Синтез цифровых фильтров по заданной переходной зоне АЧХ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Синтез цифровых фильтров по заданной переходной зоне АЧХ

Н.В. Татьянич, А.В. Максимов

КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана

Основная проблема при проектировании цифровых фильтров (ЦФ) заключается в улучшении их частотных характеристик. Необходимость ограничения числа звеньев ЦФ, и связанное с этим ограничение времени действия импульсных характеристик (ИХ) фильтров любого типа, неизбежно приводят к завалу фронтов и появлению выбросов и пульсаций в частотной характеристике фильтра, что приводит к искажениям обрабатываемых сигналов.

Обычно проектирование (ЦФ) выполняется по аналоговому прототипу [1,2,3]. Прототип задается в виде электрической схемы четырехполюсника, электрического фильтра, передаточной функции, частотных характеристик, импульсной характеристики и т.п. Как правило, предполагается идеальная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) с прямыми фронтами. АЧХ спроектированных ЦФ существенно отличаются от идеальных характеристик. Фронты таких характеристик имеют неустранимые завалы (переходные зоны), а полосы пропускания и задерживания имеют выбросы и пульсации, вызывающие линейные искажения сигналов.

В предлагаемой работе рассмотрен метод расчета и проектирования трансверсального ЦФ нижних частот по АЧХ с заранее заданной переходной зоной. Характеристика задается с указанием граничной частоты и переходной зоны (рис.1).

Рис.1. АЧХ ЦФ НЧ

цифровой фильтр трансверсальный

Заданную АЧХ продолжим в область отрицательных частот, чем обеспечим возможность получить ИХ, представленную действительной функцией. Полученная вспомогательная характеристика в таком виде имеет форму равнобедренной трапеции. Ее можно построить, соединив два равнобедренных треугольника: один в привычном положении, другой - в перевернутом, со следующими параметрами: основание первого равно 2, а второго 2. (рис.2).

Рис.2. Построение вспомогательной АЧХ - G (щ)

Характеристику аналитически можно описать следующим образом:

(1а)

(1б)

При построении вспомогательной АЧХ зададим следующие ее параметры:

- частота среза ,

- ширина переходной зоны АЧХ ,

- отношение ширины переходной зоны АЧХ к частоте среза ,

- наибольшее значение АЧХ: ,

- крайние границы вспомогательной АЧХ: ,

- крайние границы средней части вспомогательной АЧХ: ,

- параметры переходной зоны:

- наклон боковых сторон треугольников ,

- высота большего треугольника ,

- высота меньшего треугольника

Обратное преобразование Фурье функций, представленных формулами (1а) и (1б), дает возможность получить аналитическое выражение вспомогательной ИХ:

(2)

После взятия интегралов получим

(3)

График вспомогательной ИХ показан на рисунке 3.

Полученный график сдвиним вправо на половину заданной продолжительности ИХ, а затем дискретизируем его:

. (4)

Рис.3. Вспомогательная импульсная характеристика

Оцифрованная импульсная характеристика ЦФ имеет вид (рис. 4):

Рис.4. Импульсная характеристика ЦФ

На рисунке 5 показан фрагмент дискретизации непрерывной h(t). Интервал дискретизации T выбирался так, чтобы первый минимум h(t) был удален от центра главного лепестка на 2T .

Рис.5. Дискретизация импульсной характеристики

Моменты регистрации дискретных значений, за исключением пяти выделенных центральных, не совпадают с максимумами и минимумами непрерывной ИХ и с ее нулями (рис.4). Тем не менее, информативность дискретной ИХ сохраняется, что позволяет с помощью преобразования Фурье получить спектр этой функции, являющийся частотной характеристикой ЦФ в виде .

Этот спектр мало отличается от спектра функции .

Исследуем зависимость ширины переходной зоны АЧХ от длительности ИХ, задаваемой числом отсчетов.

Исследование выполним в программном вычислительном комплексе Mathcad следующим образом. Зададим начальные величины переходной зоны в отношении к частоте среза: . Для каждого зададим число отсчетов импульсной характеристики . По формуле (3) находим и строим вспомогательную функцию . Для каждой вспомогательной выполним все выше перечисленные действия: сдвиг в сторону запаздывания, дискретизацию, построение АЧХ. Практически все АЧХ имели вид, представленный на рис. 6.

Рис.6. АЧХ ЦФ

По непосредственным замерам были вычислены для каждого эксперимента отношения и построены графики зависимостей , (рис.7, рис.8.). Первый представляет семейство графиков для второй - для Как видно из графиков, ширина переходной зоны существенно зависит от длительности ИХ в пределах от 0 до 20 - 30 интервалов . В дальнейшем наблюдается незначительный спад, приближающий ширину зоны к заданной (начальной) величине.

Рис.7. Зависимости переходной зоны от числа отсчетов ИХ

На рисунке 9 пунктиром показана зависимость ширины переходной зоны от числа отсчетов импульсной характеристики для ЦФ, проектируемого по АЧХ прямоугольной формы [3]. Сплошными линиями показаны такие же зависимости для ЦФ, синтезируемого по предлагаемому методу: верхний график при начальном задании , нижний - при

Рис. 8. Зависимости переходной зоны от числа отсчетов ИХ

Рис. 9. Графики зависимости

Последние два графика мало отличаются один от другого для , при различие заметно. Так как эти графики расположены ниже графика, показанного пунктиром, то, очевидно, при предпочтительнее пользоваться предлагаемым методом.

Данный метод позволяет при одинаковом задании ширины переходной зоны уменьшить число отсчетов импульсной характеристики по сравнению с описанным в [3]. При значениях предпочтение следует отдавать другим известным методам.

Литература

1. В.В. Сюзев. Цифровая обработка сигналов: методы и алгоритмы. Часть III. Методы расчета частотных и полиноминальных фильтров: учеб. пособие/ - М.: Изд-во НИИ РЛ МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2012. - 98с.

2. Ричард Лайонс. Цифровая обработка сигналов: Второе издание. Пер. с англ. - М.: ООО «Бином-Пресс», 2006. - 656 с.: ил.

3. Н.В.Татьянич, А.В.Максимов. Исследование зависимости переходной зоны частотной характеристики цифрового фильтра от числа отсчетов импульсной характеристики: Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: материалы Всероссийской научно-технической конференции, - 25 - 27 ноября 4014 г. Е.4. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2014. - 292 с.

Размещено на Allbest.ru