Распределение самолетов по авиалиниям

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 2.6

Требуется распределить самолетов трех типов по авиалиниям так, чтобы при минимальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четырех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 900 и 600 единиц груза.

В приводимых ниже таблицах задано число самолетов каждого типа, месячный объем перевозок каждым самолетом на каждой авиалинии и соответствующие эксплуатационные расходы.

Тип самолета	Месячный объем перевозок одним самолетом по авиалиниям	Число самолетов
	I	II	III	IV
1	15	10	20	50	40
2	30	20	10	17	25
3	25	50	30	45	30

Тип самолета	Эксплуатационные расходы
	I	II	III	IV
1	10	20	25	40
2	70	22	15	45
3	40	50	40	65

Решение:

Необходимо найти такие значения переменных X_ij >= 0, которые минимизируют целевую функцию (суммарные расходы).

Пусть X_ij - количество самолётов j - типа выделяемых по I - маршруту, C_ij - расходы на один рейс самолёта j - типа по i- маршруту, D_ij - месячный объём перевозок самолёта ji - типа по I - маршруту.

Целевая функция - суммарные транспортные издержки которые надо минимизировать:

самолет распределение регрессия расход

F(X) = 10Х₁₁ + 20Х₁₂ + 25Х₁₃ + 40Х₁₄ +70Х₂₁ + 22Х₂₂ +15 Х₂₃ + 45Х₂₄ + 40Х₃₁ + +50Х₃₂ + 40Х₃₃ + 65Х₃₄ >min

При заданных ограничениях:

а) по числу имеющихся самолётов.

Х₁₁ + Х₁₂ + Х₁₃ + Х₁₄ = 40

Х₂₁ + Х₂₂ + Х₂₃ + Х₂₄ = 25

Х₃₁ + Х₃₂ + Х₃₃ + Х₃₄ = 30

б) по минимальному объёму перевозок

15X₁₁ + 30X₂₁+25 X₃₁ >= 300

10X₁₂ + 20X₂₂ + 50X₃₂ >= 200

20X₁₃ + 10X₂₃ + 30X₃₃ >= 900

50X₁₄+17 X₂₄ +45 X₃₄ >= 600

1. Создание формы для решения задачи (рис.1) предполагает создание матрицы перевозок.

Для этого необходимо выполнить резервирование изменяемых ячеек «В2:Е4».

Таким образом, резервируется место, где после решения задачи будет находиться распределение самолётов по авиалиниям при минимальных эксплуатационных расходах.



Рис. 1. Форма для решения задачи

2. Ввод граничных условий

Введение условий маршрутов самолёта, т.е.

Ai = ? Xij,

Где Ai - маршрут i-го самолёта;

Xij - количество самолётов i - типа выделяемых по j - маршруту;

n - количество типов

Для этого необходимо выполнить следующие операции:

В ячейку «F2» заводим формулу: Функции > СУММ (На экране появляется диалоговое окно СУММ), в строку «Число 1» ввести «В2:Е2» (рис.2)



Рис.2. Аргументы функции

Аналогичные действия выполняются для ячеек «F3, F4»

Введение условия объема перевозок по авиалиниям, т.е. (рис.3)

Для этого необходимо выполнить следующие операции:

В ячейку «В6» заводим формулу: Функции на СУММПРОИЗВ (а экране появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ), в строку «Массив 1» ввести «В2:В4», в строку «Массив 2» - «В10:В12»

Аналогичные действия выполняются для ячеек « С6, D6, Е6»

Рис.3. Ввод граничных условий

3. Назначение целевой функции

Для вычисления значения целевой функции, соответствующей минимальным суммарным эксплуатационным расходам, необходимо зарезервировать ячейку и ввести формулу для её вычисления:

Пусть Xij - количество самолётов j - типа выделяемых по I - маршруту, Cij - расходы на один рейс самолёта j - типа по i- маршруту, Dij - месячный объём перевозок самолёта ji - типа по I - маршруту.

F = ? ? Xij * Cij

Для этого:

В ячейку В6 вводим формулу: Функции > СУММПРОИЗВ (На экране появляется диалоговое окно СУММПРОИЗВ) (рис.4), в строку «Массив 1» ввести «В10:Е12, в строку «Массив 2» ввести «В2:Е4»

Рис.4. Аргументы функции

4. Поиск решения (рис.5).

ь В строке «Меню» указатель мыши поместить на имя «Сервис». В развёрнутом меню выбрать команду «Поиск решения». Появится диалоговое окно.

Рис.5. Меню «Поиск решения»

Назначить ячейку для целевой функции (рис.6)

(установить целевую ячейку, указать адрес изменяемых ячеек)

ь Поместить курсор в строку «Установить целевую ячейку»

ь Вводим адрес ячейки «$F$6»

ь Вводим тип целевой функции. Целевая функция по условию задачи равна минимуму значению

ь Поместить курсор в строку «Изменяя ячейки»

ь Вводим искомых переменных «$B$2:$E$4»

Рис.6. Ввод адресов исходных данных

Вводим ограничения (рис.7-9)

ь Нажимаем на кнопку «Добавить». Появляется диалоговое окно «Добавление ограничения»

ь В строке «Ссылка на ячейку» вводим адрес «$B$2:$E$4»

ь Знак ограничения «целое»

Рис.7. Добавление ограничения

ь Нажимаем на кнопку «Добавить». На экране вновь появляется диалоговое окно «Добавление ограничения»

ь Вводим остальные ограничения «$B$6:$E$6»

ь Знак ограничения «>=»

ь В строке «Ограничение» вводим «$B$5:$E$5»

Рис.8. Добавление ограничения

ь На кнопку «Добавить». На экране вновь появляется диалоговое окно «Добавление ограничения»

ь Вводим остальные ограничения «$F$2:$F$4»

ь Знак ограничения «=»

ь В строке «Ограничение» вводим «$F$10:$F$120»

Рис.9. Добавление ограничения

ь После введения последнего ограничения кнопка «ОК». На экране появляется диалоговое окно «Поиск решения» с введёнными условиями (рис.6).

Вводим параметры для решения задачи (рис.10;11)

ь В диалоговом окне нажимаем на кнопку «Параметры». На экране появится диалоговое окно «Параметры поиска решения».

ь Установим флажки в окнах «Линейная модель» (это обеспечит применение симплекс-метода) и «Неотрицательные значения»

Рис.10. Ввод параметров

ь Нажимаем «Выполнить»

ь Появится диалоговое окно «Результаты поиска решения» и исходная таблица с заполненными и изменёнными ячейками (рис.11)

.

Рис.11.Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками

Для того чтобы при заданных условиях суммарные эксплуатационные расходы были минимальными и составили 2375 д.ед. самолёты надо распределить следующим образом:

а) из 40 самолётов I типа выделить

ь 28 на первую авиалинию

ь 12 на четвертую авиалинию

б) все 25 самолётов II типа на третью авиалинию

в) из 30 самолётов III типа выделить

ь 2 на первую авиалинию

ь 4 на вторую авиалинию

ь 24 на четвертую авиалинию

Отчет по результатам, сделанный в EXCEL:

Целевая ячейка (Минимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$F$6	Объем перевозок ЦФ	0	2375
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$2	Матрица переменных	0	28
	$C$2		0	0
	$D$2		0	0
	$E$2		0	12
	$B$3	Матрица переменных	0	0
	$C$3		0	0
	$D$3		0	25
	$E$3		0	0
	$B$4	Матрица переменных	0	2
	$C$4		0	4
	$D$4		0	24
	$E$4		0	0
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$B$5	План перевозок Матрица переменных	300	$B$5<=$B$6	не связан.	170
	$C$5	План перевозок	200	$C$5<=$C$6	связанное	0
	$D$5	План перевозок	900	$D$5<=$D$6	не связан.	70
	$E$5	План перевозок	600	$E$5<=$E$6	связанное	0
	$F$2	Число самолетов	40	$F$2=$F$10	не связан.	0
	$F$3	Число самолетов	25	$F$3=$F$11	не связан.	0
	$F$4	Число самолетов	30	$F$4=$F$12	не связан.	0
	$B$2	Матрица переменных	28	$B$2=целое	связанное	0
	$C$2		0	$C$2=целое	связанное	0
	$D$2		0	$D$2=целое	связанное	0
	$E$2		12	$E$2=целое	связанное	0
	$B$3	Матрица переменных	0	$B$3=целое	связанное	0
	$C$3		0	$C$3=целое	связанное	0
	$D$3		25	$D$3=целое	связанное	0
	$E$3		0	$E$3=целое	связанное	0
	$B$4	Матрица переменных	2	$B$4=целое	связанное	0
	$C$4		4	$C$4=целое	связанное	0
	$D$4		24	$D$4=целое	связанное	0
	$E$4		0	$E$4=целое	связанное	0

Задача 3.6

Имеется 20 фирм, по каждой из которых известны данные о затратах на рекламу сервиса и о количестве туристов, воспользовавшихся услугами фирмы:

Фирма	Затраты на рекламу	Количество туристов
1	8	800
2	8	850
3	8	720
4	9	850
5	9	800
6	9	880
7	9	950
8	9	820
9	10	900
10	10	1000
11	10	920
12	10	1060
13	10	950
14	11	900
15	11	1200
16	11	1150
17	11	1000
18	12	1200
19	12	1100
20	12	1000

1. Построить диаграмму рассеивания (корреляционное поле) для переменных «Затраты на рекламу» и «Количество туристов».

Для построения поля корреляции (или диаграммы рассеивания) в Excel используем Мастер диаграмм.

Вставка - Диаграмма Тип диаграммы - Точечная

После вставки диаграммы можно добавить линию регрессии. Для этого нажимаем на одной из точек правую кнопку мыши и выбираем команду Добавить линию тренда.

Выбираем тип - Линейная, Параметры - Показывать уравнение на диаграмме.

2. Построить уравнение парной регрессии.

Линейное уравнение регрессии имеет вид:

Итак, для того, чтобы вывести линейное уравнение регрессии для зависимости затрат на рекламу (У) от количества туристов (Х), определим параметры. Для этого решим систему уравнений с двумя неизвестными.

n₀ +₁x =y

₀x +₁x² =xy

Произведём необходимые вычисления (последняя колонка таблицы заполняется после вывода уравнения регрессии)

X (затр. на рекл.)	Y(кол. туристов)	x2	y2	x * y
8	800	64	640000	6400
8	850	64	722500	6800
8	720	64	518400	5760
9	850	81	722500	7650
9	800	81	640000	7200
9	880	81	774400	7920
9	950	81	902500	8550
9	820	81	672400	7380
10	900	100	810000	9000
10	1000	100	1000000	10000
10	920	100	846400	9200
10	1060	100	1123600	10600
10	950	100	902500	9500
11	900	121	810000	9900
11	1200	121	1440000	13200
11	1150	121	1322500	12650
11	1000	121	1000000	11000
12	1200	144	1440000	14400
12	1100	144	1210000	13200
12	1000	144	1000000	12000
199	19050	2013	18497700	192310

Для наших данных система уравнений имеет вид

20a + 199 b = 19050

199 a + 2013 b = 192310

Домножим уравнение (1) системы на (-9.95), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-199a -1980.05 b = -189547.5

199 a + 2013 b = 192310

Получаем:

32.95 b = 2762.5

Откуда b = 83.8392

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

20a + 199 b = 19050

20a + 199 * 83.8392 = 19050

20a = 2366.01

a = 118.3005

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 83.8392, a = 118.3005

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 83.8392 x + 118.3005

3. Проверить качество построенного уравнения.

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.81² = 0.6569

т.е. в 65.69 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 34.31 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

4. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 83.84 показывает среднее изменение результативного показателя (количество туристов) с повышением или понижением величины фактора х (затраты на рекламу) на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу затрат на рекламу количество туристов повышается в среднем на 83.84.

Коэффициент a = 118.3 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

5. Выполнить прогноз количества туристов, если прогнозное значение затрат на рекламу в ближайшем периоде составит 110% от их последнего значения (результаты моделирования и прогнозирования отобразить на графике)

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Прогнозные затраты на рекламу: 12*1,1=13,2

Подставляя в уравнение регрессии: y = 83.84 x + 118.3 получаем прогнозное значение туристов: 83,84*13,2+118,3= 1225 (туристов)

Представим прогнозное значение на графике:

Размещено на Allbest.ru