Надёжность электрического подвижного состава

Задание 1. В таблице 1 приведены значения наработок до отказа в находящейся под контролем партии одинаковых устройств.

Таблица 1. Значения наработки устройства до отказа и заданные значения t и Т_{_}.

Предпоследняя цифра шифра.	Массив значений наработки до отказа Т, 103 ч	Заданное значение t, 103 ч	Значение Т_, 103 ч
1	2	3	4
1	11, 9, 12, 16, 7, 8, 10, 11, 15, 8, 12, 14, 6, 10, 9, 10, 16, 11, 10, 13, 15, 11, 13, 12, 9, 11, 13, 12, 13, 11, 12, 8, 10, 15, 16, 8, 10, 7, 12, 14, 5, 16, 13, 13, 9, 6, 11, 9, 12, 14	12,5	4,5

Требуется определить статистические вероятности безотказной работы

Р(t) и отказа Q(t) устройства для заданного значения t, указанного в таблице 1. Далее необходимо рассчитать значения вероятности безотказной работы Р^*(t) по первым 20 значениям наработки до отказа, указанным для соответствующего варианта в таблице 1. Затем для заданной наработки t требуется рассчитать математическое ожидание числа работоспособных устройств С_р(t) при общем числе находившихся в эксплуатации устройств, указанном в таблице 2. Методических указаний

Объем партии устройств и заданное значение k

Предпоследняя цифра шифра	1
Объем партии	100
Значения k	6

Наработка исследуемых устройств до отказа есть непрерывная случайная величина Т. По результатам испытания (наблюдения в эксплуатации) партия из N устройств получена дискретная совокупность из N ее значений t₁,….., t_L,…..,t_N, указанных в таблице 1.

Статически вероятность безотказной работы устройства для наработки t определяется как:

, (1)

где N_p(t)- число объектов, работоспособных на момент времени t. Для определения N_p(t) из таблицы 1 следует выбрать значения Т, превышающие t.

11	9	12	16	7	8	10	11	15	>12,5
8	12	14	6	10	9	10	16	11	>12,5
10	13	15	11	13	12	9	11	13	>12,5
12	13	11	12	8	10	15	16	8	>12,5
10	7	12	14	5	16	13	13	9	>12,5
6	11	9	12	14					>12,5
	Np(t) =	16
	N =	50
	P(t) =	0,32

Вероятность до отказа устройства на наработку t статистически определяется как:

, (2)

где N_нр(t)- число объектов, неработоспособных к наработке t. Для определения N_кр(t) из таблицы 1 следует выбрать значения Т, меньше t.

Nнр(t) =	34
Qt =	0,68

Поскольку N_p(t)+N_кр(t)=N, нетрудно видеть, чему равна сумма вероятностей: Р(t)+Q(t). Подсчет этой суммы используйте для проверки правильности своих вычислений.

Np(t)+Nнр(t)=	50
P(t)+Q(t) =	1

Оценку вероятности безотказной работы устройства по первым 20-ти значениям наработки до отказа обозначим как Р^v(t). Ее значения определяется также по формуле (1), но при этом N=20, и число работоспособных объектов N_p(t) выбирается из этой совокупности.

11	9	12	16	7	8	10	11	15	>12,5
8	12	14	6	10	9	10	16	11	>12,5
10	13								>12,5
	Np(t) =	5
	N =	20
	Рv(t)		0,25

Будем считать, что условия опыта, включающего 50 наблюдений, позволили однозначно определить вероятность безотказной работы устройства, т.е. Р(t)=1-F(t). Здесь F(t)- функция распределения случайной величины “наработка до отказа”, определяющая вероятность события Т?t при N>?.

Тогда с учетом формулы (1) математическое ожидание числа объектов С_р(t), работоспособных к наработке t, определяется как:

С_р(t)=P(t)·N,

где N- 100 шт объем партии устройств ,

Ср(t)=32

Контрольный вопрос. Чем объясняется возможное различие значений Р(t) и Р^v(t)?

В первую очередь количеством проверяемых объектов, ведь чем больше объектов мы проверим тем больше неисправных выявим и следовательно среднее значение будет точнее.

Задание 2.

Требуется рассчитать среднюю наработку до отказа, рассматриваемого устройства. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в таблице 1, а затем с использованием статистического ряда.

Для вычисления среднего значения случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t₁,t₂,…,t_i,….,t_N используют формулу:

. (3)

11	9	12	16	7	8	10	11	15	99
8	12	14	6	10	9	10	16	11	96
10	13	15	11	13	12	9	11	13	107
12	13	11	12	8	10	15	16	8	105
10	7	12	14	5	16	13	13	9	99
6	11	9	12	14					52
							N
							? =	558
							i-1
							Ќ =	11,2

Здесь N=50 числу значений Т в таблице 1.

Значительно упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений t_i ) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений Т делят на m интервалов или “разрядов” и подчитывают число значений n_i, приходящихся на каждый i-ый разряд. Результаты такого подсчета записываю в форме, соответствующей таблице 3.

Длины Дt всех разрядов принимаем одинаковыми, а число разрядов m устанавливаем = 10.Для выполнения данного задания принято Дt=3·10³ ч, а m=4. В таблице 3 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 50 значений случайной величины, распределенной на интервале [4,5·10³ч; 16,5·10³ч], для условий, Дt=3·10³ ч, m=4.

Интервал №	Нижняя и верхняя границы	Число попаданий на интервал		Стат. вероятность
1	4,5----7,5	/-/-/-/-/				n1=	5	0,1
2	7,5----10,5	/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/		n2=	15	0,3
3	10,5--13,5	/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/	n3=	20	0,4
4	13,5--16,5	/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/			n4=	10	0,2

.=20+10+15+5=50

Нижнюю границу интервала Т_{_} =4,5 установим, пользуясь таблицей 1.

Статистический ряд можно отразить графически, как показано на рисунке 1.



Рисунок 1.

С этой целью по оси абсцисс отложим разряды и на каждом разряде построим прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь Т₁,….,Т_i,….,Т_m соответственно верхние границы 1-го,….,i-го,…..,m-го интервалов, определяемые принятыми значениями Т_{_} и Дt.

Статистическая вероятность q_i попадания случайной величины на i-ый интервал рассчитывается как:

.

Подсчитав значения q_i для всех разрядов и проверим правильность расчетов, используя выражения:

=0,1+0,2+0,3+0,4 (верно)

Для расчета среднего значения случайной величины в качестве “представителя” всех ее значений, принадлежащих i-му интервалу, принимают его середину f_i. Тогда средняя наработка до отказа определяется как:

(4)

E1	E2	E3	E4
6	9	12	15

Т=6*0,1+9*0,3+12*0,4+15*0,2=11,1*10^3 час

Расчет с использованием формулы (4) вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку в ваших расчетах оцените по формуле:

,

д=	0,54	%

где (I) и (II)- среднее значения, вычисленные соответственно с использованием формул (3) и (4).

Контрольный вопрос. Каким образом можно уменьшить ошибки в расчетах с использованием второго метода?

Уменьшить ошибки можно если использовать максимальное количество интервалов

Задание 3. Требуется рассчитать интенсивность отказов л(t) для заданных значений t и Дt.

Затем в предложении, что безотказность некоторого блока в электронной системе управления электровоза характеризуется интенсивностью отказов, численно равно рассчитанной, причем эта интенсивность не меняется в течение всего срока службы локомотива, необходимо определить среднюю наработку д отказа _Б такого блока.

Подсистема управления включает в себя k=6 последовательно соединенных электронных блоков

рисунок 2.

Эти блоки имеют одинаковую интенсивность отказов, численно равную рассчитанной. Требуется определить интенсивность отказов подсистемы л_п и среднюю наработку ее до отказа _п , построить зависимости вероятности безотказной работы одного блока Р_Б(t) к наработке t=_п. Значение k указано в таблице 2.

Интенсивность отказов л(t) рассчитывается по формуле:

, (5)

где q(t,Дt)- статистическая вероятность отказа устройства на интервале [t,t+ Дt], [12,5; 15,5] или иначе- статистическая вероятность попадания на указанный интервал случайной величины Т;

Р(t)=0,32 рассчитанная на шаге I-вероятность безотказной работы устройства. Значение t=12,5 определяется из таблицы 1, а принятое в работе значение Дt=3·10³.

среднее наработка блока до отказа находится как:

. (7)

Ќв=		2400	час
л(t)=		0,00042
n3 =	20
Nc =		50
q(t,Дt) =	0,4

При последовательном соединении k блоков интенсивность отказов образуемой ими подсистемы:

. (8)

Если интенсивность отказов всех блоков одинаковы, то интенсивность отказов подсистемы:

, (9)

а вероятность безотказной работы подсистемы:

. (10)

С учетом (7) и (8) средняя наработка подсистемы до отказа находится как:

. (11)

Для построения зависимостей Р_В(t) и Р_П(t) воспользуемся данными таблицы 4 . Для расчета значений Р_В(t) и Р_П(t) интервал наработки t принимаем равным 400 ч.

Установив максимальное значение t= 5200 ч, но при этом при вычислении Р_П(t) расчеты можно прекратить, достигнув значения 0,05.

Таблица 4.

T	400	800	1200	1600	2000	2400	2800
Pб(t)	0,84648	0,71653	0,60653	0,51342	0,4346	0,36788	0,3114
Рп(t)	0,36788	0,13534	0,04979	0,01832	0,00674	0,00248	0,00091
T	3200	3600	4000	4400	4800	5200
Pб(t)	0,2636	0,22313	0,18888	0,15988	0,13534	0,11456
-л(t)*t	-0,1667	-0,3333	-0,5	-0,6667	-0,8333	-1	-1,1667
-лп*t	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
л(t)=	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042
лп=	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025
-л(t)*t	-1,3333	-1,5	-1,6667	-1,8333	-2	-2,1667
-лп*t	-8	-9	-10	-11	-12	-13
л(t)=	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042	0,00042
лп=	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025

Соотношения (8) и (9) справедливы для экспоненциального распределения. Для любого распределения наработки до отказа вероятности безотказной работы подсистемы, состоящей из k последовательно соединенных блоков, связана с вероятностями безотказной работы этих блоков следующим соотношением:

. (12)

Если блоки равнонадежны, как принято в задании, то

. (13)

Рассчитав значения Р(t) по формуле (13) для t=_п,=400 ч. сравним его со значением, рассчитанным по формуле (10).

Pб(t)	0,84648
Рп(t)	0,36788
Рассчитанное по формуле (10)
Pп(t)	0,36788

Контрольные вопросы. В какой период эксплуатации- начальный или по мере приближения к предельному состоянию- интенсивность отказов обычно резко и неуклонно возрастает, и почему?

Как видно из графика вероятность безотказной работы с увеличением срока эксплуатации блоков убывает, это связано с тем, что раз все блоки имеют одинаковую интенсивность отказов (по условию), то вероятность отказов будет увеличиваться при увеличении часов наработки.



Задача 4. Для наработки t=_п требуется рассчитать вероятность безотказной работы Р_п(Т_п) системы (рисунок 3), состоящей из двух подсистем, одна из которых является резервной.

Рисунок 3.

Расчет ведется в предложении, что отказы каждой из двух подсистем независимы, т.е. отказ первой системы не нарушает работоспособность второй, и наоборот.

Вероятности безотказной работы каждой системы одинаковы и равны Р_п(_п). Тогда вероятность отказа одной подсистемы:

.

Вероятность отказа всей системы Q_c(Т_п) определяется из условия, что отказала и первая, и вторая подсистемы, т.е.

Отсюда вероятность безотказной работы системы

или иначе

Контрольные вопросы. Какие недостатки вы видите в принятой схеме резервирования?

Первое это увеличение нагрузки на оставшемся блоке в случае выхода из строя одного из них. (например диодное плечо в выпрямительной установке)

Второе невозможность разрыва цепи в случае неисправности в замкнутом состоянии любой из подсистем.

Уменьшение пропускной способности.

Задания 5.

По данным таблицы 5 требуется определять зависимости от наработки (пробега электровоза) математического ожидания (среднего значения) проката бандажей (t) и дисперсии проката Д(у(t)), полученные уравнения необходимо записать. Параметры искомых зависимостей следует рассчитать с использованием правила определения уравнения прямой, проходящей через две точки с известными координатами.

Данное задание выполняется в предложении, что математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия проката бандажей представляют собой линейные функции пробега электровоза. Это подтверждается исследованиями, проведенными в различных депо.

Обозначим прокат бандажей как некоторую переменную величину Y. Зависимость Y от наработки (пробега электровоза) представляет собой случайную функцию, реализации которой являются монотонными неубывающие функции. Для описания такой случайной функции часто вполне достаточно знать, как меняется в зависимости от наработки ее математическое ожидания (среднее значение) и дисперсия: (t) и Д(у(t)).

В соответствии с принятым предложением запишем:

Исследования, проведенные в различных депо, показывают, что для описания зависимости проката от пробега электровоза могут быть использованы линейные функции:

(t)= _о+аt, (в мм) (14)

Д(у(t))= Д(у_о)+bt, (в мм) (15)

где _о и Д(у_о) соответственно среднее значение и дисперсия проката бандажей при t=0, при этом началом отсчёта является последняя обточка бандажей.

а- средняя скорость увеличения проката, мм/тыс.км;

b- скорость увеличения дисперсии проката, мм²/тыс.км;

t- пробег электровоза, тыс.км.

Предполагается, что массивы данных о прокате бандажей для каждого t_i уже обработаны. Считается также возможным определить искомые линейные зависимости, располагая координатами только двух точек.

В таком случае параметры а и b зависимостей (14) и (15) могут быть определены соответственно:

(16)

(17)

После этого, используя координаты любой из известных двух точек, например, второй (t₂,₂) или (t₂, Д(у₂)), можно найти два других параметра:

; (18)

(19)

Подставив значения (16), (17), (18) и (19) в уравнения (14) и (15), получим выражения, определяющие зависимости от пробега среднего проката бандажей колесных пар и дисперсии проката:

Контрольный вопрос. Могут ли исходные значения среднего проката бандажей _о и дисперсии Д(у_о), соответствующие t=0, быть равным 0? Отрицательными числами?

Теоретически в случае идеальной обточки и без пробега исходные значения среднего проката и дисперсии бандажей могут равняться нулю , на практике скорее всего нет, отрицательными тоже.

Задание 6. Требуется рассчитать среднее значение {(t_i)}, дисперсии { Д(у(t_i))}и средние квадратические отклонения {у(у(t_i))} проката при нескольких значениях пробега, пользуясь зависимостями, полученными на предыдущем шаге. Затем требуется для тех же значений пробега определить нижнюю у(t_i)_min и верхнюю у(t_i)_max границы практически возможных значений проката. Результаты расчетов следует занести в таблицу, выполненную по форме таблицы 6, и построить по ним линии, представляющие собой зависимость среднего проката бандажей от пробега, нижнюю и верхнюю границы практически возможных значений проката.

Таблица 6. Результаты расчета средних значений, дисперсии и средних квадратичных отклонений проката бандажей.

			э(t),мм
			Д(у(t)), мм2
у(у(t)), мм
		3у(у(t)), мм
			у(t)min
			у(t)max
			ЧС2
			Тзад.	150	тыс.км
	упр	5	мм
пробег тыс.км	0	50	100	150	200	250	300	350
э(t),мм	0,115	1,49	2,865	4,24	5,615	6,99	8,365	9,74
Д(у(t)), мм2	0,001	0,096	0,191	0,286	0,381	0,476	0,571	0,666
у(у(t)), мм	0,0316	0,3098	0,437	0,5348	0,6173	0,6899	0,7556	0,8161
3у(у(t)), мм	0,0949	0,9295	1,3111	1,6044	1,8518	2,0698	2,2669	2,4483
у(t)max	0,2099	2,4195	4,1761	5,8444	7,4668	9,0598	10,632	12,188
у(t)min	0,0201	0,5605	1,5539	2,6356	3,7632	4,9202	6,0981	7,2917

Заполним таблицу, последовательно производя вычисления по формулам, полученным при выполнении задания 5, для различных значений пробега электровоза. Расчет среднеквадратических отклонений произведём по формуле:

,

где i- номер интервала в таблице 6.

Принятой модели процесса износа бандажа, определяемой выражениями (14) и (15), соответствует такое постепенное увеличение проката, при котором среднее значение и дисперсия приращения проката за некоторый интервал пробега Дt пропорционально длине этого интервала и не зависят от достигнутого значения у. в таком случае вполне допустимо, основываясь на основных теоремах теории вероятностей, считать, что для любого t_i (пока у<у_пр) значения проката распределены по нормальному закону с плотностью распределения:

Сужение области определения функции f(у_i) до интервала[0, у_пр] практически не оказывает влияния на результаты расчетов.

Для нахождения области практически возможных значений случайной величины Y_i, распределенной по нормальному закону, пользуемся ”правилом трех сигма”. В соответствии с этим правилом для каждого пробега электровоза t_i верхняя и нижняя границы практически возможных значений проката бандажей находятся как:

, (20)

Кривые, показывающие верхнюю и нижнюю границы практически возможных значений проката, определяются выражением:

, (21)

, (22)

Изображая на таких графиках кривую распределения, подразумевают, что оси f(у_i) и f(у) направлены перпендикулярно плоскости t 0 у.

По результатам расчетов, сведенным в таблицу 6, построим график зависимости среднего проката бандажа от пробега (рисунок 4). Проведём на графике прямую у=у_пр. Пользуясь данными таблицы 5,построим на этом же графике кривые, показывающие верхнюю и нижнюю границы обе исходные точки (t₁, ₁), (t₂, ₂) и отметьте координаты.

При построении графика используем следующий масштаб: пробег- в 1 мм 1 тыс.км, прокат- в 1 мм 0,05 мм проката.

Контрольный вопрос. Имеет ли смысл при заданных условиях вычислять значения среднего проката и дисперсии проката для наработки t=360 тыс.км и более?

Вычислять значения среднего проката и дисперсии бандажа при заданных условиях нет смысла так как при заданном пробеге 150 тыс.км прокат бандажа составляет 4,24мм , а при 5мм уже требуется обточка.

Задание 7. Требуется рассчитать _то-4- средний пробег (наработку) до технического обслуживания ТО-4, а также наименьший Т_н и наибольший Т_к практически возможные пробеги до обточки бандажа колесных пар по прокату без выкатки из под электровоза.

Далее необходимо рассчитать Ш- вероятность того, что к заданному пробегу Т_зад, будет произведена обточка бандажа колесных пар по прокату без выкатки из под электровоза.

При расчете вероятности воспользуй графиком, приведенным на рисунке 5, или таблицей значений нормальной функции распределения:

,

приводимыми в приложениях к монографиям по теории вероятностей.

Техническое обслуживание ТО-4 предполагает собой обточку бандажей колесных пар без выкатки из под электровоза. Факторами, определяющими необходимость производства обточки бандажей колесныхпар, могут быть увеличение проката до предельного значения, подреза гребней, появления ползунов или других дефектов на поверхности катания, необходимость уравнять диаметры бандажей колесных пар и др. В данной работе будет считаться, что основной причиной постановки электровоза на ТО-4; является увеличение проката бандажей , что вполне соответствует практике работы большинства депо.

При таком условии средний пробег до технического обслуживания ТО-4 можно рассчитать, подставив в выражения (14) значения (t)=у_пр:

Чтобы найти наименьший Т_н и наиболее поздний Т_к сроки производства ТО-4, необходимо подставить у(t)_max=у_пр и у(t)_min=у_пр соответственно в выражения (21) и (22). Произведя необходимые преобразования, находим:

, тыс.км

, тыс.км

Вероятность того, что к пробегу Т_зад уже будет произведена обточка колесных пар, находится как:

,

где

. (23)

В формуле (23) - среднее значение проката, находимое путем подставки t= Т_зад в выражение (14). Среднее квадратические отклонение у(у) рассчитайте путем подстановки t= Т_зад в выражение (15):

.

у(у), мм	=0,5347897

Интеграл (23) не выражается через элементарные функции, поэтому для его вычисления пользуются таблицами нормальной функции распределения Ф^н(х). Эта функция характеризует распределение случайной величины Х, у которой математическое ожидание равно 0 и у(х)=1.

Выразить функцию распределения (23) через нормальную функцию распределения можно с помощью выражения.

F(y_пр)=Ф^н(х).

Где х находится в результате замены переменной как:

.

По рассчитанному значению х найдём с помощью графика, приведенного на рисунке 5(методических указаний), значения Ф^н(х) =0,92 и далее Ш. Убедившись, что в силу симметрии нормального распределения с математическим ожиданием, равным 0, относительно начала координат:

Ф^н(-х)=1-Ф^н(х)

ш=	0,08

Контрольный вопрос. Чему равна вероятность обточки колесных пар по прокату к моменту t=_то-4

К моменту обточки То-4 пробег составил t=177км

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 27.002-83. Надёжность в технике. Термины и определения. М.: изд-во стандартов , 1983. 30 с.

2. Электроподвижной состав: эксплуатация, надёжность и технология ремонта: Учебник для вузов ж.д. Транспорта. Под редакцией А.Т. Головатова., П.И. орцова. М.: Транспорт, 1983. 350с.

3. Галкин В.Г., Парамзин В.П., Четвергов В.А. Надёжность тягового подвижного состава: Учебник для вузов ж.д. Транспорта. М.: Транспорт, 1981. 184с.

4. Ридель Э.Э. Основы теории надёжности электрического подвижного состава: Лекция. М.:ВЗИИТ, 1989, 84с.

5. Дружинин Г.В. Надёжность автоматизированных производственных систем. Изд. 4. М.:Энергоиздат , 1986.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное интегральное исчисление: Учебное пособие для вузов. Т.2. (Глава ХХ Элементы теории вероятностей и математической статистики). М.: Наука, 1985

7. Дмитриенко И.Е. Техническая диагностика и автоконтроль в системах железнодорожных систем автоматики, телемеханики и связи. М.: Транспорт, 1986. 146 с.