Оценка точности пеленгации по азимуту или углу места плоскими антенными решетками несимметричной формы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оценка точности пеленгации по азимуту или углу места плоскими антенными решетками несимметричной формы

Ю.Б. Нечаев, И.В. Пешков

Аннотация

В работе рассматриваются плоские антенные решетки, такие как симметричной, а также несимметричной формы для несовместной оценки координат одиночного сигнала по азимуту или углу места. Рассмотрены кольцевые, дугообразоные и L-образные антенные решетки. Каждая антенная решетка состоит из одинакового числа всенаправленных антенных элементов, равных 24, дистанция между которыми составляет половину длины волны. Вычислены границы Крамера-Рао для различных ситуаций, в т.ч. расположения сигналов по азимуту и углу места. Получены точные общие аналитические выражения нижней границы Крамера-Рао для каждой конкретной антенной решетки, которые дают очевидное понимание о точности определения координат той или иной конфигурацией.

Ключевые слова: радиопеленгация, граница Крамера-Рао, MUSIC, метод максимального правдоподобия.

ESTIMATION OF RADIO DIRECTION-FINDING ON THE AZIMUTH or ELEVATION OF PLANAR ANTENNA ARRAYS OF THE NONSYMMETRIC FORM

The paper deals with planar antenna arrays, such as circular, octagonal, hexagonal and rectangular, for the task of direction-finding on azimuth and elevation angles. The boundaries of the Cramer-Rao are calculated for different situations, including the location of signals in azimuth and elevation planes, and signal-to-noise ratios. Each antenna array consists of the same number of omni-directional antenna elements equal to 24, the distance between which is half the wavelength. The exact general expressions of the Cramer-Rao lower bound for each specific antenna array are obtained, which analytically show an idea of the accuracy of direction finding of one or another configuration.

Keywords: direction-finding, Cramer-Rao bound, MUSIC, maximum likelihood method.

Введение

Оценка угловых координат источников излучения нашло широчайшее применение в таких задачах, как радиолокация, гидролокация и беспроводная связь [1]. Конфигурации антенных решеток (АР), которые были исследованы и использованы для оценки координат в азимутальной плоскости, касались в основном только равномерных линейных конфигураций. В таких задачах, которые требуют как азимутальной, так и угломестных оценок направления, как правило, используются плоские антенные решетки [2]. В настоящее время статьи, посвященные сравнительному изучению характеристик оценок направления прихода радиоволн со сверхразрешением, включая нижнюю границу Крамера-Рао (ГКР), часто касаются только одного или двух типов антенных решеток [3]. Поэтому получение оптимальной формы антенной решетки очень важно, поскольку позволяет получать оценки координат источников радиоизлучения с наибольшей точностью.

Постановка задачи

Ковариационная матрица ошибок оценок (в нашем случае это координаты по азимуту и углу места), которая вычисляется согласно ГКР, определяется посредством матриц производных D_и и D_ц через следующие выражения:

(9)

Таким образом, ковариационная матрица ошибок совместных оценок пеленгов в плоскости азимута и угла места может быть записана:

, (10)

где , , , , .

Как видно из уравнения (10), матрицы должны быть определены посредством записи частных производных направляющих векторов произвольной антенной решетки (3-4) от и и ц:

(11)

Сначала мы определяем производную экспоненциальной части по азимуту для k-го сигнала на n-м элементе антенны:

пеленгация плоская антенная решетка

(12)

Далее необходимо определить выражения для производных экспоненциальной части по углу места пространственной координаты для k-го сигнала на n-м антенном элементе:

(13)

Затем можно записать нижнюю границу Крамера-Рао для несовместной оценки азимута или угла места:

(14)

Как видим, уравнение (14) довольно сложно и здесь мы рассмотрим случай с одним источником. Тогда после упрощения (14) ГКР для несовместной оценки и или ц одного источника сигнала может быть выражена следующим образом:

(15)

Формулу (15) можно переписать более компактно следующим образом при условии, что [5]:

(16)

Далее принимаем следующие обозначения и . После этого член AR внутри выражения (16) можно записать в виде:

(17)

Как мы видим, функция AR зависит только от конфигурации антенной решетки. Поэтому нижняя граница Крамера-Рао обратно пропорциональна члену AR. Для снижения отклонения оценок пеленгации по азимуту и / или углу места как можно ниже, AR должно быть как можно больше.

Исследование плоских антенных решеток симметричной формы

В данной главе выполняется сравнительная статистическая оценка плоских антенных решеток, в частности кольцевой, восьмиугольной, шестиугольной и квадратной, на основе границы Крамера-Рао (14), а также метода MUSIC. Данные антенные конфигурации состоят из 24 элементов, межэлементное расстояние составляет 0.5л (половина длина волны). Количество отсчетов усреднения пространственной корреляционной матрицы составляет 100, число итераций 500, ОСШ = 5 дБ. Сигнал и шум являются некоррелированными гауссовскими процессами. Будет выполнена оценка среднеквадратичного отклонения пеленгов по азимуту и углу места. Рассмотрим случай, когда имеется один источник сигнала, пространственная координата по азимуту будет изменяться от 0° до 180°, угол места ц = 45°. В другом случае угломестная координата будет изменяться в диапазоне от 1° до 89° при фиксированном значении азимута 1°.

Однако, во-первых, необходимо определить точные аналитические выражения AR для рассматриваемых типов антенных решеток, используя формулы (16, 18). Далее рассматриваются несколько симметричных плоских антенных решеток, с помощью которых можно определять координаты по азимуту и углам места.

Итак, для прямоугольной антенной решетки:

(18)

(19)

где и - функции AR в азимутальной и угломестной плоскостях соответственно. Поскольку в этой статье рассматриваются только плоские антенные решетки, координаты z_n принимаются равными нулю.

Для шестиугольной антенной решетки:

(20)

(21)

Для восьмиугольной антенной решетки:

(22)

(23)

Для кольцевой антенной решетки:

(24)

(25)

Таким образом, можно провести сравнение параметров AR для заданных решеток:

(26)

и следовательно

(27)

Рис. 3. ГКР для случая одного сигнала a) и=0°-180°, ц=45°, b) и=1°, ц=1°-89°.

Из рисунка 3 видно, что лучшей антенной решеткой для пеленгации является кольцевая. Геометрия антенны с наихудшей точностью является квадратной для оценки одного сигнала. Однако разница не очевидна, только 0,01°. Кроме того, из уравнения (27) видно, что согласно аналитическому выражению ГКР конкретных конфигураций решеток полученные результаты довольно малы для случая одного сигнала. Кроме того, распределение оценки ошибок является равномерным, потому что решетки симметричны.

Далее проведем проверку статистических измерений методом MUSIC. Выполняется оценка СКО пеленгов по азимуту и углу места от их истинных значений в составе симметричных антенных решеток, которые показаны на рис. 2. На рис. 4 приведены графики среднеквадратического отклнения пеленгов по азимуту (рис. 4а), а также по угул места (рис. 4б). При этом оценка является несовместной, т.е. другими словами, осуществляется пеленгация со сверхразрешением только в одной плоскости по отдельности, отношение сигнал-шум составляет 0 дБ, число отсчетов усреднения матрицы составляет 100, число итераций повторения для каждого эксперимента - 500.

Рис. 4. СКО метода MUSIC для симметричных АР: a) и=0°-180°, ц=45°, б) и=1°, ц=1°-89° для одного сигнала.

Оценки решеток не зависят от местоположения одного сигнала по азимуту, поскольку форма расположения антенных элементов симметрична. В случае одного сигнала СКО оценки MUSIC через кольцевую решетку немного меньше, чем у других. Это соответствует результатам ГКР (18-27). Точность оценок пеленгов в угломестном случае в значительной степени определяется углом места источника. Наилучшая точность может быть достигнута, если источник сигнала близок к ц = 45 °. Кроме того, из графиков на рис. 4 видно, что нет очевидной разницы между рассматриваемыми симметричными антенными решетками, но кольцевая антенная решетка может обеспечить меньше ошибок при определении направления. Следующий параграф посвящен исследованию антенных решеток асимметричной формы, которые, как будет показано ниже, смогут улучшить точность определения направления.

Исследование плоских антенных решеток несимметричной формы

а) б)

Рис. 5. Схема а) дуго- и б) L-образных решеток.

Известно, что L-образные решетки (рис. 5б), а также дуговые (рис. 5a) [6-7] могут дать лучшие характеристики по точности оценок координат источников излучения, чем кольцевые АР (рис. 2а) для случая одного сигнала. Рассматриваемые ассиметричные формы антенных решеток, изображенные на рис. 5, состоят из 24 всенапрвленных элементов, межэлементное расстояние составляет половину длины волны, угол между двумя сторонами L-образной АР равен ц₀ = 45°, радиус дугообразной решетки по сравнению со стандартной кольцевой удваивается при использовании выражения (6). Будет использоваться следующее уравнение направляющего вектора для L-образной антенной решетки [8]:

(28)

Рассмотрим сценарий с одним источником, как в примере выше и вычислим ГКР соответствующих ассиметричных АР.

Рис. 6. ГКР для несимметричных АР a) и=0°-180°, ц=45°,

б) и=1°, ц=1°-89° для одного сигнала.

Из рисунка 6 видно, что наилучшей антенной решеткой для оценки по азимуту или углу места является дугообразная геометрия.

Получим точные уравнения члена AR для расчета ГКР через рассмотренные несимметричные антенные решетки и сравним их с выражением для кольцевой AR (24-25). Затем после упрощения выражения (17) для решетки в форме дуги функцию AR можно записать в виде:

(29)

(30)

Уравнение (17) для L-образной решетки становится:

(31)

(32)

Как видно из выражений (29-32), переменная AR для решетки в форме дуги больше, чем другие. А именно:

(33)

и следовательно

(34)

Тогда оказывается, что точность оценки координат источников излучения через решетки в форме дуги лучше, чем у стандартной кольцевой АР. Однако в плоскости азимутального сканирования происходит некоторое скачкообразное изменение. Хотя для всего диапазона сканирования ошибок меньше, чем у кольцевой АР.

Далее проведем проверку статистических измерений методом MUSIC. Выполняется оценка СКО пеленгов по азимуту и углу места от их истинных значений.

а) б)

Рис. 7. СКО метода MUSIC для несимметричных АР: a) и=0°-180°, ц=45°,

б) и=1°, ц=1°-89° для одного сигнала.

Как видно из рис. 7, эти решетки зависят от местоположения одного сигнала по азимуту, поскольку форма расположения антенных элементов является несимметричной. В случае одного сигнала СКО оценок MUSIC посредством дугообразной решетки меньше, чем у других АР. Это соответствует результатам аналитических выражений ГКР (29-34).

Заключение

Выполнена адаптация выражения нижней границы Крамера-Рао для задачи трехмерного определения направления источников сигналов плоскими антенными решетками со всенаправленными излучателями. Оценено влияние азимутальных и угловых координат источников радиоизлучения на точность радиопеленгации. Также были получены точные выражения нижней границы Крамера-Рао для оценки дисперсии несовместных оценок координат испочников сигналов с использованием плоских антенных решеток симметричной и несимметричной формы. Данные уравнения справедливы для частного случая приема одного сигнала. Аналитические выражения и экспериментальное моделирование подтверждают, что кольцевые антенные решетки являются лучшими для оценки угловых координат одного источника сигнала среди решеток симметричной формы. Если рассматривается произвольная геометрия как, например, L- или дугообразные решётки, то для повышения точности оценок пеленгов можно использовать несимметричный вид антенн.

Литература

1. Tuncer, T., Friedlander, B. Classical and Modern Direction-of-Arrival Estimation, Academic Press,2009,456p.

2. Godara, L. C. “Applications of antenna arrays to mobile communications,” Proceedings of the IEEE, Vol.85, No.8, 1195-1245, 1997.

3. Nechaev, Yu. B., Peshkov, I. V. (2016) Evaluating Cramer-Rao Bound for 2D direction-finding via planar antenna arrays. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 67, pp. 12-17. (in Russian)

4. Chan, A.Y.J., Litva, J. MUSIC and ML techniques on two-dimensional DOA estimation with uniform circular array. IEE Proceedings, Vol.142, Iss.3, pp.105-114.

5. Moriya, H. etc Novel 3-D Array Configuration based on CRLB Formulation for High-Resolution DOA Estimation. Proceedings of ISAP 2012, Nagoya, Japan, pp.1140-1143.

6. Gazzah, Houcem and Jean Pierre Delmas. “On isotropic circular arrays of anisotropic sensors.” 2015 IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology (ISSPIT) (2015): 95-99.

7. Gazzah, Houcem. “Optimum Antenna Arrays for Isotropic Direction Finding.” IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems 47 (2011): 1482-1489.

8. DinhThang, VU et al. “A Cramйr Rao bounds based analysis of 3 D antenna array geometries made from ULA branches.” (2011).

References

1. Tuncer, T., Friedlander, B. Classical and Modern Direction-of-Arrival Estimation, Academic Press,2009,456p.

2. Godara, L. C. “Applications of antenna arrays to mobile communications,” Proceedings of the IEEE, Vol.85, No.8, 1195-1245, 1997.

3. Nechaev, Yu. B., Peshkov, I. V. (2016) Evaluating Cramer-Rao Bound for 2D direction-finding via planar antenna arrays. Visn. NTUU KPI, Ser. Radioteh. radioaparatobuduv., no. 67, pp. 12-17. (in Russian)

4. Chan, A.Y.J., Litva, J. MUSIC and ML techniques on two-dimensional DOA estimation with uniform circular array. IEE Proceedings, Vol.142, Iss.3, pp.105-114.

5. Moriya, H. etc Novel 3-D Array Configuration based on CRLB Formulation for High-Resolution DOA Estimation. Proceedings of ISAP 2012, Nagoya, Japan, pp.1140-1143.

6. Gazzah, Houcem and Jean Pierre Delmas. “On isotropic circular arrays of anisotropic sensors.” 2015 IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology (ISSPIT) (2015): 95-99.

7. Gazzah, Houcem. “Optimum Antenna Arrays for Isotropic Direction Finding.” IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems 47 (2011): 1482-1489.

8. DinhThang, VU et al. “A Cramйr Rao bounds based analysis of 3 D antenna array geometries made from ULA branches.” (2011).

Размещено на Allbest.ru