Рассмотрим пирамидальную трехуровневую властную иерархию. Ассоциируя данную иерархию с существующей в России системой, будем называть верхнюю инстанцию федеральным центром, инстанции среднего уровня - регионами, низшего уровня - муниципалитетами.

При построении модели, будем учитывать следующие особенности системы:

1) каждый муниципалитет относится к определенному региону; при этом вертикальные потоки власти "регион-муниципалитет" имеют место только между регионом и входящими в него муниципалитетами;

2) муниципалитеты и регионы географически располагаются друг относительно друга определенным образом (некоторые являются соседями, имеющими общую границу, некоторые значительно удалены друг от друга и т.п.);

3) в различных муниципалитетах и регионах функции реакции общества могут отличаться;

Несколько упрощая географические реалии, в качестве поля данного автомата примем ортогональную сетку. Таким образом, каждый муниципалитет изображается квадратной клеткой, а регион - связным множеством конечного количества таких клеток. Для вычислительных экспериментов (см. ниже) использовалось поле размерности 10 на 10 клеток; таким образом, "страна" состояла из 100 муниципалитетов, объединенных в некоторое количество регионов, как правило, различающихся по площади. Пример подобной конфигурации приведен на рис. 1.

Окрестность клетки в данной модели может быть задана как в соответствии с правилом фон Неймана (и состоять из четырех клеток, имеющих с данной общую сторону, обозначаемых North, East, South, West; данная система обозначений является стандартной и никак не связана с географическими аналогиями в системе "власть-общество"), так и с правилом Мура (восемь клеток, имеющих хотя бы общую вершину).

Каждая клетка (муниципалитет) характеризуется следующими параметрами.

1. Номер региона, к которому относится данный муниципалитет (см. рис. 1).

2. Набор параметров, характеризующих реакцию общества. В данном варианте модели принято предложенное в [9] положение о том, что общественное сознание имеет амбивалентный (биполярный) характер, при котором существуют два устойчивых распределения власти. Одно из них отличается большим (), а другое - меньшим () количеством власти у соответствующей инстанции. Функция реакции общества тогда имеет вид:

(1)

где параметры такие, что, характеризуют конкретную инстанцию, в данном случае - конкретный муниципалитет.

3. Прочие параметры, которые могут быть введены в модель при ее усложнении: уровень коррупции в данном муниципалитете, объемы производства различных видов продукции, показатели качества жизни в муниципалитете и т.д. В настоящей работе эти параметры не рассматриваются.

Время в данной модели предполагается дискретным. Переменная, p t характеризующая каждый конкретный муниципалитет в каждый момент времени, имеет смысл количества власти, реализуемого администрацией данного муниципалитета.

Отдельно остановимся на номере региона, к которому относится данный муниципалитет. Этот атрибут приписывает данной клетке одного псевдососеда - клетку, характеризующую состояние региона, к которому относится данный муниципалитет. Также необходима и клетка, характеризующая состояние всей системы в целом - она будет являться псевдососедом для всех клеток-регионов. Следовательно, при моделировании системы с m регионами, множество клеток данного автомата следует пополнить m+1 клеткой, которые не находятся на поле клеточного автомата.

Каждая из этих клеток (каждый регион и федеральный центр) также характеризуется своими значениями параметров и переменной p (t) имеющей смысл количества власти, реализуемого соответствующей администрацией.

При моделировании реальной государственной системы соответствие между клетками-муниципалитетами и клетками-регионами может быть задано в виде приближенного изображения реального географической конфигурации этой системы. Если же речь идет о модельных расчетах абстрактных систем, то соответствие между муниципалитетами и регионами может быть генерировано при помощи вспомогательного клеточного автомата.

Для этой цели используем клеточный автомат "копируй со случайного соседа" [10]. Используем то же самое поле и ту же самую окрестность, что и в основном автомате, а множество состояний клетки составят множество номеров регионов и число 0, которое будет означать то, что муниципалитет не приписан к конкретному региону. Затем разместим в ячейках, выбранных случайным образом, номера регионов и запустим процедуру автомата, повторяя ее до тех пор, пока на поле существуют клетки в состоянии 0. В итоге получим конфигурацию, в которой каждой клетке поставлен в соответствие регион таким образом, чтобы к одному региону относились клетки, связанные транзитивным замыканием отношения соседства (то есть, чтобы территория региона была целостной).

Правила вспомогательного клеточного автомата "копируй со случайного соседа" (для окрестности фон Неймана) приведены ниже в виде псевдокода.

if Center=0 then a=Random (0, 1)

if a<0,25 then Center `=North

if a?0,25 and a<0,5 then Center `=East

if a?0,5 and a<0,75 then Center `= West

if a?0,75 then Center `= South

end if

Здесь и далее штрихом обозначено состояние клетки на следующем шаге. Пример построения системы, в которой 100 муниципалитетов распределены по 8 регионам, приведен на рис. 1.

Распределение муниципалитетов по регионам завершает построение "страны". Таким образом, построение модели завершено в части описания реакции общества на текущее распределение власти, а также "географии".

Перейдем к описанию динамики распределения власти в системе.

Положим экзогенно заданными начальные количества власти, реализуемые всеми инстанциями (муниципальными, региональными, федеральной). Как известно [1], в модели "власть-общество" динамика определяется двумя факторами: перераспределением власти между инстанциями и влиянием гражданского общества. В детерминированной модели этим факторам соответствуют различные слагаемые в дифференциальных уравнениях. В модели на основе клеточного автомата это приводит к тому, что каждый шаг динамики автомата состоит из следующих двух этапов. Этап 1. Изменение объема власти инстанции ввиду потоков власти между соседними иерархическими уровнями описывается следующим алгоритмом.

Здесь Region (Center) обозначает псевдососеда клетки, описывающего регион, к которому относится данный муниципалитет, а функция Number (Region (Center)) возвращает число клеток, для которого данный регион является псевдососедом (то есть число муниципалитетов, относящихся к данному региону). Коэффициент k имеет тот же смысл, что и соответствующий коэффициент из детерминированной модели и характеризует интенсивность обмена властью между соседними инстанциями (так, в детерминированной модели с непрерывной иерархией, имеющей вид уравнения в частных производных параболического типа, данный коэффициент аналогичен коэффициенту теплопроводности).

Рассмотрим подробнее особенности этого алгоритма. Если количество власти на региональном уровне превышает количество власти на уровне муниципалитета на величину d, то с вероятностью (где N - число муниципалитетов в составе данного региона) количество власти на региональном уровне уменьшается на 1, а с вероятностью kd увеличивается количество власти на уровне муниципалитета. Таким образом, хотя при каждом отдельном применении алгоритма суммарное количество власти может не сохраняться, однако среднее изменение суммарного количества власти в рамках одного региона после применения алгоритма ко всем клеткам региона равно 0. Если количество власти на региональном уровне меньше количества власти на уровне муниципалитета, то происходит точно такой же процесс перетекания в обратном направлении.

Следует отметить, что в этом и всех последующих алгоритмах принято, что если расчетная величина вероятности события превышает 1, то событие полагается достоверным.

Алгоритм перетекания власти между федеральным и региональным уровнями аналогичен, но вместо числа муниципалитетов используется число регионов.

Этап 2. Изменение объема власти инстанций за счет влияния общества моделируется следующим образом. Вычисляется функция реакции общества:

(2)

Вероятность изменения состояния клетки r на любом уровне иерархии принимается равной

(3)

В связи с тем, что функция реакции общества носит кубический характер, в случае, если ее значение больше нуля, оно сравнивается с ее значением (Fmax) в локальном максимуме, также положительным, а если меньше нуля - со значением (Fmin) в минимуме, каковое отрицательно. Происходящее с этой вероятностью изменение равно sign F (p), то есть объем власти в клетке меняется на единицу с вероятностью тем большей, чем больше значение функции F, причем в ту сторону, на которую указывает знак функции F. Коэффициент имеет тот же смысл, что и соответствующий коэффициент из детерминированной модели (см. уравнение (1)) и характеризует степень влияния реакции общества на изменение количества власти. Применение формулы (3) требует предварительного вычисления величин. Для этого находим точки экстремумов функции (2); соответствующие значения p равны:

Затем находим наибольшее или наименьшее значение функции в этих точках.

Алгоритм изменения количества власти за счет влияния общества, таким образом, имеет следующий вид:

Алгоритмы изменения объема власти на федеральном и региональном уровнях аналогичны.

Таким образом, в соответствии с алгоритмами Этапа 1 и Этапа 2, количество власти любой инстанции изменяется единичными "квантами". Вследствие этого, если в начальный момент времени количество власти каждой инстанции является целым числом, то и в любой следующий момент времени количество власти каждой инстанции будет целым числом.

Следует отметить также, что в изложенной базовой модели количество власти в муниципалитете не зависит от соседних муниципалитетов (поэтому, в частности, выше не конкретизировался вид окрестности клетки: фон Неймана либо Мура). Такая зависимость предполагается для дополнительных переменных, таких, как объем производства или уровень коррупции в 10 муниципалитете, регионе или стране в целом. Эти переменные предполагается ввести при развитии модели, предполагающем разработку конкретных имитационных систем, описывающих анализ динамики власти с учетом упомянутых дополнительных параметров.

Вычислительные эксперименты с построенной моделью