Динамическая форма отображения сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема

Динамическая форма отображения сигналов

Вовсе не безразлично, каким образом следует разрезать курицу или зайца.

Децим Юний Ювенал. Сатиры. Римский поэт, I-II в.

Римлянин с высшим образованием не мог себе позволить без соответствующего философского обоснования потрошить курицу, а тем более зайца. Но лично меня всегда больше интересует, что я с этого буду иметь.

Владимир Бакаев. Комментарии. Уральский геофизик, XX-XXI в.

Введение

Можно выделить два основных метода анализа переходных процессов, возникающих при прохождения сигналов через линейные инвариантные во времени системы (ЛИВС):

1. Спектральный метод (преобразование Фурье или Лапласа), использующий частотную форму представления сигналов.

2. Суперпозиционный метод, основанный на динамическом представлении сигнала как суперпозиции элементарных импульсов некоторой «стандартной» формы.

Динамическая форма представления сигналов соответствует естественному и привычному для нас математическому описанию в виде функций независимых переменных (аргументов) в реальном (текущем) масштабе времени. Динамические модели сигналов позволяют определять текущие значения сигналов в любых системах по заданным априори математическим функциям описания физических процессов в реальных физических системах или системных операций в программных системах. Достоинством динамических моделей является их универсальность. Основные математические инструменты реализации - дифференциальные уравнения и интеграл Дюамеля, для цифровых сигналов - разностные уравнения и операция свертки.

Основной задачей динамической модели является математическое описание реакции системы (выходного сигнала системы) на определенное входное воздействие (входной сигнал). Моделирование и анализ линейных стационарных систем обработки сигналов произвольной формы в динамическом представлении базируется на разложении сигналов по единичным импульсам простейшей формы.

1. Разложение сигналов по единичным импульсам

сигнал разложение импульс динамический

Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию.

Дельта-функция или функция Дирака. По определению, дельта-функция описывается следующими математическими выражениями (в совокупности):

(t-) = 0 при t, (t-) dt = 1

Функция (t-) не является дифференцируемой, и имеет размерность, обратную размерности ее аргумента, что непосредственно следует из безразмерности результата интегрирования. Значение дельта-функции равно нулю везде за исключением точки, где она представляет собой бесконечно короткий импульс с бесконечно большой амплитудой, при этом площадь импульса равна 1.

Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать значение, равное бесконечности, в точке t = на аналоговой временной шкале, определенной по времени также с бесконечной точностью. Но во всех случаях, когда площадь импульса равна 1, длительность импульса достаточно мала, а за время его действия на входе какой-либо системы сигнал на ее выходе практически не изменяется (реакция системы на импульс во много раз больше длительности самого импульса), входной сигнал можно считать единичной импульсной функцией со свойствами дельта - функции.

Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем в качестве единичного импульса используется дискретный интегральный аналог дельта-функции - функция единичного отсчета (kt-nt), которая равна 1 в координатной точке k = n и нулю во всех остальных точках, при этом функция (kt-nt) определена только для целых значений координат k и n.

Математические выражения (t-) и (kt-nt) называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не следует забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках и nt, а импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от - до .

Разложение сигнала по единичным импульсам. Импульсы Дирака и Кронекера используются для разложения, соответственно, произвольных аналоговых сигналов s(t) и дискретных сигналов s(kt) в непрерывную последовательность неперекрывающихся (ортогональных) импульсов:

Рис.

s(t) =s()(t-) d

s(kt) =s(nt)(kt-nt)

Для аналоговых сигналов разложение в физическом представлении эквивалентно сканированию значений сигнала s(t) в моменты времени t = бесконечно узкой щелью, бегущей вдоль оси t. Для цифровых сигналов эта щель равна одному отсчету. Пример разложения дискретного сигнала приведен на рис. Другими словами, единичные импульсные функции (t-), -<?, и (kt-nt), -<n<, образуют в бесконечномерных пространствах системы координатных базисов {(t-)} и {(kt-nt)}, т.к. они не перекрываются и, соответственно, взаимно ортогональны. По этим координатным системам и производится разложение сигналов s(t) и s(kt).

Так, например, простейшая система базисных векторов в N-мерном пространстве задается единичной матрицей порядка N, т. е. диагональной матрицей размера N x N с единичными диагональными элементами. Каждая строка этой матрицы соответствует единичному импульсу, смещенному на k позиций:

Любые две строки матрицы ортогональны

а норма базисной функции равна 1:

.

Выражения представляют собой совокупности проекций сигналов на координатные базисы систем единичных импульсов и являются векторными описаниями сигналов в динамической форме.

Импульсный отклик линейной системы. Если на вход линейной системы в момент времени t = 0 подать единичный импульс (Дирака или Кронекера, в зависимости от типа системы), то на выходе мы получим реакцию системы на единичный входной сигнал. Эта реакция называется функцией импульсного отклика системы или импульсной характеристикой. Она однозначно определяется оператором преобразования h(..):

y(t) = T[(t-0)] = h(t)

y(kt) = T[(kt-0)] = h(kt)

Импульсный отклик аналоговой системы на входную дельта-функцию также в определенной степени представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом можно понимать отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с единичной площадью, если длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с временной (координатной) разрешающей способностью системы. Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера. Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.

Очевидно, что в линейных и инвариантных к сдвигу системах форма импульсного отклика не зависит от времени прихода входного сигнала и определяет только его положение на временной оси. Так, если входной импульс задержан (относительно 0) на время to, то соответствующий выходной сигнал будет определяться выражением:

y(t) = T[(t-to)] = h(t-to)

В любой системе, работающей в реальном масштабе времени, сигнала на выходе системы не может быть, если нет сигнала на ее входе. Отсюда следует односторонность импульсного отклика физических систем:

h(t-) = 0 при t<

Для программных систем, работающих с зарегистрированными массивами цифровых данных, импульсный отклик может быть и двусторонним, так как при обработке сигналов в любой текущей точке kt системе доступны как "прошлые" отсчеты kt-nt, так и "будущие" отсчеты kt+nt. Это резко расширяет возможности программной обработки сигналов по сравнению с физическими системами.

На рисунке приведен пример импульсного отклика h(t) элементарной физической системы преобразования электрических сигналов - интегрирующей RC-цепи. Подобные схемы часто применяются в полевых геофизических приборах (например, в радиометрах) в качестве интенсиметров - измерителей средней скорости счета импульсных потоков сигналов.

Рис.

При подаче на вход RC-цепи единичного и очень короткого (t << RC) импульса заряда q емкость С заряжается до напряжения Vо = q/C, и начинает разряжаться через сопротивление R, при этом напряжение на емкости изменяется по закону v(t) = Voexp(-t/RC) = (q/C)exp(-t/RC). Отсюда, импульсный отклик RC-цепи на единичный входной сигнал с единичным значением заряда q = 1 равен: h(t) = (1/C)exp(-t/RC), где форма отклика определяется функцией экспоненты, а множитель (1/С) является масштабным преобразователем сигнала (заряда в напряжение). По существу, импульсным откликом системы определяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времени t после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).

Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произвольный момент времени на любое количество входных сигналов в любые моменты времени их прихода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы. На рис. приведен пример входного сигнала s(t) для RC-цепи в виде последовательности импульсов и реакция системы y(t) на такой входной сигнал, образованная суммированием реакций системы на каждый импульс.

Допустим, что на вход RC-цепи в моменты времени t1=1 и t2=2 поступили короткие (по сравнению со значением RC) импульсы заряда величиной A и В. Математически это можно отобразить сигналом s(t) = q1(t)+q2(t), где q1(t) = A?t-t1) и q2 = B(t-t2). Выходной сигнал системы при известном импульсном отклике h(t) отобразится формулой:

y(t)=T[q1(t)+q2(t)]=T[A(t-t1)]+T[B(t-t2)]=AT[(t-t1)]+BT[(t-t2)]=Ah(t-t1)+Bh(t-t2)

При расчете значений выходного сигнала в произвольный момент времени t после прихода на вход системы сигналов q1 и q2, например, для t = 5, для каждого из сигналов вычисляются значения их запаздывающих реакций: y1 = Ah(5-1) = Ah(4) и y2 = Bh(5-2) = Bh(3), после чего значения запаздывающих реакций суммируются у = у1+у2. Пример этой операции можно видеть на рис., где приняты значения А=1 и В=1. Сущность операции не изменяется при любых значениях А и В, а в общем случае и для любого количества импульсов.

Рис.

Однако эту же операцию можно рассматривать и с другой позиции. Развернем импульсный отклик h(t) системы на 1800 и поместим его начало h(0) непосредственно в точку, для которой нужно выполнить расчет выходного сигнала, т.е. в точку t=5 для нашего примера. Если теперь отсчет координат для функции h(t) повести назад от точки расчета по аргументу т.е. перейти на вычисление h(), где значение изменяется от 0 и далее (в пределе до ), то нетрудно убедиться, что функция h() пересечет входные импульсы на тех же значениях у1 и у2. Для этих точек пересечения первого и второго импульсов соответственно имеет место 1 = t-t1 и 2 = t-t2, как и при прямом методе расчета запаздывающих реакций при расчете значений h(t-t1) и h(t-t2). После умножения полученных значений h(1) и h(2) на значения входного сигнала А и В, получаем полную аналогию: y1 = Ah(1) = Ah(t-t1) и y2 = Bh(2) = Bh(t-t2), и соответственно суммарный сигнал у = у1+у2.

Такое математическое представление расчета удобно для составления математических алгоритмов вычислений. Условно этот процесс для коротких входных импульсных сигналов может быть представлен в следующем виде. Для любой точки расчета ti выходного сигнала инвертированная по координатному направлению функция импульсного отклика h() помещается в эту точку ti и просматривается по своей координате с одновременным синхронным просмотром входного сигнала s(t) назад от точки расчета (прошлые значения входного сигнала) по координатам ti-. Значения всех встреченных при просмотре импульсов s(ti-) перемножаются со значениями h() и суммируются. Тем самым, для каждой текущей точки расчета ti в аналоговой системе выполняется операция:

y(ti) =h( )s(ti- ) d??????????????????????????????????????? ?

Соответственно в цифровых системах для произвольной точки k:

y(k t) =h(n t)s(k t-n t)

Результат выражений и будет представлять собой запаздывающую реакцию системы на все импульсы, поступившие на вход системы до текущей точки расчета выходного сигнала.

Таким образом, для линейных и стационарных систем легко определить их реакцию на любой входной сигнал, если известен импульсный отклик систем на единичный входной сигнал.

2. Интеграл Дюамеля

Произвольный аналоговый сигнал s(t) можно представить в дискретной форме с шагом t в виде ступенчатой функций с высотой каждой ступеньки, равной приращению функции s(t) между соседними точками (рис.):

s(t) ? s(0)?t)+(s1-s0)(t- t)+(s2-s1)?(t-2 t)+…= s(0)(t) +(sk-sk-1)(t-k t)

где (t) - функция включения.

Рис.

В пределе, для бесконечно малого значения шага дискретизации:

t > , (sk-sk-1) > ds = (ds/d )d , k t > ,

получаем формулу динамического представления сигнала посредством функций включения:

s(t)= s(0)(t) +(t- ) d

Реакция системы на функцию включения (t) называется её переходной характеристикой и обозначается через g(t). Для линейной системы с переходной характеристикой g(t) входное воздействие (t- ) вызывает отклик g(t- ), поэтому

s(t) s(0)(t) + (sk-sk-1)g(t-k t).

Переходя к переделу при t > 0, получим выражение, которое называют интегралом Дюамеля:

y(t)= s(0)(t) + s'( )g(t- ) d ? (3.2.1)

Тождественная форма:

y(t)= s(0)(t) + s'(t- )g( ) d ? (3.2.1')

Интеграл Дюамеля целесообразно применять, когда известна или легко находится переходная характеристика системы.

Рис.

Пример расчета выходного сигнала системы на ступенчатый входной сигнал приведен на рис. Ступенчатая форма сигнала принята для более наглядного представления процесса формирования выходного сигнала. В общем случае, форма входного воздействия может быть произвольной.

3. Свертка (конволюция) сигналов

Интеграл свертки. Произвольный сигнал на входе системы с использованием выражений разложения сигнала по единичным импульсам Дирака может быть представлен в виде последовательной линейной комбинации взвешенных единичных импульсов:

y(t) = T[s(t)] = T[s( )?(t- ) d ????????????????? ? ???

На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, т.к. последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t. Отсюда следует:

y(t) = s( ) Т[(t- )] d ?s( ) h(t- ) d

Этот вариант динамического представления сигнала и является интегралом свертки (конволюции) входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t- ?= ?можно убедиться в том, что свертка коммутативна:

s( ) h(t- ) d h( ) s(t- ) d

Функция h( ) называется ядром свертки (kernel) или импульсной характеристикой линейной системы.

Смысл интеграла свертки состоит в том, что входной сигнал представляется сомкнутой последовательностью следующих друг за другом коротких импульсов, площади которых равны значению сигнала в моменты их следования при длительности импульсов, стремящейся к нулевой. Такая последовательность импульсов условно может рассматриваться в виде последовательности дельта-функций с площадями, равными площадям соответствующих импульсов. Реакция системы находится как сумма реакций на каждый импульс, составляющий входное воздействие.

Аналогично, для дискретных сигналов, где значение t, как правило, принимается равным 1, а индексы k и n выполняют роль номеров отсчетов числовых рядов:

y(k) =h(n) s(k-n)

В цифровых методах обработки сигналов функцию h(n) обычно называют оператором свертки, а его размер по числу отсчетов - окном оператора свертки.

Выражения имеют специальную форму упрощенной математической записи в символическом виде:

y(t) = s(t- ) * h( ) s(t) * h(t)

Сравнением выражений с выражениями нетрудно убедиться в их полной идентичности, за исключением нижнего предела интегрирования (суммирования). Это и понятно, так как выражения были получены при рассмотрении реальной физической системы, работающей в реальном масштабе времени, импульсный отклик которых является односторонним (равен нулю при <0).

Для таких систем интегрирование (и суммирование) от - до 0 не имеет смысла.

Кроме того, в реальных физических системах импульсный отклик, как правило, отличен от нуля только на определенном интервале, и, соответственно, пределы интегрирования (суммирования) в выражениях ограничиваются значениями, на которых функции h( ) и h(n) существует или имеет значимые значения.

Сигналы, обрабатываемые на компьютере, имеют конечную продолжительность. Допустим, сигнал s(k) отличен от нуля только на отрезке от 0 до K включительно ("имеет длину K+1"). Пусть окно оператора свертки h(n) отлично от нуля на отрезке от - N до N (2N+1 отсчет). При подстановке этих сигналов в уравнение свертки, мы получим сигнал y(k), который отличен от нуля на отрезке от ? N до K+N включительно. Таким образом, длина выходного сигнала равна 2N+K-1, т.е. сумме длин исходного сигнала и ядра свертки минус один.

Рис.

Техника выполнения свертки для цифровой системы приведена на рис. Для вычисления свертки массив одной из функций (sk - входного или свертываемого сигнала) располагается по ходу возрастания номеров. Массив второй функции (более короткого оператора hn), строится параллельно первому массиву в обратном порядке (в режиме обратного времени, по ходу уменьшения номеров первого массива). Для вычисления yk значение h0 располагается против sk, все значения sk-n перемножаются с расположенными против них значениями hn и суммируются. Результаты суммирования являются выходным значением функции yk, после чего оператор hn сдвигается на один номер k вперед (или функция sk сдвигается ему навстречу) и вычисление повторяется для номера k+1 и т.д.

Для вычисления аналоговой свертки по выражению функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т.е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений t. В каждый текущий момент времени значения обеих функций перемножаются, а произведение интегрируется в пределах окна импульсного отклика. Полученный результат относится к той координатной точке, против которой находится значение импульсного отклика h(0).

Рис.

На рис. приведен пример выполнения свертки прямоугольного импульса с импульсным откликом RC-цепи, площадь которого нормирована к 1. Если площадь импульсного отклика h(t) равна 1, то площадь выходного сигнала свертки всегда должна быть равна площади входного сигнала, что можно видеть на верхнем графике рисунка, при этом одномасштабное сравнение входного и выходного сигналов наглядно демонстрирует характер преобразования сигнала в данной системе. На последующих графиках рисунка демонстрируется вычисление результатов свертки в ряде последовательных точек ti = {3.5, 4, 5, 6, 7} временной оси. В силу отрицательного знака в аргументах функции s(t- ) интегрирование произведения h( )s(t- ) выполняется назад по времени и может ограничиваться только определенной длиной значимых значений импульсного отклика (которая в данном случае установлена равной r = 4), а результат относится к начальной точке h(0) импульсного отклика. Так как входной сигнал, рассмотренный на рисунке, представляет собой прямоугольный импульс с амплитудой 1, то интеграл свертки в каждой текущей точке расчета равен площади импульсного отклика в пределах границ входного прямоугольного импульса (заполнено точками).

Свойства свертки. Для свертки характерны следующие свойства:

1. Дистрибутивность: h(t) * [a(t)+b(t)] = h(t) * a(t)+h(t) * b(t).

2. Коммутативность: h(t) * a(t) * b(t) = a(t) * b(t) * h(t).

3. Ассоциативность: [a(t) * b(t)] * h(t) = h(t) * a(t) * b(t).

Преобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал y(t) для установленного значения входного сигнала s(t) при известном значении функции импульсного отклика системы h(t). Обратная задача деконволюции - определение функции s(t) по функциям y(t) и h(t), относится к разряду некорректных, и имеет решение только при вполне определенных условиях. Это объясняется тем, что свертка может существенно изменить частотный спектр сигнала y(t) относительно s(t) и восстановление функции s(t) становится невозможным, если определенные частоты ее спектра в сигнале y(t) полностью утрачены.

Любая практическая система должна быть устойчивой, т.е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Устойчивость обеспечивается при выполнении условия абсолютной интегрируемости импульсного отклика системы:

|h(t)| dt < .

Для систем с m входами и n выходами аналогично определяются парциальные импульсные отклики hij(t), i = {1,2, ... ,n}, j = {1,2, ... ,m}, каждым из которых отображается сигнал на i-м выходе при поступлении сигнала ??t) на j-й вход. Полная совокупность импульсных откликов образует матрицу:

,

а выражение свертки приобретает вид:

(t) = ( )(t- ) d

Здесь (и в дальнейшем тексте) жирным шрифтом с "крышкой" выделяются векторные величины.

Системы свертки. Свертка выполняется системой (физическим или программным устройством). Физические системы, работающие в реальном времени, вычисляют текущее значение выходного сигнала по всем прошлым значениям входного сигнала, и не могут иметь в своем распоряжении будущих значений входного сигнала. Операторы таких систем являются односторонними (каузальными). Вышеприведенная, нормированная к 1 по площади, функция RC-цепи h(t) = (1/RC)exp(-t/RC), принятая в качестве системного оператора на рис., является именно таким односторонним каузальным оператором. При сравнении выходного сигнала такой системы с входным нетрудно заметить, что выходной сигнал сдвигается относительно входного сигнала. Для каузальных систем такой "сдвиг по фазе" существует всегда и не может быть исключен (сигнал на выходе системы не может быть раньше сигнала на ее входе).

Входным сигналом программных систем является сигнал в целом, записанный в память вычислительного устройства. При обработке таких данных в распоряжении системы при вычислении любой текущей точки выходного сигнала имеются как "прошлые" для данной точки, так и "будущие" значения входного сигнала. Это позволяет создавать системы без сдвига фазы выходного сигнала относительно входного. Для создания таких систем без сдвига фазы может использоваться два способа:

Рис.

1. Первый способ иллюстрирует рис.. Задается система с односторонним каузальным оператором h(). Входной сигнал s(t) пропускается через систему в обычном порядке, и выполняется свертка g(t) = h( )*s(t). Затем выходной сигнал g(t) реверсируется (g(t)=>g(-t), конец сигнала становится его началом в порядке возрастания t) и повторно пропускается через систему, т.е. выполняется свертка y(-t) = h( )*g(-t) . Полученный сигнал снова реверсируется y(-t) => y(t), и результат является окончательным выходным сигналом y(t) системы.

Три последние операции (реверс g(t) свертка c h( ) реверс выходного сигнала) эквивалентны свертке сигнала g(t) с реверсированным откликом системы h(- ), и сдвиг по фазе при свертке реверсированного сигнала компенсирует сдвиг по фазе сигнала, полученный при первой свертке. Общий результат операции y(t) = h( )*h(- )*s(t) не имеет сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного. Такую операцию приходится выполнять для исключения сдвига фазы при применении рекурсивных систем, которые всегда являются односторонними.

Рис.

2. Второй способ. Выходной результат y(t) = h( )*h(- )*s(t) предыдущей операции позволяет, используя свойство коммутативности свертки, сначала выполнить свертку h( )*h(- ) = h( ) и получить один системный оператор h() (см. рис.), обеспечивающий свертку без сдвига фазы. Этот системный оператор является двусторонним и симметричным относительно = 0. Но использование его возможно только для предварительно записанных сигналов, т.к. при выполнении свертки y(t)= h( )*s(t- ) для отрицательных значений требуются "будущие" значения входного сигнала s(t+ ). Результат свертки с симметричным оператором полностью аналогичен первой операции (сигнал y(t) на рис.).

На практике вполне естественным является расчет непосредственно симметричных двусторонних операторов под требуемые задачи обработки числовых данных (сигналов, зарегистрированных в дискретной числовой форме). Начальные условия свертки. В начальный момент свертки, при вычислении значений y(ti) для значений ti < max оператора h( ), функция оператора, построенная в режиме обратного времени, при >ti "зависает" для значений ti- против отсутствующих значений входной функции.

Рис.

Пример такого зависания оператора дискретной свертки против несуществующих отсчетов s-1 и s-2 входного массива данных при вычислении отсчета у0 приведен на рис. Зависание исключают либо заданием начальных условий - дополнительных отсчетов, чаще всего нулевых или равных первому отсчету входной функции, либо началом свертки с отсчета входной функции ki = nmax с соответствующим сокращением интервала выходной функции на интервал задания системного оператора. Для симметричных операторов со значениями -n (вперед по времени) такой же момент наступает и в конце входного массива, и требует задания конечных условий или сокращения размера выходного сигнала.

Литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая школа, 1988.

2. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.

Размещено на Allbest.ru