Расчет надежности систем летательного аппарата

Размещено на http://allbest.ru

СОДЕРЖАНИЕ

1. Техническое задание и исходные данные

2. Порядок решения задач

2.1 Анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ самолета

2.2 Построение временных диаграмм

2.3 Статистический анализ надежности невосстанавливаемых изделий параметрическим методом

2.4 Формирование гипотезы о законе распределения наработки до отказа

2.5 Оценка параметров распределения для случая усеченной выборки методом максимального правдоподобия

2.6 Проверка соответствия статистического и теоретического распределений

2.7 Определение показателей надежности изделия функциональной системы (ФС) непараметрическим методом

2.8 Определение показателей надежности изделия функциональной системы непараметрическим методом по многократно цензурированным выборкам

2.9 Статистический анализ восстанавливаемых изделий

2.10 Расчет схемной надежности функциональной системы ЛА

2.11 Анализ надежности функциональной системы на соответствие требованиям по уровню надежности при эксплуатации Выводы

Список литературы

1. ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Исходные данные:

тип самолета - Ту-154;

объем парка самолетов - 20;

длительность беспосадочного полета - 2,5 ч;

изделие - заслонка регулирующая - 5670;

количество изделий на самолете - 4;

общее количество изделий на всем парке самолетов N = 80;

наработка изделий до отказа, ч: 840, 845, 970, 1110, 1230, 1280, 1350, 1600, 1720, 1790, 1900, 2100, 2250, 2400, 2500;

наработка изделий до цензурирования, m(ч):

m = m₁+m₂+m₃ = 65

m₁ = 15 по 1110

m₂ = 25 по 1500

m₃ = 25 по 2500

Таблица 1

Позиции на схеме	Наименование агрегата	Тип агрегата	Количество на самолете
1,21,32	Обратный клапан	4672	3
2	Штуцер для подключения наземного кондционера		1
3,53,55	Кран отбора от двигателей	3	3
4,5,54,56,57	Обратный клапан	5102	4
6	Первичный ВВР	4487Т	1
7,46	Кран наддува	4602	2
8,45	Заслонка ПСВП	5701Т-02	2
9,44	Регулятор избыточного давления	4561	2
10,43,	Командный прибор ПСВП	5701Т-01	2
11,42	Трубка Вентури 7695		2
12,41	Регулятор избыточного давления	4833	2
13,18,35,40	Заслонка регулирующая	5670	4
15,38	Обратный клапан	4488	2
16,37,47	Воздухозаборник		3
17,36	Вторичный ВВР	4458	2
19,34	Обратный клапан	4477	2
20,33	Влагоотделитель	154.04.7613.023	2
22,24,27,28	Смеситель	154.04.7611.003	4
23,25,26,29	Заслонка регулирующая	1406Т	4
30	Регулятор избыточного давления	4833	1
31	Глушитель шума	154.04.7613.044	1
48	Эжектор продува ВВР	4467Т	1
49	Заслонка	3161	2
50	Электроклапан	4073Т	1
51,52	Обратный клапан	4656	2
Не показан	Фильр отстойник	5701Т-03	4

Техническое задание: В качестве объекта анализа выбрана система кондиционирования (СКВ) самолета Ту-154, принципиальная схема которого представлена на рис.1, а типовые изделия этой системы приводятся в таблице № 1. Исходными условиями являются результаты эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ.

Задание состоит из следующих задач:

1) Анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ парка ЛА.

2) Статистический анализ показателей безотказности невосстанавливаемых изделий ЛА параметрическим методом.

3) Статистический анализ показателей безотказности невосстанавливаемых изделий ЛА непараметрическим методом.

4) Статистический анализ показателей безотказности восстанавливаемых изделий ЛА.

5) Расчет схемой надежности функциональной системы ЛА.

Рис.1. Система кондиционирования воздуха самолета Ту-154

2. ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1 Анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ самолета

1) Исходные данные анализируются в соответствии с заданиями варианта. При этом статистические данные содержат два типа случайных величин (реализаций): наработки изделий, составляющих выборки:

а) первый тип - реализации, представляющие собой случайные величины наработок до отказа (между отказами) t₁,...,t_i,...,t_n, i = l?, n. Назовем их «полными реализациями»;

б) второй тип - реализации , представляющие собой величины наработок изделий до цензурирования ф₁,..., ф _i,..., ф _n, j = l?, m.

Это соответствует случаю, когда испытания (наблюдения) прекращены или объект снят с испытаний до наступления отказа. Назовем их «неполными реализациями».

2) В первом случае используется полная выборка. Во втором случае имеет место цензурирование - событие, приводящее к прекращению эксплуатационных наблюдений изделий до наступления отказа (предельного состояния). При формировании выборки изделий во втором случае образуется цензурированная выборка, элементами которой являются значения наработок до отказа (полные реализации) и наработок до цензурирования (неполные реализации).

Различаются однократно и многократно цензурированные выборки.

В однократно цензурированной выборке значения всех наработок до цензурирования равны между собой и меньше наибольшей наработки до отказа. Многократно цензурированная выборка характеризуется значениями наработок до цензурирования, не равными между собой.

Исходным пунктом любого статистического исследования случайной величины x является совокупность из n наблюдений, в результате которых величина X принимает значения x₁, x₂,..., x_n. Если эти значения охватывают все N возможных однотипных объектов, подлежащих исследованию, т.е. n = N, то это множество объектов называют генеральной совокупностью.

В том случае, если имеется такая совокупность n наблюдений, что n < N, то она называется выборкой, а величина n - объемом выборки.

На практике чаще всего имеют дело именно с выборкой, поскольку обследование всей генеральной совокупности бывает либо слишком трудоемко (слишком большое N), либо принципиально невозможно (в случае бесконечных генеральных совокупностей).

Выборка должна быть представительной (репрезентативной), т.е. она по своим статистическим свойствам должна отражать, представлять свойства всей генеральной совокупности.

2.2 Построение временных диаграмм

В качестве аналога вариационного ряда используем ранжированную временную диаграмму, в которой реализации расположены в следующем порядке: сначала полные реализации в порядке возрастания, затем неполные реализации в порядке убывания.

На построенных ранжированных временных диаграммах производится группировка результатов наблюдений путем разбиения всего периода наблюдений (размаха), содержавшего n полных реализаций х_i, x₁,..., х_n на L равных или неравных интервалов Дt_к, но только не пустых.

Для этого проводятся два крайних сечения ранжированной диаграммы, первое - через точку, соответствующую окончанию наименьшей из полных реализаций (или левее этой точки), вторую - через точку, соответствующую окончанию наибольшей из реализаций (или правее этой точки).



Рис. 2 Временная диаграмма наработки до отказа

Рис. 3 Временная диаграмма наработки до цензурирования

2.3 Статистический анализ надежности невосстанавливаемых изделий параметрическим методом

Расстояние между крайними сечениями на построенных временных диаграммах определяет размах н, полученное значение которого разбивается на L интервалов и проводятся сечения диаграммы, соответствующие границам интервалов.

Для наглядности полученный вариационный ряд преобразуют следующим образом. Ось абсцисс делят на интервалы (x_i, x_i+1) длинной Дx = x_i - x_i+1.

Длину интервала следует выбирать такую, чтобы количество интервалов не было большим, но и не настолько малым, чтобы не искажать особенности распределения статистических данных.

Приближенно длина интервала может быть определена по формуле

,

где значение в знаменателе (1 + 3,32 lgn) - примерное количество интервалов разбиения.

Для рассматриваемого варианта

1 + 3,32 lgn = 1 + 3,32*lg(15) = 4,9

Выбираем количество интервалов разбиения, равное 5.

После разбиения вариационного ряда на интервалы определяется значение статистической плотности распределения для каждого i-гo интервала

,

где-число значений членов вариационного ряда, попавших в i-й интервал. Чертёж значений , отложенных для каждого интервала, называется гистограммой частот. Статистическая плотность распределения является аналогом плотности распределения непрерывной случайной величины и имеет размерность, обратную размерности случайной величины x:

Для статистической оценки плотности вероятности наработки до отказа f*(t), интенсивности отказов л*(t) и вероятности безотказной работы P*(t) используется расчет по формулам (4.1) пособия [4].

Результаты расчета представлены в таблице 2.

Таблица 2

Интервалы	1	2	3	4	5
	840-1172	1172-1504	1504-1836	1836-2168	2168-2500
Дti = ti+1 -ti	332	332	332	332	332
Дni	4	3	3	2	3
ni(t)	0	4	7	10	12
Ni	80	65	40	40	40
Ni - ni(t)	80	61	33	30	28
f*i(t) = Дni/(Ni •Дt)	0,000151	0,000139	0,000226	0,000151	0,000226
л* i (t) =Дni/[(Ni-n i-1)•Дti]	0,000151	0,000148	0,000274	0,000201	0,000323
P*i(t) = [Ni - ni(t)]/Ni	1,000	0,950	0,913	0,875	0,850

Гистограммы статистической плотности распределения f*(t), интенсивности отказов л*(t) и вероятности безотказной работы P*(t), построенные по результатам таблицы 1, приведены на рис. 4… 6.



Рис. 4 Статистическая плотность распределения f*(t)

Рис. 5 Интенсивность отказов л*(t)

Рис. 6 Вероятность безотказной работы P*(t)

2.4 Формирование гипотезы о законе распределения наработки до отказа

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон можно задать: таблично в виде двух строк чисел, где первая строка - возможные значения случайной величины, вторая строка - вероятности этих значений; графически - в виде ломаной линии; аналитически - в виде формулы.

Сравнительный анализ гистограмм с теоретическими кривыми f(t) и л(t) на рис. П.3.4, приложения 3, позволяет выдвинуть предположение, что усеченная выборка числа изделий n подчиняется экспоненциальному распределению.

Экспоненциальное распределение описывает наработку до отказа объектов, у которых в результате сдаточных испытаний (выходного контроля) отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации.

Эти объекты можно отнести к «не стареющим», поскольку они работают только на участке с л(t) = л = const. Круг таких объектов широк: сложные технические системы с множеством компонентов, средства вычислительной техники, системы автоматического регулирования и энергетические объекты.

Для характеристики случайной величины, кроме закона распределения, используют также ее числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Поэтому следующим шагом является определение параметров выбранной в качестве модели эксплуатационной функции распределения - математического ожидания m, дисперсии Д и среднеквадратического отклонения у, коэффициента вариации х.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

При оценке рассеяния случайной величины вокруг математического ожидания используется среднее квадратическое отклонение, равное квадратному корню из дисперсии.

Для оценки разброса случайной величины от математического ожидания является коэффициент вариации, определяемый как отношение среднего квадратического отклонения к среднему значении случайной величины. Коэффициент вариации не имеет размерности, поэтому позволяет сравнивать различные по природе случайные величины, оценивать закономерности их распределения.

Математическое ожидание исследуемой случайной величины (среднее значение)

где: n - число изделий в выборке (число членов вариационного ряда),

- значение случайной величины.

= 1592,33

Дисперсия, характеризующая разброс случайной величины около математического ожидания

= 310610,2

Как известно, СКО определяется

= 557,32

Коэффициент вариации

= 557,32/1592,33 = 0,350

Для завершения формирования вероятностно-статистической модели необходимо определить параметры распределения, принятого в качестве теоретического выражения модели.

Экспоненциальный закон имеет только один параметр - интенсивность отказов, который постоянен в процессе эксплуатации, л(t) = const:

Из таблицы 2 принимаем среднее значение л(t), т.к. все значения л(t) изменяются в незначительном диапазоне

л(t) = ?л_i(t)/L = 0,000219,

где L - количество интервалов.

2.5 Оценка параметров распределения для случая усеченной выборки методом максимального правдоподобия

Для случая усеченной выборки в качестве параметра экспоненциального закона распределения наработки до отказа используется величина Т_ср - средняя наработка до отказа

,

где t_iср - средняя наработка до отказа i-го интервала, T - период наблюдения.

Затем определяется теоретическое значение функции плотности распределения f(t)

Результаты решения приведены в таблице 3.

Таблица 3

Интервалы	1	2	3	4	5
	840-1172	1172-1504	1504-1836	1836-2168	2168-2500
ti-1	840	1172	1504	1836	2168
ti	1172	1504	1836	2168	2500
tiср	1006	1338	1670	2002	2334
T	2500	2500	2500	2500	2500
n	15	15	15	15	15
N	80	80	80	80	80
Tср=1/n?tiср + ((N-n)/n)•T	11390,00	11390,00	11390,00	11390,00	11390,00
f(t) = (1/ Tср)•e(- ti /Tср)	0,00007921	0,00007694	0,00007473	0,00007258	0,00007049

По результатам таблицы 3 строится гистограмма функции плотности распределения f(t), представленная на рис. 7.



Рис. 7

2.6 Проверка соответствия статистического и теоретического распределений

Проверка соответствия статистического и теоретического распределений производится по критерию ² (критерию Пирсона).

Постановка задачи статистической проверки гипотез: Статистическая проверка гипотез - один из основных разделов математической статистики, в котором рассматриваются методы статистической проверки между статистическими данными и гипотезами об их вероятностной природе. При этом можно выделить два основных направления: проверка, принадлежит ли данная статистическая совокупность данных какому - то вероятностному закону распределения, и при наличии двух различных статистических данных определить, принадлежат ли они одной генеральной совокупности (одному распределению).

Постановка задачи первого направления состоит в следующем. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка x₁,х₂,...x_n из генеральной совокупности с известной функцией распределения F(x). По экспериментальным данным строится эмпирическая функция распределения F*(x), которая естественно является ступенчатой (рис. 9).

Статистической гипотезой называется любое предположение относительно вида теоретической функции распределения F(x), сделанное на основе выборки.

На рис.9 приведена предполагаемая функция F(x). Заметим, что практически о виде теоретической функции распределения удобнее судить по гистограмме частостей, построенной по экспериментальным данным.

Проверка статистической гипотезы заключается в выборе решения: принять гипотезу или отвергнуть ее.

Обычно предполагают, что имеются две непересекающиеся гипотезы: Н₀ и Н₁. Гипотезу Н₀ будем называть основной, а гипотезу Н₁ - конкурирующей или альтернативной. Заметим, что выбор, какую гипотезу принять за основную, а какую за альтернативную, условен. Однако, как правило, удобно основной гипотезой Н₀ называть конкретное предположение о виде теоретической функции распределения или предположение, важное с точки зрения решаемых практических задач.

Задача проверки статистических гипотез состоит в том, чтобы на основе выборки х₁,х₂….х_n принять (т.е. считать справедливой) либо основную гипотезу Н₀, либо альтернативную гипотезу Н_1.

Рис. 9

Критерии согласия: Статистическим критерием называется правило, позволяющее, основываясь только на выборке , принять либо основную гипотезу Но, либо альтернативную Н_{1 .}

Поскольку принятие основной Но или альтернативной Н₁ гипотез основывается на выборке, состоящей из случайных чисел, то при любом критерии ошибки будут неизбежны.

При двухальтернативном выборе (либо Но, либо Н₁) возможны четыре исхода:

принята гипотеза Но и эта гипотеза верна;

принята гипотеза Но, хотя она неверна;

принята гипотеза Н₁ и эта гипотеза верна;

принята гипотеза Н₁, хотя верна гипотеза Но.

Из четырех выводов два являются ошибочными.

Ошибкой 1-го рода называют ошибку отклонения основной проверяемой гипотезы Но, когда она верна. Вероятность этой ошибки обозначают через б.

Ошибкой 2-го рода называют ошибку принятия гипотезы Н₁, когда верна основная гипотеза Но. Вероятность ошибки 2-го рода обозначают через в.

Вопрос о том, какую из гипотез принять за основную, а какую за альтернативную, лежит вне области статистики и, в определенном смысле, этот выбор является произвольным. На практике обычно за основную гипотезу Н₀ принимают ту, когда важнее избежать ошибки 1-го рода.

При фиксированном объеме выборки обычно задаются величиной б - вероятностью отказа от основной гипотезы. Эту вероятность называют уровнем значимости

Выбор величины б зависит от сопоставления потерь, которые могут быть понесены в случае ошибочных заключений в ту или другую сторону. Чем весомее потери от ошибочного отвержения основной гипотезы Но, тем меньше выбирается величина б. Чаще всего это затруднительно, поэтому пользуются стандартными уровнями значимости б: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001.

Наиболее распространено значение б = 0,05.

Чем серьезнее последствия ошибки первого рода, тем меньшим должен быть уровень значимости, однако за понижения уровня значимости расплачиваются увеличением вероятности ошибки второго рода.

В связи с этим сначала назначают уровень значимости б, а затем выбирают такую процедуру проверки, которая обеспечивает минимальное значение в. Единственный способ одновременного уменьшения ошибок б и в - увеличение объема выборки n.

Критерий согласия Пирсона (критерий ²): Критерий согласия Пирсона является одним из наиболее часто применяемых критериев для проверки согласованности теоретического распределения и статистических данных.

Пусть произведено N независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла некоторое значение x_i (i = 1,2,... n). Результаты опытов сведены в К нтервалов (групп) и построена гистограмма частот или гистограмма частостей.

По внешнему виду гистограммы можно высказать предположение о виде теоретического закона распределения, которому подчинены экспериментальные данные. Это предположение является основной гипотезой Но.

Если - число значений величины в каждом интервале, то частота попадания в каждый интервал

Зная (или предполагая) теоретический закон распределения, можно определить (по таблицам или расчетом) теоретические значения вероятностей попадания изучаемой случайной величины в каждый из интервалов. Если есть данные о теоретическом законе распределения, то теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал равна

Здесь f(x_i+1) - значение функции распределения у правой границы интервала и F(x_i) - соответственно у левой границы (в начале интервала), определенные по таблицам или расчетом.

Согласованность теоретического и статистического распределений определяется мерой расхождения в виде суммы квадратов отклонений значений и

В этой формуле C_i - некоторые весы интервалов. Пирсон предложил в качестве весов использовать отношение

Пирсон показал, что при таком выборе величин C_i при больших значениях объема выборки N величина U практически не зависит от вида закона распределения F(x) и от величины N, а зависит только от числа интервалов К.

Полученная таким образом мера распределения обычно обозначается ² .

В итоге получаем:

Значение зависит от числа степени свободы r = k-s; здесь k - число интервалов, s - число независимых условий (связей), наложенных на распределение (соответственно p_i). Эти условия следующие:

-обязательное условие или ;

-условие совпадения средних значений ,т.е. теоретическое распределение подбирается таким образом, чтобы совпали теоретическое и статистическое среднее значение;

- условие совпадения дисперсий (среднеквадратических отклонений)

Так как первое условие всегда должно иметь место то:

r =k-1-l

где l - число параметров, определяющих теоретическое распределение.

Для экспоненциального закона l = 1 , т.к. экспоненциальный закон определяется одним параметром распределения - л.

Для нормального закона l = 2, т.к. параметрами нормального закона являются математическое ожиданий m и среднее квадратическое отклонение (или дисперсия D).

Для распределения Вейбулла l = 2 , это а - параметр масштаба и b - параметр формы. Таблицы значений ² составляются с двумя входами: число степеней свободы r и доверительная вероятность (уровень значимости ошибки 1-го рода) б или величина .

Результаты расчета представлены в таблице 4.

Таблица 4

Расчет критерия ²

Интервалы	1	2	3	4	5
	840	1172	1504	1836	2168
	1172	1504	1836	2168	2500
лi(t)	0,000151	0,000148	0,000274	0,000201	0,000323
F(xi)	0,118831	0,159377	0,337563	0,308350	0,503244
F(xi+1)	0,161806	0,199719	0,395128	0,352956	0,553715
Pi = F(xi+1) - F(xi)	0,042975	0,040342	0,057565	0,044607	0,050472
N*Pi	3,438	3,227	4,605	3,569	4,038
Дn	4	3	3	2	3
(Дn- N*Pi)	0,562	-0,227	-1,605	-1,569	-1,038
(Дn- N*Pi)2	0,3158	0,0517	2,5768	2,4603	1,0769
ч2i =(Дn- N*Pi)2/ N*Pi	0,0919	0,01602	0,5595	0,6894	0,2667
ч2 = ?			1,6236

Определяем критерий Пирсона (табличное значение).

Для рассматриваемого случая принимаем:

Уровень значимости принимаем б = 0,1, тогда доверительная вероятность г =1- б = 1- 0,1 = 0,9. Число степеней свободы определяется по формуле

,

где k - количество интервалов при обработке статистических наблюдений;

s - число наложенных связей (для экспоненциального закона распределения s = 1).

Табличное значение критерия Пирсона при полученных параметрах по таблице П.5.3 пособия [4] составляет 6,25.

Тогда при сравнении расчетного значения ч²_расч= 1,6236 и табличного ч²_табл = 6,25, получаем (ч²_расч < ч²_табл),что позволяет сделать вывод о том, что нулевая гипотеза о распределении, подчиняющаяся экспоненциальному закону принимается.

2.7 Определение показателей надежности изделия функциональной системы (ФС) непараметрическим методом

Задача оценки показателей надежности по полным данным проводится по алгоритму, приведенному в пункте 4.3, п.п. 1 [4].

Оценка вероятности безотказной работы P и доверительных границ P_н и P_в получена методом максимального правдоподобия.

Метод максимального правдоподобия является наиболее универсальным и мощным с точки зрения эффективности получаемых оценок. Метод максимального правдоподобия предложен американским математиком Р.А. Фишером и является наиболее желательным методом оценки параметров неизвестного распределения.

Сущность этого метода заключается в том, что для фиксированного результата эксперимента составляется функция G, выражающая вероятность получения этого результата, которая и называется функцией правдоподобия. Она включает известные фиксированные результаты эксперимента и неизвестные параметры закона их распределения.

В качестве искомых точечных оценок этих параметров принимаются значения, максимизирующие функцию правдоподобия. Для этого приравниваются нулю первые частные (по каждому неизвестному параметру) производные функции правдоподобия, тем самым составляется столько уравнений, сколько параметров необходимо определить.

Функция правдоподобия для параметров при одном заданном наблюдении есть плотность распределения вероятности для полных реализации и вероятность безотказной работы для неполных реализаций, когда это наблюдение рассматривается как константа, а параметры распределения - как переменные.

Любая точечная оценка, если даже она удовлетворяет всем критериям качества, обладает существенным недостатком, представляя собой лишь частное значение случайной величины.

Поэтому, кроме точечной оценки, желательно знать "надежные" границы, так называемые доверительный интервал и доверительную вероятность.

Задача заключается в том, чтобы по выборочным характеристикам случайной величины q* определить нижнюю q_н и верхнюю q_в доверительные границы генеральной характеристики q. Эти границы и определяют интервал, который с некоторой доверительной вероятностью накрывает q

б* = P{q_н ? q ? q_в}

Величина б* называется двухсторонней доверительной вероятностью.

Величина (ширина) доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки генеральной характеристики, а доверительная вероятность - достоверность оценки.

Выражение для оценки имеет вид

q* = n/N,

где N - фиксированная неслучайная величина, а n - случайная величина.

Поэтому можно утверждать, что независимо от вида функции распределения наработки на отказ оценка для вероятности отказа q* имеет биноминальное распределение.

При испытании N = 80 невосстанавливаемых изделий получено n = 15 отказов.

Необходимо найти доверительные границы для вероятности безотказной работы P при б = 0,95, где б - доверительная вероятность.

По табл. П.5.5. и П.5.6. приложения [4] для n = 15 и n/N = 0,1875 находим R₁ = 1,581, R₂ = 0,671.

По уравнению (4.11), [4] находим

q_н = n/(N*R₁) = 15/126,48 = 0,119

q_в = n/(N*R₂) = 15/53,68 = 0,279

Для вероятности безотказной работы P

P = 1 - n/N = 1 - 15/80 = 0,8125

P_н = 1 - q_в = 1- 0,279 = 0,721

P_в = 1 - q_н = 1- 0,119 = 0,881

2.8 Определение показателей надежности изделия функциональной системы непараметрическим методом по многократно цензурированным выборкам

1) Задача оценки показателей надежности непараметрическим методом по многократно цензурированным выборкам включает точечную оценку показателей при количестве отказов n > 5.

При n < 5 следует использовать нижние доверительные границы.

Метод позволяет определить точечные оценки вероятности безотказной работы за заданную наработку, среднюю и гамма-процентную наработку до отказа.

Определение перечисленных показателей осуществляется в порядке, приведенном в п.п.2 пункта 4.3 [4].

В результате обработки данных по надежности изделий функциональной системы самолетов, эксплуатирующихся по состоянию, были сформированы цензурированные данные 80 изделий.

Наработки до отказа (n = 15): 840, 845, 970, 1110, 1230, 1280, 1350, 1600, 1720, 1790, 1900, 2100, 2250, 2400, 2500, ч.

Наработки до цензурирования (n = 65): 15 изделий были сняты с наблюдения при наработке 1110 ч, 25 изделий были сняты с наблюдения при наработке 1500 ч, а 25 изделий были сняты с наблюдения при наработке 2500 ч. Для внедрения прогрессивного метода эксплуатации изделий на всем парке самолетов требуется оценить показатели надежности.

2). Строим вариационный ряд или ранжированную временную диаграмму наработок до отказа ф_i, i = 1,…, n и цензурирования t_j, j = 1,…, m

840, 845, 970, 1110, 1110(15), 1230, 1280, 1350, 1500(25), 1600, 1720, 1790, 1900, 2100, 2250, 2400, 2500, 2500(25) ч.

3). По вариационному ряду (ранжированной временной диаграмме) определяются интервалы наблюдения (l = 3)

(0, ф₄)>(0; 1110)

(ф₅, ф₇)>(1230; 1350)

(ф₈, ф₁₅)>(1600; 2500)

Если вариационный ряд начинается с наработки до отказа, то m₀ = 0, а если он заканчивается наработкой до отказа, то m_L = 0.

Для каждого интервала наблюдения определяем

n₁ = 4, n₂ = 3, n₃ = 8,

m₀ = 0, m₁ = 15, m₂ = 25, m₃ = 25

Nэ₁ = N - m₀ = 80; Nэ₂ = = 80•(1 - 15/(80 - 4)) = 64,211;

Nэ₃ = = 64,211•(1 - 25/(80 - 15 - 3)) = 38,319

4). Определяем значения эмпирической функции распределения F*(t) , соответствующую каждой наработке до отказа в исходном вариационном ряду: если i-я наработка до отказа принадлежит первому интервалу наблюдений, то по (4.12), если i-я наработка до отказа принадлежит l-му (l = 2, L) интервалу наблюдений, то по (4.13).

F₁*(t) = 1/80 = 0,0125

Расчет F*(t) проводим в табличной форме с шагом i = 1 до n. Результаты расчета приведены в таблице 4.

Таблица 4

i	1	2	3	4	4	5
I	1	2	3	4	19	20
F*(ti)	0,0125	0,0250	0,0375	0,0500	0,0531	0,0656
i	6	7	8	8	9	10
I	21	22	23	48	49	50
F*(ti)	0,0811	0,0967	0,1123	0,2272	0,2533	0,2794
i	11	12	13	14	15	15
I	51	52	53	54	55	80
F*(ti)	0,3055	0,3316	0,3577	0,3838	0,4099

Например, для F₃*(t) = (3-1)/80 + (3-0-(3-1))/68 = 0,0375.

5). Рассчитанные значения точечных оценок вероятности безотказной работы за 1000, 1800 и 2300 ч приведем в табличном виде (табл. 5).

Таблица 5

tзад1	1000	d1	0,214
I	4	F*(ti)	0,050
фi-1	970	F*(ti-1)	0,038
фi	1110	P(1000)	0,960
tзад2	1800	d2	0,091
I	51	F*(ti)	0,305
фi-1	1790	F*(ti-1)	0,279
фi	1900	P(1800)	0,718
tзад3	2300	d3	0,333
I	53	F*(ti)	0,384
фi-1	2250	F*(ti-1)	0,358
фi	2400	P(2300)	0,634

Здесь значения

d_j = (t_задj - ф_i-1)/(ф_i - ф_i-1)

P(t_задj) = 1 - [d_j•F*(t_i) + (1-d_i)•F*(t_i-1)]

индексы j = 1,2,3; i - значение величины для члена вариационного ряда, стоящего перед t_задj, i+1 - значение величины для члена вариационного ряда, стоящего после t_задj.

6). Определим среднюю наработку до отказа

?ф₁/N_э1+?ф₂/N_э2+?ф₃/N_э3+(1-F^*(2500)) = 3765/80+3860/64,211+16260/38,319+(1-0,4099) =

= 2006,81ч.

6). Вычисление 95%-й наработки до отказа показывает, что она принадлежит 4-му члену вариационного ряда (см. табл. 3), т.е.

F^*(t_i-1) = 0,038; F^*(t_i)= 0,066; ф_i-1 = 970; ф_i = 1230;

d_3,5 = ((100-г)/100 - F^*(t_i-1))/(F^*(t_i) - F^*(t_i-1)) = 0,45

Тогда

Tср_0,05 = (1- d_3,5)•ф_i-1 + d_3,5•ф_i =1110,0 ч

7). Доверительный интервал для значений вероятностей безотказной работы P^*(t_зад) оцениваем, задавшись доверительной вероятностью в = 0,95 для t = 1000, 1800, 2300 ч (см. п.п. 4).

Расчеты удобно представить в виде таблицы 6.

Таблица 6

Заданное время - tзад1; tзад2; tзад3, ч	1000	1800	2300
Номер изделия в вариационном ряду данных (табл. 3), I	4	51	53
Номер интервала в вариационном ряду, l	1	3	3
v = m0+n1+m1; m0+n2+m2; m0+n3+m3	0	28	28
х = v2+n2; v3+n3; v3+n3	4	36	36
Эмпирическая функция распределения F*(ti-1)59; F*(ti-1)81; F*(ti-1)85, (табл. 3)	0,038	0,279	0,332
у1, у2, у3	0,000	0,058	0,058
Квантиль нормального распределения для уровня доверительной вероятности в = 5%, Uв=0,05	1,6449
Нижняя граница Pн	0,960	0,622	0,539
Верхняя граница Pв	0,960	0,814	0,728

Так, для первого заданного времени t_зад1 = 1000 ч, номер интервала в вариационном ряду составит l = 1, номер изделия I = 4.

Квантиль нормального распределения для уровня доверительной вероятности в = 5%, U_в=0,05 определим по таблице 7.

Таблица 7 Квантили нормированного нормального распределения

в	0,010	0,025	0,050	0,100
Uв	2,3263	1,9600	1,6449	1,2816

 = [1-0,038]•v(4-4)/((80-0)(80-4)) = 0,0

Тогда границы определятся

P_н = P^*(t_зад = 1000) - U_в•у₁ = 0,960- 1,6449•0,0 = 0,960

P_в = P^*(t_зад = 1000) + U_в•у₁ = 0,960+ 1,6449•0,0 = 0,960

По результатам оценки границ доверительного интервала строим график, представленный на рисунке 10.

Рис. 10

Анализ графика показывает, что вероятность безотказной работы регулирующих заслонок высока.

2.9 Статистический анализ восстанавливаемых изделий

Статистический анализ восстанавливаемых изделий проводится на основе оценки показателей безотказности и инженерного анализа физики отказов.

На основе данных эксплуатационных наблюдений для своего варианта строится временная диаграмма для всех самолетов (системы СКВ) рассматриваемого парка.

Для каждого изделия I = 1,... ,N была определена наработка до рассматриваемого момента Т, независимо от того, были или нет отказы этого изделия.

На временной диаграмме отмечаются моменты отказов в масштабе наработки и моменты восстановлений, которые совпадают с моментами отказов, так как в данной задаче рассматриваем мгновенное восстановление t_в= 0, а также наработки до цензурирования.

В зависимости от количества отказов проводится выбор величины и числа интервалов наработки. Затем временная диаграмма разбивается на интервалы (рис. 11).

Рис. 11

По интервалам производится расчет статистической оценки параметра потока отказов щ^*(t) по формуле:

щ_i^*(t) = Дn/(N_i•Дt_i),

где Дn - число отказавших изделий в i-м интервале; N - число наблюдаемых изделий в i-м интервале.

С учетом переменного парка N_i определяется как общее число всех реализаций на диаграмме за исключением неполных реализаций меньших по величине левой границы i-ro интервала, т.е. границы i.

Результаты расчетов щ_i^*(t) сводятся в таблицу 8 и представляются в виде гистограммы на рисунке 11.

Таблица 8

	1	2	3	4	5
Интервалы	840	1172	1504	1836	2168
	1172	1504	1836	2168	2500
Дti = ti+1 - ti	332	332	332	332	332
tср = (ti+1 + ti)/2	1006	1338	1670	2002	2334
Дn	4	3	3	2	3
Ni	80	65	40	40	40
Ni ?Дti	26560	21580	13280	13280	13280
гi = 1/L	0,200	0,200	0,200	0,200	0,200
щi*(t)	0,00015	0,00014	0,00023	0,00015	0,00023	?
гi•tср	201,2	267,6	334	400,4	466,8	1670
гi ?щi*(t)	0,000030	0,000028	0,000045	0,000030	0,000045	0,00018
гi • tср ? щi*(t)	0,030	0,037	0,075	0,060	0,105	0,309
гi • (tср)^2	202407,2	358048,8	557780	801600,8	1089511,2	3009348
(?гi • tср)^2	2788900
вн			4,88516E-08
бн			0,0000968



Рис.12

Определение параметра щ(t) по гистограмме щ^*(t) осуществляется методом наименьших квадратов выравниванием в виде прямой щ(t) = б + вt по зависимостям [4, с.19]

,

,

где L - количество интервалов гистограммы.

По полученной в результате выравнивания зависимости щ(t) = 0,0000968 + 0,0000000489•t строим график, показанный на рис.13.



Рис.13

По величине параметра потока отказов определяется вероятность безотказной работы за интервал наработки (t₀, t), который для восстанавливаемых изделий обычно равен периодичности технического обслуживания изделий - t_np1 = 300 ч и t_np2 = 900 ч

проводится расчет (табл. 8) и строится график вероятности безотказной работы P(t_пр) для восстанавливаемых изделий (рис. 14).

Таблица 8

t	0	20	50	100	150	200	250	300	400
	1	0,9981	0,9951	0,9901	0,9850	0,9799	0,9746	0,9692	0,9583

t	650	700	900	1500	2000	3000	5000	6000
	0,9294	0,9234	0,8986	0,8186	0,7473	0,6003	0,3346	0,2322



Рис.14

Рис.15

Анализ графика на рис. 15 показывает, что вероятность безотказной работы P(t_пр) в случае периодического восстановления изделий значительно увеличивается и вероятность P(t_пр) снижается до уровня P(t_пр) < 0,3 только после 5350 ч, когда вследствие низкой надежности становится нецелесообразной эксплуатация изделий.

2.10 Расчет схемной надежности функциональной системы ЛА

Расчет параметров безотказности: Расчет параметров безотказности P(t) для наработки t = 2 и t = 300 часов составляет:

t = 2 часа = = 0,99956;

t = 300 часов = = 0,93635.

Средняя наработка на отказ: T_ср = 2006,81 часов (см. п.п. 5, п.4.2).

Расчет параметров долговечности: Гамма процентный ресурс T_рг

= 21488,06 часов;

где - регламентированная вероятность, г - задаваемая вероятность недостижения предельного состояния изделием ранее истечения ресурса или срока службы (выбирается из ряда 0,9; 0,95;0,975;0,99).

Расчет параметров ремонтопригодности: Вероятность восстановления в заданное время,

t = 2, = 0,00044;

t = 300, = 0,06365.

Расчет схемной надежности СКВ самолетов Ту-154 выполняется в соответствии с вариантом по схеме, приведенной в приложении 2 [4]. Применение методов структурных и логических схем предполагает предварительное рассмотрение работы СКВ самолета Ту-154.

Однако, для указанных методов необходимыми являются данные по вероятности безотказной работы каждого изделия СКВ самолета Ту-154, для t = 2 ч и для t = 300 ч, в соответствии с техническим заданием на КР [4] или по значениям интенсивности отказов л всех изделий, но такие данные по СКВ ВС в пособии [4] отсутствуют.

самолет надежность кондиционирование

2.11 Анализ надежности функциональной системы на соответствие требованиям по уровню надежности при эксплуатации

Данный пункт не представляется возможным к реализации без выполнения пункта а). (причина указана). Из анализа структурной схемы СКВ самолета Ту-154 видно, что размещение регулирующих заслонок можно свести к принципиальной схеме звена параллельного соединения (рис. 16).

Рис.16.

Тогда вероятность безотказной работы при параллельном соединении регулирующих заслонок 5670 составит

Для времени t = 2 ч

P(t)_пар = 1-(1- P₁(t))•(1- P₈(t)) = 1-(1-0,99956)•(1-0,99956) = 1,0

Для времени t = 300 ч

P(t)_пар = 0,99595

Как и ожидалось, общая надежность системы при параллельной схеме соединения элементов выше надежности отельных элементов.

Для сравнения приведем расчет надежности системы при схеме последовательного соединения элементов

Для времени t = 2 ч

P(t)_посл = P₁(t)•P₈(t) = 0,99956•0,99956 = 0,99912

Для времени t = 300 ч

P(t)_посл = 0,87675



Рис.18. Алгоритм анализа надежности изделия на соответствие

требованиям надежности при эксплуатации

Анализ надежности изделия позволяет сделать вывод, что надежность изделия при времени эксплуатации t=300 ч соответствует требованиям.

ВЫВОДЫ

В результате выполненной контрольной работы провели анализ надежности элемента СКВ с помощью методов математической статистики.

Отметим основные мероприятия (меры), позволяющие повысить надежность АТ в процессе ее эксплуатации:

соблюдение предписанных рекомендаций по эксплуатации;

контроль состояния АТ;

повышение качества технической документации;

совершенствование планирования и управления поставками запасных частей; совершенствование организации ТО АТ;

оптимизация стратегий и методов ТОиР АТ; оптимальное использование парка ВС;

внедрение средств механизации и автоматизации процессов ТОиР;

управление качеством ТО АТ;

совершенствование методов поиска отказов и неисправностей изделий АТ;

управлении надежностью изделий АТ;

внедрение системы управления процессами технической эксплуатации на базе ЭВМ; внедрение автоматизированных систем информационного обеспечения;

проведение научно-обоснованных профилактических работ;

периодический контрольный облет самолетов;

сбор, обработка информации об отказах;

обобщение опыта эксплуатации;

прогнозирование;

повышение квалификации специалистов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ицкович А.А. Надежность летательных аппаратов и авиадвигателей. Ч.1. Учебное пособие . М.: МИИГА, 1990.

2. Ицкович А.А. Надежность летательных аппаратов и авиадвигателей. Ч.2. Учебное пособие . М.: МИИГА, 1990.

3. Смирнов Н.Н., Ицкович А.А., Чинючин Ю.М. Надежность и эксплуатационная технологичность ЛА. М.: МИИГА, 1989.

4. Ицкович А.А. , Файнбург И.А. Надежность авиационной техники. Пособие по выполнению контрольной работы. - М.: МГТУ ГА, 2006. - 52 с.

5. Ицкович А.А. , Герасимова Е.Д., Лисицын В.С. Пособие по выполнению контрольной работы №1 по дисциплине «Надежность летательных аппаратов и авиадвигателей» М.: МИИГА, 2000.

6. Ицкович А.А. , Герасимова Е.Д., Лисицын В.С. Пособие по выполнению контрольной работы №2 по дисциплине «Надежность летательных аппаратов и авиадвигателей» М.: МИИГА, 1998.

7. Пронников А.С. Надежность машин. М.: Машиностроение,1978 г.

8. Смирнов И.И., Андронов А.М., Владимиров Н.И., Лемин Ю.И. Эксплуатационная надежность и режимы технического обслуживания самолетов. М.: Машиностроение,1974 г.

9. Косточкин В.В. Надежность авиационных двигателей и силовых установок. М.: Машиностроение,1988 г.

10. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 - 816 с.

Размещено на Allbest.ru