Гармонический анализ периодических сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа 1. Гармонический анализ периодических сигналов

1.1 Основные определения

Периодические сигналы описываются функцией :

Ф(t) =Ф(t + nt), (1.1)

где Т = 2р/щ - период колебаний; n - любое положительное или отрицательное целое число; щ - круговая частота.

Из (1.1) следует, что периодичность функции распространяется на интервал времени -?< t < ?. Такая периодическая функция может быть представлена в виде суммы ряда других функций. Наиболее часто для этой цели используется ряд Фурье, составленный из тригонометрических функций и имеющий следующий вид в вещественной форме:

(1.2)

Функция Ф (щt), разлагаемая в ряд Фурье, должна быть ограниченной, кусочно-непрерывной и имеющей на протяжении периода конечное число экстремумов. Практически эти условия всегда выполняются.

Поскольку

(1.3)

то ряд (1.2) можно также представить в виде:

амплитуда; фаза; комплексная амплитуда.

Совокупность модулей Ск образует амплитудно-частотный спектр периодической функции Ф(щt), а фаз щк- фазочастотный. Амплитудный спектр является дискретным или линейчатым, в котором отдельные спектральные составляющие, определяемые значениям щк = кщ, следуют с интервалом, равным щ= 2р/Т.

1.2 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Периодическая функция состоит из импульсов прямоугольной формы амплитудой AM, длительностью ф и периодом повторения Т (рис. 1.1).

На участке -р< щt <р данная функция

Z(щt) = AM при /щt/ ?р, (1.4)

Z(щt) = 0 прибр</щt/ ?р

где б=ф/T<1

Рисунок 1.1 - Последовательность прямоугольных импульсов



Рисунок 1.2 - Пример разложение сигнала на языке «Mathcad»

Поскольку функция Z(щt) четная, то синусные составляющие в разложении равны нулю. Программа на языке «Mathcad» по расчету постоянной составляющей А0 и амплитуд гармоник Ак приведена на рис. 1.2. В программе: х = щt, N - число гармоник, ADk = 201g(Ak/A1) -значение гармоники, выраженное в децибелах, относительно 1 -й гармоники сигнала. Результаты расчета по программе при а = 0,1 и N = 20 приведены на том же рис. 1.2. По программе можно рассчитать гармоники и при любых других значениях параметров N и а < 1 .

При прямоугольных импульсах спектральные составляющие можно вычислить также по формуле, взяв интеграл для коэффициента акв(1.2):

Согласно (1.5) при к = n/a, где n- целое число, гармоники с круговой частотой

(1.5)

или частотой

(1.6)

имеют значение амплитуды Ак = 0.

Спектры, рассчитанные по программе (см. рис. 1.2), являются линейчатыми: спектральные составляющие в них следуют с интервалом щ = 2р/Т или F = 1/Т. Такой спектр для прямоугольных импульсов (см. рис. 1.1) при а = 0,1, рассчитанный по программе (см рис. 1.2), построен на рис. 1.3.

Рисунок 1.3 - Спектральная диаграмма

Задание на выполнение лабораторной работы.

Рассчитать по программе (см. рис. 1.2) линейчатый спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при а = 0,05; 0,2; 0,5 или других значениях а.

Варианты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а	0,05	0,2	0,5	0,01	0,06	0,8	0,13	0,04	0,07	0,09
АМ	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
N	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20

1.По результатам расчета построить линейчатые спектры по типу рис. 1.3.

2.Рассчитать спектр при а = 0,5 по формуле (1.5) и сравнить полученный результат с результатами расчета по программе.

1.3 Периодическая последовательность импульсов треугольной формы

Периодическая функция состоит из импульсов треугольной формы (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 - Последовательность импульсов треугольной формы

На участке 0 < щt < 2р данная функция :

при 0?щt?2рa

0 при 2рa ?щt?2р (1.7)

Поскольку функция (1.7) является несимметричной, то при ее разложении в ряд Фурье следует учитывать как косинусные (Ак), так и синусные (Вк) составляющие.

Программа на языке «Mathcad» по расчету постоянной составляющей С0 и амплитуд гармоник Ак, Вк, Ск и фазы *Fk приведена на рис. 1.7. В программе: х = cot, N - число гармоник, CDk = 201g(Ck/C,) -значение амплитуды гармоники, выраженное в децибелах, относительно 1-й гармоники сигнала. Результаты расчета по программе при AM = 1, а = 0,2 и N = 15 приведены на рис. 1.8. По программе можно рассчитать гармоники и при любых других значениях параметров AM, Nna< l .

В случае функции Z(щt) = cot при 0 < щt < 2р, т. е. при a = ф/Т = 1 и AM = 2, амплитуды гармоник можно также рассчитать с помощью следующего выражения:

Рисунок 1.5 -Пример разложения на языке «MatCad»

1.4 Задание на выполнение лабораторной работы

Рассчитать по программе (см. рис. 1.4) линейчатый спектр периодической последовательности треугольных импульсов при значениях а.

Варианты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
а	0,05	0,2	0,5	0,01	0,06	0,8	0,13	0,04	0,07	0,09
АМ	0,5р	1р	1,5р	2р	2,5р	3р	3,5р	4р	4,5р	5р
N	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20

По результатам расчета построить линейчатые спектры по типу рис. 1.3.

Рассчитать спектр при а = 1 и AM = 2р по формуле (1.8) и сравнить полученный результат с результатами расчета по программе.

Контрольные вопросы:

Виды детерменированных сигналов

Что значить дискретный

Дискретная функция и непрерывный аргумент, дискретная функция и дискретный аргумент

Непрерывная функция, непрерывный аргумент и непрерывная функция дискретный аргумент.

Что такое сигнал, информация и сообщение.

Какой информативный параметр имеется в носителе u(t) = const.

При использовании гармонических электрических колебаний информативными могут стать такие параметры ….

Что такое модель.

Виды Ряда Фурье.

Теорема Эйлера.

Лабораторная работа 2. Частотные и временные характеристики линейных цепей

2.1 Основные определения

Анализ линейных устройств осуществляется с помощью двух взаимно связанных методов - временного и спектрального (другое название - частотный). Соответственно и два вида характеристик определяют работу линейного устройства- временное и частотные. Зная частотные характеристики, можно определить временное, и наоборот.

Определим данные характеристики применительно к четырехполюснику (рис. 2.1), подав на его вход синусоидальный сигнал:

Рисунок 2.1 - Четырехполюсник

Uвх (t) = Uвхsin(щt+цвх) (2.1)

На выходе линейного четырехполюсника получим сигнал той же частоты, но с иной амплитудой и начальной фазой:

Uвых (t) = Uвыхsin(щt+цвых) (2.2)

Поскольку в состав четырехполюсника входят реактивные элементы (емкости и индуктивности), то параметры схемы зависят от частоты сигнала. Поэтому при изменении частоты со входного сигнала изменяются амплитуда UBbIx и начальная фаза фвых выходного сигнала.

Согласно (2.1) и (2.2) запишем для комплексных амплитуд:

U1 (щ)= Uвх (щ)(щ)еjцвх

U2(щ)=Uвых(щ)еjцвых(щ)

Отношение комплексных амплитуд сигналов определяет коэффициент передачи четырехполюсника, зависящий от частоты:

K(jщ) = U2(щ)/ U1(щ) = |K(щ)|ejц(щ) =Д(щ)+jМ(щ), (2.3)

Где

K(jщ) = Uвых(щ)/ Uвх(щ) = vД2(щ)+М2(щ), (2.4)

- модуль коэффициента передачи,

ц(щ)=цвых(щ)-цвх(щ)=arctg[М(щ)/Д(щ)] (2.5)

- фаза коэффициента передачи,

Д(щ), М(щ) - действительная и мнимая части коэффициента передачи.

С помощью коэффициента передачи можно определить частотные и временные характеристики линейной цепи.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) есть зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного сигнала при его постоянной амплитуде. АЧХ есть модуль комплексного коэффициента передачи, определяемый согласно (2.4). Экспериментальное определение АЧХ производится при гармоническом входном сигнале (2.1).

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) есть зависимость фазы выходного сигнала от частоты входного сигнала при его постоянной амплитуде. ФЧХ есть аргумент комплексного коэффициента передачи, определяемый согласно (2.5). Экспериментальное определение ФЧХ производится при гармоническом входном сигнале (2.1).

Переходная характеристика Ф(t) есть зависимость выходного сигнала u (t) от времени при входном сигнале в виде единичной функции -скачка напряжения (рис. 2.2):

l(t)= l при t?0,

l(t) = 0 при t?0. (2.6)

(2.7)

Возможны разные способы определения переходной характеристики, в том числе для цепей интегрирующего типа с помощью интеграла:

где Д(щ) - действительная часть коэффициента передачи (2.4).

Импульсная характеристика h(t) есть отклик объекта на входное воздействие в виде единичного импульса д(t) - производной от единичной функции (2.6). Амплитуда единичного импульса А = ?, длительность ?t -> 0, площадь импульса S = А х ?t = 1.

Возможны разные способы определения импульсной характеристики, в том числе для цепей интегрирующего типа с помощью интеграла

(2.8)

Импульсная характеристика является производной от переходной характеристики.

Определим амплитудно-частотную, фазочастотную, переходную и импульсную характеристики для нескольких типовых схем с помощью пакета программ Mathcad и Electronics Workbench.

В приводимых ниже программах приняты следующие обозначения:

Т = RC - постоянная времени;

f- частота (при размерности времени в секундах, миллисекундах или микросекундах частота, соответственно, в Гц, кГц или МГц);

K(f) - комплексный коэффициент передачи K(jщ) (2.3);

A(f) - модуль комплексного коэффициента передачи - амплитудно-частотная характеристика (2.4);

И(f) - фаза комплексного коэффициента передачи (в градусах) -фазо-частотная характеристика (2.5);

D(f) - действительная часть комплексного коэффициента передачи;

M(f) - мнимая часть комплексного коэффициента передачи;

NT - число точек отсчета по оси времени;

ТН - шаг этого отсчета;

Vb - верхний предел интегрирования по частоте в (2.7) и (2.8);

Vn - нижний предел интегрирования по частоте в (2.7) и (2.8);

Фк- переходная характеристика Ф(t) (2.7);

Hk - импульсная характеристика H(t) (2.8).

В (2.7) и (2.8) нижний предел интегрирования берется равным не 0. а очень малому значению, равному 0,0001, чтобы избежать деления на 0 в (2.7). Такая замена практически не влияет на точность вычисления временных характеристик.

2.2 Интегрирующая RC-цепь

2.2.1 Расчетные формулы

Схема интегрирующей RC-цепи, называемой также RC-фильтром нижних частот, приведена на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 -интегрирующая цепь

Коэффициент передачи цепи:

где Т = RC - постоянная времени цепи, щ = 2nf- круговая частота.

Из (2.9) согласно (2.4) и (2.5) для модуля, фазы, действительной и мнимой части коэффициента передачи, соответственно, получим:

2.2.2 Расчет по программе

Программа по расчету частотных и временных и характеристик цепи с коэффициентом передачи (2.9) приведена на рис. 2.4. Там же построены четыре частотные и две временные характеристики, вычисленные по программе согласно (2.10), (2.7), (2.8).

В примере расчета по программе (см. рис. 2.4) принято: R =103 Ом, С = 0,2 *10-6 Ф. Поэтому значение постоянной времени Т = RC = 103 Ом х 0,2 * Ю-6 Ф = 0,2 10-3 с = 0,2 мс. Поскольку размерность Т в программе приведена в мс, то время t также в мс, а размерность частоты f в кГц.

Рисунок 2.4 -Пример

2.2.3 Анализ с помощью «виртуальных» приборов

Исследуем интегрирующую RC-цепь с помощью пакета программ Electronics Workbench. Воспроизведение схемы, подключение к ней приборов и анализ процессов осуществляются по правилам, изложенным в [5]. Для анализа частотных свойств цепи такая схема приведена на рис. 2.5. Как и ранее, в рассмотренном примере принято: R = 103Ом, С = 0,2 x10-6O,T = RC= 103Ом x

0,2 10-6 Ф = 0,2*10-3с = 0,2 мс. Полученная при данных параметрах амплитудно-частотная характеристика интегрирующей цепи приведена на том же рис. 2.5

Рисунок 2.5 - амплитудно-частотная характеристика интегрирующей цепи

Изменение частоты входного сигнала в схеме осуществляется с помощью перестраиваемого по частоте генератора, что позволяет получить на экране «виртуального» осциллографа амплитудно-частотную характеристику.

Задание на выполнение лабораторной работы.

1. Рассчитать по программе (см. рис. 2.4) частотные и временные характеристики интегрирующей цепи при других значениях параметров R и С.

2.Исследовать частотные и временные свойства интегрирующей цепи с помощью пакета программ Electronics Workbench при других значениях параметров R и С.

3.Необходимо получить схему, позволяющую про анализировать временные свойства цепи, и получить с ее помощью переходную и импульсную характеристику на экране «виртуального» осциллографа (нижние осциллограммы) Скачок входного напряжения необходимый для построения переходной характеристики, осуществляется в схеме с помощью генератора прямоугольных импульсов.

4.Определить, как значение параметра Т влияет на характеристики интегрирующей цепи.

5. По аналогии с интегрирующей цепью проанализировать дифференци- рующию RC - цепь

Номер Вар-та	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
R	103	103	103	103	103	103	103	103	103	103
C Мф	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,1	1,3
Ф мс	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,1	1,3

2.3 Дифференцирующая RC-цепь

2.3.1 Расчетные формулы

Схема дифференцирующей RC-цепи, называемой также RC-фильтром верхних частот, приведена на рис. 2.9.



Рисунок 2.9 - Схема дифференцирующей RC-цепи

Коэффициент передачи цепи:

K(jщ)=ZR/(ZR+Zc)=R/(R+1/jщC)=jщT/(1+jщT) (2.11)

где Т = RC - постоянная времени цепи, щ = 2nf - круговая частота.

Из (2.11) согласно (2.4) и (2.5) для модуля, фазы, действительной и мнимой части коэффициента передачи соответственно получим:

2.3.2 Расчет по программе

Программа по расчету частотных характеристик цепи с коэффициентом передачи (2.11) приведена на рис. 2.10. Там же построены четыре частотные характеристики, вычисленные по программе согласно (2.12).

В примере расчета по программе (см. рис. 2.10) принято: R = 103 Ом, С = 0,2 * 10-6 Ф. Поэтому значение постоянной времени Т = RC = 103 Ом * 0,2 -6 Ф = 0,2 *10-3с = 0,2 мс. Поскольку размерность Т в программе приведена в мс, то размерность частоты f в кГц.

Контрольные вопросы:

Амплитудно-частотные характеристики

Фазово-частотные характеристики

Переходная характеристика

Импульсная характеристика

Частотное представление сигнала

Временное представление сигнала

Условие Дирихле

Единичная функция

Условие Дирака

Лабораторная работа 3. Модуляторы

3.1 Основные понятия

Одним из основных элементов радиопередающего устройства является модулятор. Начнем с наиболее простой модуляции -- амплитудной. Как и в случае преобразователя частоты, модуляция по амплитуде сводится к перемножению модулирующего сигнала

Y(t)=E0+Ymcos?t (3.1)

и несущего

X(t)=Xmcosщt

После перемножения и тригонометрических преобразований получим результирующее колебание в следующем виде:

Z(t)=Em{cosщt+0.5M[cos(?-щ)t+cos(?+щ)}

где M=Ym/Em -- коэффициент модуляции; Em=Eo-Xm.

Схема амплитудного модулятора показана на рис.3. 1. Она содержит двухвхо-довой суммирующий усилитель на ОУ к одному входу которого подключен источник постоянного напряжения Ео, к другому -- источник модулирующего напряжения Y'(t) (амплитудой Ym=l,42 В). Поскольку коэффициент усиления по каждому входу R3/R1=1, на выходе усилителя формируется сигнал,

 Y(t)=E0+Y(t)= E0+Ymcos?t (3.4)

Рисунок 3.1-Схема формирования АМ-сигнала который поступает на Y-вход перемножителя М с коэффициентом передачи

Другим распространенным типом модуляции является угловая. Такое название является общим для частотной и фазовой модуляции. Связь между ними формулируется следующим образом [51]: изменение частоты во времени по закону эквивалентно изменению полной фазы по закону интеграла , а изменение полной фазы по закону эквивалентно изменению частоты по закону производной Это положение, являющееся основным в теории угловой модуляции, определяет связь между изменениями частоты и фазы и указывает на общность, существующую между двумя разновидностями угловой модуляции -- модуляцией частоты (ЧМ) и модуляцией фазы (ФМ).

Сигнал с частотной модуляции в простейшем случае описывается выражением:

A(t)=A0 sin[щt+(?щ/?)sin?t] (3.5)

где АО -- амплитуда несущей; До) --диапазон частотного отклонения (девиации) несущей под действием модулирующего (в данном случае -- синусоидального) сигнала.

Из выражения (3.5) видно, что периодическая модуляция частоты эквивалентна гармонической вариации фазы с той же частотой, при этом амплитуда получаемой вариации фазы равна

Ф=?щ/?

Это отношение численно равно индексу модуляции М, являющемуся основным параметром угловой модуляции. Существенно, что индекс модуляции не зависит от средней (немодулированной) частоты w, a определяется исключительно величиной девиации и модулирующей частотой. импульс частотный кодирование

Сигнал с фазовой модуляции описывается выражением:

A(t)=A0 sin[щt+Фsin?t] (3.6)

Поскольку выражения (3.5) и (3.6) получены для гармонического модулирующего сигнала, то из сравнения этих выражений с учетом обозначения Ф=?щ/? можно сделать вывод, что при модуляции гармоническим сигналом по характеру колебания и его свойствам нельзя сделать однозначное заключение о том, с какой модуляцией мы имеем дело -- с частотной или фазовой. Различие между частотной и фазовой модуляцией проявляется только при изменении частоты модуляции. При этом различие заключается в следующем. При частотной модуляции величина девиации пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции , однако с ростом последней индекс модуляции уменьшается. При фазовой же модуляции величина Ф пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции .

Перейдем к рассмотрению схемы фазового модулятора, показанной на рис.3.2 а. Она содержит функциональный генератор в качестве источника модулирующего сигнала (рис. 3.2 б), источник напряжения Ui несущей и фазовращатель на OU1 с полевым транзистором VT в режиме управляемого сопротивления. Канал В осциллографа подключен к выходу OU1, а канал А -- к источнику несущей для возможности наблюдения эффекта модуляции.

Анализ фазового модулятора, представляющего собой систему с переменными параметрами, является достаточно сложной математической задачей. Поэтому ограничимся рассмотрением статического режима, заменив сопротивление полевого транзистора сопротивлением R. В таком случае напряжение на не инвертирующем входе OU1 в операторной форме будет иметь вид:

Рисунок 3.2 - Схема фазового модулятора (а)с установками функционального генератора (б)

Ui(p)= Ui(p)pRC/(1+pRC) (3.7)

Это напряжение передается на выход OU1 с коэффициентом передачи 1+R2/R1=2 . Напряжение Ui(p) передается на выход того же усилителя с коэффициентом передачи R2/R1=1, причем с инвертированием сигнала. Следовательно, выходное напряжение OU1 Uof(p)=2Ui'(p)-Ui(p)=Ui(p)(pRC-l)/(pRC+l) и коэффициент передачи равен

 K(p)=(pRC-1)/(pRC+1) (3.8)

Вводя замену переменных p=jщ из (3.8) получим выражение для частотной характеристики

K(jщ) =(2jm+m2 -1)/(1+m2) (3.9)

m=щRC

Из (3.9) нетрудно определить, что модуль коэффициента передачи равен 1, а его аргумент с учетом известного из тригонометрии соотношения

2arctg m=2m/(1-m2) (3.10)

будет определяться выражением

Ф=2 arctrg(щRC) (3.11)

Из (3.12) видно, что по сравнению с обычной RC-цепью рассматриваемый фазовращатель обеспечивает возможность получения фазового сдвига в диапазоне от О до 180°. Поскольку в выражении (3.12) сопротивление R (сопротивление полевого транзистора) изменяется под действием модулирующего сигнала, выражение (3.12) отражает факт фазовой модуляции, что и подтверждается осциллографическими измерениями, откуда видно, что максимальный временной сдвиг колебаний на входе и выходе модулятора равен Т2-Т1=0,038 мс. Поскольку период несущей составляет 0,1 мс, этот временной сдвиг эквивалентен фазовому сдвигу 136,8°.

3.2 Задание на лабораторную работу

1. На Х-вход перемножителя подается сигнал несущей X(t) с амплитудой Хт=5,66 В.

	E0,V	R1,ом	R2= R3,ом	Y/(t)	X(t)
0	4	10	10	2В/1кГц	18В/1кГц
1	8	20	20	4В/1кГц	20В/1кГц
2	10	15	10	6В/1кГц	6В/1кГц
3	12	15	20	8В/1кГц	8В/1кГц
4	14	50	10	10В/1кГц	14В/1кГц
5	4	40	20	12В/1кГц	16В/1кГц
6	8	20	10	14В/1кГц	2В/1кГц
7	10	25	20	16В/1кГц	4В/1кГц
8	12	45	10	18В/1кГц	10В/1кГц
9	14	30	20	20В/1кГц	12В/1кГц

Необходимо найти при указанных значениях параметров расчетные значения М; Еm.

Проверим полученные результаты моделированием, результаты которого будут показаны на осциллограмме . Для определения коэффициента модуляции по осциллограмме AM сигналов используем методику из [51], согласно которой М=Ам/Ас, где AM=¦VB2-VB1¦/2 ; Ac=AM+¦VB2¦ .

Для проверки второго расчетного параметра (Еm) необходимо исключить воздействие модулирующего сигнала. Для этого достаточно сделать его пренебрежимо малым -- в нашем случае вместо 1 В установим 1 мкВ. Результаты моделирования будут показаны на осцилограмме, откуда видно, что амплитуда несущей Em=VBl=VB2. Отметим, что оно равно среднему значению А с амплитудно-модулированного колебания.

Сделать сравнения между расчетными и практическими значениями.

Контрольные вопросы

Сколько схем модуляции вы знаете назовите их.

Амплитудная модуляция.

Угловая модуляция.

Импульсная модуляция.

Каким образом модулируется сигнал в импульсной модуляции.

Чем отличается процесс формирования АМ-сигнала от преобразования частоты?

В чем заключается различие между фазовой и частотной модуляцией?

Используя схему на рис. 3.2, а, исследуйте зависимость фазового сдвига (индекса модуляции) от амплитуды модулирующего напряжения.

Лабораторная работа 4. Преобразователи частоты

4.1 Ознакомление с преобразователями частот

Преобразователи частоты (ПЧ) используются в радиоприемных устройствах для преобразования поступающего из антенны радиочастотного сигнала в сигнал промежуточной частоты. Принцип преобразования частоты сигналов заключается в перемножении двух гармонических колебаний

Y(t)=Ymcos?t X(t)=Xmcosщt

Результирующее колебание описывается выражением:

Z(t)=0.5YmXmcos[(?-щ)t + cos(?+щ)]t (4.1)

Рисунок 4.1 - Схема преобразователя частоты

Это колебание представляет собой сумму двух колебаний с частотами [(?-щ) и (?+щ)] . Выделяя с помощью фильтра ту или иную составляющую выражения (1), получим колебание с другой, более низкой или более высокой частотой. Схема ПЧ, реализующей такой алгоритм, показана на рис. 4.1, . Она содержит два источника гармонических колебаний X(t) и Y(t), перемножитель М с коэффициентом передачи 1, переключатель Z для переключения режимов моделирования, контрольно-измерительные приборы и фильтр с резонансной частотой около 3,18 кГц двухконтурной системе с внешней емкостной связью.

В положении ключа Z, показанном на рис.4.1, а, производится моделирование ПЧ. Согласно данным, приведенным на рис. 4.1, а для источников входных сигналов, сигнал на выходе перемножителя имеет комбинационные составляющие с частотами 16,82 и 3,18 кГц. Поскольку фильтр настроен на 3,18 кГц, будет выделена комбинационная составляющая с разностной частотой, в чем можно убедиться из осцилограммы.

4.2 Задание

Собрать схему ПЧ согласно заданию;

рассчитать сигнал на выходе перемножителя, который будет иметь комбинационные составляющие с определенными частотами;

получить осциллограмму и по осциллограмме полученного ПЧ необходимо, рассчитать период сигнала на выходе ПЧ, что будет составлять Т2-Т1 мс, которое должно соответствовать полученной частоте на выходе перемножителя;

амплитуду сигнала на выходе фильтра . Проверим этот вывод на модели. Для этого переключатель Z переведем в нижнее положение и снимем АЧХ фильтра;

Результат моделирования должен быть отражен в отчете. Сравнить практически и рассчитанный результат.

	Y/(t)	X(t)
0	2В/3,5кГц	18В/10кГц
1	4В/4,5кГц	20В/12кГц
2	6В/1,5кГц	6В/9кГц
3	8В/2кГц	8В/12,6кГц
4	10В/3,8кГц	14В/12,9кГц
5	12В/2,6кГц	16В/10,5кГц
6	14В/5,8кГц	2В/13,4кГц
7	16В/4,9кГц	4В/14,9кГц
8	18В/3,4кГц	10В/10,8кГц
9	20В/5,7кГц	12В/16кГц

Контрольные вопросы

1. Для каких целей используется преобразование частоты в радиоприемных устройствах?

2. Из каких соображений выбирается частота гетеродина ПЧ?

3. Можно ли использовать ПЧ для детектирования AM- колебаний?

Лабораторная работа 5. Эффективное кодирование

Имеется источник (src), вырабатывающий последовательность нулей и единиц, которая несет некоторую информацию о каком-либо объекте, причем заранее известны вероятности появления единицы и нуля. В целях упрощения принимается, что отдельные нули и единицы в этой последовательности друг от друга не зависят.

Например, на выходе такого источника может быть последовательность: ...0010100101...

Легко заметить, что здесь вероятность единицы p = 4/10 = 0,4, а вероятность нуля q = 1-p = 0,6.

Создаваемая последовательность передается по каналу связи и принимается приемником dst. Чтобы обеспечить максимальную скорость передачи данных следует попытаться уменьшить длину передаваемой последовательности, сохранив при этом информацию, которую она несет. Одним из способов достижения этой цели является кодирование, основные принципы которого объясняются в этом разделе справки. Для получения дальнейшей информации идите по одной из представленных ниже ссылок.

5.1 Теоретическая справка по эффективному кодированию

Как Вы уже поняли, нашей целью является уменьшение длины последовательности с сохранением передаваемой информации. Поступим следующим образом:

Разделим последовательность на блоки, в каждом из которых n разрядов:

Обозначим все возможные варианты блоков через x1,x2,..x2n . Теперь можно считать, что последовательность состоит не из нулей и единиц, а из слов длиной в n разрядов.

Теперь мы представляем передаваемую информацию в виде случайного набора слов:

Каждому x соответствует строго определенная последовательность нулей и единиц длины n. Но слова в передаваемом сообщении распределены неравномерно: некоторые появляются часто, некоторые реже, а некоторые вообще почти никогда не передаются.

Но почему бы теперь не обозначить слова через другой двоичный код так, чтобы часто встречающиеся слова были обозначены короткой последовательностью, а редко - более длинной. Тогда суммарная длина передаваемой последовательности сокращается, хотя ее придется декодировать при приеме.

Итак, остается только найти способ такого однозначного кодирования. В качестве примера рассмотрим два таких способа: метод Шеннона-Фано и метод Хаффмена. Сначала изложим общие для этих методов действия.

Перечислим все возможные варианты слова {X} порядке убывания вероятности появления, для большего удобства представим это в виде таблицы.

Примечание: вероятность блока легко определить по теореме умножения вероятностей, например для последовательности '01001' вероятность будет равна p = qpqqp, где p - вероятность единицы, q = 1-p - вероятность нуля

Дальнейшие действия зависят от выбранного метода. Для начала рассмотрим метод Шеннона-Фано.

Разделим таблицу на две части так, чтобы сумма вероятностей в верхней и нижней части были примерно одинаковы (Таблица 1). Затем разделим по такому же принципу сначала верхнюю часть, затем нижнюю (Таблица 2). Затем каждый новый блок снова делим на две части по равенству вероятностей. Когда делить будет нечего, поставим в каждой верхней части (желтые) единицу, а в нижней (голубые) - нуль (Таблица 3).



Если теперь читать таблицу слева-направо можно получить коды для всех X,например для X0 кодом будет 11, для X1 - 10, X2 - 011, ... , X7 - 0000. Полученные таким образом коды удовлетворяют основному условию - где вероятность больше (X0) - код короче, где меньше (X7) - длиннее.

Теперь перейдем к методу Хаффмена. Вернемся снова к исходной таблице. Объединим два последних элемента (X6 и X7) в один новый, который поставим на место предпоследнего элемента (X6), а последний (X7) вообще удалим. В результате получим новую последовательность {X}, похожую на исходную, но на один элемент меньше (Таблица 4). Упорядочим полученные элементы в порядке убывания вероятности и снова объединим два последних, заменив их на один (Таблица 5). Снова сортируем и объединяем до тех пор, пока не объединим все элементы (Таблица 6).

Теперь будем читать полученное дерево от последней точки к X0, затем к X1, X2 и т.д. Причем если идем по развилке вверх (красные линии), то добавляем к коду 1, если по нижней (синие линии) - то 0. Если развилки нет, код не меняем. Например, для X0 получим код 11, для X1 - 00, ... , для X7 - 0010. Совет: удобно идти не от корня дерева к Xn, а наоборот, от Xn к корню, но затем нужно перевернуть строку кода.

5.2 Задание на лабораторную работу

В программе Pti - Ita ввести соответствующие данные.

Необходимо получить таблицу, решение и графики по методам Шеннона и Хаффмена.

Ответить на контрольные вопросы

вариант	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Р(1)	0,01	0,02	0,03	0,05	0,08	0,09	0,1	0,5	0,7	0,9
N	3	4	3	4	3	4	3	4	3	4

Контрольные вопросы:

Что означает кодирование, код, кодовая последовательность.

Какие коды называются бинарными и не бинарными кодами.

Как можно осуществить Передачу кодовых комбинации.

Непомехозащищеные коды

Число-импульсный код. Объяснить код Грея.

Помехозащищенные коды.

Рассмотреть последовательность кодирования и декодирования по Хэммингу.

Дать объяснение код по методам Шеннона и Хаффмена.

Лабораторная работа 6. Апертурное сжатие

6.1 Теоретические сведения

Вернемся к случаю передачи сигнала, описанного в разделе "Эффективное кодирование". Пусть теперь передается не просто последовательность нулей и единиц, а конкретные данные - результаты измерения чего-либо. Например, измеряемая величина представляет собой плавную кривую:

Рисунок 6.1 - Плавная кривая

Естественно, что передать такую кривую по каналу связи невозможно. Однако, если выполнять измерения через определенные промежутки времени и передавать их значения, то можно с той или иной точностью передать сведения о кривой.



Рисунок 6.2 - Плавная кривая

Но как часто нужно выполнять измерения? Если делать это с постоянной частотой, то нужно обеспечить довольно высокую скорость измерения и передачи данных, чтобы точно воспроизвести форму кривой. Однако, если функция меняется мало, то передаваемые точки будут очень мало отличаться друг от друга. Так зачем их передавать?

Отсюда вывод: нужно выбрать неравномерный шаг дискретизации функции, причем передавать данные чаще, когда они сильно отличаются, и реже - когда примерно одинаковы. Назовем такие моменты передачи данных существенными точками.

При приеме такой информации нужно каким-то способом восстановить пропущенные значения измеряемой величины. Это можно сделать по-разному: соединив их прямой линией, параболой, кривой 3-го порядка и т.д. Для того, чтобы построить кривые высших порядков, нужно знать не только значения функции в существенных точках, но и значения нескольних производных функции в этих точках.

Например, если превратить кривую в ступенчатую прямую (экстраполяция 0-го порядка), не требуется знать ее производных, но и точность будет невысока. Ее можно повысить, используя фильтр:



Рисунок 6.3 - Экстраполяция 1-го порядка даст лучшие результаты

Рисунок 6.4 - Экстраполяция N-го порядка даст лучшие результаты

Программа позволяет Вам смоделировать подобные ситуации и определить их эффективность в зависимости от разной степени экстраполяции и допустимой ошибки передачи.

6.2 Задание на лабораторную работу

В программе Pti - Ita ввести соответствующие данные. Сравнить сигнал с шаг1 с шагом 2.

Необходимо получить таблицу, решение и графики аппертурного сжатия

Ответить на контрольные вопросы

Варианты	сигнал	Шаг 1	Шаг 2
1	sin(t+0.1)/(t+0.1)	0,1	1
2	cos(t+0.1)/(t+0.1)	0,2	0,9
3	sin(t+0.6)/(t+0.6)	0,3	0,8
4	cos(t+0.6)/(t+0.6)	0,4	0,7
5	sin(t+0.8)/(t+0.8)	0,5	0,6
6	cos(t+0.8)/(t+0.8)	0,6	0,5
7	sin(t+0.3)/(t+0.3)	0,7	0,4
8	cos(t+0.3)/(t+0.3)	0,8	0,3
9	sin(t+0.9)/(t+0.9)	0,9	0,2
0	cos(t+0.9)/(t+0.9)	1	0,1

Контрольные вопросы

Какие сигналы относятся к детерминированным сигналам.

Квантование сигнала.

Дискретизация сигнала.

Что означает апертурное сжатие.

Погрешность квантования.

Лабораторная работа 7. Линии связи

7.1 Понятие линия связи

Под линией связи понимаются разнообразные устройства для обмена информацией между различными объектами. Мы будем рассматривать проводные линии связи, примером которых может служить всем известные телефонные (и телеграфные) линии связи, с которых и началась собственно их история. Значительным событием в этой истории была прокладка первого трансатлантического кабеля в 1858 г. Поздравительная телеграмма по случаю завершения столь грандиозного и дорогостоящего проекта королевы Виктории президенту Соединенных Штатов длинной в 100 слов потребовала около 16 часов для передачи -- не очень впечатляющая скорость передачи данных даже по тем временам, когда 25 слов в минуту считалось нормальным для наземной связи (при сравнительно коротких линиях связи). Тогдашние связисты обнаружили, что когда напряжение прикладывалось к одному концу такого длинного кабеля, оно не появлялось немедленно на другом конце и вместо скачкообразного нарастания достигало установившегося значения спустя определенный промежуток времени. Когда напряжение на входе кабеля отключали, напряжение на приемном конце не падало резко, а медленно снижалось. Кабель вел себя как губка. В попытке обойти "медлительность" кабеля с целью повышения скорости передачи данных на передающей стороне начали повышать уровень сигнала, пока в конечном счете, спустя 11 недель после прокладки, не пробили изоляцию кабеля и он стал бесполезным. Прошло еще 8 лет, когда через Атлантику проложили другой кабель. Достаточно большой интервал, однако в течение этого времени удалось разобраться в происшедшем и решить многие задачи теории передачи данных с использованием проводных линий связи. Одним из ученных, принимавших активное участие в решении этих задач, был Вильям Томсон, позже получивший титул лорда Кельвина.

В радиотехнических приемо-передающих устройствах такие линии используются для связи передатчика и приемника с антенной, их часто называют фидерными устройствами. Это сравнительно короткие по протяженности линии связи, однако проблем здесь более чем достаточно.

Линии связи (ЛС) в EWB представлены двумя моделями: идеальной двухпроводной ЛС без потерь (рис. 13.31, а) и с потерями (рис. 13.31, б). Математическая модель ЛС с потерями состоит из набора одинаковых звеньев. Схема такого звена (сегмента) показана на рис. 13.32, в, на котором обозначено (обозначения EWB 5.0):

R -- активное (омическое) сопротивление проводников ЛС, отнесенное к единице длины (погонное сопротивление), Ом/м; для реальных ЛС в зависимости от ее конструкции к этому сопротивлению добавляются активные сопротивления потерь, вызванные поверхностным эффектом (плотность тока у поверхности проводника больше, чем в центре), эффектом близости (эффект взаимодействия вихревых токов проводников ЛС, возникающих под действием магнитного поля проводников из-за протекающих по ним токов) и вихревыми токами, наводимыми в окружающих ЛС проводящих поверхностях (например, в металлическом экране);

L -- погонная индуктивность проводников ЛС, Гн/м;

G -- погонная проводимость между проводниками ЛС, См/м; для реальных ЛС к этой проводимости добавляются проводимости, вызванные диэлектрическими потерями изоляционных материалов;

С -- погонная емкость между проводниками, Ф/м.



Рисунок 7.1 - Графическое обозначение линий связи без потерь (а), с потерями (б) и звено математической модели с потерями (в)

Рисунок 7.2 - Диалоговое окно установки с параметров ЛС с потерями

Значения параметров ЛС в EWB 4.1 задаются с помощью диалоговых окон на рис. 7.2 и 7.3. В окне на рис. 7.2 задаются значения параметров эквивалентной схемы на рис. 7.1, в (с индексом "t" для EWB 4.1), длину ЛС Len, м (LEN в EWB 5.0) и параметр п, определяющий количество элементарных секций (рис.7.1, в) в ЛС выбранной длины LEN (в EWB 5.0 этот параметр отсутствует). Параметр п может быть выбран в пределах от 1 до 128 в одном компоненте на рис. 7.1, б; если этого недостаточно, то последовательно включается несколько таких компонентов.

В диалоговом окне для идеальной (R=0, G=0) ЛС на рис. 7.3 обозначено:



Рисунок 7.3 - Диалоговое окно установки параметров ЛС без потерь

Zo -- волновое сопротивление, Ом; Td -- время задержки распространения сигнала, с (параметры ZO и TD в EWB 5.0). Параметр п имеет аналогичное с рис. 7.2 назначение.

Выражение для волнового сопротивления наглядно получается из условия равенства энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля индуктивности для идеальной ЛС. Это условие для амплитуд тока Im и напряжения Um

запишется в виде известной формулы:

(7.1)

откуда волновое сопротивление

(7.2)

Время задержки сигнала при прохождении ЛС длиной I определяется формулой:

TD=l/c (7.3)

где с -- скорость распространения электромагнитного поля вдоль линии, принимается равной скорости света в вакууме (3-108 м/с); при наличии диэлектрика скорость распространения может уменьшиться на 10... 15% и более (определяется коэффициентом укорочения волны, приблизительно равном корню квадратному из диэлектрической проницаемости диэлектрика). Скорость распространения связана с параметрами ЛС следующим соотношением:

c=1/ (7.4)

Если принять, что длина ЛС LEN измеряется в метрах и скорость распространения равна 3-108 м/с, то на основании выражения (7.4) параметры L и С необходимо выбирать из условия:

LC= 1/c=11,11*10 (7.5)

Только при соблюдении условия (7.5) будет однозначная связь между длиной линии в метрах, погонной емкостью в Ф/м, погонной индуктивностью в Гн/м и как следствие -- возможность сопоставления результатов моделирования с результатами приведенных ниже расчетов. С учетом последнего обстоятельства целесообразно также обеспечить условие независимости волнового сопротивления, определяемого формулой (2), от частоты (условие неискажающей ЛС) [51], которое имеет следующий вид:

R/L=G/C (7.6)

Рассмотрим некоторые режимы работы ЛС.

Режим бегущей волны характерен для ЛС, на выходе которой включено активное сопротивление, равное волновому сопротивлению ZO. Для такого режима мгновенное значение напряжения в любой точке ЛС описывается следующим выражением [58]:

U= Ui exp (-вl) cos (щt-al)(7)

где 1 -- расстояние от начала ЛС до точки, в которой определяется значение напряжения; со -- частота входного сигнала Ui; Р, а -- постоянные затухания и сдвига фазы

в=

a=

A=, B=RC-щLC

из формулы (7.7) видно, что амплитуда бегущей волны напряжения убывает вдоль линии по экспоненциальному закону.

Если выполняются условия

R « щL G « щC

то для определения постоянной затухания и сдвига фазы пользуются приближенными выражениями:

в=R/2Z0+GZ0/2; a=щ/vLC (7.10)

Для моделирования ЛС в режиме бегущей волны используем схему на рис. 7.4. Значения параметров ЛС LT1: LEN=100 м, R=1 Ом/м, п=100. Задаемся значением L=11,11 мкГн/м, после чего с помощью формул (7.5), (7.2) и (7.6) находим С=1 пф/м, Z0=3333 Ом, G=107 См/м.



Рисунок 7.4 - Схема включения ЛС для испытания ее в режиме бегущей волны

Режим не согласованной линии характеризуется тем, что на ее выходе включено сопротивление Z, не равное волновому сопротивлению ZO. Наиболее ярко этот режим проявляется при разомкнутой или замкнутой (Z=0) линии. При разомкнутой линии бегущая волна тока достигает конца линии и заряды дальше двигаться не могут. Ток должен прекратиться. Но убывание тока создает по правилу Ленца ЭДС самоиндукции, направленную попутно с убывающим током. Появление же этой ЭДС приводит к повышению напряжения на конце линии, что в свою очередь вызывает движение зарядов в обратном направлении.

Следовательно, дойдя до разомкнутого конца линии, волны вынуждены двигаться в обратном направлении. Это явление называется отражением волны от конца линии. Энергия отраженных волн возвращается к началу линии. Электрические заряды прямой и обратной волн у конца провода складываются, в результате чего в этом месте в каждый момент времени получается удвоенное напряжение.

Для характеристики линии в рассматриваемом режиме используется коэффициент отражения [58]:

P= (Z-Z0 )/(Z+Z0) (7.11)

При Z=ZO, коэффициент р==0 и в линии наступает режим бегущей волны. При разомкнутой линии р=1. При этом в конце линии амплитуды напряжения и тока определяются выражениями:

Следовательно, при разомкнутой линии ток в ее конце равен нулю, а амплитуда напряжения равна двойной амплитуде падающей волны Un. При этом падающие и отраженные волны напряжения имеют одинаковую фазу, а волны тока -- противоположную.

При замкнутой линии Z=0 и, как следует из (11), р=-1. При этом в конце линии амплитуды напряжения и тока определяются выражениями:

Следовательно, при замкнутой линии напряжение в ее конце равно нулю, а амплитуда тока равна двойной амплитуде падающей волны In. При этом падающие и отраженные волны тока имеют одинаковую фазу, а волны напряжения -- противоположную.

Значения параметров ЛС LT1: LEN=100 м, R=1 Ом/м, п=100. Задаемся значением L=11,11 мкГн/м, после чего с помощью формул (13.17), (13.14) и (13.18) находим С=1 пф/м, Z0=3333 Ом, G=107 См/м.

7.2 Задание

Собрать схему включения ЛС для испытания ее в режиме бегущей волны.

Результаты моделирования ЛС должны быть представлены в виде осциллограмм напряжения

Сделать расчет выходного напряжения (см. правое индикаторное окно) на Т2-Т1

Рассчитать расчетное значение фазовой постоянной на 100 м , и сделать сравнение при моделировании.

Из индикаторных окон рассчитать входное напряжения Uim=VA1, и выходное Uon,=VB2 В.

Рассчитать расчетное значение Uom=Uimexp(-Bl), так же сравнить при моделировании.

Промоделировать режим разомкнутой линии. Для этого достаточно удалить сопротивление ZO в схеме на рис. 7.4, уменьшить до минимума потери (установлено R=0,001 Ом/м, G=10-12 См/м) и изменить частоту входного сигнала таким образом, чтобы на длине линии LEN укладывалось целое число длин волн. Выберем длину волны 50 м, что соответствует частоте входного сигнала 3.108'/50=6 Мгц.

Контрольные вопросы и задания

1. Для каких целей используются линии связи?

2. Какими эквивалентными параметрами характеризуются линии связи?

3. Проведите расчеты постоянной затухания и фазы и сравните результаты с полученными по приближенным формулам при указанных в тексте значениях параметров линии.

4. Рассчитайте время задержки и сравните полученный результат с результатами моделирования схемы на рис. по условиям п.З.

5. Проведите моделирование схемы на рис.7.4 при R=10 Ом/м и при выполнении условия неискажающей линии. Результаты моделирования сравните с расчетными.

6. Проведите исследование схемы на рис.7.4 в режиме холостого хода (при разомкнутой ЛС) при частоте входного сигнала 3 МГц. Сколько длин волн укладывается в этом случае на всей длине линии?

7. Проведите исследование схемы на рис.7.4 в режиме холостого хода при частоте входного сигнала 2 МГц. Объясните, почему отраженные волны имеют форму, напоминающую амплитудно-модулированные колебания?

Размещено на Allbest.ru