Нелинейные цепи постоянного и синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В теории линейных цепей предполагается, что параметры всех сосредоточенных элементов: сопротивление резистора , индуктивность катушки , емкость конденсатора - являются неизменными, не зависящими от токов и напряжений. Это предположение является идеализацией. В действительности параметры элементов в какой-то степени зависят от тока и напряжения. Поэтому параметры , и допустимо считать неизменными лишь в ограниченных пределах изменения токов и напряжений. Однако существует множество элементов и устройств, параметры которых существенно зависят от токов и напряжений. Такие элементы называются нелинейными, а цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, называется нелинейной.

Нелинейные цепи широко применяют в электротехнике, радиоэлектронике, автоматике и других областях. Анализ процессов в нелинейных электрических цепях значительно сложнее, чем в линейных цепях.

Нелинейные элементы подразделяются на нелинейные резисторы, нелинейные катушки и нелинейные конденсаторы.

Обычно нелинейные элементы делят две группы:

а) неуправляемые элементы (нелинейные двухполюсники), которые можно рассматривать как элементы, обладающие одним входом, например, диод, лампа накаливания, термосопротивление, катушка со стальным сердечником и др.;

б) управляемые элементы (нелинейные трех-, четырех- или многополюсники), имеющие несколько входов, из которых одни могут использоваться как управляющие, другие как управляемые, например, транзистор, тиристор, магнитный усилитель и др.

Свойства нелинейных резисторов удобно анализировать с помощью вольтамперных характеристик (ВАХ). Они обычно задаются графиком, таблицей или аналитическим выражением. По виду ВАХ относительно осей координат их разделяют на симметричные и несимметричные. Симметричными называют элементы, у которых характеристика не зависит от направления в них тока и напряжения на зажимах (рис. 1, кривая 1). К числу таких элементов относят лампы накаливания, терморезисторы и др. Несимметричными называют нелинейные элементы, у которых характеристика не одинакова при различных направлениях в них тока и напряжении на зажимах (рис. 1, кривая 2). Несимметричную ВАХ имеют диод, стабилитрон, динистор и др.

Свойства нелинейного резистора кроме ВАХ характеризуются зависимостями его статического или дифференциального сопротивления от тока. Рассмотрим ВАХ нелинейного резистора (рис. 2). Допустим, что его рабочий режим задан точкой . Отношение напряжения на резисторе к протекающему току называют статическим сопротивлением

линейный резистор статический

(1)

Рис. 1

Рис. 2

Из рис. 2 видно, что это сопротивление пропорционально тангенсу угла между прямой, соединяющей точку с началом координат, и осью токов. Отношение малого (теоретически бесконечно малого) приращения напряжения на нелинейном элементе к соответствующему приращению тока называют дифференциальным сопротивлением

(2)

Это сопротивление пропорционально тангенсу угла между касательной к ВАХ в точке и осью токов. Дифференциальное сопротивление характеризует состояние нелинейного элемента при достаточно малых изменениях тока или напряжения. Для прямолинейного участка ВАХ дифференциальное сопротивление равно отношению конечного приращения напряжения к конечному приращению тока

. (3)

У нелинейных элементов с падающей ВАХ имеется участок характеристики, где дифференциальное сопротивление отрицательно, так как положительное приращение тока сопровождается отрицательным приращением напряжения. Примерами таких нелинейных элементов являются электрическая дуга и газотрон.

Выбор метода расчета нелинейной цепи в значительной мере зависит от того, как заданы ВАХ нелинейных элементов - графиком, таблицей или аналитическим выражением. В зависимости от условий выбирают следующие методы:

1. Графический метод, когда ВАХ нелинейных элементов и линейной части цепи представлены в виде графиков, а система уравнений Кирхгофа решается графически.

2. Аналитический метод, когда ВАХ нелинейных элементов аппроксимированы аналитическими функциями.

3. Графо-аналитический метод, когда ВАХ линейной части цепи представлена аналитически, а нелинейных элементов - в виде графиков.

Нелинейные электрические цепи простой конфигурации удобно рассчитывать графическим методом. Расчет нелинейной цепи сводится к нахождению токов и напряжений на участках цепи с помощью вольтамперных характеристик.

На рис. 3 а показано последовательное соединение двух нелинейных элементов НС1 и НС2, характеристики которых и представлены на рис. 3 б.

Рис. 3

Рис. 4

Для определения тока в цепи и напряжений на нелинейных элементах запишем уравнение по второму закону Кирхгофа: , т.е. представим последовательное соединение двух нелинейных элементов одним нелинейным элементом с эквивалентной ВАХ (рис. 3 в). Для получения эквивалентной (результирующей) ВАХ необходимо сложить абсциссы и при одинаковых ординатах , для чего провести прямые, параллельные оси абсцисс (), и сложить напряжения при одинаковых токах. По точкам строим результирующую ВАХ . Затем по напряжению источника находим ток и напряжения и на каждом нелинейном элементе.

Такие же построения для расчета тока и напряжений можно выполнить, если один из элементов линейный. Аналогично решается задача расчета цепи, состоящей из трех или более последовательно соединенных нелинейных элементов.

Ток и напряжения на линейных элементах (рис. 3 а) могут быть найдены без построения результирующей характеристики по второму закону Кирхгофа в виде . Для этого кривую следует перенести параллельно оси абсцисс вправо от начала координат на напряжение источника (рис. 4) и повернуть ее так, чтобы получить зеркальное отображение относительно оси тока. Точка пересечения зеркальной характеристики одного нелинейного элемента с характеристикой другого даст ток в цепи и напряжения и .

На рис. 5 а показаны соединенные параллельно два нелинейных элементы НС1 и НС2, ВАХ которых и заданы (рис. 5 б). Если напряжение на входе цепи U известно, то по ВАХ и легко определить токи и в нелинейных элементах и по первому закону Кирхгофа найти ток в неразветвленной части цепи.

Если задан ток то для определения напряжения и токов и через нелинейные элементы необходимо построить результирующую характеристику , т.е. зависимость суммарного тока от напряжения Так как при параллельном соединении то для построения этой характеристики в соответствии с уравнением суммируем ординаты кривых и для одних и тех же значений напряжения (рис. 5 б). Полученная ВАХ соответствует эквивалентному НС12 (рис. 5 в). Далее по известному току находят напряжение и токи в ветвях (рис. 5 б).

Таким же способом можно рассчитать электрическую цепь с любым числом параллельно включенных нелинейных элементов.

Рис. 5

На рис. 6 а приведена схема со смешанным соединением нелинейных элементов. Допустим, заданы напряжение источника и ВАХ нелинейных элементов , , (рис. 6 б). Требуется найти токи во всех ветвях и напряжения на элементах. Сначала суммируем ординаты кривых , при напряжении и строим ВАХ параллельного соединения НС2 и НС3 (рис. 6 б). Схему со смешанным соединением преобразуем в схему с последовательным соединением двух нелинейных элементов НС1 и НС23 (рис. 6 в). Затем, суммируя абсциссы кривых и для одних и тех же значений тока , получим ВАХ всей цепи, т.е. два последовательных нелинейных элемента заменим одним эквивалентным (рис. 6 г). После этого о находим требуемые токи и напряжения. По заданному напряжению находим ток , затем напряжения и . Зная напряжение , определяем токи и .

Нелинейная катушка представляет собой катушку, намотанную на замкнутый ферромагнитный сердечник, для которого зависимость магнитного потока в магнитопроводе от протекающего по обмотке тока нелинейная. Индуктивное сопротивление таких катушек, оказываемое переменному току, не постоянно, так как

.

На рис. 7 а показана катушка с ферромагнитным магнитопроводом (число витков катушки , сечение магнитопровода и средняя длина магнитной линии ). Такая катушка является нелинейным элементом за счет нелинейная зависимость материала сердечника (рис. 7 б).

Рис. 7

Прохождение переменного тока через катушку с ферромагнитным магнитопроводом сопровождается магнитным гистерезисом и возникновением вихревых токов. Эти явления вызывают дополнительные потери в катушке. Потери мощности на гистерезис пропорциональны частоте тока площади петли гистерезиса (рис. 7) и объему магнитопровода. Определяются они по различным эмпирическим формулам, например,

при = 1,0...1,6 Тл,

где - коэффициент, зависящий от сорта стали; - амплитуда магнитной индукции; - масса магнитопровода.

Потери мощности от вихревых токов рассчитывают по эмпирической формуле

,

где - коэффициент, зависящий от сорта стали и размеров стальных листов.

Для уменьшения потерь от вихревых токов магнитопровод выполняют не сплошным, а в виде пакета из стальных листов, изолированных друг от друга. Так, например, при частоте = 50 Гц применяют листы толщиной 0,250,5 мм а при частотах порядка сотен и тысяч герц - 0,020,05 мм.

Потери в магнитопроводе от гистерезиса и вихревых токов называют потерями в стали.

Таким образом, цепи переменного тока с ферромагнитными магнитопроводами являются нелинейными цепями, так как наличие магнитопровода приводит к искажению кривой тока.

Рассмотрим процессы в катушке с замкнутым ферромагнитным магнитопроводом, обмотка которой имеет витков. Протекающий по обмотке ток (рис. 8 а) создает магнитный поток. Основная часть этого потока - замыкается по магнитопроводу, а меньшая часть - поток рассеяния , рассеивается в пространство. Обычно составляет несколько процентов от . Если магнитопровод насыщен или имеет большой воздушный зазор, то поток соизмерим с .

Рис. 8

Если пренебречь активной составляющей сопротивления катушки и потоком рассеяния, то при питании катушки от источника синусоидального тока в ней будет возникать основной магнитный поток

. (4)

Вследствие этого в витках катушки возникает ЭДС самоиндукции

. (5)

Так как эта ЭДС равна напряжению источника, то

. (6)

Формулы (4) и (6) показывают, что вектор опережает вектор на 90°.

Действующее значение этого напряжения

. (7)

Построим векторную диаграмму идеальной катушки ( = 0, = 0). За исходный вектор примем вектор максимального значения магнитного потока (рис. 8 б). Вектор напряжения опережает вектор магнитного потока на 90°, а вектор ЭДС самоиндукции равен вектору напряжения , но противоположен по направлению. Вектор действующего значения тока через катушку опережает вектор на угол , обусловленный гистерезисом. Представим вектор суммой двух составляющих: активной - проекцией вектора тока на вектор напряжения и реактивной , которую принято называть током намагничивания. Тогда

. (8)

Этому уравнению соответствует схема замещения (рис. 8 в), где ток обусловлен потерями в магнитопроводе:

. (9)

Составляющая - это ток через идеализированную катушку (катушка, в магнитопроводе которой нет потерь энергии).

Схему на рис. 8 в можно преобразовать в другую схему (рис. 8 г), используя проводимости ветвей

В схемах (рис. 8 в и г) - соответственно активная составляющая сопротивления и активная составляющая проводимости, учитывающие потери мощности в магнитопроводе; - реактивная составляющая сопротивления и реактивная составляющая проводимости, обусловленные основным магнитным потоком.

В схеме замещения реальной катушки учитываем активное сопротивление катушки и реактивное сопротивление , обусловленное магнитным потоком рассеяния (рис. 9 а, б). В этих схемах участок ab называют ветвью намагничивания.

Рис. 9

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схем (рис. 9) в комплексной форме

. (10)

Применим это уравнение для построения векторной диаграммы реальной катушки (рис. 10). Угол, обусловленный гистерезисом

.

Практически или .

Коэффициент мощности

. (11)

Рис. 10

Активная мощность катушки с ферромагнитным магнитопроводом состоит из потерь мощности в проводах и потерь мощности в магнитопроводе

. (12)

Чем больше угол , тем больше активная составляющая тока и потери в магнитопроводе. Поэтому угол называют углом потерь в магнитопроводе.

Размещено на Allbest.ru