Проблема устойчивости параметрического контура

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КОНТУРА

Н.Д. Бирюк, А.Ю. Кривцов, О.С. Хорпяков



Аннотация

При анализе нелинейных систем большое методологическое значение имеет принцип линейного включения. Он утверждает, что любое решение произвольного нелинейного дифференциального уравнения можно точно реализовать как решение специально подобранного линейного дифференциального уравнения. Этот принцип повышает значимость анализа линейных систем общего вида. В статье рассмотрена задача устойчивости параметрического контура общего вида. Приведен общий метод анализа. Получены критерии устойчивости и неустойчивости этого контура.

Ключевые слова: линейные системы, нелинейные системы, принцип линейного включения, параметрический контур, проблема устойчивости, критерии устойчивости и неустойчивости.



STABILITY PROBLEM OF TIME VARYING CIRCUIT

Abstract

The principle of linear introduction is of great importance for the analysis of nonlinear systems. It asserts that any solution of arbitrary nonlinear differential equation may be exactly repeated as solution of specially selecting linear differential equation. This principle raises importance of analysis of linear system of general type. In this article it is considered problem of stability time varying circuit of general type. It is received criteria of stability and instability of this circuit.

Keywords: linear systems, nonlinear systems, principle of linear introduction, time varying circuit, problem of stability, criteria of stability or instability.



Введение

Общепризнано, что общая теория нелинейных систем не удовлетворяет практическим потребителям. Она развивается по принципу рассмотрения частных случаев, но частными случаями нельзя исчерпать общую проблему. Долгое время считалось, что в случае нелинейных систем нет общего объединяющего принципа, аналогичного принципу суперпозиции для линейных систем. В действительности, такой принцип был сформулирован в 60-ых годах прошлого века в математической монографии [1]. Это принцип линейного включения, утверждающий, что любое решение произвольного нелинейного уравнения может быть точно реализовано в специально подобранном линейном уравнении.

Нам не удалось найти упоминание об этом принципе в публикациях по естествознанию и технике.

В радиотехнических дисциплинах широко применяются нелинейные системы, поэтому принцип линейного включения должен быть рабочим инструментом каждого радиоинженера. Для этого нужно рассмотреть линейные радиоцепи как можно более общего вида, в первую очередь линейные радиоцепи с периодически изменяющимися во времени параметрами (параметрические радиоцепи). Удобным объектом для этого является параметрический контур общего вида. Особого внимания заслуживает проблема устойчивости по Ляпунову параметрического контура. Согласно теории устойчивости Ляпунова, задача об устойчивости возникает применительно к конкретному решению нелинейного дифференциального уравнения. Решение считается устойчивым, если малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям решения во всей области его существования. Из этого следует, что неустойчивые решения нереализуемы, поскольку на практике всегда найдутся причины малых изменений начальных условий.

Для линейных дифференциальных уравнений доказано, что если какое-нибудь решение в них устойчиво (неустойчиво), то и все решения устойчивы (неустойчивы). Таким образом, задача об устойчивости линейного дифференциального уравнения охватывает не только его конкретных решений, но и всё уравнение. Кроме того, в линейных уравнениях задача об устойчивости совпадает с задачей об ограничении всех решений. Применительно к параметрическому контуру это означает, что в случае устойчивости свободные процессы ограничены при любых начальных условиях, а в случае неустойчивости найдутся начальные условия такие, при которых свободные процессы с возрастанием времени стремятся к бесконечности.

При анализе устойчивости параметрического контура оказывается весьма полезной специальная задача Ляпунова об устойчивости линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами. В общедоступных публикациях по радиотехнической тематике она не применялась.



Математические модели параметрического контура общего вида

Под параметрическим контуром общего вида здесь понимается контур, схема которого представлена на рис. 1.

устойчивость параметрический контур

Рис. 1. Схема параметрического контура общего вид

Все его элементы положительны, непрерывны и изменяются во времени по любым периодическим функциям с общим периодом. Можно представить сколько угодно математических моделей такого контура в зависимости от того, какие две функции процесса выбраны в качестве определяющих. Практика показывает, что самая простая модель получается, если в качестве определяющих функций выбран заряд конденсатора и магнитное потокосцепление , где - ток в индуктивности. В таком случае первый и второй законы Кирхгофа приводят к дифференциальной системе.

(1)

Признаком линейности является независимость функций времени , , , от протекающих токов. Это - одна из математических моделей.

Можно получить другую модель в виде одного дифференциального уравнения второго порядке относительно и . В первом случае из первого уравнения (1) нужно выразить , затем его подставить во второе уравнение. Во втором случае из второго уравнения (1) выражается и подставляется в первое уравнение. В результате будем иметь:

(2)

(3)

Период изменения во времени всех элементов контура обозначен через . Если убрать первые производные, то получим каноничный вид дифференциальных уравнений второго порядка [2]. Рассмотрим подробнее такое приведение.

Уравнение (2) и (3) являются уравнениями типа

где , , , .

К первому уравнению применяем замену переменной

ко второму - аналогично



Тогда вместо (2) и (3) получим:

(4)

(5)

Здесь ,

Задаче об устойчивости уравнений такого типа академик Ляпунов посвятил 6 лет напряженного труда (1896-1902 г) и опубликовал на эту тему 5 статей [3]. Поскольку в радиотехнике эта важная задача не рассматривалась, рассмотрим вкратце подход и результаты Ляпунова.

Задача Ляпунова

Дано дифференциальное уравнение второго порядка в каноничной форме:

,, (6)

где функция - непрерывная периодическая с периодом . Требуется определить его устойчивость: в случае устойчивости все его решения в бесконечном интервале времени , - любое, остаются конечными; в случае неустойчивости найдутся решения, стремящиеся к бесконечности при безграничном возрастании времени. Доказано, что в случае уравнение (6) неустойчивое; в случае:

, (7)

оно может быть как устойчивым, так и неустойчивым; дать полный анализ случая знакопеременности функции не удалось. Позже [4] был предложен метод анализа этого случая, но он оказался очень громоздким для практического применения. Ляпунов рассматривал случай (7) как основной. Предложено два метода решения задачи. В обоих случаях вычисляется константа Ляпунова , решающий вопрос об устойчивости. Первый метод связан с прямым вычислением этой константы, второй - с косвенным приближенным вычислением.

В первом случае требуется найти фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (6), состоящую из двух решений , c начальными условиями (можно положить )

(8)

Если эти решения известны, то находятся два числа

, , (9)

по которым легко вычисляется константа Ляпунова

. (10)

Если , то уравнение (6) устойчиво, при - неустойчиво. Случай по Ляпунову считается неинтересным, так как не может быть обнаружен приближенными вычислениями. Этот метод является методически простым, но требует нахождения фундаментальной системы решений уравнения (6) - задача очень не простая.

Чтобы обойти эту сложность, Ляпунов разработал другой метод косвенного вычисления константы . Это константа представляется в виде суммы бесконечного числового знакопеременного ряда, доказана его абсолютная сходимость и дан способ, как в некоторых случаях по конечному числу первых членов определить устойчивость или неустойчивость уравнения (6). Здесь возникает другая трудность, формулы для вычисления членов ряда оказались громоздкими, причем громоздкость быстро возрастала с повышением порядка членов. Ляпунов ограничился вычислением только первых трёх членов. Этот метод имеет большое теоретическое значение, но для решения практических задач мало приспособлен.

В настоящее время для радиотехнических задач надо отдать предпочтение методу прямого вычисления константы Ляпунова, так как он представляет собой стандартную задачу компьютерных вычислений. Покажем его реализацию на примере решения , так как другое решение находится по аналогии. Разбиваем интервал на любое число равных или неравных подынтервалов: .

В каждом подынтервале функцию считаем постоянной, равной любому её значению в этом подынтервале. По известным начальным условиям находим решение и его производную в первом подынтервале уравнения (6) с постоянными коэффициентом. Соответствующие значения при являются начальными значениями для второго подынтервала и т. д, решение и его производная доводится до : , .Точно так же находятся числа , .По этим данным вычисляется константа Ляпунова. Сходимость процесса доказана [5]. Чем больше и мельче подынтервалы, тем точнее находятся решения. Применения компьютера позволяет разбить интервал на ограниченное число подынтервалов (1000 и более) и получить практические точную константу Ляпунова .

Как следствие косвенного вычисления константы , Ляпунов получил легко проверяемый критерий (достаточное условие) устойчивости уравнения (6):

, (11)

который попытался сравнить с другим критерием устойчивости академика Н.Е Жуковского

(12)

где - наибольшее целое число, не превосходящее , например ,, . Здесь - точный верхний предел функции , - её точный нижний предел. Оба эти критерия могут быть полезными для радиоэлектронных задач.

Сравнение Ляпунова этих критериев не привело к определённому результату. Оно показало, что задача сравнения двух критериев по эффективности в тех случаях, когда область применимости одного не является частью области применимости другого, очень сложна и не всегда разрешима.



Частные случаи параметрического контура

С позиции принципа линейного включения контур должен быть как можно более общим. С точки зрения практического применения это не обязательно. В частных случаях уравнения контура (2) и (3) упрощаются. Элементы контура разделяются на энергоёмкие (индуктивность и ёмкость) и неэнергоёмкие (активное сопротивление и проводимость). Изменения во времени положительных неэнергоёмких элементов не приводит к неустойчивости. Поэтому при анализе устойчивости контура их можно заменить эквивалентными (обычно средними) значениями и считать постоянными. При , в формулах (2), (3) упростятся следующие слагаемые:

,

В радиотехнике обычно применяют контуры с малыми тепловыми потерями (высокой добротности). В таких случаях тепловые потери можно сосредоточить в одном месте, т.е положить либо , либо .

В этом случае вместо (2) и (3) получим:

при

, (13)

,

имеем последовательный колебательный контур;

при

, (14)

,

имеем параллельный колебательный контур.

Уравнения в (13), (14) различны по сложности, но эквивалентны по устойчивости, поэтому целесообразно исследовать на устойчивость более простое из них. Такими уравнениями являются первое уравнение в (13) и второе в (14). Приведем их к канонической форме. Первое уравнение в (13) заменой переменной

(15)

приводится к виду:

, (16)

где

, (17)

Аналогично, второе уравнение в (14) заменой переменной

(18)

приводится к каноничному виду

, (19)

где

(20)

Задача об устойчивости уравнений (16) и (19) приводится к задаче Ляпунова. Формулы (15) и (18) проясняют, как при переходе уравнений (16) в (13) и (18) в (14) последнее по сравнению с первыми имеют тенденцию к стабилизации за счет резистивных элементов и .

В монографии [6] доказана вторым методом Ляпунова устойчивости параметрического контура общего вида в случае

, (21)

то есть при синхронном изменений во времени индуктивности и ёмкости

.

Здесь - характеристическое сопротивление контура, - положительное число. Формула (21) представляет собой критерий устойчивости параметрического контура общего вида.

Докажем справедливость равенства (21), привлекая физические соображения и приведем новый критерий неустойчивости.

Положим , . Тогда система уравнений (1) примет вид:

(22)

В случае , когда , - положительное число, получим

(23)

Проведём ряд преобразований:

(24)

Из формулы (24) следует, что и при не могут стремиться ни к нулю, ни к бесконечности. Следовательно, контур устойчив неасимптотически.

Критерий неасимптотической устойчивости

Контур (рис.1) без тепловых потерь: , , - удовлетворяет дифференциальной системе (22). В случае он неасимптотически устойчив.

Положительные резистивные элементы , , как бы они не изменялись во времени, стабилизируют контур. Поэтому справедлив

Критерий асимптотической устойчивости

Контур (рис.1) с тепловыми потерями удовлетворяет дифференциальной системе (1). В случае он асимптотически устойчив.

Рассмотрим случай

или ,

где - положительное число. Здесь - аналог собственной частоты обычного колебательного контура.

Тогда вместо (22) получим

(25)

Преобразуем эту систему:

перемножаем левые и правые части

, (26)

где , .

Для решения этого дифференциального уравнения введём обозначения

,, (27)

где - некоторая функция времени, которая является непрерывной и не равной ни нулю, ни бесконечности, т.е не может быть знакопеременной, она может быть либо , либо при всех .

Интегрируем уравнение (27)

, ,

где , - константы интегрирования. Преобразуем эти выражения:

, .

Потенцируем эти равенства

, .

Если , то , , если , то , .

Таким образом, среди решений дифференциальной системы (22) при есть такие, которые с возрастанием времени убывают до нуля, но есть и другие, которые возрастают до бесконечности, а это - призрак неустойчивости.

Критерий неустойчивости дифференциальной системы (22)

При , что равнозначно , где - положительное число, дифференциальная система (22) неустойчива.

В данном случае перейти от дифференциальной системы (22) к дифференциальной системе (1) с сохранением неустойчивости, где учитываются тепловые потери, в общем случае невозможно. Резистивные элементы стабилизируют систему. Поэтому при неустойчивости системы (22) система (1) может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Можно лишь утверждать, что при совместном стремлении к нулю , система (1) изменяется в сторону неустойчивости и при очень малых резистивных элементах становится неустойчивой. Если принять во внимание, что в радиотехнике применяются высокодобротные колебательные контуры, что равнозначно малым тепловым потерям в случае параметрических контуров, тогда во многих случаях можно ожидать, что неустойчивость дифференциальной системы (22) влечёт за собой неустойчивость дифференциальной системы (1).



Заключение

При анализе нелинейных систем принцип линейного включения имеет непреходящее методологическое значение. Он повышает значимость анализа линейных систем общего вида. В радиоэлектронике принцип линейного включения не применяется и даже не упоминается. Это - упущение.

В случае параметрических систем задача об устойчивости имеет несравненно большее значение, чем в случае систем с постоянными параметрами. Она может быть решена, опираясь на теорию устойчивости Ляпунова. В радиоэлектронике эта теория не применяется надлежащим образом.

В данной публикации трудности анализа параметрических систем рассмотрены на примере параметрического контура общего вида. Особое внимание уделено проблеме устойчивости, для её решения привлечён специальный метод задачи от устойчивости Ляпунова, который в радиотехнике ранее не применялся.

Доказано более простым способом чем раньше, устойчивость параметрического контура общего вида в случае неизменности его характеристического сопротивления. Приведен новый критерий неустойчивости параметрического контура при отсутствии тепловых потерь и сформулированы соображения об обобщении этого критерия на параметрический контур общего вида.



Литература

1. Былов В.Ф. Теория показателей Ляпунова и её приложения к вопросам устойчивости / В.Ф Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий. - М.: Наука, 1966. - 576с.

2. Зайцев В.Ф, Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. - М.: Факториал, 1997. - 303с.

3. Академик А.М Ляпунов, Собрание сочинений. Т.2. - Изд. АНСССР, - Москва-Ленинград, 1950. - 472с.

4. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. - М.: Наука, 1972. - 718 с.

5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

6. Бирюк Н.Д. Основы теории параметрических радиоцепей / Н.Д. Бирюк, В.В. Юргелас. - Воронеж: Издательство-полиграфический центр ВГУ, 2012. - 345с.

References

1. Bylov B.F. Teoriya pokazatelej Lyapunova i eyo prilozheniya k voprosam ustojchivosti / B.F. Bylov, R.EH. Vinogrid, D.M. Grobman, V.V. Nem'shchkij. - M.: Nauka, 1966,- 576 s.

2. Zaitsev V. F, Handbook of linear ordinary differential equations / V. F. Zaitsev, A. D. Polyanin. - Moscow: Factorial, 1997. - 303s.

3. Akademik A.M. Lyapunov, Sobranie sochinenij T.2.- M.-L.: Izd. AN SSSR, 1956.- 472 s.

4. YAkubovich V.A. Linejnye differencial'nye uravneniya s periodicheskimi koehfficientami i ih prilozheniya / V.A. YAkubovich, V.M. Starzhinskij - M.: Nauka, 1972,- 718 s.

5. Demidovich B.P. Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti / B.P. Demidovich.- M.: Nauka, 1967.- 472 s.

6. Birjuk N.D., Yurgelas V.V. Theoretical basis of time varying circuits [Birjuk N.D., Yurgelas V.V. Osnovy teorii parametricheskih radiotsepey]. - Voronezh: Publishing and Polygraphic Center VSU, 2012. - 345 s.

Размещено на Allbest.ru