Моделювання транспортних потоків

ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНОЇ НАДІЙНОСТІ ДАНИХ ІНТЕНСИВНОСТІ ТРАНСПОРТНИХ ПОТОКІВ

Будь-яка модель є ідеалізованим відображенням дійсності. Будувати її требо таким чином, щоб реальні процеси вироблялися з прийнятною точністю.

Невід'ємною частиною процесу дослідження і моделювання закономірностей зміни інтенсивності транспортного потоку (ТП), є перевірка статистичної надійності експериментальних вимірів інтенсивності.

Коли функція розподілу деякої випадкової величини невідома, для оцінки адекватності реалізації вибіркової функції, тобто кількість елементів вибірки - числа проведених експериментів, застосовується формула:

(1.1)

де n - число експериментів;

- дисперсія вибірки;

- довірча імовірність;

- величина погрішності.

Формула (1.1) є наслідок нерівності Чебишева.

Рівність (1.1) дозволяє визначити число іспитів, яке потрібно провести, щоб з надійністю абсолютною погрішністю результату рішення задачі, на підставі обраних даних, не перевершувала .

Надійність вибирається близької до одиниці (0,95 - 0,99). Припустима погрішність визначається з умови рішення задачі. Вибіркова дисперсія визначається з співвідношення:

(1.2)

де - і -я реалізація експерименту;

m - математичне чекання вибірки;

n - кількість експериментів.

Математичне чекання розраховуємо по наступній формулі:

(1.3)

де - n реалізації експерименту.

Викладені теоретичні положення дозволяють застосувати для рішення даної задачі програмне забезпечення в середовищі комп'ютерної математики (СКМ) Matlab. З використанням методів програмування в СКМ Matlab розроблений програмний комплекс, у складі Prog1.m і Prog2.m, що дозволяє автоматизувати процес обробки даних.

Програма Prog1.m дозволяє оцінити адекватність зроблених вимірів. Як вихідні значення вибираємо інтенсивності транспортних потоків отримані шляхом натурних обстежень. Результатом роботи програми є значення математичного чекання, дисперсії і необхідно кількості вимірів для досліджуваної вибірки.

Запуск програми здійснюється в середовищі Matlab. Перейшовши у вікно Command window, необхідно ввести в командному рядку вектор вихідних даних і запустити програму:

1)«>N=[100,250,..., 120] Enter»

2)«>Prog1(N) Enter»

У цьому ж вікні виводяться результати роботи програми: математичне чекання - середнє значення інтенсивності ТП, дисперсія і перевірка адекватності вибірки.

Таким чином, необхідно зробити перевірку вихідних даних для кожної години доби і визначити середні значення інтенсивності ТП (математичного чекання) для наступної побудови моделі зміни інтенсивності ТП протягом доби.

Отримані, у завданні, вихідні значення інтенсивності ТП у сукупності з відповідним часом доби являють собою вузлові крапки виду:

(1.4)

де R - безліч варіантів експерименту.

ПОБУДОВА МОДЕЛІ ЗМІНИ ІНТЕНСИВНОСТІ ТРАНСПОРТНОГО ПОТОКУ В ЧАСІ

Однієї з найважливіших задач, що виникають при дослідженні організації дорожнього руху є проблема вибору математичного апарату і методу, що адекватно описує процес зміни інтенсивності ТП у часі.

Інтерполяційна модель дозволяє оцінити значення залежності, що представляється даними, у проміжках між її вузловими крапками. Для цього використовуються функції, значення яких в вузлових крапках збігаються з координатами цих крапок. Модель такого виду являє собою кусочно- гладку функцію.

Апроксимація даних має на увазі опис деякого набору значень і вузлових крапок безупинною залежністю.

Графік апроксимуючої функції може не проходити через вузлові крапки, але наближати їх з деякої середньоквадратичною погрішністю. Отримана функція, безупинна на розглянутому інтервалі, дає більш широкі можливості для подальших досліджень у порівнянні з інтерполяційною залежністю.

Для підвищення точності апроксимації застосовують поліноми високих ступенів виду:

(2.1)

де - коефіцієнти полінома при відповідних ступенях перемінної t.

Використовуючи модель (2.1) при моделюванні зміни інтенсивності ТП у часі, значення N(t) визначаємо як інтенсивність ТП, а перемінна t позначає час доби.

Моделювання виробляється в середовищі СКМ Matlab, із застосуванням програмного забезпечення Prog2.m.

Програма Prog2.m дозволяє зробити моделювання зміни інтенсивності ТП у часі з використанням апроксимуючих поліномів до десятого ступеня.

Результатом моделювання є поліноми і відповідні їм графіки функцій, що найбільше точно описують вихідні дані за критерієм середньоквадратичного відхилення.

Порядок виконання роботи в середовищі Matlab.

У командному рядку вікна Command window СКМ Matlab необхідно увести вектор зміни інтенсивності ТП у часі, по одному з можливих напрямків руху на перехресті.

“> Enter”

де n -- кількість вимірів.

Запустити програму Prog2.m

«> Prog2(N) Enter»

У робочому вікні програми вибираємо пункт меню Tools - Basic Fitting.

У наступному діалоговому вікні необхідно натиснути кнопку More.

Наступне вікно Coefficient and norm of residuals містить загальний вид апроксимуючого полінома і значення коефіцієнтів полінома для обраного способу апроксимації, а також норму відхилень отриманого полінома від вихідних даних Norm of residuals.

Вибір способу апроксимації даних здійснюється у вікні Plot fits, таким способом визначаємо найбільш адекватну математичну модель, що описує вихідні значення по параметру Norm of residuals (норма відхилень полінома від вузлових крапок). Після визначення найбільш адекватного полінома, переходимо в робоче вікно яке містить зображення вихідних даних і графік полінома. Вибираємо пункт меню File - Export для збереження отриманих результатів. При цьому необхідно переписати значення коефіцієнтів полінома (2.1) - з вікна Coefficient and norm of residuals і сформувати поліном (2.1) у загальному виді з урахуванням отриманих коефіцієнтів.

Ступінчастий графік функції дозволяє дискретизувати значення беззупинної функції полінома і визначити значення інтенсивності ТП у визначену годину доби.

На підставі отриманих моделей визначаються ступінчасті графіки функцій поліномів. Для цього необхідно розрахувати значення N(t) (2.1) для кожної години в моделіруємий період часу з 8:00 до 20:00 і побудувати функцію виду:

У пояснювальній записці до курсової роботи привести роздруківки результатів роботи в середовищі Matlab і відповідні їм ступінчасті графіки.

3. РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ РОЗПОДІЛУ ТРАНСПОРТНИХ ПОТОКІВ У ВУЗЛАХ АВТОМОБІЛЬНИХ ДОРІГ

Модель розподілу транспортних потоків по напрямках руху на перехресті базується на даних інтенсивності вхідних потоків, а також частках розподілу кожного з вхідних потоків по напрямках руху.

3.1. Розрахунок матриці потокоразподілення.

У вузлах вулично-дорожньой мережі (ВДМ) транспортні засоби, що прибувають до перетинання, реалізують наступні можливі маневри: рух праворуч, ліворуч, прямо, а також розворот.

Загальне рівняння моделі потокорозподілення у вузлі записується у виді:

(3.1)

де , -вектор вихідних потоків;

-вектор вхідних потоків;

-матриця потокорозподілення.

Елементи матриці потокорозподілення А являють собою імовірності здійснення j-го маневру і можуть бути визначені:

(3.2)

де - інтенсивність транспортного потоку, що рухається в j - му напрямі ;

- інтенсивність вхідного транспортного потоку.

Вихідними даними для розрахунку матриць потокорозподілення є значення розмірів интенсивностей ТП, отримані при виконанні 1-го розділу даної роботи (математичне чекання). При цьому повинна дотримуватися нормована умова:

(3.3)

Якщо відомі імовірності здійснення j-го маневру () транспортними засобами, що входять у вузол, то в цьому випадку для одержання повної картограми потокорозподілення у вузлі можна вимірювати лише значення вхідних потоків, при цьому вихідні потоки можуть бути визначені розрахунковим шляхом, за допомогою матричної моделі потокорозподілення:

(3.4)

Існує загальне правило одержання моделі потокорозподілення:

1. усім вхідним і вихідним з вузла потокам привласнюються послідовно зростаючі індекси при обході галузей по годинній стрілці. Початковий вхідний потік вибирається довільно.

2. відгалуження кожного вхідного потоку нумеруються (верхній індекс j) у порядку обходу галузей по годинній стрілці, починаючи з розворотнього потоку, якому привласнюється індекс j = 0.

Максимальне значення індексу j дорівнює числу галузей мінус одиниця.

3. складається матриця потокорозподілення А в виді квадратної матриці розміру n*n, де n -число галузей, що підходять до вузла, причому елементам кожного рядка матриці привласнюється послідовно зростаючий ліворуч праворуч нижній індекс від 1 до n.

4. нумерація верхніх індексів елементів матриці виробляється таким способом: індекси головної діагоналі приймаються рівними нулю, елементам кожної з побічних діагоналей нижче головної привласнюються послідовно зростаючі індекси; елементам кожної з побічних діагоналей вище головної привласнюється послідовно убутні індекси, починаючи з j = n -1. Для Х - образного перетинання матриця А буде мати наступний вид:

(3.5)

5. записується матрична модель потокорозподілення у виді системи рівнянь (3.4)

У результаті виконання даного розділу, ми одержуємо усереднену матрицю, що є підставою для побудови моделі потокорозподілення.

3.2. Розрахунок вихідних з вузла транспортних потоків на підставі матриці потокораспределения.

Як вхідні потоки приймати розраховані значення N(t) для кожної години в моделюємий період часу з 8:00 до 20:00, згідно зі східчастими графіками.

Спочатку необхідно провести коректування елементів матриці потокорозподілення згідно тижневих факторних коефіцієнтів, значення яких приведені в таблиці 3.1, по формулі:

(3.6)

де - тижневий факторний коефіцієнт;

- сезонний факторний коефіцієнт;

-середні значення ймовірності здійснення маневру, розраховані раніше. Оскільки і матриця потокорозподілення і вихідні потоки розраховуються для одного сезону року, то сезонний факторний коефіцієнт приймаємо рівним одиниці.

Таблиця 3.1 - Значення тижневих факторних коефіцієнтів

Розрахувати вихідні транспортні потоки для кожної години, використовуючи модель потокорозподілення (3.4). Результати розрахунків представити у виді таблиці.

Таблиця 3.2 - результати розрахунку вихідних потоків.

Таким чином, у результаті моделювання потокорозподілення на перехресті можна зробити висновок про те, що описаним методом можна за значеннями інтенсивності вхідних потоків розраховувати значення вихідних, що сприяє зниженню трудомісткості і витрат при обліку дорожнього руху.

4. ОЦІНКА АДЕКВАТНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ МОДЕЛЮВАННЯ ПОТОКОРОЗПОДІЛЕННЯ

Для перевірки адекватності отриманих результатів необхідно оцінити средньоквадратичне відхилення значень інтенсивностей вихідних транспортних потоків, отриманих експериментальним (натурним) методом, а також значень отриманих розрахунковим шляхом (за допомогою моделі потокорозподілення).

Після проведення натурних обстежень шляхом додавання вартових інтенсивностей відповідних потоків, що повертають, отримуєме значення вихідних транспортних потоків для кожного дня тижня. Для отриманих значень розраховуємо средньоквадратичне відхилення по формулі:

(4.1)

де - і - я реалізація експерименту (значення інтенсивності вихідного потоку у визначений день тижня);

m - математичне чекання вибірки (середнє значення інтенсивності вихідного транспортного потоку);

n - кількість експериментів.

Аналогічно визначаємо средньоквадратичне відхилення для значень вихідних потоків, що були отримані за допомогою моделі потокорозподілення.

На підставі розрахованих значень средньоквадратичного відхилення зробити висновки.