Математика в спорте

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Введение

1. Основные понятия математики и исследования математических операций в спорте

2. Применение математики в различных видах спорта

3. Закономерности математики в спорте

3.1 Ученые связали длину пятки со спринтерскими качествами

3.2 Ученые доказали преимущества левшей при игре в бейсбол

3.3 Математика и атлетика

3.4 Математика и шахматы

3.5 Математика и лыжи

4. Прыжки с трамплина

4.1 Концептуальная постановка задачи

4.2 Геометрические элементы трамплинов

4.3 Собственно концептуальная постановка

4.4 Математическая постановка задачи

4.5 Предположения

4.6 Уравнения движения

Заключение



Введение

Чем занимаются математики и зачем они вообще нужны? Принято считать, что математики сутки напролет сидят за письменным столом, придумывают четырехэтажные формулы и за день изводят по пачке бумаги. Большинство людей не задумываются, что результаты деятельности математиков они ежедневно видят вокруг себя. Без математических расчетов невозможны ни архитектура, ни проектирование техники, ни даже составление режима работы светофоров на загруженных магистралях.

Математика и спорт, казалось бы, далеки друг от друга. Но это только на первый взгляд. Математические методы всё шире используются в спорте.

Известно, что методами математической статистики устанавливают перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность, обрабатывают показания датчиков, контролирующих нагрузки спортсменов.

Теория информации позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при занятиях различными видами спорта. Математика и физика помогают изыскивать наиболее удачные формы гребных судов и весел. математические операции спорт трамплин

В то же время занятия спортом благотворно влияют на умственную деятельность и психику человека, укрепляют его волю.

Актуальность работы: мы предлагаем рассмотреть взаимосвязь между двумя разными науками.

Цель работы: выявить взаимосвязь математики и спорта.

Гипотеза: математика играет важную роль в жизни общества.

Задачи работы:

- систематизировать и обобщить знания о взаимосвязи математики и спорта;

- привести примеры применения математики в различных видах спорта;

- показать значимость и актуальность этой взаимосвязи на примере показателей.



1. Основные понятия математики и исследования математических операций в спорте

Математический материал зачастую принимает чрезвычайно абстрактную форму, в то же врем абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи со спортом, музыкой, литературой и многими науками запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, и наполняется всё более богатым содержанием. Существует два вида математики:

1. Математика -- наука, предметом изучения которой является искусственные конструкции, созданные математиками в процессе их свободного творчества.

2. Математика изучает «реальные» математические структуры, существующие независимо от открывших их математиков. Это, так называемая, прикладная математика. Например, математика в технике, математика в экологии, математика в архитектуре и в числе их - математика в спорте. Но результаты прикладной математики дают иногда неожиданные и важнейшие следствия. Известно, что методами математической статистики устанавливают перспективность спортсменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность, обрабатывают показания датчиков, контролирующих нагрузки спортсменов. Теория информации позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при занятиях различными видами спорта. Математика и физика помогают изыскивать наиболее удачные формы гребных судов и весел.

Прикладная математика призвана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами. Специалист по прикладной математике все время имеет дело с математическими моделями. Важнейшее требование к математической модели состоит в ее адекватности изучаемому реальному объекту, т.е. в правильном описании объекта по соответствующим характеристикам. Так, например, строится математическая модель игры в теннис, адекватная игре по основной характеристике -- по изменению счета в гейме (сете). Однако эта модель не учитывает эмоциональных, психологических факторов и адаптации к игре противника. Затем эта модель уточняется и вводится еще одна характеристика -- адаптация или обучение в ходе игры. И все же эта модель остается неадекватной реальному процессу по другим особенностям.

Математическими моделями, цель которых обосновать принятие в данной ситуации того или иного из возможных решений, занимается важнейший раздел прикладной математики -- исследование операций. Не так уж часто в результате изучения математической модели удается прийти к однозначному решению -- найти единственное оптимальное решение. В подавляющем большинстве случаев удается лишь сузить область поиска оптимальных решений (которых может быть несколько), выделить решения, близкие к оптимальным, практически равноценные. Однако и это оказывается успехом, ибо существенно облегчает задачу лица, ответственного за принятие решений, выбрать какое-либо из них. Рассмотрим несколько практических задач и перечислим типичные задачи, которые могут быть рассмотрены методами теории исследования операций:

1. Распределение игровых амплуа в спортивной команде (баскетбольной, хоккейной и др.), обеспечивающее наибольший эффект в игре.

2. Системы организации чемпионатов, турниров и кубковых встреч (шахматных, теннисных, хоккейных и др.), обеспечивающие достижение определенных целей. Например, для: выявления первого и второго призеров кубковой встречи (с соблюдением определенных условий). Или, например, для того чтобы в матче двух шахматных команд обеспечить следующие естественные условия:

- все участники играют одинаковое число партий фигурами каждого цвета;

- в каждом туре участники обеих команд играют одинаковое число партий белыми и черными;

Составление для спортсменов диеты, удовлетворяющей требованиям медиков и, в то же время, наиболее экономной и сохраняющей вес спортсмена в определенных рамках, а также подборка содержимого рюкзака с продуктами, обеспечивающая при наименьшем его весе необходимый рацион.

Таким образом, математика, а с особенности прикладная математика, объясняет многие последовательности и закономерности в спорте. С помощью математических моделей могут быть решены практические задачи в спорте, помогая спортсменам и тренерам достичь наивысших результатов.



2. Применение математики в различных видах спорта

Ввиду коммерческих выгод бейсбол издавна привлекал внимание спортивных и деловых кругов. Именно поэтому был накоплен значительный объем статистических данных, который позволил некоторым специалистам сделать заключения о качестве игры команды (среднее число результативных подач в зависимости от мастерства, подающего и ловящего игроков, закон распределения попаданий и т. п.). Для игры в бейсбол была построена с помощью теоретико-вероятностного метода Монте-Карло имитационная модель.

Вслед за этим появились приложения математических методов к анализу игры в футбол. В одной из работ проанализированы 8373 игры из 56 туров, включенные в таблицу Национальной футбольной лиги США.

Результатом явились существенные указания, касающиеся стратегии нападающих. Удалось доказать, что оптимальная стратегия в выигрыше чемпионата по футболу может включать и такой вариант, как поражение в отдельных матчах. Такая ситуация может возникать, когда команда, уже обеспечившая себе место в высшей лиге, должна провести еще одну встречу в своей (низшей) лиге. Однако, в случае победы ей пришлось бы в первом туре высшей лиги встретиться с весьма сильным противником, в случае проигрыша -- с более слабым.

Подобные ситуации могут быть описаны с помощью марковских цепей; анализ ситуаций позволяет выдать рекомендации о том, когда следует стремиться к победе, а когда смириться с поражением.

Нечто подобное авторы имели возможность наблюдать в ходе некоторых соревнований по теннису. Игрок предпочитал проигрыш (или отказ от игры) в первом круге с тем, чтобы попасть в «утешительную» часть турнира, включающую более слабых игроков, и где он мог бы с определенной гарантией набрать требуемое количество очков (например, для подтверждения разряда). Известны работы, которые посвящены методам формирования основного состава футбольной команды, определения числа запасных игроков, оптимизации возрастного состава, с определением циклов обновления состава команды и т. п.

Имеются рекомендации по созданию оптимальной программы еженедельных тренировок для пятиборцев. Построенная модель включала в качестве целевой функции линейную зависимость от результатов в каждом виде пятиборья. В качестве ограничений фигурировали также линейные зависимости, среди которых -- ограничение на общее время (в течение недели) тренировок спортсмена по всем пяти видам спорта; на объем скоростных тренировок -- он не может быть меньше объема тренировок на выносливость; на объем тренировок по общей физической подготовке -- он должен превышать объем тренировок по отработке техники и т. п. Возникшая модель анализировалась методами линейного программирования.

Существует математическая модель соревнования по подъему штанги. Нарочно упрощенная модель предполагала, что каждый из спортсменов имеет право попытаться лишь один раз взять вес и лишь один раз пропустить подход к очередному (или начальному) весу. В рамках этой модели выявились оптимальные стратегии участников соревнований. Аналогичным методом может быть проанализирована ситуация, фактически имеющая место в соревнованиях, когда каждый участник получает право на три попытки поднять штангу.

Примерно теми же методами можно изучить ситуацию, возникающую в соревнованиях по прыжкам в высоту и прыжкам с шестом, в которых каждый из участников имеет право:

а) начать прыжки с любой высоты, но не меньшей, чем фиксированная «квалификационная»;

б) сделать три попытки для преодоления каждой следующей установленной высоты.

Преодолев некоторую «начальную» высоту (он ее выбирает сам), спортсмен просит поднять планку и т. д. Ему засчитывается наибольшая из преодоленных высот, без учета предшествующих попыток. Если спортсмен начинает выступление с большей начальной высоты, то он экономит силы, и вероятность взятия следующей высоты увеличивается. Однако в случае неудачной попытки его результат считается нулевым. Имеется возможность оценить в вероятностных терминах ожидаемый результат спортсмена в зависимости от начальной высоты и выдать некоторые рекомендации относительно оптимальной начальной высоты.

Обобщая все вышесказанное можно сделать вывод, что математическая статистика играет огромную роль в анализе данных игр, физической форме спортсменов, математические модели помогают оптимально распределять соревновательный процесс, не затягивая соревнования и давая возможность спортсменам и тренерам оптимально спланировать выступления спортсмена на играх.



3. Закономерности математики в спорте

Немало интересных закономерностей математики обнаружено в спорте. В числе прочего, эти закономерности, объяснили почему левши имеют преимущество при игре в бейсбол, вывели связь между длиной пятки и спринтерскими качествами спортсмена, определили идеальную форму шара для гольфа и разработали наиболее эффективную тактику удара клюшкой.

3.1 Ученые связали длину пятки со спринтерскими качествами

Группа исследователей установила, что спринтерские качества спортсмена зависят от длины его пятки. В своей работе, опубликованной в журнале The Journal of Experimental Biology, ученые показали, что чем меньше расстояние между лодыжкой и ахилловым сухожилием, тем эффективнее используется энергия при беге.

Коротко основные выводы работы приводит журнал New Scientist. Ахиллово сухожилие расположено на задней стороне лодыжки и соединяет мышцы икры с пяткой. Исследователи предположили, что эффективность использования энергии при беге зависит от того, сколько энергии может быть запасено в сухожилии. Когда нога бегуна ударяется об землю, сухожилие сокращается, запасая энергию, которая высвобождается при подъеме ноги от поверхности.

Используя математическую модель ноги, ученые показали, что количество запасаемой энергии в первую очередь зависит не от механических свойств сухожилия, а от расстояния от лодыжки до сухожилия. Чем оно меньше, тем меньше энергии требуется спортсмену для того, чтобы бежать с той же скоростью.

Чтобы подтвердить свое предположение, авторы работы изучили физические характеристики 15 профессиональных бегунов. Исследователи измеряли расстояние от лодыжки до ахиллова сухожилия, а затем определяли уровень потребления энергии спортсменами при беге на беговой дорожке со скоростью 16 километров в час. Результаты показали, что чем меньше была "пятка" бегуна, тем меньше кислорода его организм поглощал во время эксперимента. То есть, спортсмены с "маленьким размером" более эффективно использовали энергию.

Исследование:

Таким образом, посмотрев на данные таблицы, мы можем сказать: «Спринтерские качества зависят от длины пятки».

3.2 Ученые доказали преимущества левшей при игре в бейсбол

Левши имеют преимущество при игре в бейсбол. Такое заключение сделали американские ученые после обработки статистических данных об игроках и анализа правил этой игры. Пресс-релиз их работы опубликован на сайте Университета Вашингтона в Сент-Луисе.

Ведущая левая рука дает преимущества как игроку, кидающему мяч (питчер), так и тому, кто его отбивает (бэттер). Так, если и питчер и бэттер - правши, то последнему для того чтобы отбить мяч необходимо следить за ним глазами, так как мяч появляется из-за левого плеча бэттера. Когда отбивающий - левша, он видит мяч, брошенный питчером-правшой, гораздо лучше, так как тот летит прямо на него. По правилам бейсбола, после того как бэттер отбил мяч, он должен бежать на так называемые базы - определенные участки поля, где расположены подушки, до которых бэттер должен дотронуться. Непосредственно после своего удара он бежит на первую базу.

Как утверждает David Peters из Университета Вашингтона, если бэттер правша, то после удара по мячу он разворачивается по направлению к третьей базе. Для того чтобы бежать к первой, он должен поменять свое положение. Движущая сила удара бэттера-левши разворачивает его как раз к первой базе. Peters и коллеги подсчитали, что выигрыш во времени для бэттера-левши составляет около одной шестой секунды. Преимущество питчера-левши заключается в следующем: вовремя броска он видит бегущих игроков не через плечо, а прямо. Питчер должен видеть игроков противоположной команды, так как они могут попытаться украсть базу - перебежать на следующую базу в момент подачи. Чтобы не допустить "воровства", питчер должен кинуть мяч игроку из своей команды, стоящему на базе.

Косвенным доказательством правомерности теории американских ученых может служить статистика. Так, левой рукой как основной пользуются около 10 процентов жителей Земли. В то же время, среди бейсболистов процент левшей существенно выше - около 25 процентов

3.3 Математика и атлетика

В данном виде спорта, крайне важны арифметические расчеты при разбеге прыгуна в длину для максимально четкого попадания «шиповкой» на планку отталкивания.

Так же крайне важным арифметическим попаданием является степень упругости шеста у прыгунов в высоту.

3.4 Математика и шахматы

У математики и у шахмат много родственного. Выдающийся математик Г. Харди, проводя параллель между этими видами человеческой деятельности, заметил, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы - это как бы насвистывание математических мелодий. Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами. Шахматные фигуры, доска и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль в детстве был потрясен доказательством теоремы, которую нерадивые школьники произносят так: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Нарисуем на шахматной доске квадрат. Доска разбивается на пять частей - сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Здесь те же четыре треугольника, а вместо одного квадрата уже два, но меньшего размера. Треугольники на обоих рисунках одни и те же, а, значит, их площади равны. Следовательно, равную площадь занимают и оставшиеся части доски: на первом рисунке один квадрат, на втором - два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие - на его катетах, получаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3.5 Математика и лыжи

При планировании тренировочного процесса, в обязательном порядке производится математический расчет различных видов тренировок. Не проводя математического моделирования той или иной тренировки, нельзя давать нагрузку спортсмену, так как в процессе учитываются: рост, вес, возраст, частота сердечных сокращений в минуту, показатели артериального давления, степень подготовленности спортсменов и многое другое. Только правильно спланированный и примененный тренировочный план не наносит вреда здоровью спортсмена и позволяет им приобрести хорошую физическую форму и добиться значимых спортивных результатов.



4. Прыжки с трамплина

Достижения лыжников-прыгунов на состязаниях любого ранга, будь то всесоюзные или международные соревнования, первенства мира или олимпийские игры, предопределены всей историей прыжков на лыжах творческим трудом ученых, тренеров, самих спортсменов. Неоднократное низвержение «законодателей стиля», устоявшихся взглядов на «каноны» техники всегда знаменовало собой «новый» этап, который тут же становился "пройденным", в развитии спорта. Постоянное усовершенствование спортивной техники, модернизация спортивных сооружений (профилей трамплинов) - вот основные условия высоких достижений в прыжках на лыжах.

Этот вид спорта - прыжки на лыжах с трамплина - появился на свете в конце XIX века в Скандинавских странах и на севере России. Это один из "молодых" видов спорта, рожденных уже в эру научно-технической революции. Нельзя не заметить и то, что состязания прыгунов представляют смертельную угрозу для новичка. Кроме того, прыжки на лыжах с трамплина связаны не только с силой мускулов, реакцией и удачей, но и с тонким расчетом, основанным на знании физических законов природы и возможностей человека. Учитывая все это, можно ожидать, что этот вид спорта будет нуждаться в поддержке со стороны науки.

Первые работы, посвященные прыжкам на лыжах относятся к 1924 году. Их автор - норвежец Р. Штрауман - и прыгун Тулин Тамс известны в спортивном мире, как создатели "норвежского стиля" прыжков с трамплина. Этот год ознаменовал приход на спортивный Олимп норвежских прыгунов, которые занимали призовые места чуть ли не до середины 50-х годов. К 1954 году относятся научные изыскания, результатом которых стал "финский стиль", впервые продемонстрированный на Олимпийских играх прыгуном Тауно Луиро. К концу 50-х относятся работы советских ученых Андреева В.А., Ниремберга Г.Р., Химичева М.А. и Нагорного В.Э. и таких прыгунов как Н. Каменский, К. Цакадзе, Н. Шамов. В начале 60-х спортивные победы достаются спортсменам из ГДР, за которыми несомненно тоже стоит коллектив тренеров и ученых. К 1969 году относится феноменальное событие в истории прыжков на лыжах с трамплина. Во время соревнований «Неделя полетов» в г. Планица (Югославия) предыдущий мировой рекорд - 141 метр - был побит шесть раз. Новым мировым рекордом стал прыжок на 165 метров.

Этот успех всколыхнул волну новых научных исследований во всех странах. В конце 80-х - начале 90-х годов на спортивной арене появился V-стиль, с которым связаны новые успехи и достижения.

Каждый стиль - это своя техника прыжка, опирающаяся на научный опыт. Хочется надеяться, что данная работа послужит если не еще одной ступенькой в этом восхождении, то хотя бы заделом для будущей работы, приносящей реально значимые для российских спортсменов плоды.

4.1 Геометрические элементы трамплинов

Трамплины создаются под определенную дальность полета прыгунов, которую вычисляют как расстояние от точки старта до точки приземления по склону. Трамплины делятся по дальности на 5 категорий:

маленькие трамплины 20-45 м

средние трамплины 50-70 м

нормальные трамплины 75-90 м

большие трамплины 105-120 м

трамплины для полетов 145-185 м

Соревнования в России проводятся, как правило, на больших трамплинах, а международные соревнования - на трамплинах для полетов. Для того, чтобы лыжник, идущий на рекорд, не разбился, улетев за пределы склона приземления или не долетев до него, существуют специальные формулы и нормы для расчета геометрических параметров трамплинов.

Рис. 1. Основные геометрические элементы трамплина

Трамплин состоит из участка для разгона и так называемого стола отрыва, с которого лыжники уходят в свободный полет. Стол отрыва наклонен к горизонтали под небольшим отрицательным углом, обычно от -6О до -12О. Здесь собственно трамплин заканчивается, а все, что дальше, называется горой приземления или трамплинной горой. Высота стола отрыва над склоном горы приземления обычно обозначается  и составляет от 2% до 4% от максимальной дальности, обозначаемой . Трамплинная гора состоит из трех участков: участка необработанного склона длиной  и шириной , участка приземления - прямого участка склона, составляющего с горизонталью отрицательный угол , равный согласно принятым нормам от -25О до -40О, и участка торможения. Участок торможения как правило имеет профиль, плавно закругляющийся вверх. Расстояние по горизонтали от канта отрыва - крайней точки стола отрыва - до точки максимальной дальности обозначается . Этой буквой обозначается также критическая точка - конец участка приземления.

4.2 Собственно концептуальная постановка

Кратко цель вопроса звучит так: "как прыгнуть, чтобы улететь подальше и не разбиться?" Изменяя свою позицию во время отрыва, относительное положение ног, рук и корпуса, атлет может контролировать траекторию своего полета в воздухе, управляя углом атаки. Задача формулируется следующим образом: как должен лыжник управлять своим телом, чтобы приземлиться настолько далеко, насколько возможно, и при этом иметь приемлемую посадочную скорость.

Если старт и полет проходят нормально, то практически невозможно приземлиться раньше начала склона приземления. Но существует другая опасность. Лыжник оканчивает полет с большой скоростью, которую необходимо погасить. Для этого существует слегка закругляющийся участок торможения. Но если прыгун перелетает критическую точку, то он серьезно рискует, так как дальше склон закругляется вверх, и угол, под которым его траектория подходит к склону, будет составлять уже не 5-10О, а значительно больше. Поэтому приземление раньше или позже специально созданного для этого участка приземления в первом случае невозможно, а во втором - недопустимо. Параллельная склону составляющая скорости гасится при дальнейшем движении лыжника по закруглённому склону. Наибольшую опасность при приземлении представляет собой составляющая скорости, перпендикулярная склону, так как при слишком большой нормальной скорости кроме больших ударных нагрузок также есть риск упасть - при том, что в момент приземления лыжник имеет скорость в несколько десятков км/ч. Поэтому нормальная к склону составляющая посадочной скорости не должна превышать 7 м/с, а желательно должна составлять 3-5 м/с.

4.3 Математическая постановка задачи

Ось абсцисс направлена в сторону полета лыжников параллельно горизонту, ось ординат - вверх через край стола отрыва, называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точки старта и ордината критической точки  - конца участка приземления - равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центр масс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полета можно рассматривать как двухмерную.

Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияют следующие факторы:

- кинетический момент системы прыгун-лыжи относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс системы, в момент отрыва и в полете;

- изменение момента инерции системы относительно той же оси в полете;

- различные активные и реактивные эффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.

Результаты многих исследований кинограмм доказывают относительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощает описание картины перемещений и скоростей системы прыгун - лыжи и позволяет использовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые в аэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение о неизменности позы лыжника в полете.

Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет, группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длится примерно 0.3 с, вторая - 0.8-0.9 с, третья - 0.3-0.6 с. Все остальное время поза лыжника практически не меняется - см. рис.2

Рис. 2. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка

(по оси абсцисс отложено отношение текущей дальности к полной дальности прыжка, по оси ординат - угол атаки туловища в градусах по результатам среднего прыжка).

Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательному движению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгуна рассмотрением движения его центра масс.

4.4 Уравнения движения

На прыгуна в полете действуют две основные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Разложим аэродинамическую силу на две составляющие - подъемную силу и силу лобового сопротивления (см. рис.3) - и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы лыжник - лыжи:

, (1)

где - сила тяжести;

- масса системы прыгун - лыжи;

- ускорение центра масс системы;

- ускорение свободного падения;

- подъемная сила;

В подобных случаях под набегающим потоком воздуха понимается скорость воздуха относительно системы лыжник - лыжи. При старых техниках прыжка (см. рис. 3), когда корпус лыжника находился на относительно большом расстоянии от лыж, необходимо было рассматривать отдельно угол атаки корпуса, ног, рук и лыж, но при современных техниках и особенно при так называемом V-стиле, когда прыгун раздвигает лыжи и ложится между ними, становясь как бы треугольным крылом, можно приближенно считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости и рассматривать один угол атаки - угол атаки всей системы в целом.

Вернемся к началу этой главы. Для силы лобового сопротивления (2) и подъемной силы (3) существуют и другие выражения:

,     (9)

,    (10)

где - плотность воздуха,  - коэффициент силы лобового сопротивления, - коэффициент подъемной силы, - площадь миделя (площадь сечения системы прыгун - лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающему потоку воздуха). Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости, то площадь миделя при заданном угле атаки определяется следующим образом:, где  - площадь миделя при угле атаки 900. Угол атаки складывается из угла между горизонталью и скоростью и угла между горизонталью и лыжами (рис. 4).

Система дифференциальных уравнений (7) с аэродинамическими коэффициентами, вычисляемыми в каждый момент времени по формулам (14), (15), образует замкнутую систему уравнений. Если к ней добавить начальные условия (8), данная задача будет являться задачей Коши.

В заключение приводится сравнение реальных аэродинамических коэффициентов прыгунов 60-х и нашей оценки. Кривая А на рис. 6 изображает полученную нами зависимость между коэффициентом подъемной силы и коэффициентом лобового сопротивления, а кривая В - аналогичную зависимость, полученную из экспериментальных зависимостей аэродинамических коэффициентов от угла атаки [1]. Видно, что вид зависимости коэффициентов друг от друга слабо отличается, и коэффициент подъемной силы в нашей работе выше, чем в

Рис. 6. Зависимость коэффициента подъемной силы от коэффициента сопротивления с углом атаки в качестве параметра (кривая А - наша оценка, кривая В - эксперименты в аэродинамической трубе с моделями прыгунов, использующих старую технику прыжка)

Рис. 7. Зависимость коэффициентов силы лобового сопротивления и подъемной силы от угла атаки

экспериментах тридцатилетней давности. Это хорошо согласуется с тем фактом, что за прошедшие годы прыгуны научились развивать большую подъемную силу.

- сила лобового сопротивления.

Рис. 3. Система координат и основные силы, действующие на прыгуна в полете.

Сила лобового сопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости и пропорциональна квадрату модуля скорости: , (2)

а подъемная сила направлена по нормали к траектории и по модулю равна: , (3)

где коэффициент [6]. Коэффициент определяется предельной скоростью системы лыжник - лыжи :

. (4)

Предельная скорость - это скорость установившегося свободного падения тела в воздухе.

Спроецировав (1) на оси координат, путем несложных преобразований приходим к дифференциальным уравнениям движения:

(5)

Понизим порядок системы:

(6)

Следует также помнить, что воздушная среда находится в движении, в воздухе вокруг трамплинной горы задано векторное поле скоростей ветра. То есть все предыдущие уравнения записаны для относительных скоростей и их следует переписать для абсолютных скоростей.

(7)

Где - горизонтальная, а  - вертикальная составляющая скорости ветра.

Начальные условия:

    (8)

Очевидно, что в общем случае задача если и решается аналитически, то очень сложно, поэтому целесообразнее решать ее численно. Критерием окончания расчета будет служить выполнение одного из следующих условий:

пересечение траектории со склоном горы;

вылет прыгуна за пределы участка приземления:.

Рассмотрим коэффициенты  и. В простейшей модели можно положить их постоянными, как сделано, например, в работе [4]. Однако в действительности эти коэффициенты зависят от ориентации лыжника в воздухе и от его позы. Но у нас есть достаточно оснований считать позу прыгуна постоянной в полете, такое допущение сделано не только в этой работе, но и в работах [2 - 4]. Ориентацию же лыжника в пространстве определяет угол атаки системы прыгун-лыжи, то есть угол между плоскостью системы и скоростью набегающего потока воздуха. Здесь и далее в

Рис. 4. Определение угла атаки системы лыжник-лыжи

(- угол между лыжами и горизонталью, - угол между скоростью и горизонталью, - угол атаки).

Как видно из кинограмм прыжков, приводимых, например, в [1], и из наблюдений за прыгунами, угол между лыжами и горизонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол между скоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (2) и (9), можно записать:

. (11)

з рис. 4 видно, что

  . (12)

Аэродинамические коэффициенты  и  можно найти из опытов в аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не располагаем этими данными для современных техник прыжка, поэтому в данной работе используется лишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим лыжника и окружающий его воздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ, состоящий из круглых упругих частичек, то согласно теории удара аэродинамическая сила будет направлена по нормали к поверхности лыж (см. рис. 5).

Рис. 5. Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеального газа

(- полная аэродинамическая сила, составляющими которой являются сила лобового сопротивления и подъемная сила)

Угол между скоростью и лыжами - это угол атаки . То есть коэффициент

(13)

Окончательно имеем следующие выражения для  и :

       (14)

где

       (15)

В формуле (14)  - это угол отрыва, то есть угол, под которым траектория наклонена к горизонтали в начальный момент времени. Минус поставлен потому, что . Под  понимается предельная скорость системы лыжник-лыжи в момент отрыва (в начальный момент времени).



Заключение

Математика окружает нас повсюду. Мы сталкиваемся с ней изо дня в день, не подозревая об этом.



Список литературы

1. Волков В. М., Филин В. П. Спортивный отбор. - М.: Физкультура и спорт, 2008, 175с.

2. Зачем и как бегать? - метод. рекоменд. - Сочи. 2007, 16с.

3. Липилина В.В.; Поиски красоты и прикладные задачи математики в искусстве. - М.: «Наука», 2009, 215 с.

4. Порублев Илья Николаевич, Ставровский Андрей Борисович Алгоритмы и программы. Решение олимпиадных задач. -- М.: «Вильямс», 2007, 480 с.

5. Ресурсы Интернета.

6. Садовский Л.Е., Садовский А.Л. Математика и спорт. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 192 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 44).

Размещено на Allbest.ru