О применении матричных производящих функции к оценке верности передачи информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

О применении матричных производящих функции к оценке верности передачи информации

Е.Г. Копанова^, Д.И. Петрухин^, А.К. Горбунов

При расчетах показателей верности передачи информации по каналам, модель источника ошибок в которых описывается на основе цепей Маркова, явное выражение рассматриваемых распределений обычно имеет довольно громоздкий вид. Непосредственные расчеты обычно удобнее вести на основе матричных производящих функции, которые довольно просто позволяют получать рекуррентные, приближенные и асимптотические формулы. Покажем это путем расчета распределения времени передачи сообщения в системе связи с переспросом и возвращением.

В этой системе по каналам обоих направлений передаются комбинации длины n, каждая из которых содержит сигнал обратной связи -- подтверждение или переспрос (для кодирования сигнала обратной связи могут использоваться специальные позиции комбинации, либо сигналом подтверждения может служить передача кодовой, а сигналом переспроса -- не кодовой комбинации). Комбинации, в которых имеется сигнал подтверждения, содержит также информацию, защищенную кодом с обнаружением ошибок. Комбинации, в которых имеется переспрос, другой информации не содержит. Примем время передачи комбинации длины за единицу. При получении комбинации с переспросом, либо при обнаружении ошибок, эта последующих комбинаций стираются, а по оборотному каналу посылается комбинация с переспросом и продолжается передача информации с возвращением на комбинаций.

Если же в принимаемой комбинации содержится сигнал подтверждения, то по обратному каналу передается очередная комбинация с сигналом подтверждения.

По этой системе передаются сообщения, кодируемые в комбинаций. Если в сообщении обнаружены ошибки, то время , необходимое для его передачи при отсутствии переспросов, увеличивается на величину , где случайная величина, равная числу переспросов комбинаций рассматриваемого сообщения, пока все они не будут приняты без обнаруженных ошибок. Наша цель -- найти распределениевероятностей того, что время передачи сообщения равно . Это распределение для канала без памяти найдено. В настоящей работе расчеты ведутся методом матричных производящих функций по модели источника ошибок, согласно которой состояния источника ошибок в прямом и обратном каналах образуют стационарную цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей и матрицами условных вероятностей ошибок в прямом и обратном каналах.

Обозначим через матрицу, -й элемент которой равен вероятности того, что цепь Маркова перейдет из состояния на позиции, предшествующей передаче комбинации, в состояние на последней позиции этой комбинации прямого и обратного каналов ошибки не обнаружены. Справедлива оценка

(1)

где -- число проверочных символов, -- кодовое расстояние кода, используемого в - канале.

(2)

матрицы имеет производящую функцию

(3)

где , . Из предыдущей формулы следует, что матрицы удовлетворяют соотношениям

(4)

которое удобно использовать для расчетов на ЭВМ.

Если матрицы примитивные, то при справедливы асимптотические формулы

(5)

где -- наименьший по модулю корень многочлена , -- матрица, присоединенная к .

Обозначим через матричную вероятность того, что время передачи сообщения из блоков равно , т.е. матрицу, -й элемент которой представляет собой вероятность перехода цепи Маркова из состояния на позиции , предшествующей передаче рассматриваемого сообщения в состояние на позиции и при этом время передачи сообщения равно . Можно показать, что матрицы имеют производящую функцию вида:

(6)

где . Из этой формулы следует соотношения

(7)

и, в случае когда матрица примитивная, получаем асимптотические оценки

(8)

где -- наименьший по модулю корень многочлена ,

-- матрица, присоединенная к .

Интересующее нас распределение вероятностей того, что время передачи сообщения составит определяется по формуле

(9)

система связь информация канал

где -- матрица-строка начальных вероятностей,

-- матрица-столбец из единиц.

В заключение отметим, что предлагаемые методы расчета и найденные выше матрицы могут быть использованы для оценки многих распределений, характеризирующих вероятность передачи информации по каналам, модель источника ошибок в которых описывается на основе цепей Маркова. Например, вероятность того, что в смежных блоках длинны первого канала возникнет ошибок, может быть найдена по формуле

(10)

где матрицы определены выше.

Список литературы

[1]. Дж. Вольфовиц. Теоремы кодирования теории информации. М. «Мир», 1991.