Сравнение моделей "тяни-толкай"

Кафедра: Социология и Обществознание

Реферат

на тему: Сравнение моделей «тяни-толкай»

Москва, 2008 г.

Сравнение моделей «тяни-толкай»

Расчёты, проводимые с помощью моделей, как со сходством, так и с различием (главы 12 и 13), показали, что обе модели тяни-толкай не вполне хорошо отражают результаты действительного движения людей между произвольными группами. Более того, оказалось, что для миграции, когда группы - это районы проживания людей или даже разные страны, модель со сходством даёт лучшие результаты, чем модель с различием. Для групп занятых в различных отраслях промышленности или различных сферах деятельности народного хозяйства, наоборот, лучше подходит модель с различием. Одна из содержательных причин, возможно, состоит в том, что при изменении места приложения труда люди могут даже приближаться к месту проживания. Всё это будет продемонстрировано далее.

Однако задача настоящей главы совсем в другом - привести метод исследования качества модели типа тяни-толкай и со сходством и с различием. В данном случае количество параметров модели мало, их всего k(k-1)/2+2k по сравнению с k² - числом потоков между k группами. Параметров модели тяни-толкай со сходством и с различием хватает только при двух и трёх группах, чтобы отразить численности потоков перешедших и количества людей в начале и конце базового периода. Для большого числа групп, что ближе к реальности, малое количество параметров не позволяет «размазать» случайности, которые присущи наблюдаемым числам переходов людей между группами, по многим характеристикам, что приводит к «умножению» влияния этих случайностей на параметры.

1. Характеристики подвижности. Рассмотрим k групп, между которыми происходит движение, и пронумеруем их числами i (i=1,2,,k). Обозначим через численность группы , поток - среднее число перешедших индивидуумов из группы i в группу j за единицу времени (обычно - это год) - через n_ij.

Так как, перемещаясь, люди учитывают все факторы, то возникает идея включить в модель все факторы подвижности. Возникли микро подходы к объяснению движения людей. Например, широко известно соотношение, определяющее интенсивность перехода отдельного человека из группы i с условиями x в группу j с условиями y:

_ij=F(x,y,d_ij). (1)

Функция F(x,y,d_ij) характеризуется следующими свойствами:

F/x<0, F/y>0, F/d_ij<0,

которыми обладают и все приведенные ранее функции в главах 12 и 13. Макро подход отличается от микро подхода обычно лишь тем, что в функцию (1), подставляются не индивидуальные характеристики отдельного человека: его заработок, жилье и т.д., а их средние уровни в группе. Самым слабым звеном такого подхода представляется как раз его общность. Соотношение (1) не даёт никаких указаний, кроме самых общих, относительно функции F, вид которой как раз и предстоит определить.

Обобщённая функция распределения, в которой использовались не только заработки, но и прочие блага, применялась в главах 12 и 13 для сравнения условий или качества жизни в разных группах. Так как качество жизни одной группы может быть не только сходным с качеством в другой, но также ещё и лучшим и худшим, пришлось строить модели не только со сходством условий, а и с их различием. Если сходство отражает симметрию, т.е. при А близком к Б, Б также будет близким к А, то различие должно менять знак. «Расстояние» становится направленным, т.е. либо А лучше Б, либо Б лучше А. Считается, что и сходство и различие представляют собой зависимость от всех окружающих человека условий.

Однако при учёте всех условий или факторов появляется новая проблема - факторов любой экономист или социолог может привести так много, что уравнения связи наблюдаемых интенсивностей переходов и значений заданных факторов, даже пренебрегая невозможностью измерения некоторых из них, могут оказаться противоречивыми. Таким образом, нельзя мелочиться, а следует вводить лишь крупные факторы подвижности, которые имеют содержательную трактовку для любой экономики. Среди таких факторов находятся спрос и предложение рабочей силы, привлекательность и близость различных групп людей. Все они определяют подвижность людей. Остаются показать, что модель подвижности с такими параметрами идентифицируема.

После выяснения невозможности включения заработков в сходство групп были рассмотрены модели движения населения, где вместо расстояния входило не сходство (r_ij=1/d_ij), а различие q_ij, т.е. симметрия заменилась асимметрией. Появилась модель

_ij=c_ib_ija_j, (2)

которая представляет собой обычную тяни-толкай модель с заменой b_ij=r_ij=1/d_ij на b_ij=q_ij. Таким образом, модель (2) представляет собой единую запись для двух разных моделей - со сходством и с различием. Возникают вполне резонные вопросы. 1) В каких случаях применять каждую из них? 2) Как разграничить эти случаи? 3) Какая из моделей, наконец, лучше?

2. Выбор одной из двух моделей. В самом начале главы уже отмечалось, что следует учитывать иногда сходство, а иногда различие свойств групп. Далее идея выбора одной из двух описанных макро моделей будет подтверждена с помощью расчётов на данных о реальном движении людей. Однако для решения такой задачи следует научиться оценивать по данным об интенсивностях переходов порознь как сходство, так и различие для моделей со сходством и с различием. Но такой оценке мешают параметры, описывающие способность людей покинуть исходную группу и достичь желаемую. Поэтому возникает проблема оценки сходства r_ij или различия q_ij по интенсивностям переходов _ij, независимых от a_j и c_i.

Допустим, что такая задача решена, т.е. найдены такие зависимости r_ij или q_ij только от _ij. В таком случае проведём исключение из интенсивностей переходов любой из двух моделей (2) теперь уже известных либо сходства, либо различия, найденных без помощи a_j и c_i. Тогда остатки при справедливости модели будут зависеть только от двух мешающих параметров a_j и c_i, а малое отличие интенсивностей переходов от произведения a_j и c_i должна дать ответ на вопрос, какая из моделей верна. Если верна модель со сходством и оно исключено, то значительные по величине остатки приведут к модели, в которой нужно учитывать различие. Точно так же, положив q_ij=1, поступим с моделью с различием. Если после удаления различия и проведения уже описанной процедуры остатки окажутся значительными, то нужно учитывать модель со сходством. Выбор модели в итоге будет проведён.

Пусть выбрана модификация модели тяни-толкай (2), в которой играет роль лишь различие, а влияние сходства столь незначительно, что его можно исключить из рассмотрения. В этом случае будем считать, что все интенсивности переходов _ij из группы i в j заданы и равны c_i q_ij a_j, где q_ij+q_ji=1, как везде ранее. Из последнего равенства следует, что

q_ii=q_jj=1/2. (*)

Если же выбрана модификация модели, в которой играет роль лишь сходство, а влияние различия столь незначительно, что им можно пренебречь, то интенсивности переходов _ij заданы и равны c_i r_ij a_j, где r_ij=r_ji. Для определённости, которая не следует, конечно, из последнего равенства, допустим ещё, что

r_ii=r_jj=1. (**)

3. Оценка параметров различия. Построим вначале оценку q_ij - значения различия (или коэффициента привлекательности группы j для людей группы i) на основе заданной информации об интенсивности межгрупповых переходов без знания способности покинуть c_i (предложения человеческих ресурсов из группы i) и доступности a_j (спроса в группе j).

Зафиксируем группы i и j и, воспользовавшись полученными из (2) при участии (*) соотношениями

1') c_ia_j=_ij/q_ij,

2') c_ja_i=_ji/q_ji,

3') c_ia_i=2_ii,

4') c_ja_j=2_jj,

5') q_ij+q_ji=1,

запишем 5') с учётом равенств 1') и 2') в виде:

.

После приведения дроби к общему знаменателю, заменим из 1') и 2'), во-первых, в числителе c_ia_j на _ij/q_ij и c_ia_i на _ji/q_ji. Во-вторых, из 3') и 4') в знаменателе с учетом (*), т.е. при q_ii=q_jj=0,5,подставим вместо c_ia_i величину 2q_ii, а вместо c_ja_j - 2q_jj. Наконец, из 5') после замены q_ji на 1-q_ij, имеем:

,

т.е. квадратное уравнение



относительно неизвестного различия q_ij. В этом случае решением этого уравнения будут, например, величины

, (3)

которые, как легко видно, не зависят от неизвестных параметров выхода из исходной группы c_i и доступности новой группы a_j.

4. Оценка параметров сходства. Совершенно аналогично для модели (2) со сходством, когда b_ij=r_ij, а r_ij=1 в силу предположения (**). Как и ранее зафиксируем группы i и j и, воспользовавшись полученными из (2) при участии (**) соотношениями

1”) c_ia_j=_ij/r_ij,

2”) c_ja_i=_ji/r_ji,

3”) c_ia_i=_ii,

4”) c_ja_j=_jj,

5”) r_ij-r_ji=0,

запишем 5”) с учётом равенств 1”) и 2”) в виде:

.

После приведения дроби к общему знаменателю, заменим из 1”) и 2”), во-первых, в числителе c_ia_j на _ij/r_ij и c_ia_i на _ji/r_ji. Во-вторых, из 3”) и 4”) в знаменателе с учетом (**), т.е. при r_ii=r_jj=1, подставим вместо c_ia_i величину r_ii, а вместо c_ja_j - r_jj. Наконец, из 5”) после замены r_ji на r_ij, имеем:

,

т.е. квадратное уравнение

относительно неизвестного сходства r_ij. В этом случае величина параметра сходства имеет вид:

, (4)

который, как и ранее, не зависит от неизвестных параметров выхода из исходной группы c_i и доступности новой группы a_j.

5. Числовой пример. Статистические органы всех развитых стран, наблюдая миграцию, публикуют регулярно межрайонные потоки человеческих ресурсов, - данные о количестве переехавших из каждого района в любой другой за единицу времени (как правило, за год, хотя бывают и квартальные периоды), и численности всех районов. Довольно часто встречаются численности перешедших между группами занятости - отраслями народного хозяйства, а не группами, определяемыми местом жительства, как в первом случае. Реже публикуют данные о перемещениях между социальными группами, и уже совсем редко встречаются потоки людей между отдельными профессиями - число людей сменивших профессию за определённый период времени.

Все такие наблюдения позволяют получать эмпирические интенсивности переходов между группами, на основе которых делались представленные далее числовые примеры и выводы. Большинство данных, естественно, будут отечественными, о движении между республиками СССР, России (между регионами и округами), хотя будут встречаться и данные о миграции в других странах. Кроме того, будут данные и о переходах между отраслями народного хозяйства в Латвии и Эстонии.

В соответствии с идеей, изложенной в п.2, исключим из известной интенсивности переходов в соотношении (2) параметр различия, полученный в (3), т.е. вместо рассмотрим l=/q (индексы i и j - номера групп пока опущены, что не приводит к путанице). Здесь вместо b подставлен параметр различия q из (3) для модели с различием (или сходство - r из (4) для модели со сходством, т.е. l=/r) поэтому матрица из элементов l при справедливости модели - это произведение вектора-столбца c на вектор-строку a. Следовательно, все элементы l_ij не должны отличаться от c_ia_j, а L_ij=lnl_ij от lnс_i+lna_j=C_i+A_j.

Если измерять отличие квадратом разности, задача объяснения элементов L_ij с помощью суммы C_i+A_j сводится к хорошо известному методу наименьших квадратов. Очевидно, что задача сильно упрощается, если, не уменьшая общности, считать (см. задачу 3) _jA_j=0 и _iC_i=0. Однако в последнем случае L_ij=const+C_i+A_j и постоянная не зависит ни от исходной группы i, ни от группы попадания j.Подчеркнём, что при справедливости модели все отличия равны нулю, отсюда получаем и сумму квадратов (СК) отличий равной 0.

Основной источник отличий заключён в том, что сама модель (сейчас не важно с различием она или со сходством) не достаточно пригодна для описания процессов перехода людей между всеми группами. Однако другой источник отличий - ошибки округления, которых может и не быть, но даже если они и имеются, дадут очень малое отличие суммы квадратов от 0. Кстати, сравнение отличий от 0 сумм для модели с различием и со сходством позволяет сделать вывод в пользу той модели, для которой эта сумма меньше. Но что делать тогда, когда наименьшая из сумм достаточно велика?

Оставив в стороне вопрос о величине отличия, отметим только, что СК отклонений от общего среднего распадется на три суммы - первая - отклонения из-за влияния предложения (выхода из групп). Вторая сумма получается из-за воздействия спроса на человеческие ресурсы (входа в группы). Третья сумма, наконец, - это остатки, не объяснённые ни спросом, ни предложением, которая при справедливости модели должна быть либо равной 0, либо очень малой. Поэтому часто приводят не абсолютные отличия, а относительные - доли каждой из трёх сумм в общих отклонениях.

В таком случае, СК отклонений от постоянной величины - среднего значения исправленных интенсивностей потоков L (или l), считается равной 100%, а суммы квадратов, объясняющихся предложением из групп (фактор выхода - C_i) и спросом в группах (фактор входа или доступность A_j) в долях от этих 100%.

Замечание. Имеется несколько причин проводить расчёты после логарифмирования. Одна из них состоит в том, что результаты расчётов получаются более точными. Кроме того, имеется готовое математическое обеспечение для последнего представления, не говоря уже о том, что теоретически оно более обосновано, особенно в части представления результатов в виде процента объяснения разбросов, происходящих из разных источников.

В таблице 1 представлены результаты расчёта для нескольких эмпирических матриц интенсивностей переходов, в которых наиболее важной частью представляются необъяснимо большие остатки. Это - первое.

Таблица 1. Характеристики приближения межгрупповых потоков

Движение в России и Латвии	Вид модели и источник вариации
	с различием	со сходством
	выход	вход	остатки	выход	вход	остатки
СССР 73	22,1	35,8	42,1	32,7	4,6	62,7
миграция 96	27.7	33,7	38,6	32,9	4,50	62,6
миграция 97	32,5	28,0	39,5	26,2	10,1	63,7
миграция 98	33,0	37,4	29,6	32,0	4,19	61,7
миграция 99	28,4	35,5	36,1	33,0	5,37	61,7
отраслевое 73	11,8	35,8	52,4	13,6	22,7	63,7

Второе отличие от ожиданий заключено в том, что в модели со сходством в некоторых случаях очень мало влияние предложения (входа - доступности групп), чего не наблюдается для модели с различием. Но наиболее удивительно то, и это - третье, что оба недоразумения поддаются объяснению. К вопросу, что это может означать, вернёмся несколько позднее, а сейчас остановимся на самих недоразумениях.

Как можно объяснить, что спрос на человеческие ресурсы мал по сравнению с их предложением (модель со сходством)? В 90-х годах шёл переход на рыночное функционирование экономики, что привело при прежних технологиях, не говоря уже о внедрении новых, к падению производства, т.е. к падению спроса на рабочую силу. Казалось бы всё в порядке! Однако наблюдаются только осуществлённые переходы, т.е. большое предложение удовлетворяется малым спросом. Как такое может быть? Вспомним, что сравнивались интенсивности, а не потоки. В этом случае Большая интенсивность выхода из малых по численности районов (речь идёт о миграции в России) вполне может удовлетворяться малой интенсивностью входа в большие. Разве такого не было? Было. Опять всё в порядке!

Как можно объяснить, что спрос на человеческие ресурсы одинаков по сравнению с их предложением (модель с различием)? В последние годы 90-х шёл переход на рыночное функционирование экономики, но ожидаемого значительного роста безработицы не наблюдалось, хотя и было падение производства, не приведшее к падению спроса на рабочую силу. Как такое может быть? Но в то же время известна большая скрытая безработица. Казалось бы всё в порядке! Однако речь идёт о миграции в России, и наблюдаются только осуществлённые переходы. В этом случае, не говоря о выходе за рамки модели, выход из всех районов удовлетворялся входом в другие - пришла возможность попасть туда, куда хотелось, наступало равновесие. Опять всё в порядке!

Что же претит при объяснениях и интерпретациях такого рода? То, что истолковывается такое, о чём не желательно даже мыслить - совершенно противоположные обстоятельства. Есть ли необходимость в данном случае этим заниматься? Вспомним, что опущено самое главное - очень большой вес остатков, которых не должно быть вовсе. С толку сбил не только большой вес факторов спроса и предложения (выхода и входа), но и то обстоятельство, что модель типа «тяни-толкай» успешно использовалась с довольно давних пор.

6. Краткие выводы из расчётов. Расчёт для межотраслевого движения рабочей силы в Латвийской ССР за 1973 год, приведённый ранее, и для современной миграции в России (1996-99 годы) показали следующее.

Вариация остатков, которые не объясняется порознь учтённым только различием (сходством) групп, по-видимому, падает на не привлечённое одновременно сходство (различие) условий в разных группах. Их совместный анализ необходим;

Значительное влияние доступности (спроса на рабочую силу) на мобильность людей между отраслями народного хозяйства в Латвийской ССР свидетельствует о том, что рынок труда в СССР существовал всегда, правда, в особых формах, когда выход был свободен, а устройство, даже при потребности в кадрах, было всё-таки ограничено, как и везде в мире;

Современная миграция в России много больше подвержена влиянию рыночных условий, чем движение между отраслями в Латвийской ССР;

Задачи

1. Покажите, что выражение

₊

тождественно равно q_ij, т.е. при выполнении равенств q_ij+q_ji=1 и _ij=a_jq_ijc_i оно равно q_ij при любых a_i, c_j и q_ij больших 0.

2. Покажите, что выражение тождественно равно (r_ij)², т.е. при выполнении равенств r_ij=r_ji, r_ij=1 и _ij=a_jc_ir_ij оно равно (r_ij)² при любых a_i, c_j и r_ij больших 0.

3. Пусть _ij=c_ia_j для любых i и j. Покажите, что задачу вычисления c_i и a_j (задача i) можно свести к задаче _ij=Av_iu_j, если П_iv_i=1, а П_ju_j=1 (задача j). Найдите какую-либо связь для величин a_j и c_i с u_j и v_i. Чему равен параметр A, если решается вторая задача?

В условиях задачи 3 найдите и обоснуйте ответы на следующие вопросы.

4. Почему вторая задача (j) имеет единственное решение, а первая (i) - нет?

5. Является ли решение второй задачи (j) решением первой (i)?

6. Имеется ли отличие решения второй задачи j от её же решения после сведения её к линейной, т.е. после логарифмирования всех соотношений?

7. Можно ли найти для движения людей случай, когда первая задача истолковывается лучше второй, хотя математически они эквивалентны?

Справки и ссылки

Модель тяни-толкай применялась при решении вопросов миграции давно. Например, один из вариантов модели для миграции приведен для нескольких стран в книге [Weidlich]. Различие или направленное расстояние также не ново. Они под другими названиями встречались, например, в работах [Cowell, Dagum, Староверов (1978)].

Соотношения для вычисления величин параметра различий были получены О.В. Немчиной при работе над дипломном проектом, выполненным в 2001-2002 годах на кафедре математической экономики МГИЭМ (ТУ). Для сходства аналогичные выражения получены И.В. Роговиной там же, но годом позже. Расчёты, приведённые в таблицах, получены для двух моделей (со сходством и с различием) Роговиной в 2003 году опубликованы в материалах конференции МГИЭМ (ТУ), хотя некоторые из них приведены в уже упомянутом дипломе Немчиной.

Оставленный без ответа вопрос о малости остатков не может найти решения в детерминированном виде до тех пор, пока задача не будет поставлена более точно. Но проблема решена в статистической постанове для частных случаев, например, у [Рао]. Вдаваться в подробности этого решения здесь не представляется возможным, в частности, из-за того, что вероятностные вопросы в книге не затрагиваются, хотя без знания статистики практическое применение рассматриваемых здесь проблем немыслимо. В приведённом в этой главе случае желательно знание дисперсионного анализа.

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. “Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.

2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.

3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002

4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.

5. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.

6. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.

7. Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с переменной структурой населения. «Экономика и математические методы», том 30, вып. 2, 1994 г.

8. Гегель Г. Политические произведения, Изд. "Наука". М. 1978г

9. 12. Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М. 2002 г

10. Зайончковская Ж.А. Новосёлы в городах (методы изучения подвижности). «Статистика», М. 1974 г.

11. Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд. «Наука», Новосибирск, 1991 г.

12. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: “Прогресс”, 1966.

13. Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М. 1972 г.

14. Кендалл М.Дж.и А.Стьюарт Теория распределений "Наука", М:1966г.

15. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. «Наука», М. 1986 г.

16. Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. “Наука”. М: 1964 г.

18. Матлин И.С. “Моделирование размещения населения”. Изд. “Наука”, М.1975 г.

19. Миграция населения (редактор Воробьёва О.Д.). Изд. Министерства по делам федерации, национальной и миграционной политики РФ. М. 2001 г.

20. Моделирование социальных процессов. Изд. РЭА им. Плеханова, М.1993г.

21. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходной период в России. Научный доклад №99-04, РПЭИ/Фонд Евразия,1999.

22. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М: Изд. "Наука", 1979.

23. Рао С.Р. " Линейные статистические методы и их применение». «Наука", М:1968г.

24. Результаты обследования движения трудовых ресурсов Латвийской ССР за 1973 год, Рига, Центральное статистическое управление при Совете Министров Латвийской ССР, 1975.

25. Российские статистические ежегодники: Госкомстат России. - М.

26. Сен Амартия. Об этике и экономике. Изд. «Наука», М. 1996 г.

27. Система знаний о народонаселении (редактор Валентей Д.И.) «Высшая школа», М. 1991 г.

28. Соболева С.В. “Демографические процессы в региональном и социально-экономи-ческим развитии”. Изд. “Наука”, Новосибирск, 1998 г.

29. Современная демография. Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. Изд. МГУ. 1995 г.

30. Староверов О.В. (1978). Сложные факторы в моделях движения населения. Сборник Прикладной многомерный статистический анализ. "Наука", Москва.

31. Староверов О.В. (1979) Модели движения населения. Изд. “Наука” Москва.

32. Староверов О.В. (1997). Условия жизни и межгрупповая мобильность. Экономика и математические методы. Том 33, вып. 4

33. Староверов О.В. (1997) Азы математической демографии. Изд. «Наука», М.

34. Староверов О.В. (2003) Общая модель движения населения. Труды международной научно-практической конференции по миграции населения и перспективам демографического развития: России. Изд. ГУ ИМЭИ при МЭ, М.

35. Староверова Т.О. О распределении социальной помощи бедным. «Экономика и математические методы». №1, Москва, 2003 г.

36. Толстая тетрадь. Экономическая школа. Выпуск 2. СП б. 1992г.

37. Фихтенгольц Г.Ф. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. Стр. 188-189.

38. Чапек В.Н. и др. К вопросу о миграции из России интеллектуальных ресурсов труда. В сборнике «Международная конференция Миграция населения и перспективы демографического развития России». Изд. ГУ ИМЭИ, М. 2003 г.

39. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.

40. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.

41. Bartholomew D.J. (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester - New York.

42. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991

43. Bourguignon Franзois. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v.47, №3. 1979.

44. Bourguignon F., G.Fields “Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor”. XI the World Congress of IEA. Tunis, 18-22 December 1995.

45. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22-23.

46. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.

47. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v.48, N7, 1980

48. Isard W.(1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.

49. Journal of Econometrics. V 42, №1, за 1989 г

50. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.

51. Foster J.E., Shorrocks A.F. “Poverty Orderings”. Econometrica, V.56, N 1, 1988.

52. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).

53. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.

54. Ravenstein E.G. The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 и 1889 годы, XLVIII и LII

55. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.

56. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985

57. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.

58. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP N 01-04, EERC. 2001

59. Shorrocks A.F. The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v.48, №3. 1980.

60. Shorrocks Antony “Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index”, Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225-1230.

61. Weidlich W., G. Haag (Eds),(1988). International Migration. Springer - Verlag, New York - London - Tokyo.