Проверка вида функций предпочтения

Кафедра: Социология и Обществознание

Реферат

на тему: Проверка вида функций предпочтения

Москва, 2008 г.

Проверка вида функций предпочтения

Из предыдущей главы следует, что, несмотря на уточнения вида функций предпочтения, они все равно имеют достаточно общий вид. Таким образом, эти функции при решении конкретных задач нуждаются в ещё большем уточнении их вида. Однако даже более полное постулирование, которое удовлетворяет уточненному виду, оставляет очень широкий класс функций, нуждающейся в сужении. Если и число, и реакция на изменения каждого из полного набора факторов, и сами значения факторов неизвестны, возникает проблема: можно ли в таких жестких условиях проверить уже постулируемый вид функции предпочтения, располагая данными о переходе конкретных людей.

1. Принципы проверки. Конкретизируем первый шаг задачи. В переходах участвуют люди из многих состояний x во многие состояния y. Если наблюдаются много переходов изо всех состояний во все другие, то наблюдаются численности переходов _ij из состояния i, которое в данном случае представляет собой другое обозначение для x, в состояние j, что тоже самое, что y. Такое переобозначение сделано лишь для того, чтобы приблизиться к символике, принятой в теории моделирования подвижности населения с помощью Марковских процессов. Ясно, что в этих обозначениях, когда состояние i ассоциируется с состоянием x, или для большей наглядности с x_i , а j с y, или x_j, число перешедших из i в j _ijijf(x,y), т.е. при переходах выявляются сведения об условиях в состояниях-группах и о нужных функциях от них. Если переходов много, а различных функций от наборов условий или самих разных наборов мало, то можно по переходам получить необходимые сведения обо всех наборах и, следовательно, о предпочтениях людей.

Пусть наблюдается большое число переходов одинаковых людей за некоторый отрезок времени во все состояния, когда они (люди) начинает свой путь из некоторого фиксированного (например, закончивших школу можно считать такими людьми с одинаковыми предпочтениями). Поэтому тяги в состояния (привлекательности разных наборов условий, обусловливающих состояния) выясняются либо по их намерениям поступления на работу (или учебу) и куда именно, либо, по числу действительно поступивших, если удается исключить ограничения при приеме. Таким образом, можно получать предпочтения - доли покинувших только одну из групп и поступивших бы во все остальные, без учета ограничений, за единицу времени.

Допустим, что первый, основанный на наблюдениях шаг сделан. Он отразил в переходах учёт людьми всех факторов каждой группы, которые повлекли за собой соответственно и тяги. Из гипотезы о совпадении и знании тяг для любого человека возникает вполне понятная идея, нельзя ли получить теперь по заданным предпочтениям из одной группы теоретически восстановить предпочтения из остальных групп. Это был бы второй, основной шаг, потому что дальнейшие действия очевидны. Нужно а) получить по наблюдаемым переходам предпочтения из других групп (повторить первый шаг для людей из всех групп) б) полученные с помощью теории для заданного вида f(x,y) привлекательности людей всех других, и в) сравнить предпочтения людей, полученные как по наблюдениям всех переходов, так и восстановленные теоретически по одной строке. Если результаты этих двух способов совпадают или вполне близки, то постулируемый вид функции предпочтения можно считать удачным и пригодным для практики.

Поскольку первый шаг представляет собой некоторое статистическое исследование, которые, во-первых, делались неоднократно, и, во-вторых, в данной части основное затруднение состоит в теоретическом восстановлении, то начнем сразу со второго шага, считая, что первый шаг уже сделан.

2. Линейные функции. Начнем теоретический (второй) шаг для простейшего линейного вида функции предпочтения, пропорционального или, для простоты, как и ранее равного, интенсивностям перехода,

f(x,y)=a+b^T(y-x) (1)

и пусть рассмотрены люди, начинающие переходы из состояния i, описанного _i, в состояние j, описанное =x_j. Всех начинающих из состояния, описанного каким-либо вектором _q, причислим к группе q, а окончивших в y=x_i к группе i. Тогда известны интенсивности переходов _qi=f(x_q,x_i) из группы q в группы i (i). Вопрос в том, можно ли теперь восстановить переходы из групп iq во все остальные, считая, что выполнено соотношение (1).

Лемма 1. Если для любых i, j функции предпочтения линейные, т.е.

,

то _ij выражаются через _qi (i=1,2,...m):

_ij =_qq+_qj-_qi (2)

Доказательство. Заметим, во-первых, что _qq =a, так как при второе слагаемое в (1) обращается в 0. После вычитания из равенства

_qj= соотношения

получаем

.

Отсюда и лемма доказана.

Аналогичная задача возникает при известных интенсивностях переходов в группу q, т.е. при известном одном столбце q матрицы переходов во все группы =_ij .

Лемма 2. Если интенсивности переходов равны функции предпочтения, т.е.

,

то для любых i, j при заданных _iq (q фиксировано)

(3)

Из лемм 1 и 2 следует, что при линейной зависимости интенсивностей перехода от факторов подвижности (вида функции предпочтения) всю матрицу переходов =_ij. можно восстановить по известным либо одной ее стороне, либо по одному столбцу. Другими словами, для линейной функции тяги возможно восстановление всей матрицы переходов по с помощью соотношений (2) или (3).

Обозначим a+b^Tz через Ф(z), тогда, полагая

v=x_j-x_q и u=x_i-x_q,

из соотношения (2) леммы 1 имеем

Ф(v-u)=a+Ф(v)-Ф(u).

Из леммы 2, т.е. из (3) при v=x_q-x_i и u=x_q-x_j, следует то же самое соотношение; оно же получается из (1) при u=x и v=y. На практике же можно только проверить выполняются ли равенства (2) или (3), т.е. выполнено ли следующее равенство при произвольных (неизвестных) u и v

. (4)

Но если же оно выполняется, то возникает вопрос: следует ли линейность функции предпочтения из справедливости равенства (4). Для такой проверки понадобится следующий математический результат.

Теорема 1. Если Ф(z) такая непрерывная функция, что для произвольных m-мерных векторов u и v выполнено равенство (4), то Ф линейная функция, т.е.

Ф(z)=a+b^Tz,

где b фиксированный вектор, а z произвольный вектор.

Доказательство. Вычитая из левой и правой части (3.4) a получаем равенство

Ф(v-u)-a=[Ф(v)-a]-[Ф(u)-a].

Из него, полагая (u)=(u)-a, при u=x и v=y+x имеем для слагаемых

(y)=(y+x)-(x) или (x+y)=(x)+(y).

Далее по индукции можно установить, что для произвольного числа слагаемых

(x+y+...+z)=(x)+(y)+ +(z); (4')

следовательно, при k одинаковых слагаемых

x=y= =z (kx)=k(x).

При замене y=kx справедливо равенство

(y)=k(y).

Отсюда при целом n и y=nz получим, что

n(z)=(nz)=k(z) или (z)=(z).

Итак, для любых целых n и k, т.е. для любого рационального числа r, установлено равенство r(z)=(rz). Так как для любого действительного a найдется последовательность рациональных чисел r_l, сходящаяся при l к a, то из непрерывности функции (z) получаем

a(z)=(az) (4”)

теперь уже для любого действительного a.

Обозначим через e_i орты m-мерного пространства, т.е. e_i вектор-столбец, у которого только i-ая компонента рана 1, а остальные нули. Обозначим через b_i число, равное (e_i), тогда для произвольного вектора

u= из (3.4') и (3.4”) имеем

(u)=)====b^Tu,

где b^T=(u₁,u₂,...,u_m) и u=(u₁,u₂,...,u_m), т.е. (u)=b^Tu. Возвращаясь к старым обозначениям, имеем при z=u из последнего равенства Ф(z)=a+b^Tz. Теорема доказана.

3. Линеаризуемые функции. В наиболее общем виде соотношения (2) или (3) позволяют проверять утверждения вида

, (5)

где G_i() для любого i, известные непрерывные монотонные возрастающие выпуклые вниз функции, для которых справедливы соотношения для интенсивностей перехода

_ij=G[a+b^T(y-x_i)] (6)

Так как функция G - обратная к G_i, т.е. G[G_i(x)]=x при любых x, то интенсивности

_ij=f(x_i,y_j)=G[a+b^T(y-x_i)]

будут возрастающими, выпуклыми вверх функциями и, поэтому они удовлетворяют всем требованиям, накладываемым на функции предпочтения, связанные с интенсивностями перехода. Функции предпочтения, удовлетворяющие (6), даже в случае, когда x и y не сами факторы, а некоторые монотонно-возрастающие функции от них, называются обычно линеаризуемыми.

Очевидно, что можно вначале рассматривать функции преобразования H линейной функции т.е.

_ij=H[a+b^T(y_j-x_i)],

а затем рассматривать соотношения (5), которые в этом случае переходят в

(_ij)=(_qq)+(_qj)-(_qi),

а функция H от одного аргумента возрастающая, выпуклая вверх функция.

4. Связь функции предпочтения с функцией полезности. Из общих свойств функции предпочтения, принадлежащих первой группе следует, что при фиксированном x функция f(x,y) по y возрастает и выпукла вверх. Как правило, именно этими свойствами обладают наиболее часто употребляемые функции полезности.

Очевидно, что f(x,y)=f(x,x) дает отношение эквивалентности, т.е. неразличимую по предпочтению пару различных наборов y и x, поэтому f(x,y)>f(x,x) набор y предпочтительнее x, а при f(x,y)<f(x,x) набор y менее предпочтителен, чем набор x.

Все это наводит на мысль, что функция предпочтения связана с функцией полезности состояния y для отдельного человека. Кстати, состояние, характеризуемое набором y, может описывать кроме полезности еще и качество жизни, подход к показателям или показателю которого сейчас усиленно ищется.

Чтобы обосновать существующую связь между функцией полезности и функцией предпочтения можно просто построить такую зависимость от функций полезности, которая удовлетворяла бы всем свойствам функции предпочтения. Такие попытки были, но о них будет рассказано позже для тех условий, для каких такая зависимость отмечалась в литературе.

Очевидно, что функция предпочтения f(x,y) должна зависеть от функций полезности двух состояний x и y (прежнего и нового), при этом она должна возрастать при улучшении y и убывать при увеличении x, т.е. увеличиваться с ростом u(y) - функции полезности состояния y, и убывать при увеличении u(x). Конечно, таких функций очень много, а простейшими из них будут функции f(x,y)=u(y)-u(x) или u(y)/u(x), если u(x)>0 для любых x.

Действительно, в первом случае

f/y=u/y>0 и f/x=-u/x<0,

а во втором

f/y=(u/y)/u(x)>0 и f/x=-[u(y)/u²(x)]u/x<0, т

ак как функции полезности обычно положительные и возрастающие, т.е. первые требования из первой их совокупности к функции предпочтения удовлетворены. Вторая совокупность требований к функции предпочтения - выпуклость вверх по y и выпуклость вниз по x также выполнена, если выбирать только функции полезности u(x) выпуклыми вверх. В этом случае, для разностей полезности ²f/y²= =²u/y² - неотрицательно определенная матрица, аналогично для отношения ²f/y²=[u(x)]^-12u/y², матрица которого отличается положительным множителем [u(x)]^-1. Совершенно также показывается выпуклость вниз функции предпочтения f(x,y)=u(y)-u(x) и u(y)/u(x) по условиям x, если функция полезности u(x) выпукла вверх.

Таким образом, построены два примера зависимости тяг f(x,y) от функций полезности u(y) и u(x), которые показывают, что из существования функций полезности следует возможность построения функций привлекательности от них. Однако обратное не очевидно, так как имеется существенное отличие функции привлекательности от построенных примеров с функциями полезности. Так ясно, что привлекательность одинаковых условий y=x, для человека, обладающего характеристиками x, т.е. f(x,x), может изменяться с ростом x. Наиболее значимым может быть то, что с ростом x уменьшается функция привлекательности, а, сле-довательно, и интенсивности переходов из x в любые другие состояния. Но для построенных примеров это не так, поскольку и разности и отношения при одинаковых (или близких) условиях x и y превращаются в константу (для разностей - в 0, а для отношений - в 1) при любых x. Это характерно и для функций привлекательности, для которых справедливо требование самозамещения всех условий, что следует из теоремы 2.1, так как разности преобразованных одинаковых факторов дают нули, а функции от постоянных величин также постоянные величины.

5. Примеры. Кроме уже приведенных примеров можно привести очень много других. Чтобы это показать, достаточно заметить, что любые (монотонные) функции от уже приведенных соотношений могут быть также функциями привлекательности; например, exp[u(y)-u(x)] уже встречалась в литературе, но несколько в другом приложении, хотя и имеющим отношение к движению населения.

Пример 1. Рассмотрим линейную функцию привлекательности

f(x,y)=a+b^T(y-x).

Тогда сравнение условий x и y будет происходить при использовании f(x,y), т.е. с помощью сравнения функции f(x,y) с f(x,x), а последняя для этого примера будет равна a. Раскрывая скобки, получаем, что f(x,y)-f(x,x)=b^Ty-b^Tx и последнюю разность нужно сравнивать с нулем. Но выражение b^Tz может служить функцией полезности, u(z), поэтому f(x,y)-f(x,x)=u(y)-u(x). Отсюда

f(x,y)=f(x,x)+u(y)-u(x)=a+u(y)-u(x)

и функция привлекательности выражается через функции полезности прежнего и нового состояний. Проверьте, что вывод остается в силе, если вместо вектора b перед y взять другой вектор, например, b при b>0 (см. задачу 4).

Замечание. Если бы f(x,x) не была равна постоянной величине a, а представляла бы собой функцию от x, т.е. f(x,x)=(x), то и тогда f(x,y), полученная функция ранее, была бы функцией предпочтения

f(x,y)=(x)+u(y)-u(x).

Для этого нужно только, чтобы добавленная функция не изменила свойств функции привлекательности.

Пример 2. Пусть функция привлекательности f(x,y) представима в виде

.

Выразим ее в виде зависимости от функций полезности. Для этого рассмотрим сравнение функции

f(x,y) с f(x,x), т.е. с A или с 1.

Раскрывая скобки в последнем выражении, имеем соотношение

,

которое будет отношением функций полезности вида

u(z)=, т.е. u(y)/u(x).

Последнее нужно сравнить с 1, или, после умножения на постоянную A, величину A[u(y)/u(x)] нужно сравнивать с A, поэтому функция привлекательности

f(x,y)=Au(y)/u(x)

выражена через функции полезности u(z) разных состояний y и x. Что произойдет при замене всех y_i на y_i при >0 (см. задачу 5)

Пример 3. Возьмем в качестве функции предпочтения

f(x,y)=,

которую нужно сравнивать с f(x,x), т.е. с a. Отсюда следует, что необходим сравнивать с 0 сумму

.

Раскрывая скобки и группируя члены

-,

получаем, что при функции полезности равной

u(z)=,

сумму нужно сравнивать с 0 или, после добавления в правую и левую части a, с a. Проверим, что функция u(z) удовлетворяет всем требования к функции полезности, т.е. u(z) возрастает и выпукла вверх (см. также задачу 6). Действительно,

,

положительны, а вторые производные

, ,

образуют матрицу со знакопеременными главными минорами.

Чтобы не создавалось ложное впечатление, что все функции тяги могут выражаться в виде зависимости от функций полезности состояний, приведем пример.

Пример 4. Пусть имеются три фактора подвижности и функция привлекательности

f(x,y)=

После логарифмирования ее получаем выражение

,

из которого ясно, что разделить переменные x и y невозможно.

Из приведенных примеров следует, что линеаризуемые функции привлекательностей даже от преобразованных факторов всегда можно представить в виде зависимости от функций полезности состояний, но функций, в которых факторы - переменные y и x не разделяются представить в виде зависимости от функций полезности нельзя.

Более того, функции f(x,y) с разделяющимися переменными, т.е. когда f(x,y)= =(y)(x) не всегда можно представить в виде зависимости от функций полезности u(z) при z=x и z=y. Во-первых, следует еще проверить все требования, предъявляемые к функциям полезности и, во-вторых, такие функции не удовлетворяют предположению о самовозмещении, т.е. могут не быть функциями привлекательности.

Критерий разделимости переменных довольно простой. Действительно, если функция привлекательности

f(x,y)=(y)(x),

то lnf(x,y)=ln(y)+ln(x).

Теперь, после дифференцирования по x,

,

т.е. эффективности факторов x не зависят от y. Аналогично по y. Очевидно, что функция привлекательности, приведенная в примере 4, не обладает этим свойством.

Однако разделимость переменных - это скорее достаточное условие возможности представления функции привлекательности в виде зависимости от функций полезности. Хороших, достаточно простых необходимых условий представимости функции привлекательности в виде зависимости от функций полезности, автору найти пока не удалось. Таким образом, можно ли обойтись при движении отдельного человека только его представлением о полезности состояний x сегодняшних и y, которые образуются в результате перехода, остается открытым.

Задачи

1. Найдите функции, обратные к

.

Какие из этих функций от линейной комбинации разностей факторов a+b^T(y-x) могут служить функциями предпочтения, т.е. быть интенсивностями перехода?

Указание. Проверьте условия возрастания (убывания) и выпуклости вверх (вниз) по факторам y (x).

2. Рассматриваются переходы между тремя группами, интенсивности переходов между которыми равны

_1j=, _2j=, _3j=.

Восстановите матрицу переходов, если известна вторая строка, т.е. интенсивности переходов

₂₁=0,21, ₂₂ =0,5, ₂₃ =0,15.

3. Представьте функцию привлекательности

f(x,y)=0,5+0,7(lny₁--lnx₁)+0,3(-)+ +(y₃-x₃)

в виде зависимости от функций полезности. Проверьте выполнение требований, предъявляемых к функции полезности.

4. Представьте функцию тяг вида f(x,y)=a+b^T(y-x)

в виде зависимости от функций полезности. Обсудите, что изменится при y=x. Каково различие тяг при >1 и 0<<1?

5. Представьте функцию тяг вида

f(x,y)=a+b₁^Ty-b₂^Tx

как зависимость от функций полезности. Обсудите, что изменится при y=x. Каково различие тяг по сравнению с задачей 4?

6. Исследуйте модифицированную функцию привлекательности из примера 3

f(x,e)=

так же, как это сделано там, но при разных положительных . В чем возможно различие?

7. Исследуйте функцию привлекательности

f(x,e)=a+b₁(y₁-x₁)^1/2+b₂(y₂-x₂)^1/3.

Каковы линии постоянного уровня? Будет ли она при фиксированном x функцией полезности? Можно ли представить эту функцию в виде зависимости от функций полезности

Справки и ссылки

Результаты этой главы в основном взяты из работ Староверова и [Weidlich], но несколько изменены и обобщены. В основном это изменения касается того, что эффективность факторов групп, в которые люди стремятся переходить, может не совпадать с эффективностью факторов в покидаемых группах. Кроме того, отмечено нарушение предположения о совпадении. Последнее изменение не существенно. Связь функции привлекательности с функциями полезности состояний при переходе пока совершенно не исследована. Не ясно даже, можно ли ограничиться только функциями полезности. Особенно это бросается в глаза при обороте человеческих ресурсов внутри группы. Доказательство теоремы полностью повторяет доказательство, приведённое у Фихтенгольца.

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. “Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.

2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.

3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002

4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.

5. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.

6. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.

7. Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с переменной структурой населения. «Экономика и математические методы», том 30, вып. 2, 1994 г.

8. Гегель Г. Политические произведения, Изд. "Наука". М. 1978г

9. 12. Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М. 2002 г

10. Зайончковская Ж.А. Новосёлы в городах (методы изучения подвижности). «Статистика», М. 1974 г.

11. Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд. «Наука», Новосибирск, 1991 г.

12. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: “Прогресс”, 1966.

13. Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М. 1972 г.

14. Кендалл М.Дж.и А.Стьюарт Теория распределений "Наука", М:1966г.

15. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. «Наука», М. 1986 г.

16. Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. “Наука”. М: 1964 г.

18. Матлин И.С. “Моделирование размещения населения”. Изд. “Наука”, М.1975 г.

19. Миграция населения (редактор Воробьёва О.Д.). Изд. Министерства по делам федерации, национальной и миграционной политики РФ. М. 2001 г.

20. Моделирование социальных процессов. Изд. РЭА им. Плеханова, М.1993г.

21. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходной период в России. Научный доклад №99-04, РПЭИ/Фонд Евразия,1999.

22. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М: Изд. "Наука", 1979.

23. Рао С.Р. " Линейные статистические методы и их применение». «Наука", М:1968г.

24. Результаты обследования движения трудовых ресурсов Латвийской ССР за 1973 год, Рига, Центральное статистическое управление при Совете Министров Латвийской ССР, 1975.

25. Российские статистические ежегодники: Госкомстат России. - М.

26. Сен Амартия. Об этике и экономике. Изд. «Наука», М. 1996 г.

27. Система знаний о народонаселении (редактор Валентей Д.И.) «Высшая школа», М. 1991 г.

28. Соболева С.В. “Демографические процессы в региональном и социально-экономи-ческим развитии”. Изд. “Наука”, Новосибирск, 1998 г.

29. Современная демография. Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. Изд. МГУ. 1995 г.

30. Староверов О.В. (1978). Сложные факторы в моделях движения населения. Сборник Прикладной многомерный статистический анализ. "Наука", Москва.

31. Староверов О.В. (1979) Модели движения населения. Изд. “Наука” Москва.

32. Староверов О.В. (1997). Условия жизни и межгрупповая мобильность. Экономика и математические методы. Том 33, вып. 4

33. Староверов О.В. (1997) Азы математической демографии. Изд. «Наука», М.

34. Староверов О.В. (2003) Общая модель движения населения. Труды международной научно-практической конференции по миграции населения и перспективам демографического развития: России. Изд. ГУ ИМЭИ при МЭ, М.

35. Староверова Т.О. О распределении социальной помощи бедным. «Экономика и математические методы». №1, Москва, 2003 г.

36. Толстая тетрадь. Экономическая школа. Выпуск 2. СП б. 1992г.

37. Фихтенгольц Г.Ф. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. Стр. 188-189.

38. Чапек В.Н. и др. К вопросу о миграции из России интеллектуальных ресурсов труда. В сборнике «Международная конференция Миграция населения и перспективы демографического развития России». Изд. ГУ ИМЭИ, М. 2003 г.

39. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.

40. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.

41. Bartholomew D.J. (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester - New York.

42. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991

43. Bourguignon Franзois. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v.47, №3. 1979.

44. Bourguignon F., G.Fields “Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor”. XI the World Congress of IEA. Tunis, 18-22 December 1995.

45. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22-23.

46. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.

47. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v.48, N7, 1980

48. Isard W.(1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.

49. Journal of Econometrics. V 42, №1, за 1989 г

50. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.

51. Foster J.E., Shorrocks A.F. “Poverty Orderings”. Econometrica, V.56, N 1, 1988.

52. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).

53. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.

54. Ravenstein E.G. The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 и 1889 годы, XLVIII и LII

55. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.

56. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985

57. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.

58. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP N 01-04, EERC. 2001

59. Shorrocks A.F. The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v.48, №3. 1980.

60. Shorrocks Antony “Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index”, Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225-1230.

61. Weidlich W., G. Haag (Eds),(1988). International Migration. Springer - Verlag, New York - London - Tokyo.