Оптимизация длины псевдослучайной последовательности по критерию минимума времени приема сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Псевдослучайные последовательности (ПСП) представляют собой периодически повторяющиеся кодовые двоичные последовательности определенной длины, которые широко используются для передачи дискретных сообщений. Наилучшей, с точки зрения помехозащищенности средств радиосвязи (СРС) с фазоманипулированными широкополосными сигналами (ФМШПС), является случайная последовательность. Однако для осуществления сжатия спектра сигнала такая последовательность не может быть использована, так как на приемной стороне СРС необходимо иметь точную копию передаваемой последовательности. Поэтому для формирования ФМШПС используется ПСП.

К множеству ПСП предъявляются следующие требования:

1) каждый из сигналов данного множества легко отличим от своей сдвинутой во времени копии, то есть должен иметь автокорреляционную функцию (АКФ) с малыми значениями боковых выбросов;

2) каждый из сигналов данного множества легко отличим от любого другого сигнала этого множества, то есть взаимно-корреляционная функция (ВКФ) любой пары несовпадающих сигналов множества должна быть минимальной;

3) множество используемых ПСП должно составлять достаточно обширный ансамбль.

При передаче сообщений по каналам связи обычно возникает необходимость оценки временной базы сигналов, несущих цифровые данные, чтобы произвести их успешную демодуляцию. Иногда это знание можно абстрагировать от собственно сигнала. Кроме того, передаваемые сигналы могут быть синхронизированы с высокой точностью, а независимые часы установлены на всех станциях. Периодической сверкой этих часов обеспечивается синхронизация собственных часов приемника с эталонным временем сети, вследствие чего дополнительное измерение времени теряет необходимость. В работе предлагается метод определения формы синхронизирующей последовательности, обеспечивающей минимальное время доставки сообщения. Так как более удобным является сигнал, принимающий два значения, то ниже мы будем рассматривать двоичные последовательности [1].

Данная задача может быть решена с помощью метода, предложенного Голомбом [2] в модификации Тицворта [3]. Метод удовлетворяет условиям, при которых создается двоичная синхронизирующая последовательность из множества более коротких псевдослучайных подпоследовательностей [3], и которая может быть получена последовательным использованием той же самой части оборудования. Булевы функции часов и подпоследовательностей приведены на рисунке 1, синхронизирующая последовательность кода диапазона (КД) в этом случае составлена из последовательных значений этой функции.

При условии, что канал связи поражён аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), оценка времени должна включать корреляцию принятого сигнала относительно подходящей функции подпоследовательностей. По идее КД не предполагает возможность оценки собственного шума, вызванного зависимостью входного сигнала от вида подпоследовательности за время менее периода синхронизирующей последовательности, особенно если каждый импульс последовательности является результатом произведения булевой операции над группой импульсов подпоследовательности. В нашем случае это имеет важное значение, так как отношение сигнал-шум (СШО) предполагается достаточно высоким, чтобы обеспечить сокращённое время интегрирования. Мы предполагаем получить синхронизирующую последовательность путем чередования компонент подпоследовательностей. Подпоследовательности предполагаются псевдослучайными (ПС) [1]. Из-за того, что каждая подпоследовательность тогда будет не связана во времени, прием подпоследовательности не будет нуждаться в корреляции в течение полного периода полной последовательности, чтобы подавить влияние других подпоследовательностей.

Покажем, что существует оптимальное число компонент последовательности для чередования. Также обоснуем на основе СШО, что идея чередования компонент подпоследовательностей в определенном смысле преобладает в схеме КД.

Определим ПС последовательность, как состоящую из импульсов, принимающих значения либо +1, либо -1. Каждый -ный импульс поступает из той же самой подпоследовательности; таким образом, мы можем вызвать группу из импульсов, начинающуюся с самой короткой последовательности (т. е. маркерной последовательности - фрейма). В основном процедура приема предполагает сначала захват синхронизирующей последовательности. Это требует определения позиций различных подпоследовательностей в общей конструкции.

Следовательно, мы можем принимать, в свою очередь, фазы других последовательностей путем корреляции каждой последовательности компонент от своей копии в принятом сигнале.

Примем, что только операция корреляции (т.е. тестирование возможной фазы подпоследовательности) может иметь место за один раз. Последовательности компонент могут генерироваться с помощью цифровой техники, используя сдвиговые регистры с обратной связью. Однако, операция нахождения корреляции требует генерацию аналоговых величин, так что тестирование фазы, которое дает максимальную корреляцию, предполагает одно решение.

Определение различных периодов подпоследовательностей как , следует из анализа, проведенного Тицвортом [3], утверждающего, что период ПСП представляет собой наименьшее общее кратное (НОК) величин , где - -тый фрейм. Если взаимно простые числа, то период синхронизирующей последовательности будет

.

псевдослучайный кодовый дискретный сигнал

Определим границы, внутри которых производится конструирование. Мы видели, что период последовательности должен быть больше, чем , некоторой заранее определенной постоянной. Следовательно,

. (1)

Известно, что в любой ПСП половина подпоследовательностей имеет длину 1, четверть серий - длину 2, восьмая часть серий - длину 3 и т. д. В каждом случае число серий из нулей равно числу серий из единиц, что следует из свойств окна [1]. Следовательно, для последовательности максимальной длины, для которой , должно выполняться следующее неравенство:

. (2)

где - биномиальный коэффициент () [4].

Вид зависимости, представленной формулой (2), приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Зависимость минимального периода ПСП от

Таким образом, ПСП 1 вида +1, -1, +1, -1, …, удовлетворяет неравенству

. (3)

Допустим, что первый захват сделан, чтобы привлечь наше внимание к оптимальному выбору . Нам необходимо принять последовательность с общей вероятностью ошибки . Для того, чтобы никакая последовательность не имела предпочтения, все последовательности должны иметь одну и ту же вероятность неправильного приёма, т. е., . Будем находить корреляцию каждой принятой последовательности с их задержанными репликами и выбирать ту, которая имеет наивысшую корреляцию по максимуму правдоподобия. Обозначая через число периодов последовательности , в течение которых выполняется корреляция, а будет энергия сигнала на один бит.

Если вероятность приема последовательности () удовлетворяет неравенству

, (4)

где - мощность шума за один цикл, то принятую подпоследовательность можно считать псевдослучайной.

Эта граница достаточно точна, когда , а вероятность неправильного приема будет малой. Следовательно, допуская выполнение равенства в формуле (3), мы приходим к

. (5)

Если длительность импульса , то время, требуемое для тестирования одной позиции последовательности будет , так как последующие импульсы последовательности являются разделенными импульсами. Таким образом, общее время приема будет

. (6)

необходимо минимизировать в соответствии с условиями (2) и (4), а также с неявными ограничениями, упомянутыми выше. Для этого необходимо, чтобы были бы попарно простыми числами, а должны быть целыми числами. С целью упрощения задачи мы проигнорируем последние ограничения, заменив выражение (2) равенством. Таким образом, полученные результаты показывают существо верного решения и также обеспечивают нижнюю границу достижимого времени приема.

Исходя из симметрии, множество значений и для всех представляет собой стационарную точку упрощенной задачи. Легко показать, что эти условия являются необходимыми и достаточными для искомого минимума. Из этого следует, что при оптимуме будет

. (7)

При высоких значениях СШО, можно показать, что выражение (4) примет вид

. (8)

Знаменатель правой части выражения (8) приравняем единице. На дальнейшее решение это практически не скажется, так как изменение СШО в довольно широких пределах слабо влияет на результаты расчетов. В итоге получим

. (9)

Найдем оптимальное значение . Подставляя формулы (6) и (8) в выражение (5), получим

. (10).

Для нахождения минимума, продифференцируем правую часть выражения (9) по . В результате получим

. (11)

На рисунке 2 приведено решение уравнения (11) для различных значений вероятности ошибки и . Минимальное значение достигается, когда =0. Однако отрицательные значения не представляют интереса, поскольку длина ПСП последовательности получается меньше 1. Практически все кривые сходятся в точке, где =1,8, что соответствует длине ПСП бит.

Рисунок 2. Решение уравнения (10) при для и различных значениях вероятности ошибки

Зависимость решения уравнения (11) от числа ПСП для различных значений вероятности ошибки и показана на рисунке 3. При изменении от 1 до 100 кривые решения уравнения (10) пересекают ось абсцисс, начиная с = 5 и выше в зависимости от вероятности ошибки . и значения .

Рисунок 3. Решение уравнения (11) для различных значений вероятности ошибки и

Приравнивая уравнение (11) нулю, найдем оптимальное решение, которое обозначим через , Далее формулу (6) преобразуем к виду

. (12)

На рисунке 4 приведена зависимость минимальной длины ПСП от числа подпоследовательностей и параметра . Эта зависимость монотонно возрастающая для указанных в (12) параметров.

Рисунок 4. Зависимость минимальной длины ПСП от числа подпоследовательностей и параметра

Некоторые значения и приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Зависимость от при =0,00001

Как видно из приведённых данных, большое число очень коротких последовательностей приблизительно одинаковой длины являются оптимальными. Для умеренных значений невозможно достигнуть минимального времени приема, так как для них не существует достаточное количество псевдослучайных последовательностей, имеющих длины, удовлетворяющие полученному значению . Полученные результаты за счет используемой аппроксимации представляются скорее как помощь при нахождении экстремального решения, чем собственно решение.

Например, если нас удовлетворяет решение (11), при котором и =0,00001, то, как следует из таблицы 1, =7, а . Из формулы (9) определим

.

Очевидно, что невозможно найти шесть ПСП, имеющих длину приблизительно 5, с попарно взаимно простыми числами. В наличие такие ПСП имеют длины 3, 7, 11, 17, 19 и 23. Кроме того, мы можем выбрать последовательности, чьи несинхронные автокорреляционные функции имеют небольшое значение, но не имеют постоянного значения. Предположим, что мы имеем 4 последовательности, т.е. =5. Используя выражение (6), найдем подпоследовательности, длина которых будет приблизительно 13,14, что разумно. Время приема определяется из выражения (11).

Решим задачу оптимизации. Пусть входной сигнал состоит из импульсов, приходящих от подпоследовательностей. Так как мы игнорируем диофантовы ограничения [5] на и , то можно использовать равенства (2) и (3). Следовательно, надо минимизировать

с ограничениями

 и .

Заметим, что - это неявная функция . Определим новую функцию СШО в виде

, (13)

подставляя которую в (6) и (7), получим:

, (14)

. (15)

Введем новую функцию , которую определим как

. (16)

Зависимость этой функции от СШО приведена на рисунке 5, где видно, что является положительной и монотонно возрастающей.

Рисунок 5. Зависимость от СШО для =10-4

Очевидно, что выражение имеет первую и вторую производные следующего вида:

, (17)

. (18)

Правые части выражений (17) и (18) положительны в рассматриваемом диапазоне изменения . Подставляя в неравенство (1), получим

. (18)

Заметим, что также положительна правая часть выражения

. (19)

Таким образом, время приема будет

 (20)

Следовательно, время приема является выпуклой функцией от , принимающей минимальное значение на гиперплоскости. Необходимые и достаточные условия для минимума времени приёма могут быть определены, используя метод неопределенных множителей Лагранжа [4], т. е.

, (21)

и определяется таким же уравнением. Следовательно, они равны.

Зададимся вероятностью ошибки на бит ПСП =10-5 и . По таблице 1 находим . В этом случае . Обращаясь к рисунку 4, находим, что в этом случае . Если использовать М-последовательность [6], то такой длине соответствует последовательность длиной 1023. Это число разлагается на три множителя , а сдвиговый регистр, генерирующий эту М-последовательность состоит из 10 каскадов.

Зададимся вероятностью ошибки на бит ПСП =10-5 и . По таблице 1 находим . В этом случае . Обращаясь к рисунку 4, находим, что в этом случае . Если использовать М-последовательность [6], то такой длине соответствует последовательность длиной 4095. Это число разлагается на 5 множителей , а сдвиговый регистр, генерирующий эту М-последовательность состоит из 12 каскадов. Но, используя критерий Тицворта [3], длина ПСП будет . Поэтому М-последовательность длиной 4095 предпочтительно не использовать для генерации ПСП.

Предложенный алгоритм обеспечивает как оптимальный выбор псевдослучайной последовательности заданной длины, обеспечивающей минимальное время приёма сообщения, так и оценку качества выбранной последовательности.

Список литературы

1. Макуильямс Ф.Дж. Псевдослучайные последовательности и таблицы / Ф.Дж. Макуильямс, Дж.А. Слоан // ТИИЭР, 1976, С. 84.

2. Golomb S.W. Deep space range mesuarement / Jet Propulsion Lab. Reseach Summary 35-1, 1960, pp. 39-42.

3. Titsworth R.C. Optimal ranging codes / IEEE Trans. on Space Electronics and Telemetry, 1964, vol. SET-10, March, pp. 10 - 30.

4. Арфкен Г. Математические методы в физике / Г. Арфкен. - М.: Атомиздат, 1970. -712 с.

5. Шидловский Л.Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа / Л.Б. Шидловский. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 263 с.

6. Бессарабова А.А. М-последовательности / А.А. Бессарабова. - Воронеж: АО «Концерн «Созвездие», 2010. - 223 с.

Размещено на Allbest.ru