отказа и заданные значения t и Т0

Массив значений наработки до отказа Т,1000ч	Заданное значение t,1000ч	Значение Т0,1000ч
7, 7, 11, 14, 6, 3, 8, 10, 7, 12, 8, 9, 4, 9, 6, 5, 6, 13, 8, 7, 9, 10, 5, 6, 10, 9, 13, 8, 3, 7, 4, 9, 8, 11, 4, 7, 11, 6, 8, 10, 12, 7, 3, 9, 11, 5, 10, 3, 6, 8	8,5	2,5

Требуется определить статические вероятности безотказной работы Р(t) и Q(t) отказа устройства для заданного значения t (см.табл.1). Далее необходимо рассчитать значение вероятности безотказной работы Р*(t) по первым 20 значениям наработки до отказа, указанным для соответствующего варианта в табл.1. Затем для заданной наработки t требуется рассчитать математическое ожидание числа работоспособных устройств Nр(t) при общем числе находившихся в эксплуатации устройств (см.табл.2). Рассчитать среднюю наработку до отказа Т рассматриваемого устройства. Первоначально вычисления производим непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в таблице 1, а затем с использованием статического ряда.

Таблица 2

Объем партии устройств и заданное значение К

Объём партии	Значение, К
800	3



Наработка исследуемых устройств до отказа есть непрерывная случайная величина Т. По результатам испытания (наблюдение в эксплуатации) партии из N устройств получена дискретная совокупность из N ее значений t1, …ti, …tN(см.табл.1).

Статистическая вероятность безотказной работы устройства для наработки t определяется как

Р(t)= , (1)

где Np(t) - число объектов, работоспособных на момент времени t (определяется из табл.1 для значений Т, превышающих t)

Вероятность отказа устройств за наработку t статически определяется как

Q(t)=(2)

где Nнр(t) - число объектов неработоспособных к наработке t (определяется из табл.1 для значений Т, меньше t)

Поскольку Np(t) + Nнр(t) = N, то сумма вероятностей : P(t)+Q(t) используется для проверки правильности вычислений.

Оценку вероятности безотказной работы устройства по первым 20-ти значениям наработки до отказа обозначим P*(t). Её значение определяется по формуле(1), но при этом N=20,а число работоспособных объектов Np(t) выбирается из этой совокупности.

По условиям опыта, включающего 50 наблюдений, позволили определить вероятность безотказной работы устройства, т.е. Р(t) = 1- F(t), где F(t) - функция распределения случайной величины «наработка до отказа» , определяющая вероятность события Т < t при N > ?.

Тогда с учётом формулы (1) математическое ожидание числа объектов р (t), работоспособных к наработке t определяется как

,

где N - объём партии устройств, определяемый по таблице 2.

Np(t)=20 Nнр(t)=30 P(t)==0.4 Q(t)==0.6

P*(t)==0.35 Np(t)=P*(t)ЧN=0.35Ч800=280

Для вычисления среднего значения Т случайной величины Т непосредственно по её выборочным t1,t 2 ,... t i ,… t N используем формулу

Здесь N равно числу значений Т (таблица 1) N=50.

Т=0,02Ч392=7,84 ((?))

Приведённая формула не несёт в себе методической ошибки, но расчёты с её помощью обычно трудоёмки и части приводят к неверным результатам в силу технических ошибок, во избежание которых расчёты желательно выполнить минимум дважды, вводя в калькулятор значения ti первоначально с 1-го значения до N-го , а затем наоборот.

Для упрощения расчётов можно использовать преобразования результатов наблюдений ( совокупности значений t1 ) в статический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений Т делят на «m» интервалов или «разрядов» и подсчитывают число значений ni приходящихся на каждый i-ый разряд. Результаты такого подсчёта удобно записывать в форме таблицы 3.

Таблица 3

интервал	Число попаданий на интервал	Статические вероятности
№	Нижняя и верхняя границы, 103 ч
1 2 3 4	3ч5,75 5,75ч8,5 8,5ч11,25 11,25ч14	n1=10 n2=20 n3=15 n4=5	q1=0.2 q2=0.4 q3=0.3 q4=0.15

- интервал

Для выполнения второй части задания принимаем =3?103 ч, а m=4.

Заполняя таблицу 3,последовательно просматриваем массив значений (ti) и оцениваем к какому разряду относится каждое число. Принадлежность числа к определённому разряду отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают ,…,,…,nm - число попаданий значений случайной величины (число чёрточек) соответственно в 1-ый, …, i-ый,…, m-ый разряд. Правильность подсчётов определяем, используя соотношение

Нижнюю границу интервала Т0 можно установить, пользуясь таблицей 1. Статический ряд отражаем графически ( см. рис.1)

С этой целью по оси абсцисс откладываем разряды и на каждом разряде строим прямоугольник, высота которого равна статической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь Т1, …, Тi, …, Тm соответственно верхние границы 1,…, i, …, m-го интервалов, определяемые принятыми значениями Т0 и ?t.

Рис.1

Статическая вероятность qi попадания случайной величины на i-ый интервал рассчитывается как

qi= , где N=50

q1= =0.2 q2= =0.4 q3= =0.3 q4= =0.1

После подсчётов значения qi для всех разрядов проверяем правильность расчётов используя выражение

Для расчёта среднего значения случайной величины принимаем середину ti принадлежащей i-му интервалу. В этом случае наработка до отказа определяется

1=4,375?0,2=0,875

2=7,125?0,4=2,85

3=9,875?0,3=2,9625

4=12,625?0,1=1,2625

=0,875+2,85+2,9625+1,2625=7,95 ((?))

Ошибку в расчётах оцениваем по формуле

д=100% ,

где Т(?) и Т(?) - средние значения, вычисленные соответственно с использованием формул (3) и (4).

д= ?100% = 1,4%

Задание 2

Требуется определить интенсивность отказов л(t) для заданных значений t и ?t.

Необходимо определить также среднюю наработку до отказа Б блока сложной технической системы, исходя из предположения, что безотказность некоторого блока характеризуется интенсивностью отказов, численно равной рассчитанной, которая не меняется в течение всего срока службы локомотива.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 2

На рисунке 2 изображена подсистема управления, включающая в себя «К» последовательно соединённых блоков.

Блоки имеют одинаковую интенсивность отказов, численно равную рассчитанной. Необходимо определить интенсивность отказов подсистемы лп и среднюю наработку до отказа п , построить зависимости вероятности безотказной работы одного блока РБ(t) и подсистемы РП(t) к наработке t=П . Значение «К» берём из таблицы 2.

Интенсивность отказов л(t) определяется по формуле

где q(t, ?t) - статическая вероятность отказа устройства на интервале [t1t+?t] или иначе - статическая вероятность попадания на указанный интервал случайной величины Т;

P(t) - рассчитанная на шаге 1 вероятность безотказной работы устройства( из таблицы 1, а ?t=3?103 ч).

л(t) =

Если интенсивность отказов не меняется в течение всего срока службы объекта, т.е. л(t) = л = сonst, то наработка до отказа распределена по экспоненциальному (показательному) закону. В этом случае вероятность безотказной работы блока

РБ(t) = e-лt = exp(-лt) , (6)

РБ(t)=2,71-0,5?10 ?8,5 =0,011

а средняя наработка блока до отказа находится как

ТБ =

При последовательном соединении «К» блоков интенсивность отказов образуемой ими подсистемы

Если интенсивности отказов всех блоков одинаковы, то интенсивность отказов подсистемы

(9)

А вероятность безотказной работы подсистемы

РП(t)= exp(-лПt) = exp(-Kлt) , (10)

РП(t)= 2,71?(3?0,5?10-3?8,5)=0,035

На основе (7) и (8) средняя наработка подсистемы до отказа находится как

Задание 3

Требуется определить стоимость зарезервированной системы С(х), обладающей надежностью R0, которая достигается при использовании «х» систем параллельно.

Известно, что резервируя аппаратуру. Можно достичь любой наперед заданной надежности системы. При этом стоимость системы возрастает и может достичь сколь угодно большой величины.

Установить затраты необходимые на увеличение надежности системы

от R* до R0 заданного сравнительно несложно. Допустим, что исходная система имеет стоимость С*, тогда

(1 - R*)х = 1 - R0, (14)

Или

Поскольку С(х) = хс*, то,

В случае поэлементного резервирования предположим, что все элементы обладают равной надежностью и стоимостью. При этом каждый из «n» элементов исходной системы имеет надежность R*1 . Для достижения

заданной надежности R0 необходимо, чтобы надежность каждой из «n»

параллельных групп, содержащих по «Х» элементов, составляла ?R?n . «Х» численно равно отношению конечной стоимости и начальной, т.е.

Когда элементы различаются по стоимости и надежности, возникает задача отыскания оптимального распределения резервных элементов, при котором максимальная достигается при минимальных затратах

где - переменная , обеспечивающая равенство Ri(xi) = Ri = RI , а число qi = 1 - ri параллельных элементов i -го типа

Поскольку каждый элемент i -го типа имеет стоимость Сi, полная

стоимость элементов данного типа составит хi Сi, а всей системы, состоящей из элементов «n» типов

Таким образом стоимость системы как функция кратности

резервирования вычисляется по уравнению (20), а надежность системы составляет при этом

Таблица 4

Надёжность элементов системы , ri	Стоимость элементов системы , Ci
0,8; 0,82; 0,84; 0,86; 0,88	4,0; 4,5; 5,0; 5,5; 6,0

Вероятность безотказной работы системы состояний из взаимнонезависимых систем можно представить в виде

где Ri - вероятность безотказной работы i-ой подсистемы.

Исходная система состоит из n элементов, каждый из которых обладает определенной надежностью ri и стоимостью Сi (см.табл.4).

Требуется определить минимальную стоимость системы. При которой

её надежность составит 0,999.

На основании уравнения (21) запишем

Степень ненадежности системы определяется как qi = 1 - ri, затем определяем логарифм полученных чисел. После этого находят,

Или в связи с тем, что Q<<--1 можно записать

Затем определяем стоимость каждого элемента

и общую стоимость элементов

С' = еCi (26)

С' = еCi=5,71+6,08+6,33+6,47+6,52=31,11

Теперь определяем значение переменной величины

Полная стоимость системы

Если известны статистические и стоимостные данные о каждом из «n»

элементов системы, то становится очевидным, что надежность может быть увеличена оптимальным способом от R до 0,999 при «m»-кратном повышении стоимости.

Необходимо сравнить этот случай со случаем посистемного резервирования. Если исходное значение надежности R, то Q = 1 - R. Тогда для подсчета необходимого количества параллельных систем определяется

по формуле

Формула (29) показывает, что при посистемном резервировании можно достичь заданной надежности за счет увеличения стоимости в «m» раз.



Задание 4

Для наработки t = ТП требуется определить вероятность безотказной работы Рс(ТП ) системы (см.рис.3) состоящей из четырех подсистем, две из которых являются резервными

Расчет ведется в предположении, что отказы каждой из 4-х подсистем независимы, т.е. отказ каждой из подсистем не нарушает работоспособность других и наоборот.

Вероятности безотказной работы каждой подсистемы одинаковы и равны РП(ТП ). Тогда вероятность отказа одной системы

QП(ТП ) = 1 - РП(ТП )

Вероятность отказа всей системы Qс(ТП ) определяется из условия, что отказали все подсистемы, т.е.

Qс(ТП ) = QП(ТП ) QП(ТП ) QП(ТП ) QП(ТП ) = QП4(ТП ) или

Рс(ТП ) = 1 - (1 - РП(ТП ) )4

Задание 5

Необходимо определить зависимости математического ожидания (среднего значения) износа деталей y(t) и дисперсии D(y(t)) от пробега (наработки) используя данные из табл.5. Параметры искомых зависимостей следует рассчитать с использованием правила определения прямой, проходящей через две точки с известными координатами.

Таблица 5

Расчётная величина	Первое измерение
Пробег,t1,тыс.км Средний износ, Y1, мм Дисперсия износа D(y1),мм2	90 0,259 0,00176
	Второе измерение
Пробег,t2,тыс.км Средний износ, Y2, мм Дисперсия износа D(y2),мм2	190 0,534 0,0037

При выполнении задания исходят из предположения, что математическое ожидание и дисперсия износа деталей представляют собой линейные функции пробега.

Зависимость износа «y» от пробега t представляет случайную функцию, реализация которой является монотонными убывающими функциями. Для описания случайной функции часто вполне достаточно знать ,как меняются её математическое ожидание и дисперсия y(t) и D(y(t)) от пробега. Для описания зависимости износа от пробега могут быть использованы линейные функции

y(t)=y0+at , мм

D(y(t))=D(y0+bt) , мм

где y0 - среднее значение износа деталей при t=0;

D(y0) - дисперсия износа деталей при t=0;

a - средняя скорость увеличения износа мм/тыс.км;

b - скорость увеличения дисперсии износа, мм2/тыс.км;

t - пробег локомотива, тыс.км.

Искомыми параметрами являются y0, а, D(y0) , и b. На практике для их нахождения необходимо область возможных значений пробега ( нижняя граница которой t=0, а верхняя находится из условия достижения предельного значения износа) разбить на несколько(10-20) интервалов. При каждом из разделяемых этими интервалами пробегов t1,,…,ti… производят измерение износа большого количества деталей и вычисляют соответствующие пробегам средние значения y1,,…,yi.., а затем дисперсия D(y1), D(y2),…,D(yi),….Используя метод зависимости квадратов ,определяем искомые зависимости y(t) и D(y(t)) по имеющимся значениям ti и yi или ti и D(yi).

Учитывая сложность задачи, предполагаем ,что массивы данных износа для каждого ti обработаны. Кроме того, считаем возможным определить искомые линейные зависимости, имея координаты двух точек. При таком существенном упрощении параметры «a» и «b» определяются по уравнениям

Используя координаты любой из двух известных точек, находят два других параметра (например, для второй точки)

Значения последних четырёх уравнений подставим в (1) и (2) уравнения и получим выражения, определяющие зависимости среднего износа деталей и дисперсии от пробега

По уравнениям (1) и (2) производим необходимые вычисления и записываем их с числовыми значениями параметров.



Список использованной литературы

1.Вознюк В.Н. , Пушкарёв И.Ф. , Ставров Т.В. и др. Надёжность тепловозов. - М.:Транспорт, 1991.

2. Галкин В.Г., Парамзин В.П., Четвергов В.А. Надёжность тягового подвижного состава. Уч.пос. для вузов железнодорожного транспорта. - М.: Транспорт,1981. надёжность подвижной безотказный износ

3.Пушкарёв И.Ф., Пахомов В.А. Контроль и оценка технического состояния тепловозов. - М.: Транспорт,1985.

4. Бородин А.П., Пахомов В.А. Диагностика тепловозных дизелей по спектральному анализу масла. М.: ВЗИИТ, 1981.

Размещено на Allbest.ru