Кафедра: Социология и Обществознание

Реферат

на тему: Измерение и меры уровня жизни

Москва, 2008 г.

В этом реферате не будут рассматриваться ни доход всего общества, ни доход отдельного человека, ни семейный доход и т.д., так как благосостояние отдельных граждан общества, будучи зависимым от всех этих доходов, в первую очередь базируется на доходах, приходящихся на душу домохозяйства ("душевого дохода"). Именно такие доходы определяют в основном уровень жизни населения. Под уровнем жизни понимается степень удовлетворения физических, духовных, социальных, одним словом - всех потребностей человека, обеспеченность его потребительскими благами, или, проще, достаток личностей, образующих общество.

Наиболее часто различие в уровне жизни отдельных людей, т.е. населения стран или их регионов, измеряется несколькими показателями, например, средним - «среднедушевым» - доходом населения страны или региона, который получается делением доходов всех людей на численность населения. Кроме этого показателя имеется ещё несколько, показывающих расслоение доходов, благосостояние и бедность людей, изучению мер которых посвящено несколько тем далее. При обсуждении проблем экономики и социологии очень часто используется понятия уровня жизни. Уровень жизни отдельного человека (микро подход) отличается от уровня жизни всего общества (макро подход), поэтому их следует рассматривать порознь. Начнём с первого.

Народное хозяйство СССР, особенно в восьмидесятые годы прошлого века, показало, что оно может, даже развиваясь, не давать населению повышения его уровня жизни. В этой главе не будет более обсуждаться и определяться социально-экономическая категория «уровень жизни»: это имеется во многих местах. Для дальнейшего вполне достаточно понимания того, что уровень жизни связан с обеспеченностью или достатком отдельных индивидуумов, а через них и всего общества разного рода благами.

1. Микро подход. Обычно наличие благ и их отсутствие ассоциируется с доходами. Такое понимание верно только отчасти. Действительно, в момент или период наблюдения доходы человека могут быть довольно малыми, но он имеет земельный участок, квартиру или дом, машину и т.п. Другой может иметь даже более высокие доходы, но не иметь кроме них ничего более, поэтому трудно сказать, чей уровень жизни выше, сопоставляя только обеспеченность одним благом - доходом. Таким образом, учитывать одни только доходы совсем недостаточно.

Уровень жизни любого общества характеризуется, как уже отмечалось, ещё многим, скажем, расслоением людей по их обеспеченности благами, бедностью, благосостоянием и т.д. Все эти понятия не только тесно связаны между собой, но и их показатели бессмысленны, если нельзя измерить сам достаток отдельного человека. Но для дальнейшего важно ответить на два вопроса. Первый заключается в том, из чего складывается достаток, т.е. обеспеченность благами, отдельного человека, а второй - почему всегда на слуху только доходы.

Ответ на второй вопрос прост: легче определить доходы. Кроме того, наличие благ преходяще, а при соответствующих доходах их можно приобрести при любых начальных запасах. Поэтому далее можно обсуждать только доходы, но нельзя исключать и исходные данные. Например, даже малый земельный надел даёт ежегодно продукт, притом совсем другого качества, чем приобретаемый с помощью дохода, не говоря уже о воздухе и отдыхе, т.е. о здоровье, которое сокращает расходы на лечение. Автомобиль обычно служит для того, чтобы экономить время, которое также может приносить доход, увеличивать достаток и т.д.

Ответ на первый конкретно описан в конце следующего пункта этой главы и объясняется он различными формами распределения достатка в обществе и в домохозяйстве (семье). Действительно, если в обществе распределение доходов зависит от замеченной эффективности работы каждого на благо общества (например, «каждому по труду»), то в домохозяйстве главенствует совсем другой принцип (скажем, «каждому по потребности»). Именно соблюдение такого принципа выделяет домохозяйство из общества, не даёт превратиться ему в микро общество. Как только последний принцип распределения начинает нарушаться - домохозяйство распадается, возникают новые домохозяйства, в которых такой принцип соблюдается. В домохозяйстве «не тянут одеяло на себя». Здесь главенствует компромисс в рамках своего для каждого домохозяйства бюджета.

Коммунистический принцип характерен не только для домохозяйства. Учитывая его, живут монастыри, коллективы туристов в период восхождения на вершину, экипажи подлодок в боевом походе и т.п. Вообще любая кооперация имеет в основе как раз такой принцип распределения благ - именно он задаётся соглашением всех и ответственностью каждого. Однако анализ этих, более общих вопросов лежит в стороне от тем данного исследования.

Кроме измерения достатка (обеспеченности благами, как в таблице в приложениях к гл. 4) каждого человека далее будут рассмотрены также существующие показатели расслоения, бедности и благосостояния всего общества. Хотя все эти понятия переплетены между собой, их имеет смысл исследовать порознь. Например, в домохозяйстве нет расслоения, несмотря на то, что потребление пожилых пенсионеров и малых детей отлично от потребления благ работающими взрослыми. Однако расслоение в потреблении благ разными домохозяйствами имеется и его следует принимать во внимание при вычислении меры (показателя, индикатора) расслоения общества.

Имеются различия и в показателях расслоения, благосостояния и бедности всего общества. Например, для показателя бедности нужно найти так называемую черту бедности, некий уровень потребления благ, отделяющих бедных от обеспеченных людей. Для показателей расслоения и благосостояния искать и вычислять такой уровень не имеет смысла, так как показатели расслоения (благосостояния) как интегральные меры должны автоматически учитывать и бедность. Из последующих глав будет ясно отличие в показателях благосостояния и расслоения. Имеются также попытки включения одних показателей в другие.

2. Измерение достатка (микро подход). При измерении степени обеспеченности или уровня достатка отдельного домохозяйства или человека принимаются во внимание много факторов, среди которых, кроме заработков, еще: а) возрастно-половой состав домохозяйства; б) место пребывания домохозяйства (город или село); в) собственность, т.е. обеспеченность жильем, автомобилем и земельным наделом и т.п.

Очевидно, что достаток некоторого человека совпадает с душевым доходом только в том случае, если этот человек отделен от всех остальных членов общества - он никому не помогает и ему никто не помогает. В домохозяйствах другой принцип распределения доходов каждого, получающего доход. Этот принцип, названный коммунистическим, состоит в следующем: от каждого по способностям, каждому по потребностям. Например, если домохозяйство состоит из четырех человек: мужа с доходом 70000 р., жены с доходом 50000 р. и двух малолетних детей. В этом случае доход домохозяйства 120000 р. делится даже не на 4: по 30000 р. на душу, а на 3: по 40000 р. на душу, так как потребности детей до определенного возраста меньше (в примере в два раза).

Существует несколько методов измерения обеспеченности семей или домохозяйств. Однако в любом из них каждому домохозяйству приписывают такой набор x, состоящий из благ i, количествами x_i каждого из которых оно располагает; x=(x₁, x₂, ..., x_n). Обычно считается, что всегда можно интуитивно определить, какое из двух домохозяйств располагает лучшим набором благ, т.е. сказать какой набор x_i или x_j более предпочтителен - x_ix_j, или менее предпочтителен - x_ix_j, или они неразличимы - x_ix_j. При некоторых дополнительных предположениях относительно предпочтения «» типа транзитивности, открытости множества A={x: xy} следует соответствующая этому отношению предпочтения «»функция u(x), что для каждой пары домохозяйств u(x_i)>u(x_j), при x_ix_j, или u(x_i)<u(x_j) при x_ix_j, или u(x_i)=u(x_j) при x_ix_j. Далее будут под “доходами” домохозяйства x подразумеваться именно соответствующие значения функции u(x) или “приведенные доходы”, обозначаемые в дальнейшем просто w без указания самих наборов x. Часто, для простоты, под доходами подразумевают только денежные доходы, что, естественно, упрощает ситуацию, а также облегчает и понимание решения.

В экономических исследованиях, для простоты, вместо u(x)=w используют обычно линейную функцию. Например, в методе взвешенной суммы, после определения весов s_i каждой единицы блага, берется взвешенная сумма w=u(x)=s₁x₁+s₂x₂+...+s_nx_n, которая показывает степень или уровень обеспеченности благами домохозяйства, придавая каждому набору x из n количеств x_i благ i некое значение его доход w, точнее, приведённый доход.

Далее, если есть необходимость перейти от доходов (приведенных), которые заменяют теперь степень обеспеченности или благосостояния домохозяйств, к доходам каждого человека из данного домохозяйства, то проще всего общий доход домохозяйства, вспоминая уже отмеченный принцип распределения доходов в нём (домохозяйстве), поделить на число людей в данном домохозяйстве. Для этого метода расчёта совокупный доход всех членов общества совпадает с суммой доходов каждого.

Однако часто используется более точный расчёт, учитывающий некоторые поправочные множители. Например, когда используется метод коэффициентов, предложенный Люксембургской организацией по изучению доходов населения, тогда для одного взрослого человека полагается необходимым доход некоторой величины, скажем, 1. Для потребности малолетних детей идёт доход, скажем, вдвое меньший. В этом случае доход отдельного человека вычисляется так: совокупный доход домохозяйства в целом делится на сумму этих коэффициентов, присвоенных всем членам домохозяйства. Таким образом, семья из 2-х взрослых имеет сумму коэффициентов 2; семья из одного взрослого и одного ребенка - 1,5; семья из 2-х взрослых и 2-х детей - 3 и т.д. В результате суммарный доход всех членов общества как бы увеличивается, но это приводит только к более реальной картине потребления.

Полученное в результате среднее арифметическое душевых доходов домохозяйств не совпадает, естественно, со среднедушевым доходом в обществе. Напомним, что среднедушевой доход получается делением совокупного дохода на численность самого общества. Для второго из упомянутых методов расчёт несколько сложнее. Он связан с распределение доходов и коэффициентов в обществе.

Аналогичный принцип определения достатка используется в том случае, когда учитываются не предметы, имеющиеся в наличии, а лишь то, чего домохозяйство лишено. Именно на этом основан метод определения достатка, называемый методом лишений (депривации). В этом методе несколько труднее определить веса отсутствующих благ, в остальном он полностью совпадает с уже изложенным методом.

3. Черта бедности населения. Прежде всего, необходимо определить так называемую черту бедности. Черта бедности - это такой уровень потребления благ, выраженный в доходах, ниже которого люди не могут существовать, не испытывая недостатка в чем-либо, а выше которого уровень жизни может считаться вполне достойным (более точное определение даётся чуть позже). Начинается всё с продуктов питания (см. таблицу 1, в которой приведён минимальный набор продуктов питания, необходимый для обеспечения жизнеспособности человека среднего роста и веса). Конечно, взрослому работающему человеку нужно несколько больше, чем ребёнку или пенсионеру преклонного возраста, но это уже детали, которые могут быть учтены позже. В первую очередь важен принцип. Затем нужен перечень обязательных благ и услуг, без которых человек также не может существовать. Например, нужна крыша над головой, время для восстановления сил, вода, свежий воздух, тепло и т.п. Конечно, в Африке чего-то нужно меньше, чем, скажем, на Аляске, а

чего-то больше. Всё это также подлежит учёту.

В результате анализа потребительская корзина состоит в основном из двух наборов - продуктов питания и обязательных благ и услуг. Второй по стоимости примерно пропорционален первому. Поэтому стоимость потребительской корзины продуктов питания умножается на некоторый коэффициент, равный примерно двум, и получают уровень бедности z. Примерно также определяется при надобности и стандарт существования или образ жизни в зависимости от периода, культуры, климата и т.п.

Определение черты бедности z - это учет массы факторов, начиная с составляющих и объемов потребительской корзины, и кончая ценами на потребительские блага. Все это сопоставляется и дает стандарт существования, который характерен для данного исторического этапа в данной стране. Очень часто при экономических затруднениях именно здесь особенно сильно влияние политики, так как внедрение политических взглядов в экономику происходит, в частности, как раз при определении черты бедности. Тенденция роста (или убывания) бедности связана, как правило, именно с определением стандарта существования, т.е. с вычислением черты бедности z.

Под чертой бедности - для строгости, в денежном выражении - понимают тот прожиточный минимум, который получается сложением стоимости потребительской корзины продуктов питания и обязательных платежей, сборов и услуг, необходимых для здоровья человека и его жизнедеятельности.

Итак, черта (или грань) бедности - это основа для определения показателей бедности, для их вычисления по статистическим данным. Но далее будет считаться, что черта бедности заранее определена и задана, так как есть еще один аспект определения бедности - качества и свойства показателей бедности, которые годятся для сопоставления бедности в разных регионах или одном регионе, но в разное время.

4. Известные показатели бедности. Когда говориться о бедности совокупности людей - это означает, что существует такое понятие бедности, которое обладает еще и свойством сравнения: одна совокупность беднее другой или одно общество менее бедно, чем другое. Любой приемлемый показатель бедности общества должен быть согласован с таким пониманием бедности и ее сопоставимостью с другими обществами. Поэтому, необходимо найти достаточно общий вид показателя бедности, который удовлетворял бы всем известным свойствам бедности, т.е. показателя бедности, согласующегося со свойствами бедности, как социально-экономического явления. Чтобы уяснить предмет исследования рассмотрим несколько примеров.

Пусть z - черта бедности, F(w) - это доля людей, имеющих душевой доход меньший w, т.е. функция распределение доходов по людям, а показатель бедности - P(F,z). Если обозначить численность общества через n, то nF(w) - численность людей этого общества, имеющих доход (приведенный) меньший, чем w. Обычный путь отыскания показателя бедности состоит в приписывании каждому доходу w его общественной значимости - веса p(w).

Пример 1. Наиболее простым показателем бедности является доля бедняков во всём населении, что математически может выражаться в виде:

Для этого показателя функция веса p_z(w)=1 при 0w<z и 0 в остальных случаях(см. рис 1).

Пример 2. Часто встречается другой показатель бедности - относительная нехватка доходов, веса в котором представляются в виде (1-w/z) (см. рис. 2):

Для пояснения функции веса заметим, что w - это доход, приходящийся на душу домохозяйства, если она находится за гранью бедности (т.е. при w<z), а nF(w) - это суммарный недостаток средств у всего общества, чтобы вывести всё бедное население за черту бедности. Стало быть, - это нехватка средства, приходящаяся на душу бедного населения, чтобы вывести всех бедных за грань бедности z. Отношение величины последнего интеграла к z дает показатель g, т.е. относительную среднюю нехватку средств у всего населения (общества), выраженную в долях (или %) от черты бедности. Для относительной нехватки доходов функция веса p_z(w) равна (1-w/z), т.е. убывающая и p_z(w)=0 при wz.

Пример 3. Естественным обобщением показателей бедности H и g служит показатель

при 1. Так H=P₁, g=P₂, а при =3, этот показатель также заслуживает внимания (см. рис. 3), так как именно в этих случаях функция веса p_z(w)=(1-w/z)^-1, будет убывающей, выпуклой вниз функцией. Иногда этот показатель называют глубиной бедности.

Далее легко получить совсем новые показатели бедности. Например, взяв линейную комбинацию доли бедных с относительной нехваткой доходов, можно использовать весовую функцию p_z(w)=a(1-w/z)+b1 и обнаружить новый показатель бедности ag+bH. Аналогично для других функций p_z(w).

Замечание. Только что полученная функция p_z(w)=(1-w/z)+b, как и функция для получения показателя H, дает представителя класса новых функций, которые имеют разрыв в точке w=z величины b. Это обстоятельство будет рассмотрено далее.

Как следует из приведенных примеров, показатель бедности представляет собой функционал на отрезке [0,z), притом такой, что

(1)

Известны и другие меры бедности, представимые в виде (1). Например, если положить p_z(w)=-ln(w/z), то получим еще одну меру, притом такую, что p_z(w) - убывающая, выпуклая вниз функция.

Для функции p_z(w) из примеров легко понять следующее: p_z(w) равна 0 при wz, p_z(w) - не возрастающая и, возможно, выпуклая вниз функция на интервале (0,z). Если бы грань бедности можно было бы увеличивать до неопределенно больших пределов, то показатель бедности должен был бы давать, в определенном смысле, противоположные результаты, чем показатель благосостояния.

5. Известные меры расслоения. Другим примером, когда нельзя обойтись без измерения доходов, служит расслоение общества по благосостоянию. Примером расслоения служит отношение доходов 10% наиболее и наименее обеспеченных людей к доходам 10% малообеспеченным. Расслоение (дифференциация) населения может не зависеть от уровня инфляции, но она не отражает различия в положении основной массы населения. Этот вопрос рассмотрен чуть дальше, а пока остановимся на обобщениях такого подхода.

Рассмотрим квантиль q_u, представляющее собой число, которое отделяет долю u, получающих менее q_u от доли получающих более q_u. Если u кратно 1/4, то говорят о квартилях, которых три: q_1/4, q_1/2, q_3/4. О величинах q_1/4 и q_3/4 говорят как о верхних и нижних значениях квартилей. Отношение их служит мерой расслоения - она убывает при уменьшении расслоения. Часто вместо квартилей используют децили: q_0,1 , q_0,2 ,..., q_0,8 , q_0,9 и берут отношение q_0,9 /q_0,1 в качестве меры расслоения. Последнее отношение публикуется и имеет специальное название - коэффициент фондов и отношение фондов.

Ради справедливости следует отметить, что строгого определения коэффициента фондов. Иногда под ним имеют ввиду не только отношение децилей, но и отношение квартилей, квинтилей и т.д. Кроме того, под коэффициентом фондов и отношение доходов, скажем, 10% самых обеспеченных к доходам 10% самых малообеспеченных.

Имеются вариации этих мер, например, такие: берут не отношение квантилей, а их разность, хотя она зависит от единиц измерения и говорят (при квартилях) об интер-квартильном расстоянии или (при децилях) об интердецильном расстоянии. Часто используют этот же термин и при отношении квантилей. Часто только что приведенные меры рассеяния видоизменяются: берут средний доход людей, получающих менее q_1/4 и более q_3/4. В качестве меры расслоения используется отношение (гораздо реже - разность, так как она зависит от денежных единиц) этих средних величин.

Очевидно, что вместо верхних и нижних квартилей или децилей можно брать любые q_u, например, при u=0,15 и u=0,85 и т.д. Отношение их также может служить мерой расслоения. Однако здесь, как в предыдущих примерах, часть людей (в последнем случае - 70%) с наиболее часто встречающимися уровнями доходов никак не входят в показатель расслоения. Часто рассчитывают душевые доходы людей, получающих меньше q_u и больше q_1-u для любых значений u<1/2. Такое обобщение последнего случая очень полезно. Об этом обобщении речь пойдет далее.

Действительно, если F(w) - доля людей, чей душевой доход меньше w, а L(w) - доля доходов, приходящаяся на людей с доходами меньшими w, то при любой заданной доле u решение уравнения F(w)=u даст квантиль d_u. а L(d_u) будет долей доходов, получаемых долей u самых малообеспеченных людей, в доходе всех. Пара чисел (u, L(d_u)) предоставляет самое полное описание расслоения общества. Например, отношение [1-L(d_1-u)]/L(d_u) - доля доходов 100u% наиболее обеспеченных людей к доле 100u% наименее обеспеченным - является отношением фондов. Но кроме этого пара (u, L(d_u)) может дать гораздо больше.

6. Вывод кривой Лоренца. Пусть численность населения равна n, а распределение доходов - функция F(w) показывает долю населения, получающего доход меньше w. Отсюда легко найти долю населения F(w) с доходом от w до w+w, которая равна F(w+w)-F(w).

Таким образом, при малом w численность населения, получающего доход w (точнее, от w до w+w) равна nF(w). Доход этой группы населения равен nF(w)w, а суммарный доход всего населения равен wF(w)n=nwF(w). Это выражение можно записать так:

nwF(w)=nwdF(w). (2)

Из последнего соотношения следует, что для получения дохода, приходящегося на одного человека, величину (2) нужно поделить на n, что дает zdF(z) или W, т.е. среднедушевой доход.

Итак, суммарный доход слоя населения, получающего доход менее w, равна ndF(z)=nF(w). Пара чисел, второе из которых - доля до хода наименее обеспеченных людей, т.е. людей, получающих менее w, в доходах всего населения, ставится в соответствие первому, т.е. доле наименее обеспеченного населения, и дает кривую Лоренца. Эта кривая в параметрическом виде получается следующим образом. Формально: первое число из отмеченной только что пары - абсцисса кривой x - равно F(w), т.е. доле населения, получающим доходы до w, а второе y - ордината кривой, L(w) - доля получаемая наименее обеспеченными людьми в суммарном доходе, которая соответствует доле F(w), т.е.

L(w)=nzdF(z)/(nW)=(1/W)zdF(z).

Кривая Лоренца изображена дугой ВL0.

7. Свойства кривой Лоренца. Считается, что если любые x% наименее обеспеченного населения получают y%=x% суммарного дохода, т.е. любые 15, 20, и т.д. процентов наименее обеспеченного населения имеют 15, 20 и т.д. процентов суммарного дохода соответственно, то в доходах расслоения нет. Таким образом, общество без расслоения получается тогда, когда

x(w)=dF(z)=F(w) и y(w)=L(w)=zdF(z) (3)

совпадают, т.е. y(w)=x(w) для любого дохода w. Если же совпадения нет, то различие диагонали ОВ единичного квадрата ОАВС, т.е. прямой (x, y=x), и кривой ОLВ с координатами x(w)=F(w), y(w)=L(w), когда w пробегает полупрямую (0,), показывает дифференциацию доходов всего населения (см. рисунок 4).

Вполне допустимо, что людей, получающих доход ниже некоторого уровня (чаще всего этот уровень w несколько ниже прожиточного минимума, но все-таки положителен) нет. Отсюда, F(w)=0 при w<w₀, начиная с ww₀ F(w)0. Следовательно, заданная параметрически кривая (x=F(w), y(w)=L(w)) при любых w<w₀ имеет координаты (0,0), т.е. начинается в начале координат там же, где диагональ квадрата. Кроме того, очевидно, что при w кривая (x=F(w), y(w)=L(w)) стремится к точке (1,1), т.е. туда же, где находится другой конец диагонали 0В квадрата ОАВС.

Теорема. Если функция распределения F(w) имеет непрерывную первую производную, то кривая Лоренца, заданная в параметрическом виде (x=F(w), y(w)=L(w)), выпукла вниз.

Доказательство состоит в том, что показывается неотрицательность второй производной кривой Лоренца. Из (2) следует, что x'=F'(w) и y'=L'(w)=F'(w). Так как y'/x'=[(w/W)F'(w)]/F'(w)=, то

()=()=(dw/dx)==.

Поскольку F'(w) - плотность распределения, то F'(w)0 и, что и требовалось доказать.

Из теоремы и уже установленного факта, что кривая Лоренца проходит через точки (0,0) и (1,1), следует, что она целиком находится ниже диагонали единичного квадрата.

8. Коэффициент Джини. Хотя кривая Лоренца показывает даже интервалы, в которых распределение доходов иногда более, иногда менее расслоено, но всегда хочется иметь показатель, характеризующий ситуацию целиком. Таким индикатором служит, как считается, коэффициент Джини. Он определяется как отношение площади между диагональю единичного квадрата и кривой Лоренца к половине площади единичного квадрата. Поэтому найдем вначале площадь, находящуюся под кривой Лоренца, внутри единичного квадрата.

Элемент оси абсцисс, расположенный около заработка w_k, будет равен F(w_k), высота прямоугольника до кривой Лоренца k равна L(w_k). Поэтому площадь под кривой Лоренца это сумма по k всех прямоугольников, расположенных около различных заработков w, т.е. она будет определена так:

L(w_k)F(w_k)L(z)dF(z)=l.

Поскольку половина площади единичного квадрата равна 1/2, то площадь между диагональю его и кривой Лоренца равна 1/2-l.Отсюда коэффициент Джини G равен =1-2l=G

Поскольку для кривой Лоренца справедливо неравенство 0L(w)1 и она выпукла вниз, то 1/2l0 и 0G1. При этом, если нет расслоения людей по доходам, то G=0, если же общество по доходам полностью расслоено, то G=1. Таким образом, чем больше коэффициент Джини, тем более расслоено общество страны или региона по доходам.

Показателем, отражающим положение всех слоёв населения, представляется кривая Лоренца и связанный с нею коэффициент Джини. Эти показатели не зависят от масштаба измерения доходов, поэтому и от инфляции, а зависят лишь от распределения доходов всех людей региона или страны.

Пример 4. В таблице 2 приведен числовой пример получения кривой Лоренца, а в таблице 3 значения коэффициентов Джини для России в последние годы.

Таблица 2.

Группы населения России по размерам душевого дохода (в тыс.руб.)

в 1993 г и расчет накопленных частот

Таблица 3.

Изменения коэффициента Джини в России по годам

Наиболее полно другие меры расслоения изучаются теорией вероятностей, где обычно говорят не просто о мерах рассеяния, а о рассеянии относительно среднего значения - "центра" распределения. Под центром распределения обычно понимаются, кроме математического ожидания, медиана (см. задачу 1) или мода (антимода). Если доходы ограничены, то центром может служить средняя точка между минимальным и максимальным доходами.

Для справки, в начале 80-х годов коэффициент Джини в Нидерландах был равен 0,268, в Швеции - 0,291, в США - 0,329, в Италии - 0,347, в Непале - 0,471, в Кении - 0,525.

Пусть F(x) - доля населения, имеющего душевой доход менее x. Тогда меры рассеяния (расслоения), изучаемые в теории вероятностей и статистике, будут равны: (x-W)²dF(x) - дисперсия, - среднее абсолютное отклонение, где W= - математическое ожидание доходов или доход, приходящийся в среднем на душу населения - среднедушевой доход. Часто вместо W подставляют другие уже упомянутые центры распределения, но основное свойство мер рассеяния остается неизменным - они увеличиваются вместе с увеличением интуитивного представления о расслоении общества.

Но сравнение возможно, когда меры выражены в одних и тех же единицах. Средние значения, например, в разные моменты времени сильно зависят от инфляции, что уже затрудняет их использование. Лучше всего, когда меры вообще не зависят от единиц измерения доходов, т.е. когда они безразмерны. Энтропия, введённая в следующей главе, удовлетворяет такому условию, но дисперсия, как легко видеть, нет. Поэтому вместо дисперсии вводят коэффициент вариации , который уже безразмерен. Более того коэффициент вариации убывает не только при уменьшении дисперсии (расслоения), он убывает и при увеличении среднего дохода при постоянной дисперсии. В этом смысле коэффициент вариации лучше удовлетворяет требованиям, предъявляемым к мере расслоения, чем энтропия и дисперсия (или среднеквадратическое отклонение).

Сравнение разных показателей расслоения будет дано в главе 4.

ЗАДАЧИ

1. Пусть x₁, x_2,, x_m нескольких точек на прямой. Для какого W сумма расстояний до всех точек x_i минимальна? То же, но для суммы квадратов расстояний?

2. Какое из двух обществ более расслоено по доходам: первое, состоящее из 1% бедных, а все остальные одинаково богаты; второе, наоборот, состоит только из 1% богатых, а все остальные одинаково бедны? Численности обществ 1 тыс., или 1 млн. человек.

3. Что происходит с коэффициентом Джини в задаче 2, а) когда численность общества растёт? б) когда различие между доходами бедных и богатых убывает?

4 Найдите кривую Лоренца и коэффициент Джини на основе следующей таблицы.

Таблица. Распределение населения Российской Федерации по величине душевого дохода (по состоянию на сентябрь 1996 г.)

Справки и ссылки

Хотелось бы предостеречь читателя от типичной путаницы, возникающей из-за смешивания показателя некоторого явления и самого явления, например, бедности и меры бедности. Изучению этого вопроса посвящена глава 6 далее. Явление гораздо шире любого показателя. Показатель отражает только малую часть явления, но и эта часть должна отражать сторону явления. Далее (гл. 7) будет ясно, что широко распространённый из-за своей ясности показатель бедности H - доля (%) находящихся за чертой бедности, очень плохо отражает саму бедность. Аналогичные замечания будут делаться далее после соответствующих тем.

Изложенный материал по измерению достатка домохозяйства базируется, в основном, на коллективной монографии [Бедность]. Коэффициент Джини и кривая Лоренца имеются во многих книгах и статьях. Совсем элементарное изложение имеется в журнале [Толст. тетрадь]. В данной главе доказательство теоремы взято из работы [Кендалл]. Тем же есть очень любопытные связи коэффициента Джини с другими вероятностными характеристиками.

Пока остались в стороне вопросы оценки F(w) по выборке, что более реально. В этом случае во всех коэффициентах расслоения, бедности, благосостояния появляются ошибки, требующие специального изучения. Некоторые результаты приведены в [Journal of Econom].

Имеется также другой метод - метод лишений, в принципе аналогичный уже упомянутому и приведенному. Он нацелен на измерение не только исключительно бедности, как может показаться на первый взгляд. В нем все домохозяйства разбиты на слои по верхним и нижним границам наборов благ и каждое домохозяйство отнесено к слою по набору, которым оно обладает. Любому слою соответствует доля населения, приводящая к распределению благ во всём населении. Или по-другому, когда каждой компоненте набора благ, которых оно лишено (набор лишений данного домохозяйства), приписывается вес. Суммы весов каждого домохозяйства дают распределение лишений, подобное распределению достатка, но только с обратным знаком, и т.д., как было ранее.

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. “Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.

2. Бедность: альтернативные подходы к определению и измерению. Cornegie Endowment for International Peace. М. 1998 г.

3. Белкина Т.А., Лёвочкина М.С. Исследование модели оптимального управления негосударственным пенсионным фондом. В сборнике «Математические модели экономики». Изд. МГИЭМ, 2002

4. Борокин Ф.М., С.В. Соболева. Прогнозирование миграции и численности населения системой дифференциальных уравнений. Сборник Математические методы в социологии. Новосибирск, 1974 т.