Общий принцип. При кратковременном (оконном) преобразовании Фурье (ОПФ) полный временной интервал сигнала, особенно при большой его длительности, разделяется на короткие подинтервалы - временные окна, и преобразование проводится последовательно для каждого подинтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов, что в какой-то мере позволяет выделять и анализировать на временной оси особенности нестационарных сигналов и временные изменения их спектрального состава. По умолчанию предполагается, что в пределах каждого временного окна сигнал является стационарным.

Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:

S (w,b_k) = s (t) w (t-b_k) exp (-jwt) dt. (1.1)

Функция w (t-b) представляет собой функцию окна сдвига преобразования по координате t, где параметром b задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом b_k = kDb. В качестве окна преобразования может использоваться как простейшее прямоугольное окно (w (t) =1 в пределах окна и 0 за его границами), так и специальные весовые окна (Бартлетта, Гаусса, Кайзера и пр.), обеспечивающие малые искажения спектра за счет нейтрализации явления Гиббса на границах оконных отрезков сигналов. При этом для каждого положения окна на временной оси сигнала вычисляется свой комплексный спектр. Эффективная ширина оконной функции, как правило, сохраняется постоянной по всему интервалу сигнала.

Пример оконного преобразования для нестационарного сигнала на большом уровне шума приведен на рис.1.1 По спектру сигнала в целом можно судить о наличии в его составе гармонических колебаний на трех частотах. Оконное преобразование не только подтверждает данное заключение, но и показывает конкретную локальность колебаний по интервалу сигнала и соотношение между амплитудами этих колебаний.

Рис.1.1.

При ширине оконной функции, равной b, частотная разрешающая способность определяется значением Dw = 2p/b. При требуемой величине частотного разрешения Dw соответственно ширина оконной функции должна быть равна b = 2p/Dw. Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являются принципиальными. Так, для рис.1.1 при размере массива данных N = 300 и ширине оконной функции Db = 100 частотная разрешающая способность результатов преобразования уменьшается в N/Db = 3 раза по сравнению с исходными данными, и графики Sw (nDw_Sw) по координате n для наглядного сопоставления с графиком S (nDw_S) построены с шагом по частоте Dw_Sw = 3Dw_S, т.е. по точкам n = 0, 3, 6, …, N.

Частотно-временное оконное преобразование Фурье (ОПФ). Функция оконного преобразования (1.1) может быть переведена в вариант с независимыми переменными и по времени, и по частоте:

S (t,w) = s (t-t) w (t) exp (-jwt) dt. (1.2)

Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и, в силу принципа неопределенности Гейзенберга, обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. Хорошая разрешающая способность по времени подразумевает небольшое окно времени, которому соответствует плохая частотная разрешающая способность и наоборот. Оптимальным считается ОПФ с гауссовым окном, которое получило название преобразование Габора (Gabor). Пример преобразования приведен на рис.1.2 (в дискретном варианте вычислений.

Рис.1.2.

На рис.1.3 приведен пример вычисления и представления (модуль правой части главного диапазона спектра) результатов спектрограммы при дискретном задании зашумленного входного сигнала sq (n). Сигнал представляет собой сумму трех последовательных радиоимпульсов с разными частотами без пауз, с отношением сигнал/шум, близким к 1. Оконная функция w_i задана в одностороннем варианте с эффективной шириной окна b 34 и полным размером М = 5 Установленный для результатов шаг по частоте Dw = 1 несколько выше фактической разрешающей способности 2?/M = 126. Для обеспечения работы оконной функции по всему интервалу сигнала задавались начальные и конечные условия вычислений (продление на M точек обоих концов сигнала нулевыми значениями).

Рис.1.3.

Как видно из приведенных примеров, оконное преобразование позволяет выделить информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте. Разрешающая способность локализации по координатам и по частоте определяется принципом неопределенности Гейзенберга. В силу этого принципа невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала. На рис.1.4 приведен пример частотно-временного оконного преобразования сигнала, состоящего из 4-х непересекающихся интервалов, в каждом из которых сумма двух гармоник разной частоты. В качестве окна применена гауссова функция разной ширины. Узкое окно обеспечивает лучшее временное разрешение и четкую фиксацию границ интервалов, но широкие пики частот в пределах интервалов. Широкое окно напротив - четко отмечает частоты интервалов, но с перекрытием границ временных интервалов. При решении практических задач приходится выбирать окно для анализа всего сигнала, тогда как разные его участки могут требовать применения разных окон. Если сигнал состоит из далеко отстоящих друг от друга частотных компонент, то можно пожертвовать спектральным разрешением в пользу временного, и наоборот.

Рис.1.4.

2. Функции оконного анализа в среде Mathcad