Электрическая часть ЭМП, которая преобразует входное напряжение u(t) в ток i(t), состоит из катушки индуктивности и сопротивления. На основании закона Кирхгофа ее уравнение будет иметь вид:

где R - сопротивление обмотки по которой течет ток, Ом; i(t) - ток в обмотке, А; L - индуктивность катушки, Гн; u(t) - напряжение подаваемое на вход, В.

В преобразовании Лапласа формула приобретает такой вид:

где L/R - постоянная времени T_L.

Из уравнения (2) можно получить передаточную функцию такого вида:

Передаточная функция из уравнения (3) является первой частью из общей передаточной функции ЭМП.

Вторая часть ЭМП преобразует полученный ток i(t) в перемещение золотника h_з(t). Для получения передаточной функции, необходимо записать уравнение движения золотника на основе второго закона Ньютона. На золотник действует несколько сил: сила, которая приводит его в движение посредством тока (4), сила упругости, подчиняющаяся закону Гука (5),сила вязкого трения (6).

где k_fi - коэффициент усиления тяговой характеристики.

где C_эмп - коэффициент жесткости.

где b - коэффициент вязкого демпфирования.

Итоговое уравнение получается следующего вида:

где m - масса золотника.

В преобразовании по Лапласу уравнение (7) приобретает вид:

Путем несложных преобразований получается передаточная функция второй части ЭМП:

Уравнение (9) необходимо привести к виду типового колебательного звена, путем математических преобразований. Конечная передаточная функция выглядит так:

где - электромеханическая постоянная времени;

- коэффициент относительного демпфирования;

- коэффициент передачи.

Получив обе части передаточной функции ЭМП (уравнения 3 и 10) их можно объединить в одну соединив последовательно. Так как по заданию T_L = 0 уравнение (3) преобразуется к виду:

В электромеханическом преобразователе также возникает противоэдс (12), которая уменьшает значения входного напряжения, и потому в схеме ЭМП появится отрицательная обратная связь.

Соединив звенья с полученными функциями (10), (11) и (12) получится схема ЭМП (рисунок 2).

Рисунок 2. Схема электромеханического преобразователя

1.2 Гидроусилитель

Гидроусилитель, является устройством, которое на небольшое движение золотника внутри него, оказывает сильное давление на внешний объект, вызывая какое-либо его физическое перемещение. Передаточной функцией гидроусилителя является апериодическое звено с коэффициентом усиления мостика по давлению k_ph и коэффициентом пропорционального преобразования давления k_xp:

1.3 Схема ОУ и ее моделирование

Путем соединения ЭМП и ГУ как показано на рисунке 1, получится требуемый объект управления (рисунок 3).

Рисунок 3. Схема объекта управления в общем виде

Подставив все заданные величины в звенья представленной схемы (рисунок 3), получилась следующая схема объекта управления (рисунок 4).

Рисунок 4. Схема объекта управления

Сворачиваем данную схему и получаем передаточную функцию объекта управления (рисунок 5). Переходный процесс ОУ представлен на рисунке 6.

Рисунок 5. Объект управления

Рисунок 6 - Переходный процесс ОУ

Модель замкнутой системы ОУ представлена на рисунке 7. Переходный процесс на рисунке 8.

Рисунок 7 - Замкнутая модель ОУ

Рисунок 8 - Переходный процесс

1.4 Пропорциональный регулятор

Необходимо подобрать коэффициент П-регулятора, который обеспечит не более чем 5% статическую ошибку. Это достигается при использовании коэффициента k = 33,929. Модель системы представлена на рисунке 9. Переходный процесс и ЛАЧХ на рисунках 10 и 11 соответственно.

Рисунок 9 - Модель системы

Рисунок 10 - Переходный процесс системы с П-регулятором

Рисунок 11. ЛАЧХ системы с П-регулятором

2. Синтез регуляторов

Для реализации идеального регулятора, необходимо подобрать регулятор так, чтобы он компенсировал динамику объекта управления, а передаточная функция разомкнутой системы приобрела желаемый вид (14).

Для того, чтобы компенсировать полюсы передаточной функции объекта, нули регулятора должны быть такими же, поэтому числитель регулятора и знаменатель объекта управления будут одинаковы и в итоге, желаемая передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид уравнения (15), а регулятора (16).

где k - коэффициент усиления ОУ; N(s) - полюсы регулятора.

где M(s) - полюсы передаточной функции ОУ.

По условию физической реализуемости, порядок полинома M(s) должен быть меньше либо равен порядку полинома N(s), увеличенного на единицу. Исходя из этого условия, порядок полинома N(s) должен быть больше либо равен двум.

Замкнутая желаемая передаточная функция будет иметь вид уравнения (17).

где G(s) - полином обеспечивающий желаемую динамику результирующей системы.

Путем нескольких преобразований получается уравнение (18), исходя из которого, необходимо задать полином G(s), обеспечив желаемую динамику системы.

Выбрав время переходного процесса t_пп = (1ч2)t_ппоу = 0.04 секунды, получился полином G(s) представленный в уравнении (19).

Подставляя получившийся G(s) из уравнения (19) в уравнение (18), получаем полином N(s), который в свою очередь подставляем в уравнение (16) и получаем передаточную функцию регулятора (20).

2.2 ПИД-регулятор настроенный по желаемой передаточной функции

Передаточная функция ПИД-регулятора имеет вид уравнения (21).

Получение ПИД-регулятора происходит путем приведения ЛАЧХ ПИД-регулятора к ЛАЧХ идеального регулятора. Схема приведена на рисунке 12. Результат приведен на рисунке 13.

Рисунок 12 - Схема получения ПИД-регулятора

Рисунок 13 - ЛАЧХ системы с ПИД-регулятором

Передаточная функция с коэффициентами будет иметь вид уравнения (22).

То есть k_д=0.3*10^-3, k_п=2.3, k_и=90

2.3 Компенсационный регулятор с упрощенным ОУ