Макромодели движения людей

Кафедра: Социология и Обществознание

Реферат

на тему: Макромодели движения людей

Москва, 2008 г.

В настоящей главе при подходе к движению людей делается переход от модели поведения отдельного человека к модели поведения группы людей. В первом случае - при микро подходе - следовало учитывать массу индивидуальных характеристик и тем самым компенсировать дополнительными предположениями и исследованием довольно широкого количества случаев. почти полное отсутствие статистических данных, Во втором - при макро подходе - имеются достаточно разнообразные статистические данные, которые позволяют проводить сравнение данных моделирования с реальными статистическими данными.

Характеристика группы. Совокупность людей, принадлежащих группе, например, работающих в соответствии с потребностями в кадрах работников в организациях какой-либо отрасли народного хозяйства людей и множество потребностей в работниках или вакансий во всех организациях, характеризуют саму группу, в данном случае - отрасль. Отсюда множество работающих людей в отрасли-группе можно охарактеризовать всем множеством работающих и множеством вакансий. При нормально работающем производстве все вакансии бывают занятыми, и освободившаяся вакансия определяется вышедшим по каким-либо причинам из группы человеком. Далее будет рассмотрено, как и ранее, k групп, в которые входят не только отрасли производства, но и ряд других, в частности, жители разных районов страны и т.д.

Рассмотрим какую-либо фиксированную группу. Каждый человек этой группы обладает некоторым, присущим ему и его рабочему месту набором благ и качеств (кортежем) x=(x₁,x₂,...,x_m,), где, например, x₁ - доход, x₂ -обеспеченность жильем, x₃ - длительность его отпуска, x₄ - профессия, x₅ - квалификация и т.д. Совокупность кортежей всех людей группы i образует множество условий жизни и возможностей работы в группе i. Для групп - жителей районов страны или занятых на работе в одной из отраслей экономики подмножества X_i (i=) m-мерных кортежей x имеют очень много общих точек, зачастую просто совпадают. Для групп - профессий эти подмножества, напротив, имеют часто сравнительно не много и не мало общих точек, а для групп - каст или людей с очень узкой специализацией (например, чиновников, шахтеров и т.д.) подмножества могут вообще не иметь общих точек.

Поскольку каждый человек группы обладает какими-либо трудовыми и жизненными навыками, благосостоянием и набором условий жизни x, то вся группа может быть охарактеризована числом или долей людей, имеющих кортежи x, менее предпочтительные, чем некоторый фиксированный набор y (обозначается xy). Различие между числом и долей несущественно, когда известна емкость или численность группы. Математически в первом случае задается мера, а во втором - вероятностная мера G(y)=P(x:xy), но последняя более распространена и известна не только одним математикам, но также и специалистам других профессий.

В теории вероятностей зависимость G(y) от аргумента y, когда он меняется, называется функцией распределения и показывает, что доля людей, обладающих набором благ и возможностей для труда и жизни, менее предпочтительных, чем y равна G(y). Таким образом, условия жизни и труда в группе это не только множества X_i кортежей, но и частоты встречаемости их, т.е. функции G(y) с аргументом-вектором y. Разные группы могут характеризоваться разными функциями распределения G_j(y) - условиями жизни и труда в группе j. Поэтому, рассматривая условия жизни и труда в группах, приходится исследовать множества функций распределения. Со временем эти множества, или отдельные их части меняются.

В результате, если хочется исследовать влияние на людей условий труда и жизни в группах, приходится рассматривать не множества функций распределения по числу групп, а целые классы (возможно бесконечные) функций распределения. В каждой конкретной ситуации, конечно, будем иметь дело не с целым классом, а лишь с конкретным множеством из него (чаще всего конечным), но заранее неизвестно с каким именно. Таким образом, при исследовании влияния на движение людей их благосостояния, условий жизни и труда и т. д. (более обще, качества жизни) в группах следует учитывать классы произвольных функций распределения благ среди людей группы.

Подытоживая сказанное здесь ранее, можно считать, что возможность перехода в группу i (особенно это наглядно для рынка труда, в частности, появившаяся там случайная вакансия из группы i, т.е. из подмножества X_i) может быть охарактеризована вероятностной мерой G_i(x), xX_iR^m, которая определяет и множество X_i и частоту появления различных вакансий. Поэтому наиболее полной групповой характеристикой, которая показывает не только наличие необходимых для места работы качеств человека и предоставляемых ему благ, но и частоту (количество) работников с такими качествами и предоставляемыми благами будет функция G_i(x).

Рассмотрим теперь вопрос, что же будет происходить при освобождении места и появлении вакансии, скажем, y в группе j, распределение благ и деловых качеств в которой задается G_j(y), а также множеством X_j(y) потребных для работы качеств. Конечно не всякий покинувший группу человек определяет вакансию. Так вакансия покинувшего группу может быть занята работником из той же группы и лишь эта вновь освободившаяся вакансия появляется на рынке труда. Более того, не любой покинувший группу, вообще говоря, определяет вакансию. Например, сокращение рабочей силы из-за ввода более производительных машин не приводит к освобождению рабочих мест. Но в любом случае вакансия y связана с функцией G_j(y) или ее модификацией. Однако связь между функцией распределения условий труда и благ среди всех членов групп, точнее, той ее части, которая появляется, например, на рынке труда из-за кадровой политики в группе (на предприятиях отрасли, повышения квалификации), во-первых, совсем не изучена, а, во-вторых, внутриотраслевые внутрифирменные, внутризаводские и т.д. переходы зачастую фиксируются и входят в модель движения. Поэтому, для простоты дальнейшего изложения, считается, что функция G_j(y) и ее модификация совпадают, что обычно делается при практических расчетах.

Естественно, что все люди, обладающие xy, будут стремиться занять место y. Для наглядности в данном исследовании лучше иметь ввиду ,например, предприятие (организацию, фирму, отрасль), в которой освободилась вакансия, т.е. появится спрос на рабочую силу. Если y - блага и необходимые качества человека, представляемые вакансией таковы, что множество людей x из группы i не может претендовать на вакансию, т.е. X_iX_j(y) пусто, то вакансия y не будет занята человеком их группы i. Если же множество X_iX_j(y), т.е. люди из группы i могут претендовать на вакансию y, то требуется особое рассмотрение, вызванное тем, что элементы x - это люди со своими возможностями, желаниями, информированностью, претензиями и т.д.

Таким образом, появившаяся на рынке труда случайная вакансия из группы i (из подмножества X_i) может быть охарактеризована функцией распределения G_i (y), где yX_iR^m, которая показывает не только наличные необходимые для места работы качества человека и предоставляемые этой работой блага, но и частоту (количество) этих качеств и благ. Хотя существующие потребности в кадрах - функции G_i(y) - не могут быть полностью известны, так как возможности, например, нового технологического процесса, появившегося из-за технического прогресса, не известны сразу после нововведения, и могут уточняться в эксплуатации довольно долго, далее рассматриваются именно они, что, как окажется, несущественно.

Простейший случай объединения микро макро подходов. Как всегда начнем со случая, который позволяет понять подходы, используемые при моделировании миграции довольно долго и приводящие к самым разным результатам: иногда успешным иногда не очень. Ясно, что имеется ввиду линейная функция индивидуальной привлекательности f(x,y)=a+b^T (y-x). Начнем с вопроса, как человек выбирает группы j, характеризуемые функциями распределения благ G_j(y), выходя из группы с G_i(x).

Начнем с группы, состоящей из одного или нескольких человек, характеризуемых одним и тем же набором x т.е. функция G_i(x) имеет единичный скачек в точке x. Теперь можно определить среднюю тягу людей в группу j. В первом приближении, по-видимому, считалось, что при доле людей в группе j, равной dG_j(y), обладающих характеристиками y, стремление в группу будет пропорционально этой доле, в зависимости от того, на каком уровне находится человек x. Тогда средняя привлекательность группы j для человека x будет равна

f(x,y)]dG_j(y)=a+b^T(y-x)]dG_j(y)=a+b^T(E_jy-x), (1)

а стремление в группу j будет тем больше, чем лучше средние показатели в ней. Учитывая линейность функции предпочтения, привлекательность группы j для человека x, будет равна f(x,E_jy).

В действительности, однако, доля людей группы i, обладающих характеристиками x, может быть не равной 100%. Эта доля может быть равной dG_i(x), поэтому привлекательность группы j для всех людей из группы i можно получить суммированием всех средних привлекательностей для людей, характеризуемых x, с учетом их веса - доли dG_i(x) в группе i. Следовательно, нужно найти . Теперь, учитывая линейность функции предпочтения f(x,y), легко получить, что

a+b^T(E_j y-x)]dG_i(y)=a+b^T(E_j y-E_ix)=f(E_ix,E_i y) (2)

Последнее означает, что привлекательность группы j для людей из группы i зависит от средних значений распределения благ в группах i и j и привлекательность фиксированной группы j тем меньше, чем больше средние условия в группе i. Возможно, получить такое же выражение еще проще, считая, что группа ведет себя так же, как человек со средними условиями в ней, который ориентируется на средние условия в другой.

Хотя только что рассмотренная зависимость межгрупповых потоков от факторов в группах имеет целый ряд серьезных недостатков, она имеет длинную историю в приложениях и обойти ее молчанием - значит не продвинуться принципиально дальше. Конструктивная критика обсужденного здесь подхода и с экономической и, особенно, с математической точки зрения будет изложена в конце этой главы, но вначале необходимо привести основные макромодели и аргументы, приводящие к ним.

Некоторые модели миграции. Вероятно, простое рассуждение о подстановке средних значений условий в группах в функцию тяги породило многие модели подвижности населения, особенно при исследовании миграции. В одной из первых моделей функция привлекательности f(x,y) была просто выбрана обратно пропорциональной среднему значению d_ij расстояний между регионами (если регионы - это множества точек, то а) что означает среднее расстояние между точками двух множеств, и б) что представляет собой точка во множестве-регионе?). Действительно, поток мигрантов из Европы в Северную Америку больше, чем поток, например, в Австралию, не говоря о миграции внутри Европы.

Чтобы улучшить приближение потока между группами, считалось, что поток тем больше, чем больше населения в районе i, из которого люди выталкиваются по каким-либо причинам, например, из-за плохого качества жизни в нем. Но поток в группу j считался тем больше, чем больше возможностей для обустройства в группе j, а последних тем больше, чем больше людей там уже живет. Поэтому средний поток n_ij из группы i в группу j считался равным

n_ij=n_i f(E_ix,E_i y)n_j=A

и модель, соотношение для которой приведено, называлась, по аналогии с физической моделью, гравитационной.

Однако это соотношение подвержено критике, особенно в части умножения на n_j,, так как именно оно (умножение) делает поток теоретически нулевым в группу, в которой нет людей, но есть хорошие условия для их устройства. Поэтому вместо n_j, появился коэффициент, отражающий доступность группы j, которая часто называется притяжением, а величина n_i, которая при переходе от интенсивностей к средним величинам потоков автоматически появляется была заменена коэффициентом выталкивания c_i из исходной группы. Отсюда появились "тяни-толкай" модели движения людей, для которых интенсивности переходов между группами, а не средние значения потоков, представлялись так:

_ij=c_ia_j/d_ij (3)

В обычных условиях коэффициент выталкивания c_i, называемый в экономической литературе склонностью, а в последние годы часто способностью к переходам, находится на уровне равным 1. Поэтому. он просто не учитывается, так как любой человек может выйти их исходной группы i в любой момент, если у него есть желание покинуть ее. Однако есть группы. из которых выталкивание или способность к выходу ограничены. Примером может служить группа людей, отбывающих срок наказания за свешенные ими правонарушение.

Но вернемся к (3) и продолжим обзор развития соотношений, пригодных для моделирования движения населения, не в хронологическом, а в логическом порядке. Итак, затем в моделях "тяни-толкай" (3) в расстоянии вместе с географическими координатами стали использовать другие, но также средние характеристики районов или других групп, в том числе и заработки, средние доходы, обеспеченность жильем и т.д. Но и это не спасало от критики.

Наконец появились соотношения, определяющие средние потоки с географическим расстоянием в качестве ядра (зависимого от двух групп параметра), но в которых другие факторы подвижности, включая средние доходы, жилищные условия и т.д., входили в полезности групп. Поэтому коэффициенты притяжения и отталкивания в модели "тяни-толкай" имели вид , т.е. чем больше средняя полезность группы i, тем меньше выталкивание из нее, и чем больше полезность j, тем больше ее притяжение. Интенсивности переходов в этой модели имели вид:

_ij=. (4)

Но и последнее соотношение не снимает очень важного вопроса, который остается после рассмотрения (2) и всех последующих соотношений, о том насколько правомочна подстановка средних значений в соотношения для привлекательностей f(x,y) - в ядро моделей "тяни-толкай".

Обсуждение макромоделей. Многие примеры моделирования миграции, хорошо проявившие себя на практике, показали, что функции притяжения не линейны. А если функции привлекательности нелинейные, как было подмечено в свойствах действия факторов на подвижность населения это скорее всего так, то подстановка средних значений вместо конкретных условий труда и жизни отдельного человека в старой (i) и новой (j) группах никак не оправдана. С математической точки зрения это просто ошибка, поскольку только для линейных функций математическое ожидание функции равно этой же функции от математических ожиданий. Математическое обоснование невозможности подстановки средних значений в функцию привлекательности таково.

Однако есть, естественно, и содержательное, которое состоит в том, что человек, обладающий x, не будет обращать внимания на величину среднего значения, если он может при переходе заполучить лучшие условия: yx. Поэтому величина тяги даже при линейной функции притяжения на условия y конкретного человека с условиями x будет равна нулю, когда x лучше y, и только при y лучших чем x, величина притяжения линейно зависит от y. Следовательно, даже в случае линейности

или _ijH[f(x,y)],

а H - функция Хевисайда.

Таким образом, даже при линейной функции притяжения человек x знает только то место y, которое ему в группе j предлагают, а не среднее значение своего положения, которое ему, кстати, совершенно безразлично, при переходе в новую группу, как это было представлено в (4.1), а затем для людей всей группы в (4.2).

Обсудив использование средних значений, можно двинуться дальше. Начнем с расстояния. Одно из возражений возникло при рассмотрении обобщенных расстояний, когда в качестве компоненты-условия использовалась заработная плата (доход). Очевидно, что близость заработков при прочих равных условиях не приводит к переходам, что уже противоречит (3), так как d_ij=0. Если же заработки различны, например, на l рублей в группе j платят больше, чем в i за одинаковую работу, то переходы из i в j будут при прочих равных условиях тем больше, чем больше l. И наоборот, поток из i в j может исчезать при больших отрицательных различиях в оплате труда - e, хотя в обоих случаях (при l=-e) "расстояние" увеличивается на одну и ту же величину. Такое изменение должно, в соответствии (3), снижать интенсивность переходов между группами i и j вне зависимости от знака различия, что противоречит и экономическому смыслу влияния дохода и, естественно, наблюдениям.

Один пример неточности толкования расстояния d_ij уже был дан. Однако даже при обычной миграции не все так просто. В самом деле, уменьшение расстояния увеличивает интенсивность переходов, что соответствует действительности: особенно велика миграция в приграничных районах, где d_ij=0. Это наталкивает на мысль использовать в качестве способности ухода и численность людей, проживающих в приграничье между регионами, и только при отсутствии общих границ использовать цену переезда. В этом смысле соотношение (3) справедливо.

Начнем с выталкивания. Один пример неточности толкования коэффициента c_i уже был дан. Далее последуют примеры, когда способность или склонность к выбытию легко вычисляется из содержательных соображений. Начнем с группы служащих в армии, контракт с которыми действует, скажем, два года. В последнем случае, если набор производится ежегодно и поддерживает численность группы (армии) постоянным, то примерно половина находящихся в этой группе людей способна покинуть нее ежегодно, т.е. c_i0,5. При пятилетнем контракте c_i0,2.

Другой пример. Рассмотрим институт повышения квалификации врачей, длительность обучения в котором полгода. Если набор обеспечен всегда, то ежегодно он будет выпускать вдвое большее количество переподготовленных, чем число обучающихся в нем в любой момент времени. Поэтому способность к выбытию из группы обучающихся в институте повышения квалификации c_i2.

Из последних двух примеров следует, что коэффициент выталкивания может быть любым положительным числом. Однако для миграции находится более реальное ограничение: Если считать, что люди, находящиеся за чертой бедности не имеют возможности к передвижению, то способность к выходу из любого района не может превосходит доли людей, с доходами, превышающими черту бедности. Конечно, зависимость способности ухода может быть более сложной, но как бедность, так и ее мера в любом виде должна влиять на выход людей из групп.

Осталось рассмотреть и обсудить доступность (притяжение) a_j группы j. Как правило, доступность группы связывается с емкостью группы. Для регионов и стран - это численность людей, которых может группа принять. Страны связывают такую возможность с миграционной политикой, а отрасли экономики и отдельные организации с числом свободных рабочих мест, которые при их занятии работниками будут приносить доход. Итак, емкость группы - это число занятых и вакантных мест.

Однако вычислять доступность - занятие не из простых. Во-первых, это число постоянно меняется из-за уходов работников, Во-вторых, из-за изменений конъюнктуры не все освободившихся места становятся вакантными: иногда их численность из-за инвестиций возрастает, а часто и падает. Окупаемость инвестиций происходит быстрее при вложениях туда, где уже есть свободная и дешевая рабочая сила. Именно это обстоятельство отражено в гравитационной модели, в которую специально вводятся численности групп, куда люди приходят.

Подводя промежуточный итог, следует обратить внимание на то, что межгрупповые потоки в модели миграции типа “тяни-толкай” содержат три множителя. Два из них отражают условия в группах, куда люди приходят и откуда уходят, а последний включает условия в обеих группах. Для контроля подвижности людей важно, что влияние условий жизни и труда в группах сказывается по разному на всех параметрах модели “тяни-толкай”.

Например, ухудшение экономической ситуации и благосостояния в отдельном районе или в стране приводит к: а) увеличению желания поменять место жительства - выталкивание увеличивается; б) некоторые (наиболее молодые, предприимчивые и искусные) домохозяйства способны это сделать, а некоторые (узкоспециализированные и менее изобретательные) - нет; в) доступность группы хотя и увеличивается, но приводит к встречному потоку менее образованных и состоятельных. Таким образом, качество населения и благосостояние начинает убывать; все это ведет к ценой реакции объединения общества района. Только оставшаяся рабочая сила, постоянно дешевея, может привлечь инвестиции и тем самым начать подъем благосостояния района, но этот достаточно длительный процесс лежит в стороне от настоящего исследования.

Однако еще одну особенность перехода от микро к макро-подходу нельзя оставить без внимания. Она состоит в том, что среднее значение улучшения состояния индивида, принимающего решение о переходе, обычно фигурирует в теории оптимального управления. Поэтому выбор нового места жительства или работы, основываясь на максимизации среднего улучшения, относился бы к этой теории. Но знать или уметь находить оптимум среднего улучшения может только очень много знающий, например, о функции распределения благ, человек.

Подход, основанный на оптимизации среднего улучшение индивидуального статуса, который не всегда возможен даже для каждого отдельного человека, перенести на поведение целой группы еще труднее. Поэтому, следуя Г. Саймону , будем считать, что "в реальном мире мы, как правило, лишены возможности выбора между удовлетворительным и оптимальным решениями, так как крайне редко располагаем методом, позволяющим найти оптимум". Далее ограничимся лишь удовлетворительным поведением, как отдельного человека, так и целой группы людей.

Вполне разумно предполагать, что человек принимает решение о переходе ограничиваясь просто улучшением своего положения, если он не в состоянии рассчитать среднее улучшение. Поэтому можно считать, что группа j будет удовлетворять человека x тем больше, чем больше доля людей в группе j с условиями y лучшими x.

Задачи

1. Пусть рассматривается группа учащихся трехмесячных курсов подготовки секретарей-делопроизводителей, которые производят набор из ,например, 100 человек каждые три месяца, выпуская с учетом отсева в процессе подготовки 95 переподготовленных секретарей. Определите число выпущенных из группы людей в год. Какова способность выхода (интенсивность выпуска. выталкивания - c_i) из этой группы, если набор обеспечен на несколько лет? Какова годовая емкость и доступность этих курсов?

2. Решите задачу 1 в условиях, когда кроме 3-х месячных курсов из задачи 1, есть еще четырехмесячные курсы переподготовки бухгалтеров с набором 200 человек каждые 4 месяца выпуском 150 человек после окончания курсов. Определите число выпущенных специалистов в год. Какова способность (коэффициент выталкивания) из группы учащихся этих курсов в год, если набор обеспечен на многие годы? Какова годовая емкость и доступность этих курсов?

3. Пусть принято решение о сокращении группы (например, армии) на 10% ежегодно в течение нескольких лет. Количество увольняемых ежегодно - половина списочного состава, но набор делается так, чтобы суммарное количество людей в группе сокращалось на 10% ежегодно. Каков коэффициент выталкивания через год, два, три и т.д.? Какова годовая емкость этой группы в первый, второй и т.д. год?

4. Покажите, например, что при обновлении армии на 40% ежегодно из-за демобилизации и призыва, средний срок службы составляет 2,5 года, а выталкивание c_i (i - номер группы-армии) будет равно 0,4 (0,4=1/2,5). Какова доступность?

5. Рассмотрим две одинаковые по численности (по 432 человека) группы-предприятия с координатами: у первого (3,4) и у второго (-3,-4), работники которых живут в поселке с координатами (0,0). Предприятия отличаются кроме расположения одинаковыми для всех работников заработками: на первом они равны 850 рублей, на втором - 950. Проверьте, соответствуют ли потоки между предприятиями, определяемые гравитационной моделью, экономическому смыслу. В качестве расстояния возьмите обобщенное евклидово, под корнем квадратным стоит взвешенная сумма квадратов разностей трех координат (третья координата - заработки).

Справки и ссылки

Глава базируется на моделях, предложенных и описанных в работах Isard'а, Cossinus'а и Weidlich'а с Haag'ом. Кроме описанных выше макро моделей имеется и масса других, которые нельзя считать Марковскими. Однако следует обратить внимание на то, что факторные модели, по сути, всегда используют принцип: будущее зависит от прошлого лишь через настоящее. Действительно, считается, что при переходах человек принимает решение о переходе (переезде), сравнивая лишь свои сегодняшние условия со статусом в будущем.

В действительности, опыт человека играет свою роль, поэтому проблема его (опыта) учета не устраняется - она переходит в другую плоскость: где его учитывать и как? Может быть учесть в наборе характеристик возраст человека, ведь более проживший обзавелся, как правило, и большим опытом. Возможность менять функцию тяги, конечно, есть всегда. Не ясно лишь, как изменяет опыт (возраст) сравнение условий. Другая возможность равнозначная последней - она состоит в добавлении к характеристикам человека опыта работы. В этом случае, нужно разбить прежние группы на более мелкие, добавив при группировке опыт.

Расстояния в первых тяни-толкай моделях отражало лишь сходство условий в группах. Микро модели со сходством к предлагаемой книге не рассмотрены. Однако такое положение легко исправить, добавив сходство (величину обратную расстоянию). Однако расстояние в таком случае может не удовлетворять неравенству треугольника. Подобное расстояние может быть введено аналогично описанному в [Кемени и Снелл], заменив неравенство треугольника на введённое там понятие «между».

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. “Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.

2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.

3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002

4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.

5. Бреев Б.Д. Староверов О.В. Об одном методе учёта факторов в движении населения. «Экономика и математические методы», №1, 1979 г.

6. Гаврилец Ю.Н. Компромисс интересов и справедливость в оплате труда (модельный анализ). «Экономика и математические методы», том 28, выпуск 1. 1992 г.

7. Гаврилец Ю.Н. Модель равновесного функционирования экономики с переменной структурой населения. «Экономика и математические методы», том 30, вып. 2, 1994 г.

8. Гегель Г. Политические произведения, Изд. "Наука". М. 1978г

Гончаренко А.Б., Староверов О.В. Подвижность населения и качество жизни. Экономика и математические методы. Том 37, выпуск 1. М. 2002 г

9. Зайончковская Ж.А. Новосёлы в городах (методы изучения подвижности). «Статистика», М. 1974 г.

10. Заславская Т.И., Рывкина Р.В. Социология экономической жизни. Изд. «Наука», Новосибирск, 1991 г.

11. Изард У. Методы регионального анализа: введение в науку о регионах. М.: “Прогресс”, 1966.

12. Кемкеи Снелл. Кибернетическое моделирование. Изд. «Сов. Радио», М. 1972 г.

13. Кендалл М.Дж.и А. Стьюарт Теория распределений "Наука", М:1966г.

14. Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. «Наука», М. 1986 г.

15. Култыгин В.П. Классическая социология. Изд. «Наука», М. 2000 г.

16. Леман Э. Проверка статистических гипотез. “Наука”. М: 1964 г.

17. Матлин И.С. “Моделирование размещения населения”. Изд. “Наука”, М.1975 г.

18. Миграция населения (редактор Воробьёва О.Д.). Изд. Министерства по делам федерации, национальной и миграционной политики РФ. М. 2001 г.

19. Моделирование социальных процессов. Изд. РЭА им. Плеханова, М.1993г.

20. Нестерова Д., Сабирьянова К. Инвестиции в человеческий капитал в переходной период в России. Научный доклад № 99-04, РПЭИ/Фонд Евразия, 1999.

21. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. М: Изд. "Наука", 1979.

22. Рао С.Р. " Линейные статистические методы и их применение». «Наука", М:1968г.

23. Результаты обследования движения трудовых ресурсов Латвийской ССР за 1973 год, Рига, Центральное статистическое управление при Совете Министров Латвийской ССР, 1975.

24. Российские статистические ежегодники: Госкомстат России. - М.

25. Сен Амартия. Об этике и экономике. Изд. «Наука», М. 1996 г.

26. Система знаний о народонаселении (редактор Валентей Д.И.) «Высшая школа», М. 1991 г.

27. Соболева С.В. “Демографические процессы в региональном и социально-экономическим развитии”. Изд. “Наука”, Новосибирск, 1998 г.

28. Современная демография. Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. Изд. МГУ. 1995 г.

29. Староверов О.В. (1978). Сложные факторы в моделях движения населения. Сборник Прикладной многомерный статистический анализ. "Наука", Москва.

30. Староверов О.В. (1979) Модели движения населения. Изд. “Наука” Москва.

31. Староверов О.В. (1997). Условия жизни и межгрупповая мобильность. Экономика и математические методы. Том 33, вып. 4

32. Староверов О.В. (1997) Азы математической демографии. Изд. «Наука», М.

33. Староверов О.В. (2003) Общая модель движения населения. Труды международной научно-практической конференции по миграции населения и перспективам демографического развития: России. Изд. ГУ ИМЭИ при МЭ, М.

34. Староверова Т.О. О распределении социальной помощи бедным. «Экономика и математические методы». №1, Москва, 2003 г.

35. Толстая тетрадь. Экономическая школа. Выпуск 2. СП б. 1992г.

36. Фихтенгольц Г.Ф. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. Стр. 188-189.

37. Чапек В.Н. и др. К вопросу о миграции из России интеллектуальных ресурсов труда. В сборнике «Международная конференция Миграция населения и перспективы демографического развития России». Изд. ГУ ИМЭИ, М. 2003 г.

38. Alonso W. Theory of Movements: Introduction. Berkley. Institute of Urban and Regional Development. University of California, 1976.

39. Atkinson A. On the Measurement of Poverty. Econometrica, 1987. Vol.55, No 4.

40. Bartholomew D.J. (1982). Stochastic Models for Social Processes. J. Wiley. Chichester - New York.

41. Begg D, Fischer S, Dornbusch R. Economics. McGraw-Hill. London, New York, 1991

42. Bourguignon Franзois. Decomposable Income Inequality Measures. Econometrica, v.47, №3. 1979.

43. Bourguignon F., G.Fields “Discontinuous loss from Poverty, generalized measures, and optimal transfers to the poor”. XI the World Congress of IEA. Tunis, 18-22 December 1995.

44. Cossinus H. (1976). Quelque points de vue sur l'analyse des talleaux d'echauges. Annals de L'ISEE, N22-23.

45. Cowell F. Measures of Distribution Change: An Axiomatic Approach. The Review of Economic Studies, Vol. LII (1), No 168. 1985.

46. Dagum C. Inequality Measure between Income Distributions with Applications. Econommetrica, v.48, N7, 1980

47. Isard W.(1960). Methods of Regional Analysis: an Introduction to Regional Science. New York.

48. Journal of Econometrics. V 42, №1, за 1989 г

49. Fields. Place-to-Place Migration: Some new Evidence. Review of Economics and Statistics. Vol. LXI, N1, 19879.

50. Foster J.E., Shorrocks A.F. “Poverty Orderings”. Econometrica, V.56, N 1, 1988.

51. Holmlund В. Labour Mobility. IUI, Stokholm, (1984).

52. Ravallion M. Poverty Comparison. Harwood Academic Publisher, 1992.

53. Ravenstein E.G. The Lows of Migration. Journal of the Royal Statistical Society. 1885 и 1889 годы, XLVIII и LII

54. Rogers A. Introduction to Mathematical Demography, John Willey, 1975.

55. Rosen S. Human Capital. In Handbook of Public Economics, Vol. 1. Ed. Auerbach and Feldstein, Amsterdam: North Holland. 1985

56. Sen A. Poverty; an Ordinal Approach to Measurement. Econometrica, 1976, No 2.

57. Shakhnovich R., Yudashkina G. Wage-Setting and Employment Behavior of Enterprises during the Period of Economic Transition. WP N 01-04, EERC. 2001

58. Shorrocks A.F. The class of Additively Decomposable Measures. Econometrica, v.48, №3. 1980.

59. Shorrocks Antony “Notes end Comments Revisiting the Sen Poverty Index”, Econometrica. Vol. 63, No 5. (September, 1995, pp 1225-1230.

60. Weidlich W., G. Haag (Eds),(1988). International Migration. Springer - Verlag, New York - London - Tokyo.