Разработка и исследование методов определения входных воздействий в цифровых системах управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

Разработка и исследование методов определения входных воздействий в цифровых системах управления

Глусцов Андрей Петрович

ВВЕДЕНИЕ

Бурный прогресс в области дискретной микроэлектроники вызвал резкое улучшение всех качественных показателей цифровых вычислительных машин и устройств цифровой техники - таких, как вес, габариты, потребляемая мощность, надежность и т. п. С другой стороны, повышение требований к системам автоматического управления и усложнение самих объектов управления привели к тому, что средствами "непрерывной" автоматики и вычислительной техники уже не могли решаться многие практические задачи. Все это привело к расширению сферы применения и к усложнению цифровых систем управления, имеющих в своем замкнутом контуре либо цифровые вычислительные машины, либо цифровые устройства. При этом цифровая часть устройства может быть построена с использованием микроконтроллеров, которые интегрируют в одном корпусе цифровой вычислитель, а также ряд других устройств: аналого-цифровой преобразователь, широтно-импульсный модулятор. В наше время выпускается большая номенклатура специализированных микроконтроллеров, которые имеют достаточно узкую сферу применения. Примером таких контроллеров могут служить микроконтроллеры серии 196, предназначенных для управления электродвигателями, производителем которых является фирма Intel.

Цифровые системы используются в настоящее время для регулирования и управления самыми различными объектами и процессами: доменными печами, прокатными станами, самолетами, кораблями, химическим оборудованием и т. п. Сфера их использования непрерывно расширяется. При этом часто задача создания новой системы управления формулируется так, что разработчику требуется обеспечить заранее заданную точность. Это делает задачу построения системы управления более сложной, чем нахождение оптимальной системы, так как последнее представляет скорее математическую задачу выбора из возможных решений наилучшего. При использовании современных вычислительных средств эта задача становится часто тривиальной. В то же время задача построения системы управления с заданными качественными показателями может и не иметь решения при данном уровне развития техники и качестве используемых элементов.

В цифровых системах управления большое влияние на их функционирование может оказывать явление квантования по уровню в устройствах ввода и вывода информации в ЦВМ или в цифровых вычислителях. По этой причине большой интерес представляет сравнительное исследование цифровых и непрерывных систем с целью анализа эффектов, вносимых квантованием сигналов по времени и по уровню. Бесекерский отмечал, что теоретическое исследование систем с цифровыми регуляторами затруднительно. Это, главным образом, связано с наличием в таких системах нелинейных элементов (например, аналого-цифровых преобразователей). Поэтому моделирование таких систем становится одним из обязательных этапов разработки.

Целью данной работы является исследование влияния трансформированной погрешности на качество (точность) функционирования цифровой системы управления с целью выработки практических методов и рекомендаций, позволяющих минимизировать данную погрешность. Основным методом исследования является моделирование системы с различными параметрами и характеристиками.

1. ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ

Основной задачей ЦСУ является выработка управляющих воздействий в соответствии с заданным алгоритмом управления. Управляющее воздействие может определяться:

- только временем (для разомкнутых систем) - такие ЦСУ называют системами программного управления;

- входными величинами, которые характеризуют текущее состояние объекта управления (режим непосредственного цифрового регулятора).

Цифровые вычислительные машины, выполняющие функции управляющих звеньев сложных систем, получают информацию о различных возмущающих воздействиях, а также о состоянии системы в текущий момент времени и вырабатывает сигналы управления объектами системы и системой в целом. Эти сигналы вырабатываются с некоторой погрешностью, которая в конечном итоге сказывается на показателях качества управления системы.
Одним из основных критериев качества ЦСУ является точность выработки управляющего воздействия. Данный параметр указывается в техническом задании на разработку ЦСУ. Для обеспечения заданной точности на выходе системы управления необходимо учитывать все источники возникновения ошибок в ЦСУ и оценивать меру влияния каждой из ошибок на выходную величину.

При реализации алгоритмов контроля и управления на УВМ необходимо учитывать следующие обстоятельства:

· УВМ при вычислениях способна выполнять только арифметические и логические операции, входящие в систему команд данной машины;

· все вычисления и операции ввода - вывода информации выполняются за конечное время, определяемое быстродействием функциональных устройств УВМ, что делает невозможным непрерывный обмен информацией между УВМ и ее абонентами (датчиками информации, исполнительными органами, устройствами отображения). Это приводит к тому, что непрерывное время, в котором протекают процессы в объекте управления, дискретизируется на входах и выходах УВМ;

· вся входная информация УВМ должна быть представлена в цифровой форме, в виде чисел ограниченной разрядности. Поэтому при наличии аналоговых входных сигналов требуется их аналого-цифровое преобразование, сопровождаемое погрешностями квантования и преобразования;

· результаты арифметических операций, разрядность которых больше аппаратурной разрядности регистров арифметического устройства УВМ, должны быть округлены;

· константы, входящие в вычислительные алгоритмы и используемые в процессе вычислений, при их двоичном конечно-разрядном представлении могут отличаться от заданных значений.

Погрешности УВМ при анализе целесообразно подразделить в зависимости от порождающих факторов и особенностей проявления на погрешности аппроксимации, трансформированные, вычислительные и параметрические [4]. Погрешность аппроксимаций, возникающая в результате замены исходной функции аппроксимирующей функцией и перехода к дискретному времени. Погрешность аппроксимации может появляться и в том случае, когда алгоритм управления, подлежащий реализации на УВМ, задан в виде арифметического оператора, но по каким-то причинам необходимо его упрощение, т. е. аппроксимация менее сложным алгоритмом. В частности, это может потребоваться при недопустимо больших затратах вычислительных ресурсов УВМ (объемов памяти или машинного времени) для реализации исходного алгоритма. Трансформированные погрешности УВМ обусловлены влиянием погрешностей квантования составляющих вектора входных данных при аналого-цифровом преобразовании. Вычислительные погрешности реализации алгоритма определяются суммарным влиянием погрешностей округления на точность окончательных результатов вычислений УВМ. Параметрические погрешности УВМ связаны с погрешностями квантования констант вычислительных алгоритмов. Погрешности аппроксимации, трансформированные, вычислительные и параметрические определяют точностные характеристики ЦСУ. Однако погрешности аппроксимации связаны с предварительным преобразованием алгоритма и зависят от технических характеристик УВМ косвенным образом, а все остальные погрешности непосредственно определяются параметрами УВМ. Для некоторых видов алгоритмов в состав инструментальной погрешности целесообразно включить погрешность за счет неточного измерения времени аппаратно-программными средствами УВМ. Приведенная классификация погрешностей УВМ в полной мере согласуется с принятой классификацией точностных характеристик технических средств АСУ и САУ. Несколько иная классификация погрешностей по источникам ошибок в управляющих звеньях с цифровыми машинами приводится в работе Ю.П.Журавлева[7] .

1.1 Погрешности датчиков

Датчики предназначены для получения информации о текущих параметрах объекта. При этом измеряемая величина (давление, масса, температура и пр.) оказывает воздействие на датчик, который, в свою очередь, преобразует его в сигнал тока, напряжения, частоты. Сигнал, снимаемый с датчика, непосредственно зависит от величины входного воздействия. Эта зависимость может быть сложной, но наиболее предпочтительным вариантом является линейная зависимость, что значительно упрощает процесс обработки сигнала.

Однако для большей части датчиков зависимость выходной величины от измеряемой не является линейной. В этом случае для определения значения измеряемой величины по значению выходного сигнала датчика используются следующие методы:

· кусочно-линейная аппроксимация характеристики датчика;

· полиномиальная аппроксимация;

· линеаризация характеристики датчика с использованием схемных решений.

Последний из перечисленных методов используется часто, при этом схема линеаризации может быть как внешней по отношению к датчику, так и встроенной. Примером последнего типа датчиков могут служить датчики давления и ускорения фирмы Entran. Для оценки погрешности линеаризированных датчиков могут использоваться следующие характеристики:

· нелинейность (в % к максимальному выходному значению датчика);

· гистерезис (в % к максимальному выходному значению датчика);

· температурная нестабильность (% на градус);

· воспроизводимость результата.

Часто используются комбинированные показатели погрешности (например, показатель нелинейности и гистерезиса), что позволяет легко определить максимальную погрешность датчика, но делает практически невозможным определить характер распределения этой погрешности и построить точную модель датчика.

1.2 Погрешности аналого-цифрового преобразования

Параметры АЦП

При последовательном возрастании значений входного аналогового сигнала Uвх(t) от 0 до величины, соответствующей полной шкале АЦП Uпш выходной цифровой сигнал D(t) образует ступенчатую кусочно-постоянную линию. Такую зависимость по аналогии с ЦАП называют обычно характеристикой преобразования АЦП. В отсутствие аппаратных погрешностей средние точки ступенек расположены на идеальной прямой 1 (рис. 1.1), которой соответствует идеальная характеристика преобразования. Реальная характеристика преобразования может существенно отличаться от идеальной размерами и формой ступенек, а также расположением на плоскости координат. Для количественного описания этих различий существует целый ряд параметров.

Рис. 1.1. Статическая характеристика преобразования АЦП

Статические параметры

Разрешающая способность - величина, обратная максимальному числу кодовых комбинаций на выходе АЦП. Разрешающая способность выражается в процентах, разрядах или децибелах и характеризует потенциальные возможности АЦП с точки зрения достижимой точности. Например, 12-разрядный АЦП имеет разрешающую способность 1/4096, или 0,0245% от полной шкалы, или -72,2 дБ.

Разрешающей способности соответствует приращение входного напряжения АЦП Uвх при изменении Dj на единицу младшего разряда (ЕМР). Это приращение является шагом квантования. Для двоичных кодов преобразования номинальное значение шага квантования h=Uпш/(2N-1), где Uпш - номинальное максимальное входное напряжение АЦП (напряжение полной шкалы), соответствующее максимальному значению выходного кода, N - разрядность АЦП. Чем больше разрядность преобразователя, тем выше его разрешающая способность.

Погрешность полной шкалы - относительная разность между реальным и идеальным значениями предела шкалы преобразования при отсутствии смещения нуля.

Эта погрешность является мультипликативной составляющей полной погрешности. Иногда указывается соответствующим числом ЕМР.

Погрешность смещения нуля - значение Uвх, когда входной код ЦАП равен нулю. Является аддитивной составляющей полной погрешности. Обычно определяется по формуле

где Uвх.01 - значение входного напряжения, при котором происходит переход выходного кода из О в 1. Часто указывается в милливольтах или в процентах от полной шкалы:

Погрешности полной шкалы и смещения нуля АЦП могут быть уменьшены либо подстройкой аналоговой части схемы, либо коррекцией вычислительного алгоритма цифровой части устройства.

Погрешности линейности характеристики преобразования не могут быть устранены такими простыми средствами, поэтому они являются важнейшими метрологическими характеристиками АЦП.

Интегральная нелинейность (INL) - максимальное отклонение реальной характеристики преобразования D(Uвх) от оптимальной (линия 2 на рис. 1.1). Оптимальная характеристика находится эмпирически так, чтобы минимизировать значение погрешности нелинейности. Нелинейность обычно определяется в относительных единицах, но в справочных данных приводится также и в ЕМР. Для характеристики, приведенной на рис. 1.2

Дифференциальной нелинейностью АЦП (DNL) в данной точке k характеристики преобразования называется разность между значением кванта преобразования hk и средним значением кванта преобразования h. В спецификациях на конкретные АЦП значения дифференциальной нелинейности выражаются в долях ЕМР или процентах от полной шкалы. Для характеристики, приведенной на рис. 1.2,

Рис. 1.2. Погрешности линейности характеристики преобразования АЦП

Погрешность дифференциальной линейности определяет два важных свойства АЦП: непропадание кодов и монотонность характеристики преобразования. Непропадание кодов - свойство АЦП выдавать все возможные выходные коды при изменении входного напряжения от начальной до конечной точки диапазона преобразования. Пример пропадания кода i+1 приведен на рис. 1.2. При нормировании непропадания кодов указывается эквивалентная разрядность АЦП - максимальное количество разрядов АЦП, для которых не пропадают соответствующие им кодовые комбинации.

Монотонность характеристики преобразования - это неизменность знака приращения выходного кода D при монотонном изменении входного преобразуемого сигнала. Монотонность не гарантирует малых значений дифференциальной нелинейности и непропадания кодов.

Температурная нестабильность АЦП характеризуется температурными коэффициентами погрешности полной шкалы и погрешности смещения нуля.

Динамические параметры

Возникновение динамических погрешностей связано с дискретизацией сигналов, изменяющихся во времени. Можно выделить следующие параметры АЦП, определяющие его динамическую точность.

Максимальная частота дискретизации (преобразования) - это наибольшая частота, с которой происходит образование выборочных значений сигнала, при которой выбранный параметр АЦП не выходит за заданные пределы. Измеряется числом выборок в секунду. Выбранным параметром может быть, например, монотонность характеристики преобразования или погрешность линейности.

Время преобразования (tпр) - это время, отсчитываемое от начала импульса дискретизации или начала преобразования до появления на выходе устойчивого кода, соответствующего данной выборке. Для одних АЦП, например, последовательного счета или многотактного интегрирования, эта величина является переменной, зависящей от значения входного сигнала, для других, таких как параллельные или последовательно-параллельные АЦП, а также АЦП последовательного приближения, примерно постоянной. При работе АЦП без УВХ время преобразования является апертурным временем.

Время выборки (стробирования) - время, в течение которого происходит образование одного выборочного значения. При работе без УВХ равно времени преобразования АЦП.

Шумы АЦП

В идеале, повторяющиеся преобразования фиксированного постоянного входного сигнала должны давать один и тот же выходной код. Однако, вследствие неизбежного шума в схемах АЦП, существует некоторый диапазон выходных кодов для заданного входного напряжения. Если подать на вход АЦП постоянный сигнал и записать большое число преобразований, то в результате получится некоторое распределение кодов. Если подогнать Гауссовское распределение к полученной гистограмме, то стандартное отклонение будет примерно эквивалентно среднеквадратическому значению входного шума АЦП. В качестве примера на рис. 1.3 приведена гистограмма результатов 5000 преобразований постоянного входного сигнала, выполненных 16-разрядным двухтактным последовательно-параллельным АЦП АD7884.

Рис.1.3. Гистограмма результатов преобразования АЦП AD7884

Входное напряжение из диапазона + 5 В было установлено по возможности ближе к центру кода. Как видно из гистограммы, все результаты преобразований распределены на шесть кодов. Среднеквадратическое значение шума, соответствующее этой гистограмме, равно 120 мкВ.

2. ОЦЕНКА ТРАНСФОРМИРОВАННОЙ ПОГРЕШНОСТИ

Рассмотрим процесс управления объектом, для которого функция управления является функцией одной переменной (рис.2.1)

В ЦВМ вычисляется следующая функция:

U(n)=F(X(n),X(n-1), : ,X(n-p), U(n-1), U(n-2), : , U(n-h)), n=0,1,2, : ,M

где:

F - алгоритм, аппроксимирующий исходную функцию управления;

X - вектор последовательности входных воздействий;

U - вектор последовательности выходных величин, вычисленных в предыдущие моменты времени (имеют значение только в случае, если алгоритм рекуррентный);

M - максимальное количество шагов дискретизации.

Входные воздействия на вход ЦВМ в каждый момент времени поступают с погрешностью ,которая, трансформируясь, приводит к появлению на выходе трансформированной погрешности . В результате ЦВМ вычисляет следующую функцию:

где:

- погрешности определения входных воздействий;

трансформированные погрешности.

Cчитая, что погрешности определения входных воздействий и трансформированные погрешности достаточно малы, разложим функцию 2.1 в ряд Тейлора относительно значений X(n-i), U(n-j):

В дальнейшем будем учитывать только члены ряда первого порядка, что соответствует линеаризации исходной функции 2.1. Если значения и велики, необходимо учитывать члены ряда более высокого порядка.

Из анализа выражений 2.1 и 2.2 можно получить выражение для определения трансформированной погрешности:

Частные производные и являются соответственно функциями чувствительности трансформированной погрешности на шаге n к вариациям входных данных, используемых на этом шаге вычислений, и к погрешностям результатов вычислений на предыдущих шагах. Зависимость 2.3 показывает, что трансформированная погрешность зависит не только от погрешности определения входных воздействий, но и чувствительностью вычислительного алгоритма к вариациям входных воздействий и результатам предшествующих вычислений.

Для нерекуррентных вычислительных алгоритмов выражение 2.3 упрощается:

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ СИСТЕМ С ЦИФРОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ В MATLAB

3.1 Разработка модели ПИД-регулятора

В системах автоматического регулирования управляющее устройство является регулятором, реализующим закон регулирования, который устанавливает зависимость между управляющим воздействием U и ошибкой (рассогласованием) ?, т.е. U=f(? ).

В непрерывных системах широко используются пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы, которые представляются следующим идеализированным уравнением:

где К - коэффициент передачи, Т1 - постоянная интегрирования, Т2 - постоянная дифференцирования.

Для малых периодов дискретизации Т это уравнение может быть преобразовано в разностное с помощью дискретизации, которая представляет замену производной разностью первого порядка, а интеграл суммой. Непрерывное интегрирование может быть представлено с помощью метода прямоугольников или трапеций. При использовании метода прямоугольников уравнение (3.l) в дискретной форме записывается в следующем виде:

В результате получим нерекуррентный алгоритм управления, в котором для вычисления суммы необходимо помнить все предыдущие значения сигнала ошибки ? (k). Поскольку каждый раз значение управляющего сигнала U(k) вычисляется заново, этот алгоритм получил название позиционного.

Для реализации программ закона регулирования на ЭВМ более удобным является рекуррентный алгоритм. Этот алгоритм характеризуется тем, что для вычисления текущего значения управляющего сигнала U(k) используемся его предыдущее значение U(k-1) и поправочный коэффициент.

Для формирования рекуррентного алгоритма необходимо из сигнала U(k) вычесть сигнал U(k-1). Сигнал U(k-1) описывается следующим уравнением: трансформированный погрешность цифровой регулятор

В результате вычитания из уравнения (3.2) уравнения (3.3) получим

В результате вычисляется только текущее приращение управляющего сигнала U(k)-U(k-1), и поэтому данный алгоритм называется скоростным.

Если для аппроксимации непрерывного интеграла использован метод трапеций, то из уравнения (3.1) получим следующее разностное уравнение:



Произведя вычитание из уравнения (3.4) соответствующего уравнения для U(k-1) получим второе рекуррентное соотношение:

Для малых периодов дискретизации Т коэффициенты g0, g1, g2 вычисляются с использованием параметров К, Т1 и Т2 аналогового ПИД-регулятора. Построение модели цифрового регулятора будем осуществлять на основе разностного уравнения 3.5. Для удобства использования модели она оформляется средствами пакета Simulink в виде отдельного блока. Внутренняя структура данного блока приведена на рисунке 3.1

Рис 3.1 Структура PID-регулятора

Параметры регулятора g(1),g(2) и g(3)определяются специальной программой (m-файл) по формулам для метода прямоугольников на основе параметров аналогового регулятора. Параметры аналогового регулятора задаются в специальном окне, которое вызывается двойным щелчком мыши на регуляторе. Это окно имеет вид (рис. 3.2).

Рис 3.2 Вид окна задания параметров PID-регулятора

3.2 Разработка модели АЦП

Моделирование работы АЦП может быть выполнено стандартными средствами MatLAB. Для этой цели используется квантователь (Simulink/Nonlinear/Quantizer). Подобная модель будет только осуществлять фиксацию уровней входного сигнала через определенные промежутки времени. Преобразование в цифровой код при этом не выполняется. Однако для данных конкретных условий моделирования такое преобразование выполнять нет необходимости, так как задача оценки ошибок округления в ходе вычислительного процесса не ставится. Недостатком данного элемента является то, что моделируется только погрешность квантователя без учета всех составляющих ошибки квантования (нелинейность, смещение нуля и др.). Для учета этих ошибок модель должна быть значительно усложнена.

3.3 Полная структура моделируемой системы

Общая структура разработанной системы моделирования включает следующие блоки:

· Аналоговая часть. Задается в виде передаточной функции W(s).

· АЦП. Для этого блока задается разрядность (N=8,10,12,14,16);

· Датчик (SENSOR). Блок построен таким образом, что позволяет моделировать погрешность датчика, закон изменения погрешности задается в виде формулы.

· Цифровой регулятор (его структура описана выше).

· Задающий генератор (PRESSURE GENERATOR) - генерирует задающее воздействие.

· Генератор возмущающих воздействий (TEMPERATURE GENERATOR).

Рис 3.3 Общая структура исследуемой системы.

Особенностью данной структуры является то, что она включает в себя как дискретную, так и аналоговую части, что позволяет с наибольшей достоверностью исследовать процессы, протекающие в системах с цифровыми регуляторами и оценить достаточную разрядность АЦП и точность датчиков для обеспечения заданного качества процесса регулирования.

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

На начальном этапе выполнено моделирование системы для П-регулятора. Параметры регулятора задаются в следующем виде:

Kp = 1

Td = 0 (исключается производная)

Ti = 10000000000000 (исключается интеграл)

T = 0.2 (период квантования сигнала датчика) время моделирования - 100 с задающее воздействие - гармонический сигнал (рис 3.4)

Рис 3.4 Задающее воздействие.

Рис 3.5 Ошибка регулирования при Nацп=8 разрядов.

Качество регулирования системы будем оценивать, используя среднеквадратичную оценку погрешности реакции системы на задающее воздействие. С этой целью строим графики ошибки регулирования для различной разрядности АЦП (погрешность датчика в данном случае не учитывается).

Рис 3.6 Ошибка регулирования при Nацп=10 разрядов.

Рис 3.7 Ошибка регулирования при Nацп=12 разрядов.

Для сравнения результатов удобно вычислить среднеквадратичную ошибку регулирования для случая, когда разрядность АЦП бесконечно велика, и принять ее за идеальную (минимальную для данного закона регулирования и коэффициентов регулятора). Эта ошибка составляет 0.0293778 (значение получено при Nацп=32 разряда). Результаты моделирования можно свести в таблицу:

Рис 3.8 Ошибка регулирования при Nацп=14 разрядов.

Разрядность АЦП	8	10	12	14	32
ошибка регулирования	0.0296678	0.029469	0.0293862	0.0293839	0.0293778

Рассчитаем относительную погрешность, вносимую АЦП. Значением без погрешности АЦП будем считать значение ошибки регулирования при Nацп=32 разряда. График зависимости погрешности, вносимой АЦП, от разрядности АЦП будет иметь следующий вид:

Рис 3.7 Погрешность, вносимая квантованием входного сигнала.

Полученная зависимость показывает, что увеличение разрядности АЦП имеет смысл до определенного предела. Величина этого предельного значения определяется качеством регулирования и во многом зависит от погрешности датчика (т.к. в данном случае погрешность датчика равна 0, то и кривая на графике стремится к 0). Если погрешность датчика не нулевая, данная кривая при Nацп стемящемся к бесконечности будет приближаться к некоторому значению, которое отлично от 0 и определяется погрешностью датчика.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На данном этапе выполнения магистерской диссертации получены следующие результаты:

· разработана структура цифрового ПИД-регулятора в среде MatLAB;

· разработана структура цифровой системы регулирования с использованием MatLAB;

· выполнено моделирование П-регулятора.

Анализ результатов моделирования показывает необходимость дальнейшего исследования проблемы (для ПИ-, ПД- и ПИД-регуляторов) с моделированием погрешности датчика и полной погрешности АЦП.

Полученные зависимости наглядно показывают необходимость тщательного выбора АЦП и датчиков с целью обеспечения необходимой точности с минимальными затратами. Разработанная структура модели цифровой системы регулирования может использоваться как базовая при моделировании подобных систем.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Peter Eglar, Sensors for measurment and control, LONGMAN, 1998

2. Аш Ж. Датчики измерительных систем, М.: Мир, 1992, т.2

3. T. Kilian Modern Control Technology Components and Systems, 2001

4. Желнов Ю.А. Точностные характеристики управляющих вычислительных машин.- М.: Энергоатомиздат, 1983

5. Изерман Р. Цифровые системы управления, М.: Мир, 1984

6. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы.- М.: Наука, 1976

7. Журавлев Ю.П. Системное проектирование управляющих ЦВМ, M.: Мир, 1974

Размещено на Allbest.ru