Кафедра: Социология и Обществознание

Реферат

на тему: Приложения мер благосостояния и бедности

Москва, 2008 г.

Приложения мер благосостояния и бедности

В настоящем реферате будут изучаться приложения показателей бедности и благосостояния. В нём еще раз будет показано, что показатели, соответствующие самим социально-экономическим категориям могут быть использованы в приложениях. Меры же бедности и благосостояния не согласованные с этими понятиями подчас приводят к результатам, противоречащим не только социальной интуиции специалистов, но и обычному здравому смыслу.

Введение

Показатели благосостояния и бедности введены для того, чтобы они могли способствовать решению некоторых практических задач, к которым в первую очередь следует отнести проблемы помощи бедным, увеличения благосостояния общества и вопросы, определяющие принципы и цели налогообложения. Наиболее насущными задачами представляется, в первую очередь, уменьшение бедности и увеличение благосостояния, При этом первой всегда уделялось больше внимания, чем второй. Оно и понятно, именно бедность порождает ту социальную напряжённость, которая порождает вначале гражданское неповиновение и может привести, в конце концов, к беспорядкам, революциям, путчам и т.п. Несколько забегая вперёд, заметим, что раз бедность, как уже было отмечено, - обратная сторона благосостояния, то следует ожидать подобия результатов борьбы с бедностью и усилий по повышению благосостояния.

В данном разделе будет решаться упрощённая постановка задачи, а упрощение состоит в том, что бюджет борьбы с бедностью и ресурсы для увеличения благосостояния будут заданы. Отсюда следует, что при такой постановке задачи не возникает вопроса, откуда берутся ресурсы. Гораздо сложнее учесть то обстоятельство, что для добавки чего-либо одним (скажем, бедным) нужно лишить кое-чего других. При этом следует учесть, что лишение части заработка уменьшает желание или возможность человека заработать больше. Например, у предпринимателя убывает ресурс для увеличения производства, поэтому нужна модель поведения человека при удержании части им честно заработанного. Следовательно, даже при налогах, устроенных так, что они восполняют затраты на разведку и ренту от использования полезных ископаемых (не возобновляемого ресурса), образования (возобновляемого ресурса) и т.п. из гуманитарных соображений приходится лишать одних ими заработанного, чтобы помочь другим, немощным из-за болезни, несчастного случая и пр.

1. Необходимость борьбы с бедностью

Самым “эффективным” средством “уменьшения” бедности является уменьшение черты бедности z. Для её изменения обычно делается пересмотр потребительской корзины, вначале продуктовой, а затем и прожиточного минимума. Наиболее трудным в такой процедуре считается обоснование необходимого набора продуктов. Очевидна зависимость минимального продуктового набора, в первую очередь, от климатических условий. Затем следует учёт традиций, которые у каждого народа свои, уровня производства и многих других факторов.

Однако имеются более весомые аргументы, чтобы не ходить по такому пути. Под бедными обычно понимают не просто людей с малыми доходами, а людей, которые по объективным причинам, скажем, из-за хронической болезни, травм, наконец, просто из-за безработицы и пр. не могут поднять свои доходы. Кстати, многодетные семьи делают при соответствующем воспитании своих детей не только общественно полезное, но и необходимое дело - они воспроизводят само общество. Но доход на душу большой семьи бывает малым как раз из-за многодетности, а сами домочадцы оказываются малообеспеченными. Поэтому общество, конечно, если оно хочет существовать, заинтересовано в оплате труда таких семей, хотя и называет оплату за этот труд социальной поддержой или обеспечением.

Кроме всего уже отмеченного изменение черты бедности не уменьшает бедность, а лишь усиливает социальную напряженность. Именно по этой причине это средство рассматриваться не будет. Бедность, особенно связанная с безработицей, производит индивидов, которые свободны и от собственности, и от работы, т.е. им нечего терять и у них есть время, чтобы организоваться для противостояния силами, которые ведут как к безработице, так и к бедности. Короче, бедность и безработица - это угроза социального взрыва, поэтому для стабильности общества необходимо противостоять бедности и безработице. Далее рассматривается лишь бедность, поэтому считается, что z - черта бедности задана и фиксирована.

2. Помощь бедным

Экономическая постановка задачи о распределении ограниченных средств среди малоимущих рассматривалась давно. Она была такой: при ограниченных средствах найти такое размещение добавок среди малообеспеченных, чтобы бедность стала наименьшей. Математическая формулировка была предложена в работе Бурганьёна и Филдза: при заданном показателе бедности нужно было найти такое размещение среди бедных добавок из ограниченных средств, чтобы при новом распределении доходов бедняков показатель бедности становился наименьшим. Любое размещение добавок из ограниченных средств и называется программой или стратегией помощи бедным.

Программа помощи. Математически размещение помощи выразится следующим образом. Если человек выбирается из всех n членов сообщества случайно и равновероятно, то его доход будет случайной величиной с функцией распределения F(w). Пусть (w) - вероятность того, что человеку с доходом w будет добавлена величина (w). Пара чисел (w) и (w) при заданном w дают ответ на основной вопрос об адресности размещения помощи: кому и сколько добавлять. Эта пара функций - искомая. Она нужна для того, чтобы минимизировать показатель бедности

=Ep(). (1)

Естественно, считается, что показатель соответствует самой бедности, а средства b=ограничены.

Пример 1.

, 1.

Помощь оказывается только самым малоимущим. Размер её составляет сумму, которая давала бы всем, кому она добавляется, доход, равный общей черте бедности z. Добавки (w<x) даются до тех пор, пока позволяет бюджет помощи, т.е.

, .

Неизвестная величина x определяется из уравнения

b/N=.

Пример 2.Пусть помощь оказывается всем, пропорционально нехватке их доходов. В этом случае формально эта программа выглядит так:

для любого w,

где B - суммарная нехватка доходов всех бедных.

Пример 3. Эта программа помощи применялась на практике в Волгоградской области в 1996 году. Помощь оказывалась только самым бедным из людей, находящихся за чертой бедности z=321,5 руб. При (w)=1 пока доход w не достигал 100 руб. Далее (w)=0.

При доходе w<40 руб. назначались субсидии (w)=110 руб.

40w<60 (w)=80 руб.

60w<80 (w)=50 руб.

w80 (w)=20 руб.

Обсудим эти примеры, прежде чем двигаться дольше. Цель обсуждения - посмотреть, насколько хороши предлагаемые программы социального обеспечения. Для этого воспользуемся числовыми данными примера 3.

Допустим, что среди бедных найдутся двое с доходами 59 и 60 рублей. Рассмотрим этих двух человек. В соответствии с программой помощи малообеспеченным примера 3 у первого человека доход станет 59+80=139 рублей, а у второго 60+50=110 рублей. Не будет ли второй человек считать, что его обидели? Насколько справедлива программа примера 3?

Пусть в примере 2 нехватка средств, чтобы вывести всех бедных за черту бедности, равна B=20 тыс. рублей, а в наличии имеется лишь b=10 тыс. рублей. Пусть также у одного человека доход 60 рублей, а у второго 320 рублей. В соответствии со стратегией социального обеспечения примера 2 первому человеку будет добавлено 0,5(321,5-60)=130р. 25 коп., а второму 0,5(321,5-320)=75 копеек. Не покажется ли второму такая добавка обидной? Не будет ли первый человек (у него доход стал 190,25 р.) считать себя обделённым, по сравнению с первым, доход которого 320,75 р.?

Допустим такое распределение доходов, что в обществе имеются два человека с доходами 99 и 105 рублей. Средств b столько, что из последнего уравнения примера 1 x=100 рублям. В этом случае в соответствии с программой помощи этого примера человеку с доходом 99 рублей (99<100) будет добавлено 321,5-99=222,5 рубля, а человеку с доходом 105 рублей не будет добавлено ничего (105>100). Насколько такие добавки справедливы и согласуются ли они со здравым смыслом? Ведь в тот момент, когда опять будет распределяться помощь бедным, могут появиться люди с меньшими, чем 100, доходами и всё повториться.

Необходимые соотношения. Как же следует оказывать помощь, т.е. распределять ограниченные средства b? Для этого рассмотрим эффективность добавок величины dw бедным, т.е. людям, доходы которых равны w<z, а доля их во всём населении dF(w). Показатель бедности изменится на величину p_z(w+dw)dF(w)-p_z(w)dF(w)dp(w)dF(w), а эффективность будет пропорциональна производной весовой функции p'(w)<0 (см. задачу 1). Итак, чем больше p'(w), тем больше убывает показатель бедности P, если он, конечно, соответствует представлениям о бедности как явлении, при добавке dw человеку, имеющему доход w, доля которых во всём населении dF(w).

Отсюда следует, что добавлять нужно в точках наибольшей эффективности на рубль (dw) затрат. При выпуклости и непрерывности в точке z - черте бедности весовой функции производная будет меньшей для малодоходных групп населения. Таким образом, (w)=1 при малых доходах w. Прояснилась часть выбора стратегии помощи. Из обсуждения примеров выяснилось, чтобы не было обид нужно добавлять столько, сколько нужно для равенства доходов после всех добавок, т.е. людям с доходами w добавлять нужно (w)=x-w, где x - равный для всех бедных доход, получившийся в результате проведения программы социального обеспечения (w), (w), пока неизвестен. Найдена ли программа помощи бедным?

Что же произойдет при произвольной программе оказания помощи? Как и ранее выберем случайным образом из сообщества человека со случайным доходом =w. Вероятность этого равна dF(w). После оказания помощи по программе {(w),(w)} его доход будет новой случайной величиной =w+(w) с вероятностью (w) или =w с вероятностью [1-(w)]. Отсюда, средняя величина дохода лица из группы с исходным фиксированным доходом w равна E(/w)=w+(w)(w), а средняя к w добавка к нему - (w)(w).

Следовательно, теперь можно получить общую величину добавок, приходящуюся на каждого из N людей , а на всех нуждающихся суммарная величина добавок равна N. Таким образом, добавлять имеет смысл лишь во множества точек, F-меры которых отличны от 0. Это ((w)=0 при wW и =0) будет иметься в виду в будущем, если не оговорено противное. Когда задано количество денег b, отведенных для помощи бедным, и при разумной стратегии - помощь оказывается лишь бедным - всегда выполняется следующее равенство b=N, которое накладывает ограничения на (w) и (w). Все программы (w) и (w) помощи бедным с ограниченным бюджетом b принадлежат к классу _b, кода выполнено условие: b=N

Поскольку теперь ясно, что следует рассматривать ситуацию после оказания помощи, приведем распределение средней величины дохода бедных после добавки, которая все-таки случайна, так как случаен доход, к какому она прибавляется. Известно, что функция распределения случайной величины равна вероятности попадания во множество (-,w). Пусть I_w(x) индикатор этого множества, т.е. I_w(x)=1 при x(-,w) и I_w(x)=0 в остальных случаях. Зная, что =u+(u) с вероятностью (u)dF(u) и =u с вероятностью [1-(u)]dF(u, а F(w)=0 при x0), получаем по формуле полной вероятности

F₁(w)=E[I_w()]=, (2)

С учётом равенства

Задача об оптимуме: стохастическая постановка. Теперь совершенно ясно, что необходимо найти такую программу помощи (пару, обозначающую адресность и величину помощи) {(w),(w)}, которая бы наибольшим образом уменьшала показатель бедности

.

При этом бюджет помощи ограничен:

b=N<B=N.

Поскольку показатель бедности можно записать в виде Ep(), а функция p(w) выпуклая вниз функция и необходимо найти ее среднее, то по неравенству Йенсена: Ep(/w)p[E(/w)]. Следовательно, Ep(/w)p[w+(w)(w)], а так как необходимо решить задачу на минимум, то можно вместо случайной величины подставить постоянную w+(w)(w). При этом минимум достигается именно в этой точке.

Интегрируя по всем условиям w, приходим к необходимости решать далее следующую задачу:

 (3)

Стало ясно, можно обойтись без определения в (2) функции распределения F₁(w).

Детерминированная постановка. В задаче (3) во все зависимости входят лишь произведение (w)(w), а не каждая функция (w) и (w) по отдельности. Обозначив (w)(w)=(w), получаем детерминированную постановку задачи. Она теперь состоит в том, что в группе людей, имеющих душевой доход w, каждому человеку добавляется (w). Для того, чтобы найти (w) нужно израсходовать ограниченные средства из бюджета помощи бедным так, чтобы минимизировать бедность и ее показатель, т.е. следует решить задачу

(4)

Последнее соотношение в (4) определяет класс программ помощи бедным _b, к которому принадлежат все стратегии (w).

Создается впечатление, что стохастическая постановка не нужна. Но это не так, поскольку в реальности не всякий действительно бедный попадает в списки для социальной поддержки в силу разных причин, зачастую чисто субъективного характера: один хочет выглядеть лучше, чем в действительности, другого исключили из списков из-за неуживчивого поведения, третий еще не успел встать на учет и т.п. Таким образом, стохастическая постанова задачи имеет дело с более реальной ситуацией.

3. Решение задачи помощи бедным

Прежде чем доказывать основной результат и необходимое далее вспомогательное утверждение напомним, что все утверждения справедливы для множеств и точек положительной F-меры. Для удобства будем представлять все программы помощи в виде произведения (w)=(w)a(w). Пусть

.

В этом случае для стохастических и детерминированных программ верно следующее.

Лемма 1. Пусть *(w)=(x-w)₊ и (w)- такие две стратегии помощи из класса _b ((w) произвольного вида), что (w)*(w). Тогда существуют хотя бы две такие точки и , что ()<*(), ()>*() и w₁=+()<x<w₂=+().

Доказательство. Предположим, что существует только одна точка w₀: (w₀)*(w₀)=(x-w₀)₊, т.е. (w₀)=(x-w₀)₊+. Обе стратегии принадлежат классу _b, поэтому . Учитывая равенство стратегий во всех точках, не равных w₀, получаем (x-w₀)₊f₀=(w₀). Отсюда (x-w₀)₊=(x-w₀)₊+, т.е. =0 и, следовательно, (w₀)=*(w₀). Таким образом, предположение о единственности точки w₀: (w₀)*(w₀) неверно, следовательно, точек, где стратегии не равны, по крайней мере, две.

Рассмотрим эти две точки и , где и ^* стратегии не равны. Таким образом, для стратегии *(w) ^*(w_i)+f₁^*()+f₂^*()=b/N, а для (w) (w_i)+f₁()+ +f₂()=b/N также. Взяв разность этих выражений f₁[^*()-()]+f₂[^*()-()]=0, с учётом, что f₁>0 и f₂>0 получаем, с точностью до перестановки точек w₁ и w₂, следующее:

При этом неравенства строгие, так как равенство нулю приводит к совпадению двух рассматриваемых стратегий и в этих точках.

Поскольку w+^*(w)=w+(x-w)₊=min[x,w], то из неравенства (x-)₊>() после добавления к обеим частям следует, что x>+(). Аналогично для второго неравенства системы: +()<x. Таким образом, доходы после оказания помощи w₁=+()<x и w₂=+()>x, т.е. новые доходы удовлетворяют неравенству w₁<x<w₂. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть F(w) - функция распределения доходов, p(w) -непрерывная выпуклая вниз весовая функция, и показатель бедности

. Тогда

1) Существует стратегия помощи вида {(w), (w)}:

; (w)=x-w (5)

где x - решение уравнения: .

2) Необходимость: если {(w), (w)}- оптимальная, то она имеет вид (5);

3) Достаточность: если произвольная стратегия {(w), (w)} имеет вид (5), то она является оптимальной.

Доказательство. 1) Существование стратегии вида (5) означает, что найдется такое x, для которого был бы равен b (0bB) при любой функции F(w), т.е. необходимо доказать непрерывность интеграла I(x) по x на отрезке [0,z]. Для этого, вначале, возьмем интеграл I(x) по частям, учитывая, что F(0)=0:

I(x)=b(x)=(x-w)F(x)-(w)d(x-w)=(w)dw.

Поскольку функция F(w) не убывает и ограничена 1, то справедливо неравенство I(x)-I(x₀)x-x₀, следовательно, I(x) непрерывна по x.

2) Достаточность. Пусть P() - показатель бедности после применения стратегии помощи (w)=(w)(w). Следует показать, что показатель P() для любой * не наименьший. В силу леммы 2 после применения стратегии точка w₂>x, либо сталась прежней, либо появилась из-за добавления к исходной w слишком большой величины (x-w)>(x-w)₊. Точка w₁<x и либо осталась прежней при нулевой добавке, либо она (w₁<x) появилась из-за добавки к прежнему доходу w слишком малой величины (x-w)<(x-w)₊.

Далее будем иметь дело со стратегией ', которая может уменьшить показатель P(), исправляя ошибки применения не наилучшей стратегии . Она (') перераспределяет только ошибочно большие или малые добавки, не затрагивая исходные доходы.

Рассмотрим, как и ранее, разность P()-P(')=p(w₁)f₁+p(w₂)f₂-p(z)(f₁+f₂), где z=w₁+ +w₂(1-), а =f₁/(f₁+f₂), где стратегия ' часть доходов из точки w₂>x, получившихся из-за добавок, передаёт людям с доходом w₁<x. Теперь P()-P(')=(f₁-f₂){p(w₁)+(1-)p(w₂)-p[w₁+(1-)w₂]}. Отсюда p(w₁)+(1-)p(w₂)<p[w₁+(1-)w₂] в силу выпуклости функции p(w), т.е P()-P(')>0 и показатель бедности P()) уменьшится. Таким образом, показано, что любая стратегия (w)*(w) может быть улучшена, т.е. стратегия помощи вида (5) будет оптимальной.

3) Необходимость. Предположим, что оптимальная стратегия (w) имеет любой произвольный вид, не равный (5). А стратегия *(w) - вид (5). Тогда, как показано в п.2 доказательства теоремы (достаточность), (w) хуже *(w), т.е. не является оптимальной. Таким образом, приходим к противоречию. Следовательно, наше предположение о произвольности вида оптимальной стратегии неверно - она имеет вид (5). Теорема полностью доказана.

Из теоремы следует, что коль скоро списки нуждающихся составлены, то дальнейшую работу по оказанию помощи можно сделать без участия человека. Список в порядке возрастания душевого дохода делает РС, а далее алгоритм таков: самой бедной группе (доход w₁) добавляется сумма (w₂-w₁), чтобы ее новый доход (w₂) сравнялся со второй по бедности. Если денег b хватает, то каждому человеку из этой пары добавляется (w₃-w₂) до дохода третьей (w₃) и т.д. Если каждому из n_s людей, доходы которых с добавками стали равными w_s - доходам группы s, не хватает оставшихся от b денег, чтобы достичь доходов w_s+1 следующий, то эти остатки делятся между всеми, даже если каждому достанется по рублю или меньше. Получаемый после этой процедуры доход самых бедных со всеми добавками будет равен x. Показатель бедности (1) при этом будет достигать наименьшего значения.

4. Повышение благосостояния

Как и ранее будем размещать заданную не очень большую сумму b с тем, чтобы максимально увеличить благосостояние некоторого общества. Пусть (w) - вероятность того, что человеку с доходом w будет добавлена величина (w). Пара чисел (w) и (w) при каждом заданном w дают ответ на основной вопрос о размещении средств: кому - (w) и сколько - (w) добавлять. Эта пара функций, называемая программой (стратегией) повышения благосостояния, - искомая. Она нужна для того, чтобы максимизировать показатель благосостояния:

.

Говорят, что стратегия {(w),(w)} принадлежит классу _b, если все ресурсы повышения благосостояния израсходованы на это, т.е.

N(w)(w)dF(w)=b.

Точно так же, как было сделано ранее, можно показать, что задача сводится к отысканию такой программы, которая является решением следующей задачи:

.

Стратегию, для которой (w)(w)=(x-w)₊, будем обозначать^*(w).

Теорема 2. Пусть F(w) - функция распределения доходов, u(w) - непрерывная выпуклая вверх весовая функция и показатель благосостояния . Тогда

1) Существует стратегия помощи вида {(w), (w)}:

; (5)

где x - решение уравнения:

;

2) Необходимость: если {(w), (w)}- оптимальная, то она имеет вид (5);

3) Достаточность: если произвольная стратегия {(w), (w)} имеет вид (5), то она является оптимальной.

Доказательство теоремы основано на лемме.

Лемма 2. Пусть *(w)=(x-w)₊ и (w)- такие две стратегии повышения благосостояния из класса _b ((w) произвольного вида), что (w)*(w). Тогда существуют хотя бы две такие точки w₁ и w₂, что

(w₁)<*(w₁), (w₂)>*(w₂) и w₁<x<w₂.

Доказательства леммы и теоремы о стратегии повышения благосостояния аналогичны приведённым ранее о программе борьбы с бедностью. Они предоставляются читателю.

Замечание. Доказательство существования наилучшей стратегии борьбы с бедностью (повышения благосостояния) было основано на непрерывности наименьшей денежной единицы. Однако реально рубль или копейка неделимы на части, поэтому остатки после добавки возможной из-за ограниченности ресурса могут составлять величину от 0 до1. Несмотря на то, что разница (даже когда счёт идет о копейках) для получающего человека незаметна, для организации, распространяющей пособия, особенно когда речь идёт о миллионах получающих помощь, она может быть весьма ощутима. На каждый миллион человек она может составлять от 1 коп. до почти 10 тыс. рублей. Вот здесь и пригодиться случайное распределение остатка, когда нужно будет решать вопрос, кому из этого миллиона добавлять копейку, а кому нет, чтобы вся выделенная сумма была распределена.

Заключение

В этой части было очень хорошо видно, что бедность и благосостояние общества теснейшим образом связаны между собой. Однако были затронуты только вопросы борьбы с бедностью и улучшения благосостояния. Выпала из внимания важнейшая проблема - откуда можно взять деньги для этой борьбы. Если просто максимизировать благосостояние без всяких ограничений, то ответ прост: доходы всех людей должны быть одинаковыми, хотя все они вносят разную лепту в благосостояние.

Задачи

1. Обсудите вопрос, какая из программ помощи, приведенных в примерах 1, 2 и 3 лучше. Обоснуйте стратегию, выбранную в Волгограде.

2. Покажите, что при дифференцируемой функции

p(w) и dw0

справедливо равенство:

p(w+dw)dF(w+dw)-p(w)dF(w)=p'(w)dF(w)dw+o(dwdF(w)).

3. В небольшом посёлке, где проживает 30 человек, всего 10 бедных, имеющих достаток в 10, 15, 17, 25, 37, 48, 56, 65, 78 и 89 единиц. Для помощи малообеспеченным выделено 373 единицы. При черте бедности в 100 единиц кому следует помогать и сколько добавлять каждому? Определите наилучшую программу, когда

а) Показатель бедности - доля бедных.

б) Показатель бедности - нехватка дохода.

в) Показатель бедности - глубина бедности.

Обсудите результат. Какая из программ кажется вам лучшей? Почему? Остались ли средства после оказания помощи? Предложите, что с ними делать. Обоснуйте предложения.

3а. В небольшом посёлке, где проживает 30 человек, имеющих достаток в 10, 15, 17, 25, 37, 48, 56, 65, 78, 89 единиц и далее каждый последующий имеет достаток на 9 единиц больший, чем предыдущий, т.е. 98, 107 и т.д. Для улучшения благосостояния выделено 373 единицы. Кому следует направлять средства и сколько добавлять каждому? Остались ли средства после распределения надбавок? Если остались то, как с ними поступать?

4. Каково расслоение среди малообеспеченных, после оказания им помощи по программе, получающейся в задаче 3 для случаев а, б и в?

4а. Каково расслоение среди населения посёлка, после оказания им распределения надбавок по программе, получающейся в задаче 3а?

5. Определите программу социальной помощи бедным для показателей бедности из задачи 3 при трех распределениях: двухточечном, равномерном и Парето. Среднее значение достатка в k раз больше черты бедности.

5а. Определите программу повышения благосостояния при трех распределениях достатка: двухточечном, равномерном и Парето. Среднее значение достатка в k раз больше черты бедности.

6. Имеется m районов в области с возможно различным числом жителей N₁, N₂,N_m и бедных n₁, n₂,n_m. Как распределить между районами бюджет социальной поддержки малоимущих, чтобы показатель бедности области стал наименьшим? Можно ли воспользоваться только общими данными, типа доли бедных, нехватки доходов, средних значений и т.п.? Исследуйте разные показатели бедности. Какие дополнительные данные нужны для решения такой задачи?

6а. Имеется m районов в области с возможно различным числом жителей N₁, N₂,N_m. Как распределить между районами бюджет повышения уровня жизни, чтобы показатель благосостояния области стал наибольшим? Можно ли воспользоваться только общими данными типа средних значений благосостояния в районах? Исследуйте разные показатели благосостояния. Нужны ли какие-либо дополнительные данные для решения такой задачи?

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. “Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.

2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.

3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002

4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.

5. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.

6. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.

7. Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с переменной структурой населения. «Экономика и математические методы», том 30, вып. 2, 1994 г.

8. Гегель Г. Политические произведения, Изд. "Наука". М. 1978г

9. 12. Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М. 2002 г

10. Зайончковская Ж.А. Новосёлы в городах (методы изучения подвижности). «Статистика», М. 1974 г.

11. Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд. «Наука», Новосибирск, 1991 г.

12. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: “Прогресс”, 1966.

13. Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М. 1972 г.

14. Кендалл М.Дж.и А.Стьюарт Теория распределений "Наука", М:1966г.

15. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. «Наука», М. 1986 г.

16. Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.

17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. “Наука”. М: 1964 г.

18. Матлин И.С. “Моделирование размещения населения”. Изд. “Наука”, М.1975 г.

19. Миграция населения (редактор Воробьёва О.Д.). Изд. Министерства по делам федерации, национальной и миграционной политики РФ. М. 2001 г.

20. Моделирование социальных процессов. Изд. РЭА им. Плеханова, М.1993г.

21. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходной период в России. Научный доклад №99-04, РПЭИ/Фонд Евразия,1999.

22. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М: Изд. "Наука", 1979.

23. Рао С.Р. " Линейные статистические методы и их применение». «Наука", М:1968г.

24. Результаты обследования движения трудовых ресурсов Латвийской ССР за 1973 год, Рига, Центральное статистическое управление при Совете Министров Латвийской ССР, 1975.

25. Российские статистические ежегодники: Госкомстат России. - М.

26. Сен Амартия. Об этике и экономике. Изд. «Наука», М. 1996 г.

27. Система знаний о народонаселении (редактор Валентей Д.И.) «Высшая школа», М. 1991 г.

28. Соболева С.В. “Демографические процессы в региональном и социально-экономи-ческим развитии”. Изд. “Наука”, Новосибирск, 1998 г.

29. Современная демография. Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. Изд. МГУ. 1995 г.

30. Староверов О.В. (1978). Сложные факторы в моделях движения населения. Сборник Прикладной многомерный статистический анализ. "Наука", Москва.

31. Староверов О.В. (1979) Модели движения населения. Изд. “Наука” Москва.

32. Староверов О.В. (1997). Условия жизни и межгрупповая мобильность. Экономика и математические методы. Том 33, вып. 4

33. Староверов О.В. (1997) Азы математической демографии. Изд. «Наука», М.

34. Староверов О.В. (2003) Общая модель движения населения. Труды международной научно-практической конференции по миграции населения и перспективам демографического развития: России. Изд. ГУ ИМЭИ при МЭ, М.

35. Староверова Т.О. О распределении социальной помощи бедным. «Экономика и математические методы». №1, Москва, 2003 г.

36. Толстая тетрадь. Экономическая школа. Выпуск 2. СП б. 1992г.

37. Фихтенгольц Г.Ф. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. Стр. 188-189.

38. Чапек В.Н. и др. К вопросу о миграции из России интеллектуальных ресурсов труда. В сборнике «Международная конференция Миграция населения и перспективы демографического развития России». Изд. ГУ ИМЭИ, М. 2003 г.

39. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.

40. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.

41. Bartholomew D.J. (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester - New York.

42. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991

43. Bourguignon Franзois. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v.47, №3. 1979.

44. Bourguignon F., G.Fields “Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor”. XI the World Congress of IEA. Tunis, 18-22 December 1995.

45. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22-23.

46. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.

47. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v.48, N7, 1980

48. Isard W.(1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.

49. Journal of Econometrics. V 42, №1, за 1989 г

50. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.

51. Foster J.E., Shorrocks A.F. “Poverty Orderings”. Econometrica, V.56, N 1, 1988.

52. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).

53. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.

54. Ravenstein E.G. The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 и 1889 годы, XLVIII и LII

55. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.

56. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985

57. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.

58. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP N 01-04, EERC. 2001

59. Shorrocks A.F. The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v.48, №3. 1980.

60. Shorrocks Antony “Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index”, Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225-1230.

61. Weidlich W., G. Haag (Eds),(1988). International Migration. Springer - Verlag, New York - London - Tokyo.