Дискретизация исходного сигнала с последующим восстановлением

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Введение

Данная курсовая работа направлена на выполнение дискретизации исходного сигнала с последующим восстановление, причём погрешность восстановления фиксирована и не должна превышать заданную величину. Для выполнения поставленной задачи нами будут проведены следующие этапы работы: предварительный выбор частоты дискретизации и частоты среза; исследования спектральных характеристик исходного сигнала, дискретизированного и восстановленного с выбранными частотами; определение погрешности восстановления; подбор оптимальных частот, обеспечивающих заданную погрешность восстановление; проверка выполненной работы с помощью имитационного моделирования.

В конце проделанной работы преподавателем будет предложена тема самостоятельного дополнительного исследования, которая позволит окончательно закрепить все полученные в ходе курсовой работы знания.

сигнал частота фильтр



Спектральный анализ дискретизируемого сигнала. Предварительный выбор частоты дискретизации

Для выполнения курсовой работы необходимо построить непрерывный сигнал S(t), заданный индивидуальным номером варианта (Вариант 51083).

На рисунке 1 представлен исходный непрерывный сигнал.

Рисунок 1 - Исходный непрерывный сигнал

Удобнее всего, данный сигнал представить в виде комплексной спектральной мощности для простоты использования. Формула спектральной плотности мощности выглядит следующим образом:

Более простым методом расчета спектральной плотности мощности является представление её в виде отдельных слагаемых. Тогда расчет спектральной плотности мощности будет иметь следующий вид:

Исходя из полученного выражения комплексной спектральной плотности, рассчитаем её модуль и аргумент, для того, чтобы получить выражения для расчета спектральной плотности амплитуд и спектра фаз:

Построим графики спектральной плотности амплитуд и спектра фаз, пользуясь рассчитанными выражениями.

Рисунок 2 - График спектральной плотности амплитуд

Рисунок 3 - График спектра фаз



Из теоремы Котельникова, о дискретизации сигнала, известно, что частота дискретизации F непрерывного сигналаS(t)со спектром, ограниченным частотой Fmдолжна соответствовать неравенству:

В качестве наивысшей частоты спектра, оптимально использовать верхнюю граничную частоту практической ширины спектра сигнала.

На основе энергетического критерия можно оценить практическую ширину спектра сигнала, откуда верхняя граничная частота практической ширины спектра может быть найдена с помощью нелинейного уравнения полученного на основе равенства Парсеваля и выглядит следующим образом:

Величина в данном выражении являетсяпредполагаемой долей энергии сигнала, которая сосредоточена в пределах практической ширины спектра, а величина соответствует полной энергии, которую можно рассчитать по следующей формуле:

при условии, что а .

Отсюда следует, что график зависимости верхней граничной частоты сигнала от доли энергии сигнала будет иметь следующий вид:

Рисунок 4 - Зависимость верхней граничной частоты от доли полной энергии сигнала

По полученному графику можно определить, что при заданной доле полной энергии сигнала, верхняя граничная частота В качестве предварительного значения наивысшей частоты спектра исходного сигнала, следует взять значение округленное в большую сторону, то есть. Отсюда следует, что предварительная величина частоты дискретизации

Расчет характеристик сигнала на выходе дискретизатора. Предварительный выбор полосы пропускания восстанавливающего фильтра

Для получения дискретизированного сигнала , необходимо исходный непрерывный сигналпредставить в виде последовательности отсчетных импульсов. Амплитудные значения таких отсчетов будут равны мгновенным значениям исходного сигнала в моменты времени Где -интервал дискретизации. Тогда дискретизированный сигнал будет рассчитываться по следующей формуле:



Поскольку, непрерывный исходный сигнал обладает конечно длительностьюTs, следовательно число Nненулевых отсчетных импульсов дискретизированного сигнала будет являться конечно величиной и рассчитываться по формуле:

На приведенном ниже рисунке 5 представлены графики исходного и дискретизированного сигналов.

Рисунок 5 - График исходного сигнала (штриховая линия) и дискретизированного сигнала (сплошная линия)

Определим комплексную спектральную плотностьпо следующей формуле:



На рисунке 6 представлен график спектральной плотности амплитуд дискретизированного и исходного сигналов.

Рисунок 6 - Графики спектральной плотности амплитуд дискретизированного (сплошная линия) и непрерывного (штриховая линия) сигналов

На рисунке 7 представлен график спектра фаз дискретизированного и исходного сигналов.

Рисунок 7 - График спектра фаз дискретизированного (сплошная линия) и исходного (точки) сигналов

Как видно из представленных выше графиков, спектр фаз дискретизированного и исходного сигналов ничем не отличаются друг от друга. Спектральная плотность амплитуд дискретизированного и исходного сигналов, незначительно отличаются на низких частотах и имеют большую разницу на более высоких частотах.

Анализ частотных и временных характеристик восстанавливающего фильтра нижних частот

Исходя из заданного варианта задания, для восстановления сигнала по его дискретным отсчетам, нам потребуется использовать полиномиальный фильтр нижних частот второго порядка с заданной аппроксимацией его амплитудно-частотной характеристики по Чебышеву.

Исходные данные:

тип фильтра нижних частот по аппроксимации амплитудно-частотной характеристики - фильтр Чебышева с неравномерностью амплитудно-частотной характеристики 0.2 дБ;

порядок фильтра нижних частот - n=2;

нормированные полюсы передаточной функции фильтра нижних частот - ;

коэффициент обеспечивающий при единичную передачу на нулевой частоте;

коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте

Частота среза фильтра -

Операторный коэффициент передачи полиномиального фильтра нижних частот будет рассчитываться следующим образом:

где

Подставив в операторный коэффициент передачи наши исходные данные, получим комплексный коэффициент передачи фильтра.

Рассчитаем амплитудно-частотную и фаза-частотную характеристики при помощи рассчитанного комплексного коэффициента передачи.

По составленным выражения построим графики амплитудно-частотной и фаза-частотной характеристик.

Рисунок 8 - График амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот

Рисунок 9 - График фаза-частотной характеристики фильтра нижних частот

Проводя анализ полученных графиков амплитудно-частотной и фаза-частотной характеристик, отметим, что данные характеристики достаточно сильно отличаются от характеристик идеального фильтра нижних частот, что заметно скажется на искажении формы восстанавливаемого сигнала.

Проведем графическую оценку влияния частоты среза фильтра на качество восстановления сигнала. Для этого рассмотрим график представленный на рисунке 10.

Рисунок 10 - График спектральной плотности амплитуд дискретизированного (сплошная линия) и исходного (пунктирная линия) сигналов, и амплитудно-частотная характеристика фильтра (пунктирная линия)

Как видно из графика, частота среза фильтра принимает слишком большое значение, так как при восстановлении сигнала будут задеты соседние копии дискретизированного сигнала, что увеличит ошибку восстановления исходного непрерывного сигнала.

Определим время задержки отклика заданного фильтра на входное гармоническое воздействие с частотой с помощью следующей формулы:

С помощью формулы построим график зависимости времени задержки отклика от частоты.

Рисунок 11 - График зависимости времени задержки отклика фильтра от частоты

Для расчета импульсной характеристики фильтра воспользуемся обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции Тогда формула для расчета импульсной характеристики будет иметь следующий вид:

Подставив все исходные значения в формулу, её решение будет иметь следующий вид:



Тогда график импульсной характеристики будет иметь следующую форму:

Рисунок 12 - График импульсной характеристики фильтра

Расчет сигнала, восстановленного по дискретным отсчетам заданным фильтром нижних частот, и относительной погрешности восстановления

Восстановленный непрерывный сигнал с выхода фильтра нижних частот с импульсной характеристикой и при действующем на входе фильтра идеального дискретизированного сигнала будет рассчитываться по формуле:

где k - является номером отсчета мгновенного значения непрерывного сигнала.

На рисунке 13 представлен график восстановленного и исходного сигналов.

Рисунок 13 - График восстановленного (сплошная линия) и исходного (штриховая линия) непрерывных сигналов

Из рисунка 13 можно сделать вывод о том, что форма сигнала достаточно сильно искажена. Это говорит нам о том, что для качественного восстановления необходимо большее число отсчетов, а так же следует уменьшить значение частоты среза, так как именно она вносит помехи от соседних копий сигнала.

Для оценки качества расчетов необходимо определить относительную погрешность восстановления сигнала нашим фильтром. Для этого воспользуемся следующей формулой:

Полученная погрешность достаточно далека от заданной погрешности, установленной индивидуальным вариантом. На основании этого, необходимо провести исследование зависимости погрешности восстановления от частоты дискретизации и частоты среза фильтра. В ходе исследования необходимо выявить оптимальные значения частоты среза и частоты дискретизации.



Исследование влияния на погрешность восстановления сигнала частоты его дискретизации и частоты среза фильтра нижних частот. Обоснование и выбор оптимальных значений частот, обеспечивающих качество восстановления не хуже заданного

Выявим зависимость погрешности восстановления сигнала от частоты дискретизации и частоты среза фильтра нижних частот. Для этого построим графики исходя из уравнения погрешности восстановления, при условии, что одна из искомых величин является переменным значением, а другая постоянна, а затем наоборот.

Рисунок 14 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от частоты дискретизации при фиксированной частоте среза



По данному графику можно сказать, что при частоте среза и частоте дискретизации достигается заданный порог погрешности восстановления.

Рисунок 15 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от изменения частоты среза фильтра, при фиксированном значении частоты дискретизации

Из полученного графика следует, что при частоте дискретизации, оптимальной частотой среза является

Таким образом, наиболее оптимальными значениями, обеспечивающие необходимую погрешность восстановления, являются и . Погрешность восстановления при таких значения

Представим в виде таблицы значения погрешности восстановления сигнала от значений частоты среза и частоты дискретизации (таблица 1)



Таблица 1 - Зависимость погрешности восстановления от частоты среза

кГц
		6	8	9
	2	10.868	6.888	8.273
	2.5	10.173	3.034	3.709
	3	14.497	3.522	2.889

Расчет характеристик дискретизированного и восстановленного сигналов при оптимальных значениях частоты дискретизации и полосы пропускания фильтра нижних частот. Сравнительный анализ качества восстановления сигнала заданным реальным фильтром и идеальным фильтром нижних частот

По новым оптимальным значениям, для частоты среза и частоты дискретизации, построим графики временных и частотных зависимостей, для дискретизированного и восстановленного сигналов.

Рисунок 16 - График дискретизированного (сплошная линия) и исходного (штриховая линия) сигналов



Из графика видно, что увеличение частоты дискретизации приводит к увеличивается числа отсчетных импульсов.

Рисунок 17 - График спектральной плотности исходного (штриховая линия) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов

Рисунок 18 - График спектра фаз исходного(точки) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов

Как видно из рисунка 17, спектральная плотность исходного сигнала и дискретизированного на низких частотах, практический, имеет одинаковые значения. А из рисунка 18 видно, что спектр фаз по-прежнему совпадает.

Рисунок 19 - График исходного (штриховая линия) и восстановленного (сплошная линия) сигналов

По графику видно, что восстановленный сигнал стал ближе по значениям, но отличается по форме от исходного сигнала.

Рассмотрим восстановление сигнала посредством идеального фильтра нижних частот. Для этого нам необходимо представить импульсную характеристику в следующем виде:

Исходя из новой импульсной характеристики, восстановление сигнала будет происходить по формуле:

Проведем анализ качества восстановления сигнала идеальным фильтром нижних частот. Для этого сначала зафиксируем частоту среза и будем менять величину частоты дискретизации, для выявления ошибок восстановления, а затем наоборот, при фиксированном значении частоты дискретизации будем менять частоту среза.

Рисунок 20 - График зависимости погрешности восстановления от частоты дискретизации при фиксированном значении частоты среза

Из полученного графика видно, что даже при малых значениях частоты среза с увеличением частоты дискретизации погрешность восстановления уменьшается. При условии использования идеального фильтра, даже при малых значениях частоты среза и частоты дискретизации, будут выполняться условия минимальной погрешности восстановления сигнала.

Рисунок 21 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от частоты среза, при фиксированном значении частоты дискретизации

Из рисунка 21 видно, что так же как и в предыдущем случае, погрешность восстановления гораздо ниже минимального порога.

Запишем зависимости погрешности восстановления при проведении первого и второго эксперимента в таблицы 2 и 3.

Таблица 2 - Зависимость погрешности восстановления от частот среза при фиксированной частоте дискретизации

	кГц
		0.5	1.5	2	3
	2	0.4	1.045	1.412	1.447
	3	0.388	0.311	0.437	0.936
	4	0.482	0.112	0.138	0.271
	5	0.541	0.117	0.101	0.135
	6	0.57	0.142	0.115	0.111
	7	0.581	0.125	0.086	0.066
	8	0.588	0.12	0.073	0.041



Таблица 3 - Зависимость погрешности восстановления от частоты дискретизации при фиксированной частоте среза

кГц		2	3	4	6
	1	0.539	0.214	0.161	0.22
	2	1.412	0.437	0.138	0.115
	3	1.447	0.936	0.271	0.111
	4	1.444	1.121	0.565	0.139

Сравним исходный непрерывный сигнал с восстановленными сигналами, с реального фильтра нижних частот и идеального фильтра нижних частот, с частотой среза и частотой дискретизации

Рисунок 22 - График исходного (точки), восстановленного идеальным фильтром нижних частот (сплошная линия) и восставленного реальным фильтром нижних частот (штриховая линия) сигналов



Исследование качества восстановления сигнала при различных значениях длительности исходного сигнала

Произведем оценку качества восстановления сигнала при различных значениях длительности исходного сигнала. Для этого воспользуемся нашим реальным фильтром нижних частот с оптимальными значениями частоты среза и частоты дискретизации

Чтобы оценить величину погрешности восстановления, нам необходимо, чтобы одна из величин, либо частота дискретизации, либо частота среза принимали оптимальное фиксированное значение, а другая величина менялась при определенной длительности сигнала, а затем наоборот.

Рисунок 23 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от частоты среза, при фиксированной частоте дискретизации и заданной длительности сигнала

Рисунок 24 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от изменения частоты дискретизации при фиксированной частоте среза с заданной длительностью сигнала

На основании графиков можно сказать, что наш реальный фильтр удовлетворяет требуемым условиям, а увеличение длительности сигнала приводит к значительному улучшению качества восстановления сигнала.

Для наглядности, запишем значения погрешности восстановления в таблицы.

Таблица 4 - Зависимость погрешности восстановления от длительности сигнала при фиксированной частоте дискретизации и изменяемой частоте среза

	кГц
мс	1	2	3	4
0.15	1.371	0.721	0.354	0.274
1.5	0.29	0.047	0.022	0.067
3	0.099	0.012	0.008	0.061



Таблица 5 - Зависимость погрешности восстановления от длительности сигнала при фиксированной частоте среза и изменяемой частоте дискретизации

	кГц
мс	3	5	7	9
0.5	0.347	0.135	0.182	0.175
1.5	1.911	1.941	1.952	1.957
3	1.874	1.897	1.9	1.901

Как видно по данным из таблицы наиболее эффективным методом оптимизации погрешности восстановления сигнала является метод, при котором частота дискретизации остается неизменной а частота среза фильтра изменяемая величина. Самым оптимальным значением для максимально точного восстановления сигнала является частота среза при частоте дискретизации и погрешность такого восстановления равна 0.008%.

Проверка основных результатов работы посредством схемотехнического моделирования

Выполним проверку основных результатов расчетов, выполненные ранее в курсовой работе. Для этого проведем моделирование с помощью программы ElectronicWorkBench. На рисунке 25 представлена структурная схема моделируемого устройства.

Рисунок 25 - Структурная схема моделируемого устройства

В данном устройстве блок GINS выполняет функцию генерирования исходного сигнала. За дискретизацию исходного сигнала отвечает блок Discret. Блок Channel создает так называемый канал связи, а блок Filterвыполняет роль фильтра, который по дискретным отсчетам осуществляет восстановление сигнала.

Воспользуемся программным пакетом MathCad для создания исходного сигнала и записи его в файл, последующего чтения в программе ElecrtonicWorkBenchс помощью источника сигнала называемого PiecewiseLinearSource. На рисунке 26 приведен алгоритм формирования исходного сигнала.

Рисунок 26 - Формирование исходного сигнала в программе MathCad

На рисунке 27 представлен схема и наш исходный сигнал на осциллографе полученный с помощью загруженного в источник PiecewiseLinearSource исходного сигнала

Рисунок 27 - Схема и исходный непрерывный сигнал на осциллографе

Далее нам необходимо провести исследование спектральный характеристик сигнала. Это можно сделать в меню Analisis с помощью функции Fourier. На рисунке 28 представлена осциллограмма спектра амплитуд исходного сигнала.

Рисунок 28 - Спектр амплитуд исходного сигнала

Дискретизированный сигнал можно реализовать стробированием (умножением) исходного непрерывного сигнала периодичностью малых по длительности импульсов, повторяющихся с частотой дискретизации. На рисунке 29 представлена схема, выполняющая дискретизацию исходного сигнала и сам дискретизированный сигнал.

Рисунок 29 - Схема дискретизатора и график дискретизированного сигнала

Как видно из рисунка 29, смоделированный дискретизированный сигнал схож с расчетным в курсовой работе.

Для фильтрации и восстановления исходного сигнала воспользуемся фильтром Чебышева второго порядка, схема которого представлена на рисунке 30.

Рисунок 30 - Схема восстанавливающего фильтра

Рассчитаем значения элементов данного фильтра. Для этого воспользуемся справочными значениями для нормированных элементов фильтра Чебышева второго порядка с неравномерностью амплитудно-частотной характеристики 0.2 дБ.

=1.36898,

=0.86881.

Номинальные значения элементов определяются по следующим формулам:

при .

Рисунок 31 - Схема полного устройства

Результат моделирования изображен на рисунке 32. На рисунке представлен исходный и дискретизированный сигналы.

Рисунок 32 - Осциллограмма исходного и восстановленного сигналов

Моделирование показывает, что сигналы близки по форме друг к другу, а так же восстановленный сигнал с помощью программы ElectronicWorkBench совпадает с восстановленным сигналом построенным в курсовой работе.

Дополнительное индивидуальное исследование широтно-импульсной модуляции как способ дискретизации непрерывного видеосигнала

Широтно-импульсная модуляция (ШИМ) - это метод преобразования сигнала, при котором длительность отсчетных сигналов изменяется (скважность) пропорционально амплитуде сигнала, а частота остается неизменной. Основной причиной применения ШИМ является стремление к повышению КПД при построении вторичных источников питания электронной аппаратуры. В Широтно-импульсной модуляции в качестве основных элементов используются транзисторы в ключевом режиме работы, транзистор все время либо разомкнут, либо замкнут. В первом случае транзистор обладает практический бесконечное сопротивление, поэтому ток в цепи мал, хотя все напряжение питания падает на транзисторе, а мощность, выделяемая на транзисторе близка к нулю. Во втором случае сопротивление транзистора мало от чего падение напряжения на резисторе близко к нулю, мощность при этом так же очень мала. В связи с этими мощность выделяемая при переходных процессах велика, но из-за малой длительности этих процессов, по отношению к периоду модуляции, то средняя мощность потерь на транзисторе оказывается незначительной.

Аналоговый ШИМ - сигнал формируется с помощью аналогового компаратора, на инверсный вход которого подается вспомогательный опорный пилообразный или треугольный сигнал, частота которого больше, чем частота исходного сигнала, а на другой вход подается сам сигнал. Частота повторений выходных импульсов ШИМ равна частоте вспомогательного опорного сигнала. На рисунке 33 показана схема дискретизатора основанного на широтно-импульсной модуляции.

Рисунок 33 - Схема ШИМ дискретизатора

На рисунке 34 представлена диаграмма сигнала с широтно-импульсной модуляцией.

Рисунок 34 - Диаграмма сигнала с широтно-импульсной модуляцией

Простейшим способом восстановления сигнала является подача сигнала с широтно-импульсной модуляцией на фильтр нижних частот. Таким фильтром может быть RC - фильтр первого рода, представленный на рисунке 35.

Рисунок 35 - Схема ШИМ и восстанавливающего RC-фильтра первого рода

На рисунке 36 представлена диаграмма исходного сигнала и восстановленного.

Рисунок 36 - Диаграммы исходного и восстановленного сигналов

Более качественным восстановлением обладает RC-фильтр второго рода, схема которого изображена на рисунке 37.

Рисунок 37 - Схема RC- фильтра второго рода

На рисунке 38 представлены диаграммы входного и восстановленного сигналов.

Рисунок 38 - Диаграммы входного и восстановленного сигналов

В качестве ещё одного восстанавливающего фильтра нижних частот рассмотрим фильтр Баттерворта третьего порядка, представленного на рисунке 39.



Рисунок 39 - Фильтр Баттерворта третьего порядка

На рисунке 40 представлены временные диаграммы исходного сигнала и сигнала восстановленного фильтром Баттерворта.

Рисунок 40 - Диаграммы исходного и восстановленного фильтром Баттерворта сигналов

Из представленных рисунков видно, что с RC - фильтр второго порядка более качественно восстанавливает сигнал в сравнении с RC- фильтром первого порядка. Фильтр Баттерворта третьего порядка гораздо качественней восстанавливает форму исходного сигнала, но обладает больше задержкой по времени. Таким образом, наиболее лучшим качеством восстановления сигнала, из рассмотренных фильтров, обладает фильтр Баттерворта третьего порядка.



Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы все поставленные нами задачи были выполнены. Мы выяснили, что оптимальными частотами для обеспечения погрешности восстановления являются частота среза и частота дискретизации . Данные значения были получены нами в ходе исследования, которое было необходимо провести, так как предполагаемые значения частот оказались неверными и давали большую погрешность восстановления. Нами был проведён анализ всех спектральных и частотных характеристик фильтра, доказывающий правильность найденных значений частот.

Так же нами было проведено исследование влияния на погрешность восстановления ИФНЧ и длительности сигнала. Идеальный фильтр лучше восстанавливает сигнал с меньшей погрешностью восстановления. Так же мы выяснили, что оптимальные частоты среза и дискретизации можно находить, варьируя длительность сигнала. При этом мы будем иметь необходимую нам погрешность восстановления.

В конце работы мы провели имитационное моделирование, чтобы удостовериться в полученных результатах. Сравнив спектральные характеристики с расчётными, мы убедились в их схожести и можем заверить, что проделанная работа верна.



Список используемой литературы

1.Методические указания для проведения виртуальных экспериментальных исследований в рамках курсовой работы "Дискретизация сигналов с заданной погрешностью восстановления" по дисциплине "Радиотехнические цепи и сигналы" для студентов специальности 210302 "Радиотехника" очной и очно-заочной форм обучения / ГОУВПО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А. В. Останков. - Воронеж, 2007. - 54с.

2. Методическое указание для расчетно - обучающей программы IKURA, предназначенной для выполнения исследований в рамках курсовой работы «Дискретизация видеосигналов с заданной погрешностью восстановления» по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы»; сост. А.В. Останков - Воронеж, 2003-22с.

3.СТП ВГТУ 62-2007. Текстовые документы (курсовые работы (проекты), рефераты, отчеты по лабораторным работам, контрольные работы). Правила оформления. - Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.-44с.

Размещено на Allbest.ru